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　　幾何體上的螞蟻?zhàn)罴研雄E問(wèn)題，在其展開圖是平面圖形的立體表面上，螞蟻從一點(diǎn)爬到另一點(diǎn)時(shí)，其最省時(shí)的行跡皆為展開圖上連接此兩點(diǎn)的各直線段中的最短者對(duì)應(yīng)的立主體上的那條曲線段.轉(zhuǎn)化為幾何體的側(cè)面展開圖上兩點(diǎn)間的距離最短問(wèn)題是解決此類問(wèn)題的一般的方法.下面我們結(jié)合實(shí)例來(lái)說(shuō)明側(cè)面展開圖的方法.　　　

 

　　一、   幾何體為棱柱

 

　　問(wèn)題１如圖１，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱長(zhǎng)AB=a,AD=b,AA₁=c,0<c<b<a,螞蟻從點(diǎn)A₁爬到C，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短.

 

解：由圖１可展開得到展開圖１.

 

A₁FC與A₁HC的線路是相等的.

 

　　　　A₁HC=

 

　　　　?。?span style="FONT-SIZE: 10.5pt; TOP: 4pt">

，

 

　　　　　A₁EC=

 

　　　　?。?span style="FONT-SIZE: 10.5pt; TOP: 4pt">

,

 

　　　　　A₁GC=

 

　　　　　=

,

 

　　　　　 A₁AFC=a＋b＋c.

 

　　∵0<c<b<a 

 

　　∴cb<ca<ab

 

　　∴

<

<

<a＋b＋c即A₁HC ＜A₁EC＜ A₁GC＜A₁AFC.

 

由此可見，F(xiàn)、H都是我們所要找的點(diǎn)，易得

，利用尺規(guī)作圖可以找到F和H，從而確定螞蟻的最佳行跡A₁HC或 A₁FC.

 

二、   幾何體為棱錐

 

　　問(wèn)題２如圖２，課桌上放著一個(gè)正三棱錐S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 螞蟻從點(diǎn)A沿三棱錐的側(cè)面爬行（必須經(jīng)過(guò)三棱錐的三個(gè)側(cè)面）再回到A，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短.

 

　　　解：根據(jù)圖２，沿SA剪開得展開圖２.

 

在⊿SAE中，

,

,SE=

－1.

 

利用尺規(guī)作圖可以找到E和F，從而確定螞蟻的最佳行跡AEFA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　　三、   幾何體為圓錐

 

　　問(wèn)題３如圖３，課桌上放著一個(gè)圓錐，點(diǎn)Ａ為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，SA=3,OA=1螞蟻從點(diǎn)A沿圓錐的側(cè)面爬行再回到A，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短.

 

分析：有趣的是螞蟻的最佳行跡不是底面的圓周，而是向上爬，到達(dá)一個(gè)最高點(diǎn)后向下爬行.

 

解：根據(jù)圖３，沿SA剪開得展開圖３.                 

 

在⊿SAB中，∠ASB＝

，AB=3

.

 

取SC的中點(diǎn)D，其最佳行跡是曲線段ADB,在側(cè)面展開圖上是直線段ADB.

 

 

　　　　

 

　　四、   幾何體為圓柱

 

　　問(wèn)題４如圖４，課桌上放著一個(gè)圓柱，螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱的側(cè)面爬行到另一點(diǎn)B，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短.

 

解：根據(jù)圖４，沿AE剪開得展開圖4.

 

若點(diǎn)B落在展開圖的中位線EF上,則螞蟻應(yīng)按AB₁或MB_１兩條線段在圓柱上的對(duì)應(yīng)曲線爬行.

 

若點(diǎn)B落在展開圖的中位線EF的左側(cè),則螞蟻應(yīng)按MB₂兩條線段在圓柱上的對(duì)應(yīng)曲線爬行.

 

若點(diǎn)B落在展開圖的中位線EF的右側(cè),則螞蟻應(yīng)按AB₂兩條線段在圓柱上的對(duì)應(yīng)曲線爬行.

 

 

　　　　

 

五、   幾何體為球

 

　　問(wèn)題５如圖５，球O的表面上有兩點(diǎn)A、B，∠AOB＝

，螞蟻從點(diǎn)A沿球的表面爬行到B，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短.

 

　解：這時(shí)我們知道最佳行跡為AOB所在平面的大圓的劣弧，不能運(yùn)用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題.

 

我們?cè)诖藢?duì)幾何體上的螞蟻?zhàn)罴研雄E問(wèn)題進(jìn)行了討論，有側(cè)面展開圖的通常轉(zhuǎn)化為展開圖上的各線段的最短者，來(lái)尋求螞蟻的最佳行跡.沒有平面展開圖的曲面，尋求最佳行跡就不太方便.這里值得強(qiáng)調(diào)的是，立體幾何的重要思想方法是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.