質(zhì)數(shù) - 數(shù)學(xué)名詞 編輯詞條
一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫作質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)）
基本信息
中文名稱
質(zhì)數(shù)
外文名稱
Prime Number
別名
素?cái)?shù)
目錄
1相關(guān)定理
2未解之謎
3數(shù)目證明
4著名問(wèn)題
5素?cái)?shù)應(yīng)用
6最新成果
7素?cái)?shù)表
基本信息
質(zhì)數(shù)最小的素?cái)?shù)是2，也是素?cái)?shù)中唯一的偶數(shù)；其他素?cái)?shù)都是奇數(shù)。素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)，所以不存在最大的素?cái)?shù)。
圍繞著素?cái)?shù)存在很多問(wèn)題、猜想和定理。著名的有孿生素?cái)?shù)猜想和哥德巴赫猜想。
素?cái)?shù)序列的開(kāi)頭是這樣的：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151
素?cái)?shù)集合有時(shí)表示成粗體。
在抽象代數(shù)的一個(gè)分支－環(huán)論中，素元素有特殊的含義，在這個(gè)含義下，任何素?cái)?shù)的加法的逆轉(zhuǎn)也是素?cái)?shù)。換句話說(shuō)，將整數(shù)Z的集合看成是一個(gè)環(huán)，-Z是一個(gè)素元素。但是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，提到素?cái)?shù)時(shí)通常指正的素?cái)?shù)。
算術(shù)基本定理證明每個(gè)大于1的正整數(shù)都可以寫成素?cái)?shù)的乘積，并且這種乘積的形式是唯一的。因此素?cái)?shù)也被稱為自然數(shù)的“建筑的基石”。
質(zhì)數(shù)例如：
關(guān)于分解的詳細(xì)方法，可見(jiàn)于整數(shù)分解條目。
這個(gè)定理的重要一點(diǎn)是，將1排斥在素?cái)?shù)集合以外。如果1被認(rèn)為是素?cái)?shù)，那么這些嚴(yán)格的闡述就不得不加上一些限制條件。
0由于可以被任何數(shù)整除（合數(shù)）（因余數(shù)一定等于0），所以它不符合素?cái)?shù)的定義。
相關(guān)定理編輯本段
素?cái)?shù)定理
素?cái)?shù)定理描述素?cái)?shù)素?cái)?shù)的大致分布情況。 素?cái)?shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個(gè)個(gè)地看，素?cái)?shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒(méi)有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)竟然有規(guī)可循。對(duì)正實(shí)數(shù)x，定義π(x)為不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來(lái)估計(jì)π(x)的增長(zhǎng)。以下是第一個(gè)這樣的估計(jì)。 π(x)≈x/ln x 其中l(wèi)n x為x的自然對(duì)數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨 近1（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。 下面是對(duì)π(x)更好的估計(jì)： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，當(dāng) x 趨近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而關(guān)系式右邊第二項(xiàng)是誤差估計(jì)?！?/p>
質(zhì)數(shù)
素?cái)?shù)定理可以給出第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)的漸近估計(jì)：p(n)～n/ln n. 它也給出從整數(shù)中抽到素?cái)?shù)的概率。從不大于n的自然數(shù)隨機(jī)選一個(gè)，它是素?cái)?shù)的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德提出。1896年法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪(Jacques Hadamard)和比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨(dú)立給出證明。證明用到了復(fù)分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。 因?yàn)槔杪坪瘮?shù)與π(x)關(guān)系密切，關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想對(duì)數(shù)論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進(jìn)素?cái)?shù)定理誤差的估計(jì)。1901年瑞典數(shù)學(xué)家Helge von Koch證明出，假設(shè)黎曼猜想成立，以上關(guān)系式誤差項(xiàng)的估計(jì)可改進(jìn)為 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O項(xiàng)的常數(shù)則還未知道?！?/p>
素?cái)?shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個(gè)初等證明於1949年由匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·艾狄胥（“愛(ài)爾多斯”，或“愛(ài)爾多?！保┖团餐?shù)學(xué)家阿特利·西爾伯格合作得出。 在此之前一些數(shù)學(xué)家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學(xué)的初等證明。像英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代便說(shuō)過(guò)素?cái)?shù)定理必須以復(fù)分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認(rèn)為只用到實(shí)數(shù)不足以解決某些問(wèn)題，必須引進(jìn)復(fù)數(shù)來(lái)解決。這是憑感覺(jué)說(shuō)出來(lái)的，覺(jué)得一些方法比別的更高等也更厲害，而素?cái)?shù)定理的初等證明動(dòng)搖了這論調(diào)。Selbearg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學(xué)，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到復(fù)分析的證明遠(yuǎn)為困難。
算術(shù)基本定理
任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這里P_1<p_2<...<p_n是素?cái)?shù)，其諸方冪 ai="" 是正整數(shù)。
這樣的分解稱為N 的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
算術(shù)基本定理的內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數(shù)分解為素?cái)?shù)乘積的方式是唯一的）。
算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一個(gè)基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。
此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。高斯證明復(fù)整數(shù)環(huán)Z也有唯一分解定理。它也誘導(dǎo)了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念。 更一般的還有戴德金理想分解定理。
素?cái)?shù)等差數(shù)列
等差數(shù)列是數(shù)列的一種。在等差數(shù)列中，任何相鄰兩項(xiàng)的差相等。該差值稱為公差。類似7、37、67、97、107、137、167、197。這樣由素?cái)?shù)組成的數(shù)列叫做等差素?cái)?shù)數(shù)列。2004年，格林和陶哲軒證明存在任意長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差數(shù)列。2004年4月18日，兩人宣布：他們證明了“存在任意長(zhǎng)度的素?cái)?shù)等差數(shù)列”，也就是說(shuō)，對(duì)于任意值K，存在K個(gè)成等差級(jí)數(shù)的素?cái)?shù)。例如 K=3，有素?cái)?shù)序列3, 5, 7 （每?jī)蓚€(gè)差2）……K=10，有素?cái)?shù)序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每?jī)蓚€(gè)差210）。
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列與等差合數(shù)數(shù)列
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列與合數(shù)數(shù)列是相對(duì)應(yīng)的。
等差合數(shù)數(shù)列，在整數(shù)遞增等差數(shù)列中，當(dāng)首項(xiàng)能被公差或公差分解出來(lái)的素因子整除時(shí)，該等差數(shù)列只有首項(xiàng)可以為素?cái)?shù)，其余項(xiàng)皆為合數(shù)，除首項(xiàng)的素?cái)?shù)外，我們稱其余項(xiàng)為合數(shù)等差數(shù)列。
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列，在整數(shù)遞增等差數(shù)列中，當(dāng)首項(xiàng)不能被公差或公差分解出來(lái)的素因子整除時(shí)，該等差數(shù)列是能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列。
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)，以公差而定，如公差為30時(shí)，公差30=2*3*5，在30之內(nèi)不能被30或30公解出來(lái)的素因子2，3，5分別整除的數(shù)為：1*2*4=8個(gè)數(shù)1，7，11，13，17，19，23，29，即，以這8個(gè)數(shù)為首項(xiàng)，以30為公差能夠組成8個(gè)能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列。
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列的拆分：即增加公差內(nèi)的素因子個(gè)數(shù)，將一個(gè)能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列拆分為多個(gè)能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列，如1+30N拆分為以210為公差，以1，31，61，121，151，181為首項(xiàng)的6個(gè)能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列。
能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列猜想，從首項(xiàng)起取公差中最大素因子的值相同的項(xiàng)，能夠產(chǎn)生新的素?cái)?shù)。
即，能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列永遠(yuǎn)存在，表明素?cái)?shù)永遠(yuǎn)存在。
已經(jīng)被證明的定理
在一個(gè)大于1的數(shù)a和它的2倍之間(即區(qū)間(a, 2a]中)必存在一個(gè)素?cái)?shù)。
存在任意長(zhǎng)度的素?cái)?shù)等差數(shù)列。(格林和陶哲軒，2004年)
一個(gè)偶數(shù)可以寫成兩個(gè)數(shù)字之和，其中每一個(gè)數(shù)字都最多祇有9個(gè)質(zhì)因數(shù)。(挪威數(shù)學(xué)家布朗，1920年)
一個(gè)偶數(shù)必定可以寫成一個(gè)素?cái)?shù) p 加上一個(gè)合成數(shù) c ，其中 c 的因子個(gè)數(shù)有上界。(瑞尼，1948年)
一個(gè)偶數(shù)必定可以寫成一個(gè)素?cái)?shù)加上一個(gè)最多由5個(gè)因子所組成的合成數(shù)。后來(lái)，有人簡(jiǎn)稱這結(jié)果為 (1 + 5) (中國(guó)潘承洞，1968年)
一個(gè)充分大偶數(shù)必定可以寫成一個(gè)素?cái)?shù)加上一個(gè)最多由2個(gè)質(zhì)因子所組成的合成數(shù)。簡(jiǎn)稱為 (1 + 2) (中國(guó)陳景潤(rùn))
素?cái)?shù)算法
欲求出小于x的所有素?cái)?shù)參見(jiàn)素?cái)?shù)公式。
如何在最少的數(shù)字中，以最少的計(jì)算步驟尋找到M內(nèi)的所有素?cái)?shù)，請(qǐng)搜索《中國(guó)特色的素?cái)?shù)研究》，只在M內(nèi)的部分?jǐn)?shù)中，素?cái)?shù)不須要運(yùn)算，一個(gè)合數(shù)只須要計(jì)算一個(gè)乘法，合數(shù)不進(jìn)行重復(fù)刪除，該方法適用于大范圍。
為什么說(shuō)該方法是最先進(jìn)、是科學(xué)的素?cái)?shù)尋找方法？因?yàn)?，這里每刪除的一個(gè)數(shù)，并不是一個(gè)單獨(dú)的合數(shù)，而是一個(gè)合數(shù)等差數(shù)列的首項(xiàng)，即每刪除的一個(gè)數(shù)都是刪除的一個(gè)合數(shù)等差數(shù)列：保留的是所有能夠產(chǎn)生素?cái)?shù)的等差數(shù)列。這就是它的先進(jìn)性與科學(xué)性。
而 試除法，如尋找9409到10201中的1個(gè)素?cái)?shù)，試除法必然運(yùn)算16個(gè)除法題；尋找994009到1018081中的一個(gè)素?cái)?shù)必然運(yùn)算168個(gè)除法。還存在合數(shù)的多個(gè)運(yùn)算。
未解之謎編輯本段
哥德巴赫猜想：是否每個(gè)大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之間的和？
孿生素?cái)?shù)猜想：孿生素?cái)?shù)就是差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如11和13。是否存在無(wú)窮多的孿生素?cái)?shù)？
斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無(wú)窮多的素?cái)?shù)？
是否存在無(wú)窮多的梅森素?cái)?shù)？
在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個(gè)素?cái)?shù)？
是否存在無(wú)窮個(gè)形式如X2+1素?cái)?shù)？
數(shù)目證明編輯本段
素?cái)?shù)的無(wú)窮性的證明
素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。最經(jīng)典的證明由歐幾里得證得，在他的《幾何原本》中就有記載。它使用了現(xiàn)在證明常用的方法：反證法。具體的證明如下：
假設(shè)素?cái)?shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè) N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。
如果N+1為素?cái)?shù)，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
如果N+1為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
因此無(wú)論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。
對(duì)任何有限個(gè)素?cái)?shù)的集合來(lái)說(shuō)，用上述的方法永遠(yuǎn)可以得到有一個(gè)素?cái)?shù)不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中的結(jié)論。
所以原先的假設(shè)不成立。也就是說(shuō)，素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。
其他數(shù)學(xué)家也給出了他們自己的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫(kù)默的證明更為簡(jiǎn)潔，Hillel Furstenberg則用拓?fù)鋵W(xué)加以了證明。
對(duì)于一定范圍內(nèi)的素?cái)?shù)數(shù)目的計(jì)算
盡管整個(gè)素?cái)?shù)是無(wú)窮的，仍然有人會(huì)問(wèn)“100000以下有多少個(gè)素?cái)?shù)?”，“一個(gè)隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素?cái)?shù)?”。素?cái)?shù)定理可以回答此問(wèn)題。
檢驗(yàn)素?cái)?shù)
檢查一個(gè)正整數(shù)N是否為素?cái)?shù)，最簡(jiǎn)單的方法就是試除法，將該數(shù)N用小于等于根號(hào)N的所有素?cái)?shù)去試除，若均無(wú)法整除，則N為素?cái)?shù)，參見(jiàn)素?cái)?shù)判定法則。
2002年，印度人M. Agrawal、N. Kayal以及N. Saxena提出了AKS素?cái)?shù)測(cè)試算法，證明了可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)檢驗(yàn)是否為素?cái)?shù)。
著名問(wèn)題編輯本段
哥德巴赫猜想
在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。今日常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤(rùn)證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"?！?/p>
今日常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，亦稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。
從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數(shù)都可寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。
若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對(duì)的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對(duì)的。若哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時(shí)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇素?cái)?shù)都能寫成三個(gè)素?cái)?shù)的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素?cái)?shù)定理”，數(shù)學(xué)家認(rèn)為弱哥德巴赫猜想已基本解決。
黎曼猜想
黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特列出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．其中第8問(wèn)題中便有黎曼假設(shè)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布并沒(méi)有簡(jiǎn)單的規(guī)律。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)ζ(s)非平凡零點(diǎn)（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點(diǎn)的值）的實(shí)數(shù)部份是1/2。即所有非平凡零點(diǎn)都應(yīng)該位于直線1/2 + ti（“臨界線”（critical line））上。t為一實(shí)數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。至今尚無(wú)人給出一個(gè)令人信服的關(guān)于黎曼猜想的合理證明。
在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line。 運(yùn)用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上。
黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在證明素?cái)?shù)定理的過(guò)程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數(shù)的零點(diǎn)都在直線Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因?yàn)檫@對(duì)他證明素?cái)?shù)定理影響不大。但這一問(wèn)題至今仍然未能解決，甚至于比此假設(shè)簡(jiǎn)單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問(wèn)題都依賴于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè)，則可帶動(dòng)許多問(wèn)題的解決。
孿生素?cái)?shù)猜想
1849年，波林那克提出孿生素?cái)?shù)猜想（the conjecture of twin primes），即猜測(cè)存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)。
猜想中的“孿生素?cái)?shù)”是指一對(duì)素?cái)?shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素?cái)?shù)。
費(fèi)馬數(shù)2^(2^n)+1
被稱為“17世紀(jì)最偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家”的費(fèi)馬，也研究過(guò)素?cái)?shù)的性質(zhì)。他發(fā)現(xiàn)，設(shè)Fn=2^(2^n)+1，則當(dāng)n分別等于0、1、2、3、4時(shí)，F(xiàn)n分別給出3、5、17、257、65537，都是素?cái)?shù)，由于F5太大（F5=4294967297），他沒(méi)有再往下檢測(cè)就直接猜測(cè)：對(duì)于一切自然數(shù)，F(xiàn)n都是素?cái)?shù)。這便是費(fèi)馬數(shù)。費(fèi)馬死后67年，25歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明：F5是一個(gè)合數(shù)。
以后的Fn值，數(shù)學(xué)家再也沒(méi)有找到哪個(gè)Fn值是素?cái)?shù)，全部都是合數(shù)。目前由于平方開(kāi)得較大，因而能夠證明的也很少。現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們?nèi)〉肍n的最大值為：n=1495，其位數(shù)多達(dá)10^10584位，當(dāng)然它盡管非常之大，但也不是個(gè)素?cái)?shù)。
梅森素?cái)?shù)
17世紀(jì)還有位法國(guó)數(shù)學(xué)家叫梅森，他曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)猜想：當(dāng)2^p-1 中的p是素?cái)?shù)時(shí)，2^p-1是素?cái)?shù)。他驗(yàn)算出了：當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時(shí)，所得代數(shù)式的值都是素?cái)?shù)，后來(lái)，歐拉證明p=31時(shí)，2^p-1是素?cái)?shù)。 p=2，3，5，7時(shí)，2^p-1都是素?cái)?shù)，但p=11時(shí)，所得2047=23×89卻不是素?cái)?shù)。
梅森去世250年后，美國(guó)數(shù)學(xué)家科勒證明，2^67-1=193707721×761838257287，是一個(gè)合數(shù)。這是第九個(gè)梅森數(shù)。20世紀(jì)，人們先后證明：第10個(gè)梅森數(shù)是素?cái)?shù)，第11個(gè)梅森數(shù)是合數(shù)。素?cái)?shù)排列得雜亂無(wú)章，也給人們尋找素?cái)?shù)規(guī)律造成了困難。
目前最大的已知素?cái)?shù)是梅森素?cái)?shù)2^43112609－1（此數(shù)字位長(zhǎng)度是12978189，它是在2008年8月23日由GIMPS發(fā)現(xiàn)。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)47個(gè)梅森素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，它被人們稱為“數(shù)學(xué)珍寶”。
人們?cè)趯ふ颐飞財(cái)?shù)的同時(shí)，對(duì)它的重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進(jìn)行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來(lái)看，它在正整數(shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則，因此研究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。英、法、德、美等國(guó)的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)分別給出過(guò)有關(guān)梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)都以近似表達(dá)式給出，而與實(shí)際情況的接近程度均難如人意。
中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中是這方面研究的領(lǐng)先者——他運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式；后來(lái)其猜測(cè)被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。著名的《科學(xué)》雜志有一篇文章指出：這項(xiàng)成果是素?cái)?shù)研究的一項(xiàng)重大突破。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格認(rèn)為：周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。
素?cái)?shù)應(yīng)用編輯本段
素?cái)?shù)近來(lái)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入素?cái)?shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒(méi)有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過(guò)程中（實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過(guò)程），將會(huì)因?yàn)檎宜財(cái)?shù)的過(guò)程（分解質(zhì)因數(shù)）過(guò)久，使即使取得信息也會(huì)無(wú)意義。
在汽車變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)最好設(shè)計(jì)成素?cái)?shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強(qiáng)耐用度減少故障。
在害蟲(chóng)的生物生長(zhǎng)周期與殺蟲(chóng)劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲(chóng)劑的素?cái)?shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實(shí)驗(yàn)表明，素?cái)?shù)次數(shù)地使用殺蟲(chóng)劑是最合理的：都是使用在害蟲(chóng)繁殖的高潮期，而且害蟲(chóng)很難產(chǎn)生抗藥性。
以素?cái)?shù)形式無(wú)規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚(yú)雷可以使敵人不易攔截。
最新成果編輯本段
數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。而整數(shù)的基本元素是素?cái)?shù)（也稱素?cái)?shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對(duì)素?cái)?shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 薄?/p>
發(fā)現(xiàn)已知的最大素?cái)?shù)
美國(guó)中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫(kù)珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過(guò)參加一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大索”（GIMPS）的國(guó)際合作項(xiàng)目，于2013年1月25日發(fā)現(xiàn)了目前已知的最大素?cái)?shù)——2^57885161-1 （即2的57885161次方減1）。該素?cái)?shù)是第48個(gè)梅森素?cái)?shù)，有17425170位；如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，其長(zhǎng)度可超過(guò)65公里！美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)發(fā)言人邁克·布林宣稱：這是數(shù)論研究的一項(xiàng)重大突破。
研究小組在大約1000臺(tái)大學(xué)里的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行GIMPS的軟件，每臺(tái)計(jì)算機(jī)都不間斷地用了39天時(shí)間證明2^57885161-1是個(gè)素?cái)?shù)。之后其他研究者也獨(dú)立驗(yàn)證了這一結(jié)果。庫(kù)珀通過(guò)參加GIMPS項(xiàng)目一共發(fā)現(xiàn)了3個(gè)梅森素?cái)?shù)。
尋找梅森素?cái)?shù)已成為發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑。如今世界上有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近28萬(wàn)人參加了GIMPS項(xiàng)目，并動(dòng)用超過(guò)79萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)。梅森素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)？這是一個(gè)尚未破解的著名數(shù)學(xué)謎題。
證明“弱孿生素?cái)?shù)猜想”
美國(guó)新罕布什爾大學(xué)數(shù)學(xué)家張益唐經(jīng)過(guò)多年努力，在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，率先證明了一個(gè)“弱孿生素?cái)?shù)猜想”，即“存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級(jí)期刊《數(shù)學(xué)年刊》。美國(guó)數(shù)學(xué)家、審稿人之一亨里克·艾溫尼科評(píng)價(jià)說(shuō)：“這是一流的數(shù)學(xué)工作?！彼嘈挪痪脮?huì)有很多人把“7000萬(wàn)”這個(gè)數(shù)字“變小”。
盡管從證明弱孿生素?cái)?shù)猜想到證明孿生素?cái)?shù)猜想還有相當(dāng)?shù)木嚯x，英國(guó)《自然》雜志在線報(bào)道還是稱張益唐的證明為一個(gè)“重要的里程碑”。由于孿生素?cái)?shù)猜想與哥德巴赫猜想密切相關(guān)（姐妹問(wèn)題），很多數(shù)學(xué)家希望通過(guò)解決這個(gè)猜想，進(jìn)而攻克哥德巴赫猜想。
值得一提的是，英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個(gè)“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。中國(guó)數(shù)學(xué)家周海中指出：要證明強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想，人們?nèi)砸鎸?duì)許多巨大的困難。
解開(kāi)“弱哥德巴赫猜想”
2013年5月13日，秘魯數(shù)學(xué)家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學(xué)院宣稱：證明了一個(gè)“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成3個(gè)奇素?cái)?shù)之和”。他將論文投稿給全球最大的預(yù)印本網(wǎng)站（arXiv）；有專家認(rèn)為這是哥德巴赫猜想研究的一項(xiàng)重大成果。不過(guò)，其證明是否成立，還有待進(jìn)一步考證。
赫爾弗戈特在論證技術(shù)上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)建了一個(gè)周期函數(shù)，其范圍包括所有素?cái)?shù)。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設(shè)廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對(duì)充分大的奇數(shù)是正確的；1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊萬(wàn)·維諾格拉多夫更進(jìn)一步，在無(wú)須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個(gè)素?cái)?shù)之和。
英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·格蘭維爾稱，不幸的是，由于技術(shù)原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強(qiáng)哥德巴赫猜想”，即“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。如今數(shù)學(xué)界的主流意見(jiàn)認(rèn)為：要證明強(qiáng)哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現(xiàn)有的方法上進(jìn)行重大的改進(jìn)。
素?cái)?shù)表編輯本段
2~997
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997
1009~9973
1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091
1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193
1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423
1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493
1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601
1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699
1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931
1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029
2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137
2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267
2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357
2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459
2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593
2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693
2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791
2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023
3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167
3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271
3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373
3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511
3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607
3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709
3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833
3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931
3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177
4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283
4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423
4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547
4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789
4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931
4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011
5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147
5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279
5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413
5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507
5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647
5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743
5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857
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