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我是李文龍，我愛(ài)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)使我快樂(lè)

今天我們要探討的是一道初中、高中、大學(xué)都可以研究的一個(gè)課題

拋物線(xiàn)y=-x2+1與x軸交于A和B，與y軸交于C，則拋物線(xiàn)與x軸圍成弓形的面積是（）

初中篇

初中階段的我們還不會(huì)算除了圓以外的曲線(xiàn)形成的面積，只能通過(guò)逼近的思想得出一個(gè)大致范圍

我們先在弓形內(nèi)部構(gòu)造出我們可以計(jì)算的最大面積的三角形，也就是下圖的△ABC

很容易算出△ABC的面積是1，顯然弓形的面積比1大

類(lèi)似的，我們?cè)诠瓮獠繕?gòu)造出我們可以計(jì)算的最小面積的圖形，由于AO=BO=CO=1

因此可以考慮以O(shè)為圓心，1為半徑作半圓，如下圖，這樣半圓的面積是0.5π≈1.57

于是弓形的面積就介于1到1.57之間，如果是選擇題，而且題中給出的選項(xiàng)有且只有一個(gè)滿(mǎn)足我們所逼近的范圍，我們就選它。如果并不是唯一的怎么辦？我們還需要進(jìn)一步的逼近準(zhǔn)確值

我們先說(shuō)在外部逼近

只畫(huà)一個(gè)圓顯然是把弓形的面積放大了許多，而除了圓我們只能計(jì)算線(xiàn)段圍成的面積，還要貼近于拋物線(xiàn)，因此我們考慮作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)

如下圖，我們作與AC平行切和拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)DE。設(shè)DE：y=x+b，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，令判別式△=0，可以解出b=1.25

這樣就可以算出△DEF的面積約為1.5625

如此以來(lái)我們就可以進(jìn)一步的算出弓形面積介于1和1.5625之間。比起做圓來(lái)似乎并沒(méi)有精進(jìn)很多……

究其原因是：與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，憑什么選擇與AC平行的直線(xiàn)來(lái)做，如果只是因?yàn)檫@樣好算，這個(gè)理由顯然不能征服小伙伴。接下來(lái)我們進(jìn)入高中篇

高中篇

與y=-x2+1相切的直線(xiàn)交坐標(biāo)軸于D和E，求△DOE面積最小值時(shí)的直線(xiàn)解析式

我們假設(shè)直線(xiàn)DE為y=kx+b（k≠0），因?yàn)橄嗲?，與拋物線(xiàn)y=-x2+1聯(lián)立可得x2+kx+b-1=0，令△=0，得4b=k2+4，這樣我們就求出k和b的關(guān)系了

然后表示出△DOE的面積

將b替換掉，可列出一個(gè)關(guān)于k的一元代數(shù)式

化簡(jiǎn)可得：

接下來(lái)我們單獨(dú)研究

要求M的最值，我們首先對(duì)M求導(dǎo)

令M’=0

通過(guò)單調(diào)性分析可知，當(dāng)

時(shí)所求面積最小，也就是我們所求的直線(xiàn)是

這條直線(xiàn)不僅與拋物線(xiàn)相切，而且是所有切線(xiàn)中與坐標(biāo)軸圍成的面積最小，再回歸到文章開(kāi)頭的那個(gè)問(wèn)題，不難計(jì)算出下圖的△DEF的面積約等于1.5396

這樣我們就更進(jìn)一步的逼近了我們要求的面積的上界，這個(gè)弓形的面積是在1到1.5396之間

糾結(jié)了這么長(zhǎng)時(shí)間，我們一直在圍繞著上界做文章，那我們能不能再精確一下取值范圍的下界呢？那就要從內(nèi)部的△ABC的面積入手

如下圖，我們算出△ABC面積之后，可以在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)D，再算△ADC的面積，這樣△ABC和△ADC總的面積就會(huì)更逼近弓形面積，只要你有這個(gè)時(shí)間，你就可以無(wú)限的取三角形，從而無(wú)限的逼近最終的答案

這樣的方法就是窮竭法，熟知數(shù)學(xué)史的朋友們應(yīng)該知道劉徽的割圓術(shù)就是這個(gè)原理，而早在在公元前200多年，阿基米德就用他拿手的窮竭法用一系列三角形的和去逼近拋物線(xiàn)弓形的面積，這些三角形面積構(gòu)成一個(gè)公比為1/4的等比數(shù)列，最后阿基米德用間接法論證了拋物線(xiàn)的面積就等于第一個(gè)三角形面積的4/3倍：這第一個(gè)三角形是以弓形的弦的兩端為兩個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的平行線(xiàn)，平行線(xiàn)和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是第三個(gè)頂點(diǎn)

重要結(jié)論：如下圖，任意拋物線(xiàn)，C是頂點(diǎn)，AB是垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，則要無(wú)限與AB圍成弓形的面積就是△ABC面積的4/3倍。

那么我們回歸到本文開(kāi)頭的題目，答案就出來(lái)了，就是4/3≈1.33

可看得出來(lái)，我們張牙舞爪的算了半天，離我們的預(yù)期值還是差了16%的誤差，還是差的比較多的。

因此阿基米德的證明方法簡(jiǎn)直就是窮竭法的典范，這為后來(lái)微積分的發(fā)現(xiàn)提供了必要條件，要知道微積分是在1700年左右由牛頓和萊布尼茨共同發(fā)明的。與阿基米德整整差了將近兩個(gè)世紀(jì)！這里膜拜阿基米德一波，不愧是數(shù)學(xué)之神！

如果不用微積計(jì)算，即使在20世紀(jì)，解答弓形問(wèn)題也不容易，即使給出提示以后，這個(gè)窮竭法的計(jì)算弓形的題也是一道很難的題目，這個(gè)題目曾經(jīng)作為1965年我國(guó)的高考數(shù)學(xué)的壓軸題。

最后附上用微積分的證明過(guò)程

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)平移的過(guò)程開(kāi)口不變，因此我們將拋物線(xiàn)平移至原點(diǎn)處

大學(xué)篇

如圖y=ax2和y=m交于AB兩點(diǎn)，證明AB與拋物線(xiàn)圍成的弓形面積是△AOB面積的4/3倍

通過(guò)我們以上的學(xué)習(xí)，相信不同年級(jí)的同學(xué)會(huì)有不同的收獲

初中生學(xué)會(huì)了：逼近思想，拋物線(xiàn)切線(xiàn)求法

高中生學(xué)會(huì)了：利用導(dǎo)數(shù)求最值

大學(xué)生學(xué)會(huì)了：利用積分計(jì)算面積

而且所有人都記住了一個(gè)結(jié)論，就是4/3倍的關(guān)系。以后再遇到類(lèi)似的題目相信大家會(huì)做的游刃有余。

公眾號(hào)ID：enjoymath

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