跟波利亞學(xué)解題
By 劉未鵬(pongba)
C++的羅浮宮(http://blog.csdn.net/pongba)
TopLanguage(http://groups.google.com/group/pongba)
一些故事
波利亞在他著名的《How To Solve It》中講了這么一個(gè)有趣的心理學(xué)實(shí)驗(yàn)：
用一個(gè)缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動(dòng)物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側(cè)放上一個(gè)被試很想要的物體（對(duì)動(dòng)物來說是食物，對(duì)人類嬰兒來說是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現(xiàn)，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現(xiàn)無法通過的時(shí)候，不久便學(xué)會(huì)了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，母雞則朝著圍欄一個(gè)勁的撲騰，不會(huì)想到繞彎子。此外，人類嬰兒很快就學(xué)會(huì)了繞過障礙；而黑猩猩也學(xué)得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬）。這個(gè)實(shí)驗(yàn)有力的證明了，動(dòng)物解決問題的能力是進(jìn)化而來的、天生的、硬編碼在大腦的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)里面的。
事實(shí)上，不僅解決問題方面是如此，人類整個(gè)認(rèn)知系統(tǒng)中絕大部分功能從本質(zhì)上都是硬編碼的，能在后天習(xí)得的只是“程度”的不同，而不是“本質(zhì)”的不同。《動(dòng)機(jī)心理學(xué)》中有一個(gè)令人印象深刻的一個(gè)例子：
先給小鼠喝某種甜味水（稱為“可口水”），然后用X射線促使其產(chǎn)生反胃感，能使小鼠形成對(duì)這種味道的水的厭惡和回避（經(jīng)典條件反射）。但如果不是在水里面加味道，而是在它喝水的時(shí)候伴隨強(qiáng)光刺激（即讓它喝“光噪水”），然后同樣刺激其反胃，卻無法使它養(yǎng)成對(duì)“光噪水”的厭惡。另一方面，如果不是促使其反胃（身體不適），而是用電擊懲罰，則它無法形成對(duì)“可口水”的厭惡，而是形成對(duì)“光噪水“的厭惡。顯然，小鼠對(duì)事件之間的關(guān)聯(lián)的歸因也具有著某種硬編碼好了的傾向。在這個(gè)例子中，老鼠的大腦里面硬編碼了“將身體不適（內(nèi)部事件）歸因于食物而不是閃光”、”將電擊（外部事件）歸因于閃光而非食物” 這種邏輯。
而人類也有類似的歸因傾向。金出武雄在《像外行一樣思考，像專家一樣實(shí)踐》中也提到，他認(rèn)為人類的直覺實(shí)際上也是計(jì)算，捷徑式的計(jì)算，只不過由于我們目前還不了解人類大腦內(nèi)神經(jīng)元的全部結(jié)構(gòu)（或者說“感性”的物質(zhì)基礎(chǔ)）這才把“感性”當(dāng)成人類所特有的；金出武雄的這種觀點(diǎn)跟心理學(xué)中的認(rèn)知捷徑不謀而合。實(shí)際上，越是高等的動(dòng)物，大腦中用于處理特定問題的硬編碼神經(jīng)元回路就越是多和復(fù)雜。例如，達(dá)爾文早在《人類和動(dòng)物的情緒表達(dá)》中就先知先覺的提出了動(dòng)物情緒的適應(yīng)價(jià)值；《Mean Genes》列出了用于解決生存繁衍問題的特定認(rèn)知傾向；《決策與判斷》里面則列出了人類在解決更具一般性的決策問題中的一些系統(tǒng)性的、可預(yù)測的認(rèn)知偏差；而《Predictably Irrational》更是把這個(gè)認(rèn)識(shí)提高到方法論的層面，主張人類的非理性實(shí)際上是完全可預(yù)知的。事實(shí)上，所有這些觀點(diǎn)都建立在一個(gè)基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，即人類大腦中的千億神經(jīng)元是由在漫長的進(jìn)化過程中被塑造出來的分工明確的、ad hoc的一組子系統(tǒng)構(gòu)成的。
越是高等的動(dòng)物，解題能力越高，猩猩能夠進(jìn)行某種頓悟，在腦子里就構(gòu)想出通過堆放墻角的箱子來幫助獲取高高吊著的香蕉；而出于進(jìn)化之樹頂端的人類則具有非比尋常的大腦，在人類整個(gè)進(jìn)化的過程中，解決問題的能力一直在進(jìn)化，所以說人腦中的神經(jīng)元最重要的部分是為了解題而存在的也不為過。不同的人只是在解題能力程度上不同，并沒有本質(zhì)上能與不能的差異。
波利亞在《How To Solve It》中另外還舉了下面這個(gè)例子：
一個(gè)原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經(jīng)過昨天一夜，已經(jīng)漲了上來；因此他面臨一個(gè)問題：如何越過這條小溪。他聯(lián)想起以前曾經(jīng)從一棵倒下并橫在河上的樹木上走過去，于是他的問題變成了如何找到這樣一顆倒下并橫在溪流上的樹木。他環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)溪流上沒有這樣的橫著的樹木，但他發(fā)現(xiàn)周圍倒是有不少生長著的樹木；于是問題再次變成了：如何使這些樹木躺到溪流上。
在這個(gè)想像的故事中我們看到了一個(gè)問題是如何被一步步歸約的：首先，原始人通過對(duì)一個(gè)已知的類似問題的聯(lián)想認(rèn)識(shí)到一個(gè)重要的性質(zhì)：如果有一棵樹橫在河上，我就可以借助這棵樹過河。這就將一個(gè)無法直接解決的問題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)新的、已知的、并容易解決的問題。值得注意的是這里“聯(lián)想”是極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，聯(lián)想可以將手上的問題與已知的類似問題聯(lián)系起來，并從后者中吸取能夠利用的方法。聯(lián)想也能夠?qū)⑴c問題有關(guān)的定理或性質(zhì)從大腦的知識(shí)系統(tǒng)中提取出來?；旧?，如果一個(gè)聯(lián)想能夠得到某個(gè)性質(zhì)，而這個(gè)性質(zhì)能夠或者將問題往上歸約一層，或者將條件往下推導(dǎo)一層，這個(gè)聯(lián)想就是有用的。事實(shí)上，如果你仔細(xì)注意以下解題的過程，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有的啟發(fā)式思維方法（heuristics）實(shí)質(zhì)上都是為了聯(lián)想服務(wù)的，而聯(lián)想則是為了從我們大腦的知識(shí)系統(tǒng)中提取出有價(jià)值的性質(zhì)或定理，從而補(bǔ)上從條件到結(jié)論、從已知到未知之間缺失的鏈環(huán)。
一段歷史
實(shí)際上，人類自從進(jìn)入理性文明以來，不僅在不斷的解題，還在不斷的對(duì)自身的解題方法進(jìn)行反省和總結(jié)。在這條路上，有一個(gè)真正光榮與輝煌的夢想，那就是發(fā)現(xiàn)人類解題的所有一般性法則，并借此建造出一臺(tái)能夠解決人類能夠解決的所有問題的一般解題機(jī)。與物理中的建造永動(dòng)機(jī)不一樣，這個(gè)夢想并非遙不可及的，自從古希臘哲學(xué)家對(duì)人類心智的反省思考以來，許多著名的數(shù)學(xué)和哲學(xué)家為此建造了階梯，Pappus，亞歷山大學(xué)派最后一位偉大的幾何學(xué)家，就曾在他恢弘的八卷本《數(shù)學(xué)匯編》中描述了其中的一種法則，他將它稱為“分析與綜合”，大意如下：
首先我們把需要求解的問題本身當(dāng)成條件，從它推導(dǎo)出結(jié)論，再從這個(gè)結(jié)論推導(dǎo)出更多的結(jié)論，直到某一個(gè)點(diǎn)上我們發(fā)現(xiàn)已經(jīng)出現(xiàn)了真正已知的條件。這個(gè)過程稱為分析。有了這條路徑，我們便可以從已知條件出發(fā)，一路推導(dǎo)到問題的解。
波利亞在他的三卷本中把這種做法叫做Working Backwards（倒過來解）。
笛卡爾也曾經(jīng)試圖將人類思維的規(guī)則總結(jié)為36條（最終完成了21條）。萊布尼茲，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)實(shí)質(zhì)上的發(fā)明者，也說到：
在我看來，沒有什么能比探索發(fā)明的源頭還要重要，它遠(yuǎn)比發(fā)明本身更重要。
再后來，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾也試圖總結(jié)人類思維的本質(zhì)規(guī)律，他在他的著作《科學(xué)的理論》中寫道：
我根本不奢望自己能夠提供任何超于其他天才所使用過的科學(xué)探索方法之外的新方法，從這個(gè)意義上，你別指望能在書中看到什么新的東西。但是，我會(huì)盡我的全力去總結(jié)所有偉大的思想者們共有的、思維的原則和方法，我認(rèn)為即便是他們自己在思考的時(shí)候也未必全都意識(shí)到自己在使用什么方法。
再后來，就到了近代，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，心理學(xué)最活躍的子學(xué)科——認(rèn)知科學(xué)——開始輝煌起來，人類開始向思維乃至自我意識(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)發(fā)起進(jìn)攻。兩位多才多藝的計(jì)算機(jī)科學(xué)家兼認(rèn)知科學(xué)家，Herbert Simon（另外還是經(jīng)濟(jì)學(xué)家）和Allen Newell寫出了世界上第一個(gè)一般性解題機(jī)的程序（GPS），雖然GPS只能解決很狹窄的一類問題，但這是第一個(gè)將“問題解決策略”和“知識(shí)”分離開來的程序。顯然，在知識(shí)之外，人類的思維是有著一些一般性的指導(dǎo)規(guī)則的。事實(shí)上，波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中寫道，歐拉是最重?cái)?shù)學(xué)思維的教學(xué)的，歐拉認(rèn)為如果不能把解決數(shù)學(xué)問題背后的思維過程教給學(xué)生的話，數(shù)學(xué)教學(xué)就是沒有意義的。
一些方法
這些一般性的思維方法，就是波利亞用了整整三本書，六卷本（《How To Solve It》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》）來試圖闡明的。波利 亞的書是獨(dú)特的，從小到大，我們看過的數(shù)學(xué)書幾乎無一不是歐幾里德式的：從定義到定理，再到推論。是屬于“順流而下”式的。這樣的書完全而徹底的扭曲了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真實(shí)過程。舉個(gè)例子，《證明與反駁：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》在附錄一中講了一個(gè)非常有趣的例子：柯西當(dāng)年試圖將函數(shù)的連續(xù)性從單個(gè)函數(shù)推廣到無窮級(jí)數(shù)上面去，即證明由無窮多個(gè)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的收斂級(jí)數(shù)本身也是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，柯西給出了一個(gè)巧妙的證明，似乎漂亮地解決了這個(gè)問題。然而傅立葉卻給出了一個(gè)噩夢般的三角函數(shù)的收斂級(jí)數(shù)，它的和卻并不是連續(xù)的。這令柯西大為頭疼，以至于延遲了他的數(shù)學(xué)分析教程的出版好些年。后來，賽德爾解決了這個(gè)問題：原來柯西在他看似無懈可擊的證明中非常隱蔽（他自己也不知覺的情況下）引入了一個(gè)潛在的假設(shè)，這個(gè)假設(shè)就是后來被稱為的“一致收斂”條件。當(dāng)時(shí)我看到這里就去翻我們的數(shù)學(xué)分析書，發(fā)現(xiàn)“一致收斂”這個(gè)概念第一次出現(xiàn)的時(shí)候是這樣寫的：定義：一致收斂...
所以說，從這個(gè)意義上，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》從歷史的角度再現(xiàn)了真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展過程，是一本極其難得的好書。而事實(shí)上，從真實(shí)的數(shù)學(xué) 歷史發(fā)展的角度去講授數(shù)學(xué)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)法的最佳方法。不過，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》的弱點(diǎn)是并沒有從思維的角度去再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程，而這正是波利亞所做的。
總結(jié)波利亞在書中提到的思維方法，尤其是《How To Solve It》中的啟發(fā)式思考方法，有這樣一些：
以上是我認(rèn)為最重要的，也是最具一般性的、放之四海都可用的思維法則。一些更為“問題特定”的，或更為現(xiàn)代的啟發(fā)法，可以參見《如何解題：現(xiàn)代啟發(fā)式方法》以及所有的算法書。不過，在結(jié)束這一節(jié)之前，還有兩個(gè)有趣的啟發(fā)法值得一提：
除了波利亞的書之外，陶哲軒的《Solving Mathematical Problems》也對(duì)解題的啟發(fā)式思路作了極有意義的介紹，他在書的第一章遵循波利亞的思路從一個(gè)具體的題目出發(fā)，介紹了如何運(yùn)用波利亞在書中提到的各種啟發(fā)式方法來對(duì)解題進(jìn)行嘗試。
一點(diǎn)思考
1. 聯(lián)想的法則
人類的大腦是一個(gè)復(fù)雜而精妙的器官，然而某種程度上，人類的大腦也是一個(gè)愚蠢的器官。如果你總結(jié)過你解過的一些有意義的好題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共同點(diǎn)：沒有用到你不知道的知識(shí)，然而那個(gè)最關(guān)鍵的、攸關(guān)成敗的知識(shí)點(diǎn)你就是想不到。所以你不禁要問，為什么明明這個(gè)知識(shí)在我腦子里（也就是說，明明我是“能夠”解決這個(gè)問題的），但我就是沒法想到它呢？“你是怎么想到的？”這是問題解決者最常問的一個(gè)問題。甚至對(duì)于熟練的解題者來說，這個(gè)問題的答案也并不總是很明確的，很可能他們自己也不清楚那個(gè)關(guān)鍵的想法是怎么“蹦”出來的。我們?cè)谒伎家粋€(gè)問題的時(shí)候，自己能意識(shí)到的思維部分似乎是很少的，絕大多數(shù)時(shí)候我們能感知到的就是一個(gè)一個(gè)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在意識(shí)層面顯現(xiàn)，我們的意識(shí)就像一條不連續(xù)的線，在其上的每一段之間那個(gè)空檔內(nèi)發(fā)生了什么我們一無所知，往往我們發(fā)現(xiàn)被卡在一個(gè)地方，我們苦思冥想，然后一個(gè)知識(shí)（也許是一個(gè)性質(zhì)，也許是一個(gè)定理）從腦子里冒了出來，或者說，被我們意識(shí)到，然后我們沿著這條路走一段，然后又卡住，然后又等待一個(gè)新的關(guān)鍵知識(shí)的出現(xiàn)。而至于這些知識(shí)是怎么冒出來的？我們可以對(duì)它們的“冒出來”提供怎樣的幫助？我們可以在意識(shí)層面做一些工作，幫助我們的下意識(shí)聯(lián)想到更多重要的知識(shí)嗎？那些靈光一現(xiàn)的瞬間，難道只能等待它們的出現(xiàn)？難道我們不能通過一些系統(tǒng)化的步驟去“捕獲”或“生成”它們？又或者我們能不能至少做些什么工作以使得它們更容易發(fā)生呢？
正如金出武雄在《像外行一樣思考，像專家一樣實(shí)踐》中所說的，人類的靈感一定是有規(guī)律的，認(rèn)知科學(xué)目前至少已經(jīng)確認(rèn)了人類思維的整個(gè)物質(zhì)基礎(chǔ)——神經(jīng)元。而既然它們是物質(zhì)，自然要遵循物質(zhì)的運(yùn)行規(guī)律。只不過我們目前還沒有窺破它們，但至少我們可以確信的是，它們?cè)谀抢?。事?shí)上，不需要借助于認(rèn)知科學(xué)，單單是通過對(duì)我們自己思維過程的自我觀察，也許就已經(jīng)能夠總結(jié)出一些重要的規(guī)律了，也許，對(duì)自身思維過程的反觀真的是人有別于其它動(dòng)物的本質(zhì)區(qū)別。
《專注力》當(dāng)中有這樣一個(gè)例子：一天夜里，你被外面的吵鬧聲叫醒了，你出去一看，發(fā)現(xiàn)有一群人，其中有一個(gè)人開著很名貴的轎車，他跟你說他們正在玩一個(gè)叫“拾荒者”的游戲，由于一些原因，他必須要贏這個(gè)游戲，現(xiàn)在他需要一塊1.5m*1m的木板，如果你能幫忙的話，愿以一萬美元酬報(bào)。你怎么辦？被測試的大多數(shù)人都沒有想到，只要把門拆給他就可以了（如果你想到了，祝賀你:-)），也許你會(huì)說現(xiàn)在的門都是鋼的，沒關(guān)系，那你有沒有想到床板、立柜的門、大桌子的桌面之類的？這個(gè)問題測試的就是心理學(xué)上所謂的“范疇陷阱”，“木板”這個(gè)名詞在你腦子里的概念中如果是指“那些沒有加工的，也許放在木材廠門口的，作為原材料的木板”的話，那么“木板”就會(huì)迅速在你的下意識(shí)里面建立起一個(gè)搜索范疇，你也會(huì)迅速的反應(yīng)到“這深更半夜叫我上哪去找木板呢？”如果你一下就想到了，那么很大的可能性是“木板”這個(gè)概念在你腦子里的范疇更大，更抽象，也許包含了所有“木質(zhì)的、板狀的東西”。
這就是聯(lián)想的法則。
我們的大腦無時(shí)無刻不在對(duì)事物進(jìn)行歸類，實(shí)際上，不僅是事物，一切知識(shí)，都在被自動(dòng)的歸類。在有關(guān)對(duì)世界的認(rèn)知方面，被稱為認(rèn)知圖式，我們根據(jù)既有的知識(shí)結(jié)構(gòu)來理解這個(gè)世界，會(huì)帶來很大的優(yōu)勢。實(shí)際上，模塊化是一個(gè)重要的降低復(fù)雜性的手段。然而，知識(shí)是一把雙刃劍，一方面，它們提供給了我們解決問題的無以倫比的捷徑優(yōu)勢，“磚頭是砌墻的”，于是我們遇到砌墻這個(gè)問題的時(shí)候就可以迅速利用磚頭。然而另一方面，知識(shí)卻也是思維的桎梏。思維定勢就是指下意識(shí)遵循既有知識(shí)框架思考的過程。上面的那個(gè)木板的例子也是思維定勢的例子。每一個(gè)知識(shí)都是一個(gè)優(yōu)勢，同時(shí)又是一個(gè)束縛。著名的科幻作家阿瑟·克拉克有一句名言：如果一位德高望重的老科學(xué)家說某個(gè)事情是不可能的，那么他很可能是錯(cuò)的。所以，如何在獲取知識(shí)優(yōu)勢的同時(shí)，防止被知識(shí)束縛住，是一門技術(shù)。
掌握這門技術(shù)的鑰匙，就是抽象。在吸收知識(shí)的時(shí)候進(jìn)行抽象，同時(shí)在面對(duì)需要用到知識(shí)的新問題時(shí)也要對(duì)問題進(jìn)行抽象。就以大家都知道的“磚頭”有多少種用途為例，據(jù)說這道題目是用于測試人的發(fā)散思維的，能聯(lián)想到的用途越多，思維定勢就越小。實(shí)際上，借助于抽象這個(gè)利器，這類題目（乃至更廣的一類問題）是可以系統(tǒng)性的進(jìn)行求解的，我們只需對(duì)磚頭從各個(gè)屬性維度進(jìn)行抽象。譬如，磚頭是——長方形的（長方形的東西有什么用途？還有哪些東西也是長方形的，它們都有什么用途？）、有棱角的（問題同上）、堅(jiān)硬的、固體、有一定大小的體積的、紅色的、邊界線條平直的、有一定重量的...對(duì)于每一個(gè)抽象，我們不妨聯(lián)想還有其他什么物體也是具有同樣抽象性質(zhì)的，它們具有同樣的用途嗎？當(dāng)然，除了抽象之外，還有“修改”，我們可以在各個(gè)維度上對(duì)磚頭的屬性進(jìn)行調(diào)整，以期得到新的屬性：譬如大小可以調(diào)整、固體可以調(diào)整為碎末、棱角可以打磨、重量也可以調(diào)整、形狀也可以調(diào)整...然后看看新的屬性可以如何聯(lián)想開去。
除了這個(gè)簡單的例子之外，我們也不妨看一看一些算法上的例子，同樣一個(gè)算法，不同的人來理解，也許你腦子里記得的是某個(gè)特定的巧妙技巧（也許這個(gè)技巧在題目的某步關(guān)鍵的地方出現(xiàn)，從而帶來了最令人意外的轉(zhuǎn)折點(diǎn)），然而另一人個(gè)記得得也許是“遞歸”這種手法，還有另外一個(gè)人記得的也許是“分治”這種更一般化的解題思路。從不同的抽象層面去掌握這道題目的知識(shí)信息，以后遇到類似的問題，你能夠想起這道題所提供的知識(shí)的可能性是有極大的差異的。《Psychology of ProblemSolving》的第11章舉了這樣一個(gè)例子：先讓被試（皆為大學(xué)生）閱讀一段軍事材料，這個(gè)材料是說一小撮軍隊(duì)如何通過同時(shí)從幾個(gè)不同方向小規(guī)模攻擊來擊潰一個(gè)防守嚴(yán)實(shí)的軍事堡壘的。事實(shí)上這個(gè)例子的本質(zhì)是對(duì)一個(gè)點(diǎn)的同時(shí)的弱攻擊能夠集聚成強(qiáng)大的力量。然后被試被要求解決一個(gè)問題：一個(gè)醫(yī)生想要用X射線殺死一個(gè)惡性腫瘤，這個(gè)腫瘤只可以通過高強(qiáng)度的X射線殺死，然而那樣的話就會(huì)傷及周圍的良好組織。醫(yī)生應(yīng)該怎么辦呢？在沒有給出先前的軍隊(duì)的例子的被試中只有10%想到答案，這是控制基線。然后，在先前學(xué)習(xí)了軍隊(duì)例子的被試中，這個(gè)比例也僅僅只增加到30%，也就是說只有額外20%的人“自動(dòng)”地將知識(shí)進(jìn)行了轉(zhuǎn)移。最后一組是在提醒之下做的，達(dá)到了75%，即比“自動(dòng)”轉(zhuǎn)移組增加了45%之多。這個(gè)例子說明，知識(shí)的表象細(xì)節(jié)會(huì)迷惑我們的眼睛，阻礙我們對(duì)知識(shí)的運(yùn)用，在這個(gè)例子中是阻礙問題之間的類比。
而抽象，則正是對(duì)非本質(zhì)細(xì)節(jié)去枝減葉的過程，抽象是我們?cè)谡莆罩R(shí)和解決問題時(shí)候的一把有力的奧卡姆剃刀。所以，無論是在解題還是在學(xué)習(xí)的過程中，問自己一個(gè)問題“我是不是已經(jīng)掌握了這個(gè)知識(shí)最深刻最本質(zhì)的東西”是非常有益的。
2. 知識(shí)，知識(shí)
如果你是一個(gè)熟練的解題者，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了一些非常一般性的、本質(zhì)的思維法則之外，將不同“能力”的解題者區(qū)分開來的，實(shí)際上還是知識(shí)。知識(shí)是解題過程中的羅塞塔碑石。一道幾何題為什么歐幾里德能夠做出來我們不能，是因?yàn)闅W幾里德比我們所有人都更了解幾何圖形有哪些性質(zhì)，借助于一個(gè)性質(zhì)，他很容易就能抵達(dá)問題的彼岸；反之，對(duì)于不知道某個(gè)性質(zhì)的我們，倒過來試圖“發(fā)現(xiàn)”需要這樣的性質(zhì)有時(shí)幾乎是不可能的。有人說數(shù)學(xué)是在黑暗中摸索的學(xué)科，是有道理的。并不是所有的問題都能夠通過演繹、歸納、類比等手法解出來的。這方面，費(fèi)馬大定理就是一個(gè)絕好的例子，《費(fèi)馬大定理：一個(gè)困惑了世間智者358年的謎》一書描述了費(fèi)馬大定理從誕生到被解決的整個(gè)過程，事實(shí)上，通過對(duì)費(fèi)馬大定理本身的考察，幾乎是毫無希望解決這個(gè)問題的，我們根本不能推導(dǎo)出“好，這里我只需要這樣一個(gè)性質(zhì)，就可以解決它了”，也許大多數(shù)時(shí)候我們可以，但那或者是因?yàn)槲覀冇幸阎闹R(shí)，或者這樣的歸約很顯然。而對(duì)于一些致命的問題，譬如費(fèi)馬大定理，最重要的歸約卻是由別人在根本不是為了解決費(fèi)馬大定理的過程中得出來的。運(yùn)氣好的話，我們?cè)诩扔械闹R(shí)系統(tǒng)中會(huì)有這樣的定理可以用于歸約，運(yùn)氣不好的話，就得去摸索了。
所幸的是，絕大多數(shù)問題并不像費(fèi)馬大定理這樣難以解決。而且絕大多數(shù)問題需要用到的知識(shí)，在現(xiàn)有的知識(shí)系統(tǒng)里面都是存在的。我們只要掌握得足夠好，就有希望聯(lián)想起來，并用于解題。
當(dāng)然，也有許多題目，求解它們的那個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)可以通過考察題目本身蘊(yùn)涵的條件來獲得，這類題目就是測試思維本身的能力的好題目了。而如果這個(gè)性質(zhì)根本無法通過對(duì)題目本身的考察得出來，那么這個(gè)題目測試的就是知識(shí)儲(chǔ)備以及聯(lián)想能力。
3. 好題目、壞題目
在我看來，好題目即測試一個(gè)人思維的習(xí)慣的題目（因?yàn)橹R(shí)性的東西是更容易彌補(bǔ)的，尤其是在這樣一個(gè)年代；而好習(xí)慣不是一朝一夕養(yǎng)成的），它應(yīng)有這樣一些性質(zhì)：
而壞題目呢：
出題的誤區(qū)：
4. 一個(gè)好習(xí)慣
在解題的過程中，除了必要條件——知識(shí)儲(chǔ)備——之外，對(duì)于一些并不涉及什么你不知道的定理的題，很大程度上就要看思維能力或者習(xí)慣了。而在思考一個(gè)問題的時(shí)候，最容易犯的一類錯(cuò)誤就是忘了考慮某種可能性，不管這種可能性是另一種做法（譬如只顧著構(gòu)造一個(gè)能一步得出結(jié)果的算法，沒記得還可以從錯(cuò)誤情況逼近。譬如只顧著正著推導(dǎo)，卻忘了可以反過來推。只顧著反過來推，居然忘了可以考察簡單特例。試了各種手法，卻發(fā)現(xiàn)忘了考慮題目的某個(gè)條件。覺得試遍了所有可能性，已經(jīng)走不下去了，然后其實(shí)在思維的早些時(shí)候就已經(jīng)落入了思維陷阱。等等）事實(shí)上，即便是一個(gè)熟練的解題者也容易犯顧此失彼的問題，因?yàn)槲覀円坏┮庾R(shí)到一個(gè)看似能夠得到結(jié)論的解法，整個(gè)注意力就容易被吸引過去，而由于推導(dǎo)的路徑是很長的，所以很容易在一條路上走到黑，試圖再往下走一步就得出解。卻忘了回過頭來看看再更高的層面上還有沒有其它手法，思路上有沒有其他可能性。
而對(duì)于像我這樣目前尚不諳熟所有思維方法的人來說，則更容易犯這樣的錯(cuò)誤。為了避免這樣的錯(cuò)誤，一個(gè)有效的辦法就是將自己的思考過程（中的重要環(huán)節(jié)）清晰的寫在紙上（稱為“看得見的思考”），這有如下幾個(gè)好處：
一句結(jié)尾
“我想我就在這里結(jié)束”——如果你知道我在說什么的話:-)
聯(lián)系客服
