走進(jìn)數(shù)學(xué)思維（一）：善于舉例
作者:南京大學(xué)教授 鄭毓信
抽象性常常被說成數(shù)學(xué)最為基本的一個(gè)特性。幫助學(xué)生較好地理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)理論，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)。實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的一個(gè)基本手段就是恰當(dāng)?shù)嘏e例——會(huì)舉例，善于舉例。這應(yīng)當(dāng)被看成數(shù)學(xué)教師的一個(gè)基本功。
應(yīng)當(dāng)指明，就高度抽象的數(shù)學(xué)概念而言，舉例并非一件易事。以下就是筆者在南京大學(xué)執(zhí)教時(shí)的一個(gè)親身體驗(yàn)：
由于函數(shù)是數(shù)學(xué)中最為重要的基本概念之一，因此，作為 大學(xué)微積分學(xué)課程的開端，筆者首先對學(xué)生關(guān)于函數(shù)概念的掌握情況進(jìn)行了解。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：盡管當(dāng)時(shí)的教學(xué)對象是文科學(xué)生，但大部分人都能正確地表述出函數(shù)概念的“三個(gè)要素”，即自變量、因變量和對應(yīng)關(guān)系。進(jìn)而，筆者又要求學(xué)生聯(lián)系實(shí)際生活舉出函數(shù)的若干實(shí)例，這一任務(wù)對學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)不會(huì)有任何困難，因?yàn)樵谥袑W(xué)的全部學(xué)習(xí)過程 中，他們已經(jīng)接觸到了各種各樣的函數(shù)，教材中也已給出了這個(gè)函數(shù)的若干實(shí)例。另外，在物理和化學(xué)等課程的教學(xué)過程中學(xué)生也常常會(huì)遇到各種各樣的函數(shù)，如彈簧的長度與拉力的關(guān)系、炮彈的射程與發(fā)射角的關(guān)系，等等。
然而，出乎意料的是，學(xué)生卻普遍表現(xiàn)出了一定的困難。當(dāng)時(shí)有一個(gè)學(xué)生舉出了這樣的例子：“一個(gè)人的年齡與他所消耗的食品以及與他所消耗的衣物之間的關(guān)系。”
“這能否被看成函數(shù)的實(shí)例?”筆者組織學(xué)生對此進(jìn)行了簡短討論。以下的“修正”很快為全班一致接受了：我們在此應(yīng)當(dāng)首先實(shí)行必要的量化，因?yàn)?，在目前的水平上，函?shù)所涉及的只是數(shù)量之間的關(guān)系。然而，當(dāng)教師提出以下問題后，大部分同學(xué)卻陷入了思想混亂：“但是，一個(gè)人所消耗的食品或衣物與他的年齡之間并不存在必然的聯(lián)系。這就是說，當(dāng)他20歲時(shí)，他所消耗的食品可能是X噸，也完全可能是(X＋1)噸或(X－1)
噸。這種‘不確定性’是否與函數(shù)定義中所說的‘確定的對應(yīng)關(guān)系’相矛盾?”
由于筆者沒有立即提供相應(yīng)的解答，而是讓學(xué)生自己去思考，因此，在這一堂課后就有不少同學(xué)反映：“對于函數(shù)概念我們原來是懂的，現(xiàn)在反而不懂了!”
當(dāng)然，這些學(xué)生所說的“原來是懂的”，其實(shí)并不是真懂；另外，就我們目前的論題而言，這也就十分清楚地表明：舉例特別是舉出適當(dāng)?shù)睦訉?shí)非一件易事。
對于上述的例子，相信一些教師會(huì)認(rèn)為：您這是就較為高深的數(shù)學(xué)概念而言的，如果是初等數(shù)學(xué)就不存在這樣的問題。例如，通過1個(gè)蘋果、兩只桔子等實(shí)例我們就可順利地幫助學(xué)生掌握1、2、3等概念及其運(yùn)算；再例如，只需借助木制的三角尺與黑板上所畫出的各種三角形等，我們就可幫助學(xué)生順利地建立起三角形的概念……
上面的看法應(yīng)當(dāng)說有一定道理，但是，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出：盡管數(shù)學(xué)教學(xué)中時(shí)時(shí)都在用到各種各樣的例子，但例子又有“好”與“壞”，或者說“恰當(dāng)”與“不恰當(dāng)”的區(qū)分。作出這種區(qū)分的一個(gè)重 要標(biāo)志是：這些例子是否真正有利于學(xué)生很好地去掌握相應(yīng)的抽象概念。“會(huì)舉例、善于舉例”的一個(gè)具體內(nèi)涵，就是應(yīng)當(dāng)有利于學(xué)生較好地實(shí)現(xiàn)由具體實(shí)例向抽象數(shù)學(xué)概念的重要過渡。
顯然，從這樣的角度去分析，我們也就可以立即看出以下論述的不足之處：“數(shù)學(xué)，對學(xué)生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種‘解讀’。”因?yàn)?，如果采用皮亞杰的術(shù)語，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非僅僅是一種“同化”(用建構(gòu)主義的話來說，就是意義賦予”)，而且也是一個(gè)順應(yīng)”的過程，即如何能夠超出生活經(jīng)驗(yàn)并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，特別是數(shù)學(xué)抽象。
下面這個(gè)四年級(jí)的教學(xué)實(shí)例能給予我們直接的啟示。
任課教師要求學(xué)生求解這樣一個(gè)問題：“52型拖拉機(jī)，一天耕地150公畝，問12天耕地多少公畝?”一位學(xué)生是這樣解題的：52×50×2=(略)。接下來就出現(xiàn)了這樣的師生對話：
“告訴我，你為什么這么列式?”
“老師，我錯(cuò)了。”
“好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式?”
“除。”
“怎么除?”
“大的除以小的。”
“為什么是除呢?”
“老師，我又錯(cuò)了。”
“你說，對的該是怎樣呢?”
“應(yīng)該把它們加起來。”
顯然，這位學(xué)生是在瞎猜。
“我們換一個(gè)題目，比如你每天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅?”
“老師，我早上不吃大餅的。”
“那你吃什么?”
“我經(jīng)常吃粽子。”
“好，那你每天吃兩個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子?”
“老師，我一天根本吃不了兩個(gè)粽子。”
“那你能吃幾個(gè)粽子?”
“吃半個(gè)就可以了。”
“好，那你每天吃半個(gè)(小數(shù)乘法沒學(xué))粽子，5天吃幾個(gè)粽子?”
“兩個(gè)半。”
“怎么算出來的?”
“兩天一個(gè)，5天兩個(gè)半。”
對話進(jìn)行到這里就很有點(diǎn)“搞笑”了!但是，如果要對這個(gè)學(xué)生的問題進(jìn)行診斷，我想大家都會(huì)得出這樣的結(jié)論：他所缺乏的并不是生活經(jīng)驗(yàn)，而是數(shù)學(xué)抽象的能力。盡管這個(gè)學(xué)生已經(jīng)上到了四年級(jí)，但在由“日常數(shù)學(xué)”上升到“學(xué)校數(shù)學(xué)”這一方向上并未獲得真正的進(jìn)展。
在此我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)抽象事實(shí)上是一個(gè)模式化的過程。作為數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)概念(與命題)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)——這就是所謂的“模式”，它與通常所說的“模型”是不同的，模型從屬于某個(gè)特定的事物或現(xiàn)象，也就不具有模式那樣的普遍意義。模式
化的一個(gè)重要特征，就是“去情境化、去時(shí)間化和去個(gè)性化”，這意味著與現(xiàn)實(shí)原型在一定程度上的分離。由此可見數(shù)學(xué)教學(xué)中對于例子的恰當(dāng)應(yīng)用的重要性。
最后，從更為廣泛的角度看，恰當(dāng)舉例不僅適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，也適用于數(shù)學(xué)教材的編寫；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而且也適用于任何一種抽象理論甚至是“研究傳統(tǒng)”的學(xué)習(xí)或繼承：例如，著名科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髑宄刂该髁?#8220;范式”對于科學(xué)活動(dòng)的特殊重要性：常規(guī)情況下的科學(xué)研究就可被看成范式指導(dǎo)下的解疑活動(dòng)：進(jìn)而，就范式的學(xué)習(xí)而言，庫恩又突出地強(qiáng)調(diào)了這樣一點(diǎn)：只有借助于范例我們才能真正掌握相應(yīng)的范式。“最基本的是，范式是指某些具體的科學(xué)成就事例，是指某些實(shí)際的問題解答，科學(xué)家認(rèn)真學(xué)習(xí)這些解答，并仿照它們進(jìn)行自己的工作。”顯然，這事實(shí)上也就更為清楚地表明了在具體與抽象之間所存在的重要的辯證關(guān)系。
另外，現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究也為以上的論述提供了重要的論據(jù)。研究表明，就數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)對“概念定義”與“概念意象”作出明確的區(qū)分，因?yàn)?，在大多?shù)情況下，數(shù)學(xué)概念的心理對應(yīng)物(心理表征)并非相應(yīng)的形式定義，而是一個(gè)由多種成分組成的復(fù)合體，其中例子占據(jù)了十分重要的地位，它為主體獲得適當(dāng)?shù)男睦韴D像(視覺形象，對此不應(yīng)簡單地等同于直觀形象)提供了直接的基礎(chǔ)。
由此可見，我們不能停留于各個(gè)具體的例子，特別是不能停留于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而應(yīng)努力幫助學(xué)生由具體實(shí)例上升到抽象的數(shù)學(xué)概念。但是，我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)所說的“抽象”呢?
先來看一個(gè)真實(shí)的故事。
20世紀(jì)60年代，一個(gè)數(shù)學(xué)家的女兒由幼兒園放學(xué)回到了家中，父親問她今天學(xué)到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了‘集合’。”數(shù)學(xué)家覺得要學(xué)習(xí)這樣一個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)概念，女兒的年齡實(shí)在太小了，因此就關(guān)切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂!一點(diǎn)也不難。”“這樣抽象的概念會(huì)這樣容易懂嗎?”聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放不下心，因此就追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教師問全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答復(fù)。”
顯然，這個(gè)教師所采用的教學(xué)方法并沒有什么問題，甚至可以說相當(dāng)不錯(cuò)。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗(yàn)：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合?”遲疑了一會(huì)兒，女兒最終作出了這樣的回答： “不行!除非它們都能站起來!”
由此可見，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平正是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一個(gè)必要條件。
從教學(xué)的角度看，比較應(yīng)被看成實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象最為重要的一個(gè)手段。從這樣的角度去分析，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹降囊韵伦龇ú⒎鞘智‘?dāng)，因?yàn)椋@完全忽視了數(shù)學(xué)思維的特殊性，從而對于學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象就不是很有利：
“分類”的教學(xué)常常是這樣組織的：教師首先拿出事先準(zhǔn)備好的一些模塊——其中不僅呈現(xiàn)出了各種不同的形狀，如三角形、四邊形、圓形等，也被涂成了各種不同的顏色，它們是用一些不同的材料制成的，包括木制的、硬紙片的、塑料的等——教師要求學(xué)生對這些模塊進(jìn)行分類，在一般情況下學(xué)生往往會(huì)給出多種不同的分類方法，教師對
此往往也會(huì)普遍地加以肯定，甚至還會(huì)積極地鼓勵(lì)學(xué)生去提出新的、更多的分類方法……
與此相對照，以下教學(xué)方法不僅有利于學(xué)生順利地求解所面對的“水池問題”，而且也包含了由“表層結(jié)構(gòu)”向“深層結(jié)構(gòu)”的重要過渡，達(dá)到了更高的抽象層次：
“學(xué)生在解決有關(guān)往水池里注水的問題時(shí)，會(huì)認(rèn)為水池一邊開進(jìn)水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過多長時(shí)間，都不會(huì)注滿水池。在教學(xué)時(shí)，教師可以不急于講解，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中類似的實(shí)例。(1)追及問題?？蛙嚸啃r(shí)行40千米，小汽車每小時(shí)行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時(shí)沿筆直的公路行駛，多長時(shí)間小汽車能追上客車?(2)儲(chǔ)蓄問題。爸爸每月工資420元，媽媽每月工資300元，每月平均支出450元，余下的錢存在銀行，幾個(gè)月后能購買一臺(tái)價(jià)格1350元的電視機(jī)?通過小汽車追上客車、家庭每月收支情況的實(shí)例，學(xué)生就容易弄明白，只要進(jìn)水量大于出水量，經(jīng)過一段時(shí)間水池就一定能注滿水。”
另外，為了幫助學(xué)生很好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，我們在教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)十分重視以所謂的“非標(biāo)準(zhǔn)變式”作為“標(biāo)準(zhǔn)變式”的必要補(bǔ)充，而且也應(yīng)通過“概念變式”與“非概念變式”的必要對照，幫助學(xué)生切實(shí)避免或糾正各種可能的錯(cuò)誤。
具體地說，在通過某些具體實(shí)例引出數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，為了防止學(xué)生將相關(guān)實(shí)例的某些特殊性質(zhì)誤認(rèn)為相應(yīng)概念的本質(zhì)屬性，我們在教學(xué)中就不應(yīng)局限于平時(shí)所經(jīng)常用到的一些實(shí)例(這就是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)變式”)，也應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地去引人一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。
例如，以下就是在教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹降囊恍╁e(cuò)誤觀念，而學(xué)生之所以會(huì)形成這些錯(cuò)誤觀念，往往就與我們在教學(xué)中所使用的只是“標(biāo)準(zhǔn)變式”有著直接的關(guān)系：
角必定有一條水平射線；
直角必定是指向右邊的角；
三角形和四邊形的底邊都應(yīng)處于水平位置；
三角形的高必須處于垂直的位置，并必定與三角形的底邊相交；
對角線不可能處于垂直或水平的位置。
顯然，從這樣的角度去分析，我們也就可以理解引入以下一些“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”對于改進(jìn)教學(xué)的積極意義(圖1)：
再者，由以下圖形(圖2)我們可以很好地理解“非概念變式”的作用：就概念的理解而言這事實(shí)上起到了“反例”的作用，從而對于防止或糾正學(xué)生的錯(cuò)誤觀念也就具有特別的重要性。
