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上期文章《世界是非線性的之一（啥是非線性）》簡單了解了《非線性動力學(xué)》的三個主要內(nèi)容：分岔、混沌和分形。結(jié)論如下：

1) 世界是非線性的，復(fù)雜、不完美，但非常迷人，哪怕簡單到“三體”運(yùn)動問題，想搞清楚都非常不容易，保持謙卑吧；

2) 只能進(jìn)行線性思維的人真是挺笨的，數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語言也挺蒼白無力的，我們對所處的非線性世界知之甚少；

3) 雖然蠢笨如此，面對復(fù)雜的非線性世界，我們?nèi)阅芄苤懈Q豹，得到一些偉大的發(fā)現(xiàn)，并在這個非線性的世界中獲得生存和發(fā)展。

這期文章我們再討論一下分岔問題。

采用靜力法、動力法或變分法均可得到兩端鉸接壓桿臨界承載力的解析解如下：

多簡潔且漂亮的公式，多偉大的歐拉！

但歐拉穩(wěn)定公式不能被直接用于實(shí)際工程設(shè)計，否則很可能會出工程事故。原因是歐拉穩(wěn)定公式存在如下前提假定：

1）材料彈性假定：彈性模量保持為常量

2）理想邊界約束假定：構(gòu)件兩端為理想固接或鉸接

3）理想均勻直桿假定：構(gòu)件無初始應(yīng)力、初始缺陷、初始偏心或初始變形

4）小變形假定：構(gòu)件橫向變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件軸向長度

5）平截面假定：構(gòu)件受力變形后截面仍保持為平面

6）一維正應(yīng)力假定：構(gòu)件受力變形后，橫向正應(yīng)力始終為0

采用這些前提假定，可以回避非線性世界的復(fù)雜性，大幅度簡化問題，也才能列出簡單的數(shù)學(xué)公式并得到解析解。這些前提假定既帶來了方便，也隱藏了問題，而且問題可能還挺大。要牢記一點(diǎn)：

公式越簡單，前提假定越多，離現(xiàn)實(shí)非線性世界的真解不是越近，而是越遠(yuǎn)！

按照歐拉穩(wěn)定公式：

按照《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》GB 50017-2017第8.2.1條規(guī)定的實(shí)腹式壓彎構(gòu)件平面內(nèi)穩(wěn)定性計算公式：

可以看出歐拉穩(wěn)定公式夸大的一倍的臨界承載力。原因就是歐拉穩(wěn)定公式存在前提假定，而這些前提假定并不天然，甚至可能誤導(dǎo)認(rèn)知。

我們再來用非線性分析方法對上述壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行有限單元法求解，結(jié)果如下所示：

可以看出，考慮幾何非線性、不考慮材料非線性得到的二階分析極限承載力會逼近一階分析（歐拉穩(wěn)定公式求解）結(jié)果；而同時考慮幾何非線性和材料非線性直接分析得到的極限承載力與《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》8.2.1條給出的“查表法”結(jié)果接近，只有一階分析、二階分析結(jié)果的50%左右，該結(jié)果的正確性可經(jīng)由試驗(yàn)驗(yàn)證。

據(jù)此可以得到如下認(rèn)識：

1、世界是非線性的，“完美”理論很難得到“真解”；

2、歐拉穩(wěn)定公式對應(yīng)的“分岔點(diǎn)穩(wěn)定問題”并不天然存在，實(shí)際情況均為“全過程穩(wěn)定問題”；

3、算力的進(jìn)步讓我們有機(jī)會更好地實(shí)現(xiàn)對非線性世界的仿真模擬。

生活中有很多突然的變化，例如桿件突然屈曲了、房子突然倒了、領(lǐng)導(dǎo)突然給漲工資了或者人突然就瘋了。這些分岔問題往往被我們理解為“突然”的“分岔點(diǎn)穩(wěn)定問題”；若更精細(xì)地分析會發(fā)現(xiàn)，這些其實(shí)都是“漸變”的“全過程穩(wěn)定問題”。桿件屈曲只是在較短時間內(nèi)位移快速增大過程的粗糙描述；漲工資不會因?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)一時心血來潮，肯定是你之前干的不錯，領(lǐng)導(dǎo)希望你以后更加好好干；人精神崩潰也肯定是長期壓力積聚的結(jié)果。

如何駕馭生活中的分岔問題呢？心細(xì)一點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵變量的快速變化，把握住關(guān)鍵變量導(dǎo)數(shù)反號時的“從量變到質(zhì)變”臨界點(diǎn)。