學(xué)習(xí)使人收獲知識，收獲知識使老黃感到快樂！2021年浙江寧波的中考數(shù)學(xué)壓軸題，就是一道能讓您漲知識的題目。它教會我們什么叫半對角四邊形，并且如何運用這個新知識解決中考數(shù)學(xué)壓軸題。題目是這樣的：
有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.
(1)如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D/2, ∠C=∠A/2, 求∠B與∠C的度數(shù)之和；
(2)如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,假設(shè)邊AB上存在一點D,使得BD=BO.∠OBA的平分線交OA于點E,連結(jié)DE并延長交AC于點F,∠AFE=2∠EAF.求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；
(3)如圖3,在(2)的條件下,過點D作DG⊥OB于點H,交BC于點G.當(dāng)DH=BG時,求△BGH與△ABC的面積之比.
解：(1)如圖1, 在四邊形ABCD中, ∠D=2∠B，∠A=2∠C，
且∠A+∠B+∠C+∠D=3(∠B+∠C)=360度，
∴∠B+∠C=120度.【送分題，但這個結(jié)論對第(3)小題很重要，是解題的關(guān)鍵】
(2)如圖2, ∵BE平分∠OBA，∴∠DBE=∠OBE,
又BD=BO, BE=BE, ∴△DBE≌△OBE(SAS),
∴∠BDF=∠BOA=2∠C,
連接OC, 則∠AOC=180度-∠OAC-∠OCA=180度-2∠OAC=180度-∠AFE=∠CFD,
∴∠CFD=∠AOC=2∠CBD,
∴四邊形DBCF是半對角四邊形. 【嚴(yán)格按照半對角四邊形的定義來證明】
(3)由(1)(2)知∠BCF+∠CBD=120度,【(2)提供了四邊形DBCF是半對角四邊形的條件，(1)則提供了半對角四邊形較小的一組鄰角的和等于120度的性質(zhì)】
∴∠BAC=180度-(∠BCF+∠CBD)=60度,
∴∠BOC=2∠BAC=120度,∴∠HBG=(180度-∠BOC)/2=30度,
在Rt△BGH中, HG/BG=HG/DH=1/2,∴S△BGH/S△BDH=1/2,
∴S△BGH/S△BDG=1/3,【思路是先求三角形BGH和三角形BDG的面積比，再求三角形ABC和三角形BDG的面積比，最后求兩個比的商，就是所求的△BGH與△ABC的面積之比】
又DH=BG=BH/cos30度=2根號3BH/3,【接下來各邊的長都用含BH的式子來表示，當(dāng)然也可以選擇用含其它線段，比如半徑BO的式子來表示，只要統(tǒng)一形式就可以了，但不要輕易設(shè)BH或BO為1，因為那樣遇到加減運算時，容易出錯】
BO=BD=根號(DH^2+BH^2)=根號21 BH/3,
BC=根號3 BO/2=根號7BH,【頂角為120度的等腰三角形，底邊是腰長的根號3倍】
過O作OM⊥AB于點M, 則△OBM≌△DBH,【省略了證明過程，它運用的是ASA的判定定理。這種省略是允許的】
∴BM=BH,∴AB=2BM=2BH,
∴S△ABC/S△BDG=(2×根號7)/(根號21/3×2根號3/3)=3, 【其實三角形ABC和三角形BDG在BC上的高的比，等于AB與BD的比，而底邊的比，就是BC與BG的比，兩個比的積，就是面積的比，約掉BH^2后，就得到這個式子了】
∴S△BGH/S△ABC=(S△BGH/S△BDG)/(S△ABC/S△BDG)=1/9.
老黃的方法可能不是最簡便的方法，勝在比較直接。如果您有其它更好的方法，不妨分享出來！
