最近收到很多讀者的私信，咨詢?nèi)绾卫檬罴賹W(xué)好動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的中考試題。的確，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題對(duì)于中考數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，實(shí)在是太重要，重要到?jīng)]有掌握好動(dòng)點(diǎn)，似乎就與數(shù)學(xué)高分無(wú)緣。
動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最大的特點(diǎn)就是綜合性強(qiáng)、知識(shí)容量大、解法靈活，以及蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法等，除了能很好考查考生的知識(shí)掌握程度之外，更可以全面考查考生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，能起到很好區(qū)分的作用，自然受到命題的老師的青睞。
動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一般會(huì)是以運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個(gè)或多個(gè)變量，要求確定變量與其他量之間的函數(shù)等其他關(guān)系；或變量在一定條件為定值時(shí)，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和綜合解答。要想正確解決此類問(wèn)題，需要學(xué)生能根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和圖形的變化過(guò)程，對(duì)其不同情況進(jìn)行分類求解。
縱觀全國(guó)各地的教材版本，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)一般都會(huì)安排在初三進(jìn)行，因此新初三生要想在暑假里攻克動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該把主要精力集中在幾何類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題上面。
與幾何有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)類綜合問(wèn)題主要是以幾何知識(shí)和具體的幾何圖形為背景，在幾何圖形中滲透運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)、線、形的運(yùn)動(dòng)，圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等等把圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系看作是在變化的、相互依存的狀態(tài)之中。
從中考數(shù)學(xué)命題的角度來(lái)講，幾何類動(dòng)點(diǎn)綜合題型不僅要求考生具有一定層次和深度的推理能力，更對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、基本圖形分析能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力等提出了挑戰(zhàn)。
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=4x/3+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒5/3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；
②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)分析：
一次函數(shù)綜合題；數(shù)形結(jié)合。
題干分析：
（1）讓y=0求得x的值可得A的坐標(biāo)，（0，b）為B的坐標(biāo)，讓y=b/2可得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線解析式可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）由△AMN∽△ABO，得出△MPH的面積，再利用由△HPE∽△HFM，表示出△PEH的面積，即可得出答案．
（3）當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．
解題反思：
此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分析時(shí)注意不要漏解．
如圖，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B 出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)BP＝x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)分析：
等腰梯形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；菱形的性質(zhì)；解直角三角形．
題干分析：
（1）作AE⊥BC，根據(jù)題意可知BE的長(zhǎng)度，然后，根據(jù)∠B的正弦值，即可推出AB的長(zhǎng)度；
（2）作QF⊥BC，根據(jù)題意推出BP＝CQ，推出CP關(guān)于x的表達(dá)式，然后，根據(jù)∠C的正弦值推出高QF關(guān)于x的表達(dá)式，即可推出面積關(guān)于x的二次函數(shù)式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可推出x的值；
（3）首先假設(shè)存在M點(diǎn)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)推出，∠B＝∠APB＝∠BAP＝45°，這是不符合三角形內(nèi)角和定理的，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，故AB上不存在M點(diǎn)．
解題反思：
本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的最值、內(nèi)角和定理、菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形畫出相應(yīng)的輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理即可。
如圖，∠C=90°，點(diǎn)A．B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止．當(dāng)點(diǎn)P與B．C兩點(diǎn)不重合時(shí)，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F(xiàn)為射線CB上一點(diǎn)，且∠CEF=∠ABC．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）．
（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長(zhǎng)．
（2）求點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)x的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時(shí)，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)x為某個(gè)值時(shí)，沿PD將以D．E．F．B為頂點(diǎn)的四邊形剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形．請(qǐng)直接寫出所有符合上述條件的x值．
考點(diǎn)分析：
相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．
題干分析：
（1）首先證明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式進(jìn)而得出表示CE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)C=BC，即可得出答案；
（3）首先證明Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，得出DO/DE=CE/CF，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)三角形邊長(zhǎng)相等得出答案．
解題反思：
此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和矩形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意得出△ABC∽△DBP∽△FEC以及Rt△DOE∽R(shí)t△CEF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
如圖，已知一次函數(shù)y=－x+7與正比例函數(shù)y=4x/3的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O﹣C﹣A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)分析：
一次函數(shù)綜合題.
題干分析：
（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法直接得出即可，再利用直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，表示出各部分的邊長(zhǎng)，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，進(jìn)而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
解題反思：
此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法以及三角形面積求法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，利用函數(shù)圖象表示出各部分長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
在歷年中考數(shù)學(xué)當(dāng)中，與幾何相關(guān)的問(wèn)題一直是一個(gè)必考的熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，特別是像一些綜合類問(wèn)題，不僅包含眾多的知識(shí)點(diǎn)，更需要通過(guò)添加輔助線來(lái)解決；需要考生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成基本圖形來(lái)解決等。這些都對(duì)考生的推理能力、邏輯思維能力、基本圖形分析能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力等提出要求，這也是中考的目的之一。
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