在高中《物理》教材中，動(dòng)量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛頓第二定律F＝ma推導(dǎo)出來(lái)的，那么應(yīng)如何準(zhǔn)確地理解動(dòng)量定理與牛頓第二定律呢？本文做一初淺的探討。
一、動(dòng)量定理是牛頓第二定律原來(lái)采用的形式
在牛頓提出運(yùn)動(dòng)第二定律之前，伽利略在批判亞里士多德的力與速度的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了力與加速度的依賴關(guān)系，但是他沒(méi)有也不可能在當(dāng)時(shí)的條件下發(fā)現(xiàn)作用力與加速度之間的定量關(guān)系。在1684年8月之后，牛頓用幾何法和極限概念論證了引力平方反比律，在為解決萬(wàn)有引力是否跟質(zhì)量成正比的問(wèn)題時(shí)，他發(fā)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)第二定律，具體的記載有兩處，一處是在“論物體的運(yùn)動(dòng)”一文手稿中寫(xiě)道：“…動(dòng)力與加速度的力之比等于運(yùn)動(dòng)與速度之比。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的量是由速度乘以物質(zhì)的量導(dǎo)出的…”。另一處是在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的定義Ⅷ中給出的：“因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的量是由速度乘以物質(zhì)的量求出來(lái)的，并且動(dòng)力是由加速度的力乘以同一物質(zhì)之量求出來(lái)的，物體的幾個(gè)粒子上的加速的力的作用總和就是整個(gè)物體的動(dòng)力”。上面兩段話中，“加速的力”指的是加速度，“運(yùn)動(dòng)”“運(yùn)動(dòng)的量”指的是動(dòng)量，“動(dòng)力”指的是與加速度對(duì)應(yīng)的作用力，“物體”“物質(zhì)的量”就是質(zhì)量。由此可知，牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中已明確提出動(dòng)量的定義：“運(yùn)動(dòng)量是用它的速度和質(zhì)量一起來(lái)量度的”，“并把動(dòng)量的變化率稱之為力”，“他又用動(dòng)量來(lái)表述運(yùn)動(dòng)第二定律”。綜上所述，牛頓其實(shí)已經(jīng)提出了運(yùn)動(dòng)第二定律的文字表述：作用力與加速度成正比。但當(dāng)時(shí)牛頓并沒(méi)有明確地用公式（F＝ma）表述出來(lái)，牛頓第二定律原來(lái)采用的形式是
力F、質(zhì)量m、速度v和時(shí)間t這四個(gè)物理量，選擇適當(dāng)?shù)膯挝唬墒贡壤禂?shù)k＝1，這時(shí)，牛頓第二定律可表示為
因此，牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的真實(shí)表述應(yīng)該是物體所受外力等于其動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。①式也叫做牛頓第二定律的微分形式?！蹲匀徽軐W(xué)的數(shù)學(xué)原理》已經(jīng)提出了作用力與加速度成正比，但當(dāng)時(shí)牛頓并沒(méi)有將公式①直接用F＝ma表述出來(lái)，這是為什么呢？我國(guó)研究牛頓的資深學(xué)者閻康年先生在他的專著《牛頓的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與科學(xué)思想》中專門研究了牛頓的質(zhì)量觀：“牛頓對(duì)質(zhì)量概念的認(rèn)識(shí)分靜質(zhì)量和動(dòng)質(zhì)量?jī)蓚€(gè)方面。靜質(zhì)量就是牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中所說(shuō)的由物體的重量知道的，并與其重量成比例的物質(zhì)之量；動(dòng)質(zhì)量就是牛頓說(shuō)的物質(zhì)得以繼續(xù)保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而對(duì)外力反抗的一種內(nèi)在固有的力?！边@就是說(shuō)牛頓知道物體的質(zhì)量也是個(gè)變量，只是在當(dāng)時(shí)牛頓還不可能提出靜質(zhì)量和動(dòng)質(zhì)量的概念，因此牛頓沒(méi)有將m從微分號(hào)中拿出來(lái)。“也許在那時(shí)，牛頓就在冥冥之中預(yù)感到物理學(xué)未來(lái)的發(fā)展，于是就在自己的偉大發(fā)現(xiàn)中留下了一條耐人尋味的退路?！?/p>
奧地利科學(xué)家馬赫為了普及、推廣牛頓力學(xué)的應(yīng)用，改寫(xiě)了牛頓第二定律的形式，他把質(zhì)量m從微分號(hào)內(nèi)提了出來(lái)，免去了微分運(yùn)算，并把牛頓第二定律表述為
F＝ma?、?/p>
用力F，加速度a與質(zhì)量m等概念來(lái)表述牛頓第二定律，將牛頓第二定律通俗化，使具有初等數(shù)學(xué)水平的人也可以掌握。這樣做，對(duì)牛頓第二定律的普及和推廣確實(shí)起到了巨大的推動(dòng)作用，但同時(shí)因馬赫把質(zhì)量m當(dāng)做常量而給后人準(zhǔn)確地理解牛頓第二定律，特別是理解牛頓力學(xué)與狹義相對(duì)論間的正確關(guān)系造成了深遠(yuǎn)的影響。
二、在經(jīng)典力學(xué)中F＝ma與動(dòng)量定理是完全等效的
①式既是牛頓第二定律原來(lái)采用的表達(dá)式，又是動(dòng)量定理的微分表達(dá)式。由此可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理就是牛頓第二定律原來(lái)采用的形式。對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)量定理的積分表達(dá)式為
當(dāng)力F和質(zhì)量m恒定不變時(shí)，設(shè)t＝t2－t1，得
Ft＝mv2－mv1 ③
對(duì)于由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力只能引起各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化，不能引起總動(dòng)量的變化，因此有
式中mn表示質(zhì)點(diǎn)系中第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，vn1和vn2分別表示第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t2－t1內(nèi)的初速度和末速度，F(xiàn)n表示第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的外力。將④式兩邊對(duì)t取導(dǎo)數(shù)，得
這就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。M是質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，ac是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的加速度。
在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，因?yàn)橘|(zhì)量m恒定不變，牛頓第二定律F＝ma與動(dòng)量定理F·t＝mv2－mv1，是完全等效的，動(dòng)量定理是從動(dòng)量的角度對(duì)牛頓第二定律進(jìn)行表述。在相對(duì)論力學(xué)中
式中m0為質(zhì)點(diǎn)的靜止質(zhì)量（簡(jiǎn)稱靜質(zhì)量），v和c分別表示質(zhì)點(diǎn)的速率和真空中的光速。由⑥式可知質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)論質(zhì)量（簡(jiǎn)稱動(dòng)質(zhì)量）隨質(zhì)點(diǎn)速率的增大而增大。當(dāng)v遠(yuǎn)遠(yuǎn)地小于c時(shí)，可認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量不變，這時(shí)動(dòng)量定理與牛頓第二定律是等效的。牛頓第二定律的兩種形式也是等效的。當(dāng)v接近到c時(shí)，F(xiàn)＝ma和Ft＝mv2－mv1，不再成立，但牛頓第二定律（或動(dòng)量定理）的微分形式
動(dòng)量定理的微分形式其實(shí)也是牛頓第二定律的另一種表述，牛頓第二定律和動(dòng)量定理都反映了外力作用與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的因果關(guān)系。但動(dòng)量定理的積分形式比牛頓第二定律的經(jīng)典形式F＝ma賦予了新的內(nèi)涵。
牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的核心內(nèi)容，它揭示了力是產(chǎn)生加速度的原因，力的作用效果是使物體產(chǎn)生加速度，并用ma來(lái)量度力F的作用效果；揭示了加速度跟力的瞬時(shí)關(guān)系，即加速度跟力即時(shí)（同時(shí)產(chǎn)生、同時(shí)變化、同時(shí)消失）、正比、同向；揭示了合外力的大小和方向決定了物體動(dòng)量變化快慢的規(guī)律。
動(dòng)量定理則揭示了沖量是引起運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因，物體由于受到?jīng)_量的作用，導(dǎo)致物理動(dòng)量的變化，并用沖量來(lái)量度物體動(dòng)量的變化，即沖量決定了物體動(dòng)量變化的多少，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力沖量的矢量和或各外力沖量的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量；揭示了一個(gè)物理過(guò)程中各物理量間的過(guò)程關(guān)系；揭示了力作用一段時(shí)間的過(guò)程中，合外力的沖量與物體初、末的動(dòng)量變化間的矢量關(guān)系。
例1 如圖1所示，光滑水平面上停著一只木球和載人小車，人與車的總質(zhì)量為M，木球質(zhì)量為m，而且知道M／m＝16／1。人以速度v沿水平方向?qū)⒛厩蛲葡蜇Q直墻，球又以速率v彈回，人接球后再以速率v將木球推向墻，如此反復(fù)。問(wèn)：人經(jīng)幾次推木球后，再也不能接住木球？
解析 木球反彈回來(lái)的速率始終為v，當(dāng)人與車的速率增加到v時(shí)，則人將不能再接住木球。取木球、人與車組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，則這個(gè)系統(tǒng)原來(lái)的總動(dòng)量為零，末動(dòng)量為（m＋M）v。系統(tǒng)動(dòng)量的增量為ΔP＝（m＋M）v。人與球間的推力只能引起球和人與車的動(dòng)量變化，不能引起總動(dòng)量的變化，由④式可知，沖量是物體動(dòng)量變化的量度，作用在質(zhì)點(diǎn)系所有外力沖量的矢量和，等于質(zhì)點(diǎn)系在這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。由于這個(gè)系統(tǒng)所獲得的動(dòng)量是由木球受到墻的碰撞而得到的，墻對(duì)系統(tǒng)的沖量改變了系統(tǒng)的總動(dòng)量。如圖2所示，設(shè)向右為正，木球與墻碰撞一次所獲得的沖量為
設(shè)木球與墻碰n次之后。系統(tǒng)的動(dòng)量為（m＋M）v，根據(jù)動(dòng)量定理，有
所以
故取 n＝9。
若用動(dòng)量守恒定律或牛頓第二定律F＝ma求解，求解過(guò)程更復(fù)雜。
三、牛頓第二定律的微分形式與狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)方程是一致的
在相對(duì)論力學(xué)中，力也是被定義為動(dòng)量p對(duì)時(shí)間的變化率，即
①、⑦式實(shí)際上是一致的，只是由于受當(dāng)時(shí)條件的限制，牛頓不可能清楚地知道靜質(zhì)量與動(dòng)質(zhì)量之間的區(qū)別和精確的定量關(guān)系，但是在他的腦海里是清楚地知道，一個(gè)物體的速度是和它的質(zhì)量存在某種聯(lián)系，因此有人大膽地?cái)嘌裕骸皠?dòng)質(zhì)量和速度構(gòu)成統(tǒng)一變量的思想是牛頓力學(xué)中辯證法的靈魂，也是牛頓力學(xué)中早就蘊(yùn)涵的相對(duì)論因素”。
四、動(dòng)量定理Ft＝mv2－mv1，比牛頓第二定律F＝ma更具有普遍意義
動(dòng)量定理與牛頓第二定律相比較，有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)：在公式Ft＝mv2－mv1，中，只涉及兩個(gè)狀態(tài)量mv2和mv１，及一個(gè)過(guò)程量F·t，至于這兩個(gè)狀態(tài)中間是怎樣的過(guò)程，軌跡怎樣，加速度怎樣，位移怎樣全不考慮。在力F作用的過(guò)程中不管物體是做直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量定理總是適用的。動(dòng)量定理除了用來(lái)解決在恒力持續(xù)作用下的問(wèn)題外，尤其適合用來(lái)解決變力問(wèn)題，對(duì)涉及沖力、碰撞、反沖運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，由于力和加速度在極短的時(shí)間內(nèi)急劇變化，不便于用牛頓第二定律求解，而可以用動(dòng)量定理來(lái)處理。當(dāng)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的力不同時(shí)，則用動(dòng)量定理求解更簡(jiǎn)捷。因此從某種意義上講，應(yīng)用動(dòng)量定理解題比牛頓第二定律更直接，更簡(jiǎn)單，適用性更強(qiáng)。
例2 質(zhì)量為M的金屬塊和質(zhì)量為m的木塊通過(guò)細(xì)線系在一起，從靜止開(kāi)始以加速度a在水中下沉，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1線斷了，金屬塊與木塊分開(kāi)，如圖3所示。再經(jīng)過(guò)時(shí)間t2，木塊停止下沉，此時(shí)金屬塊的速度v多大（設(shè)此時(shí)金屬塊還沒(méi)有碰到水池底面）？
解析 取金屬塊和木塊組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的浮力為F，依題意，由牛頓第二定律得
線斷前，金屬塊和木塊除了受到重力、浮力外，還受到了細(xì)線的拉力作用；線斷后，金屬塊和木塊只受重力和浮力，由于金屬塊和木塊在細(xì)線斷了前后的兩個(gè)階段所受的力不相同，若用F＝ma求解，物理過(guò)程比較煩瑣。因細(xì)線斷后系統(tǒng)所受的浮力不變，將系統(tǒng)作為研究對(duì)象，當(dāng)木塊停止下沉，即速度為零時(shí)，針對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由④式得
由以上兩式可得
例3 一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出的氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？
解析 火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一段很短的時(shí)間Δt，求出此時(shí)間內(nèi)火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出此火箭的功率。取在△t時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動(dòng)量定理，有
根據(jù)牛頓第三定律，氣體對(duì)火箭的作用力大小也等于F，因?yàn)榛鸺o止在空中，由于M>>m，可認(rèn)為火箭的總質(zhì)量不變，所以F＝Mg，代入上式得，可得
由動(dòng)能定理得，火箭對(duì)氣體做的功為
所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為
五、牛頓第二定律和動(dòng)量定理只適用于慣性參考系
在自然界中，不是所有的力學(xué)規(guī)律在任何參考系中都成立，因此研究力學(xué)問(wèn)題要選擇參考系。同樣，牛頓第二定律和動(dòng)量定理并不是在任意參考系中都是適用的，因此應(yīng)用牛頓第二定律和動(dòng)量定理時(shí)，參考系不能任意選擇。牛頓第二定律及動(dòng)量定理只適用于慣性參考系，如果在非慣性系中應(yīng)用牛頓第二定律和動(dòng)量定理，必須考慮慣性力的影響。
參考文獻(xiàn):
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