三大數(shù)學流派之形式主義學派
原創(chuàng)作者：佚名 發(fā)布日期：2011年4月27日 來源：網(wǎng)絡
文章摘要：一般認為，形式主義的奠基人是希爾伯特 ，并把希爾伯特的數(shù)學觀和數(shù)學基礎稱作為“形式主義”，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數(shù)學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。...一般認為，形式主義的奠基人是希爾伯特，并把希爾伯特的數(shù)學觀和數(shù)學基礎稱作為“形式主義”，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數(shù)學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。而希爾伯特本人并不自命為形式主義者，他的學生貝爾奈斯也不認為希爾伯特是形式主義者。
形式主義的形成
形式主義理論體系是在非歐幾何產(chǎn)生之后，在數(shù)學和數(shù)學哲學研究中彌漫的“重建數(shù)學基礎”的氣氛中形成的。
當非歐幾何得到人們的承認，亦即當?shù)贸龌ハ嗝艿亩ɡ淼膬煞N幾何都證明了不自相矛盾的時候，人們便要問：數(shù)學的真理體現(xiàn)在那里?試想，一種幾何說，過直線外一點只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說，過直線外一點至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說：過直線外一點不可以做任何直線于原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎?理應至少有兩個是錯誤的，為什么三個幾何都成立呢?
德國著名數(shù)學家希爾伯特主張，保衛(wèi)經(jīng)典數(shù)學和經(jīng)典的數(shù)學方法，并且發(fā)展他們。他認為，經(jīng)典數(shù)學，包括由于集合論的出現(xiàn)而發(fā)展起來的新的數(shù)學方向，都是人類最有價值的精神財富；為了在數(shù)學中避免出現(xiàn)悖論，就設法絕對的證明數(shù)學的無矛盾性，使數(shù)學奠定在嚴格的公理化的基礎上，數(shù)學的公理和邏輯推理就像天文學家手中的望遠鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實現(xiàn)這一目的，希爾伯特在1922 年提出了著名的希爾伯特計劃。
形式主義的基本思想
希爾伯特計劃的主要思想就是：奠定一門數(shù)學的基礎，應該嚴格的、數(shù)學的證明這門數(shù)學的協(xié)調性（即無矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計劃的數(shù)學內容就是數(shù)理邏輯中的證明論。
希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數(shù)學基礎》是希爾伯特計劃的代表作。希爾伯特計劃，將各門數(shù)學形式化，構成形式系統(tǒng)，然后用一種初等方法證明各個形式系統(tǒng)的相容性，即無矛盾性，從而導出全部數(shù)學的無矛盾性。
他區(qū)分了3 種數(shù)學理論：
1.直觀的非形式化的數(shù)學理論；
2.將第一種數(shù)學理論形式化，構成一個形式系統(tǒng)，把直觀數(shù)學理論中的基本概念轉換為形式系統(tǒng)中的初始符號，命題轉換為符號公式，推演規(guī)則轉換為符號公式之間的變形關系，證明轉換為符號公式的有窮序列；
3.是描述和研究第二種數(shù)學理論的，稱為元數(shù)學、證明論或元理論。元數(shù)學是以形式系統(tǒng)為研究對象的一門新數(shù)學，它包括對形式系統(tǒng)的描述、定義，也包括對形式系統(tǒng)性質的研究。
形式主義的提出是數(shù)學發(fā)展史上最重要的轉折點，它標志著元數(shù)學的建立。從此，數(shù)學的發(fā)展進入研究形式系統(tǒng)的新階段。
這里我們要說明一點：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統(tǒng)出發(fā)，不同點是：邏輯主義者當追到邏輯公理系統(tǒng)時，不再持有原來的對公理體系的觀點，而要求邏輯公理系統(tǒng)具有內容，而且想方設法探求邏輯規(guī)律的真理性究竟體現(xiàn)在什么地方，形式主義者則不然，他們認為數(shù)學的公理系統(tǒng)或邏輯的公理系統(tǒng)，其中基本概念都是沒有意義的，其公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統(tǒng)是相容的，不互相矛盾的，該公理系統(tǒng)便得承認，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統(tǒng)也認為是沒有內容的，不能由內容方面保證其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作為真理所在了。
希爾伯特原來設想，數(shù)學的相容性證明可以限于有窮的構造性方法范圍之內。但是研究表現(xiàn)，這個范圍應當加以擴充。哥德爾的不完備性定理說，“任何一個相容的數(shù)學形式化理論中，只要它強到足以在其中定義自然數(shù)的概念，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。” “任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性”。這個定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數(shù)學基礎思想?yún)s發(fā)展了元數(shù)學，這就把形式心理學向前推進了一步，促進了數(shù)學的發(fā)展?，F(xiàn)在，元數(shù)學（證明論）已發(fā)展為數(shù)理邏輯的四大分支之一。
形式主義的代表人物有美國數(shù)學家魯濱遜和柯恩等人。他們認為：數(shù)學應該被看作一種純粹的紙上符號游戲，對這種形式的唯一要求是不會導致矛盾。但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。
三大數(shù)學流派之邏輯主義學派
原創(chuàng)作者：佚名 發(fā)布日期：2011年4月27日 來源：網(wǎng)絡
文章摘要：邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數(shù)學家、哲學家和邏輯學家羅素，他主張全部數(shù)學可以以一個邏輯公理系統(tǒng)嚴格推導出來，也就是說可以從邏輯概念出發(fā)用明顯的定義得出數(shù)學概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數(shù)學定理。從而，使全部數(shù)學都可以從基本的邏輯概念和邏輯規(guī)則而推導出來。這樣，就可以...集合論在19世紀末由康托建立后，集合概念成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經(jīng)相信，全部數(shù)學的基礎理論可用集合概念統(tǒng)一起來。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學家大會上，龐加萊曾滿懷信心的說：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴格化已經(jīng)達到了。” 可是這話說出后還不到3 年，英國數(shù)學家羅素于1902年給德國數(shù)學家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數(shù)學基礎發(fā)生動搖，用弗雷格的話說：“突然它的一塊基石崩塌下來了。”
羅素的集合悖論：
集合可以分為兩類：第一類集合的特征是，集合本身又是集合中的元素，例如當時人們經(jīng)常說的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是，集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。顯然，一個集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類?，F(xiàn)在假定R是所有第二類集合所成的集合。那么，R是哪一類的集合呢? 羅素悖論一個通俗的說法是理發(fā)師悖論：
在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
集合論中為什么會產(chǎn)生矛盾這個非常根本的問題，涉及數(shù)學邏輯推理的可信性和數(shù)學命題的真理性問題，屬于數(shù)學哲學的范疇。
從1900年到1930年的30年間，許多數(shù)學家卷入了一場關于數(shù)學哲學基礎的討論，并逐漸形成不同的數(shù)學基礎學派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個學派。
邏輯主義的歷史淵源
邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時代，他把邏輯學想象成一種普遍的科學，這種科學包括構成其它所有科學的基礎的一些原則，這種邏輯學先于一切科學的觀點，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他并未能開展這一方面的工作。到了19 世紀，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發(fā)揮，并且都取得了不小的成就。
邏輯主義的基本思想
邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數(shù)學家、哲學家和邏輯學家羅素，他與懷特海于1913年完成了邏輯主義的經(jīng)典代表作《數(shù)學原理》。作者企圖在這3卷本的數(shù)學巨著中向人們說明：全部數(shù)學可以以一個邏輯公理系統(tǒng)嚴格推導出來，也就是說可以從邏輯概念出發(fā)用明顯的定義得出數(shù)學概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數(shù)學定理。從而，使全部數(shù)學都可以從基本的邏輯概念和邏輯規(guī)則而推導出來。這樣，就可以把數(shù)學看成是邏輯學延伸或分支。所以，羅素說：“邏輯學是數(shù)學的青年時代，而數(shù)學是邏輯學的壯年時代。”“數(shù)學即邏輯”
羅素在他的《數(shù)理哲學導論》一書中進一步的闡述了他的主張：“通過分析來達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發(fā)能使現(xiàn)在作為出發(fā)點的東西得以被定義和演繹出來”。那么是什么樣的思想原則呢?羅素接著說：“應當以一些已被普遍承認了的邏輯的前提出發(fā)，再經(jīng)過演繹而達到那些明顯的屬于數(shù)學的結果。”即把數(shù)學化歸于邏輯，這是他的基本觀點。
在《數(shù)學原理》中，羅素和懷特海曾通過純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當時的數(shù)學嚴格的推導了出來，獲得成功。故羅素宣稱：“從邏輯中展開純數(shù)學的工作，已由懷特海和我在《數(shù)學原理》中詳細的做了出來。” 但是，事實并非如此，羅素從一個邏輯系統(tǒng)推導數(shù)學時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無窮公理則自然數(shù)系統(tǒng)就無法構造，更不要說全部數(shù)學了。所以，羅素并沒有將數(shù)學化歸為邏輯，而是化歸為集合論。
要從邏輯推出全部數(shù)學，就必須發(fā)展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒有相容性的，但是，在邏輯系統(tǒng)中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論?？珊髞砹_素與懷特海所做的工作并沒有很好的解決這個問題，進而遭遇了不少困難。
數(shù)學基礎學家一般都不接受“數(shù)學就是邏輯”的觀點；同樣也不能接受“一切數(shù)學思維都是邏輯思維”的說法。但是，盡管如此。羅素與懷特海合著的《數(shù)學原理》一書在20世紀的科學技術發(fā)展中影響很大。它以當時最嚴格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標志符號邏輯方法的成功。并顯示了數(shù)學的邏輯基礎研究的意義，因而進一步的顯示了現(xiàn)代邏輯的科學意義。
《數(shù)學原理》一書成為名著。盡管邏輯主義的主張不能實現(xiàn)，邏輯主義的數(shù)學觀不能為數(shù)學基礎學者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當成功的把古典數(shù)學納入了一個統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，使之能從幾個邏輯概念和公理出發(fā)，再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、一般算術和大部分數(shù)學來。這把邏輯推理發(fā)展到前所未有的高度，使人們看到，在數(shù)理邏輯演算的基礎上能夠推演出許多數(shù)學內容來，形成了集合論公理系統(tǒng)的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對數(shù)理邏輯后來的發(fā)展起了決定作用，是近代公理方法的一個重要起點。
三大數(shù)學流派之直覺主義學派
原創(chuàng)作者：佚名 發(fā)布日期：2011年4月27日 來源：網(wǎng)絡
文章摘要：直覺主義學派認為，集合悖論的出現(xiàn)不可能通過對已有數(shù)學作局部的修改和限制加以解決，而必須對數(shù)學作全面審視和改造。他們所依據(jù)的可信標準是：“直覺上可構造性”。其著名口號為“存在必須是被構造”。直覺主義者的“直覺”，是指思維的本能，一種心智活動。 ...直覺主義學派的主要代表人物是布勞威爾（Brouwer），直覺主義學派認為，集合悖論的出現(xiàn)不可能通過對已有數(shù)學作局部的修改和限制加以解決，而必須對數(shù)學作全面審視和改造。他們所依據(jù)的可信標準是：“直覺上可構造性”。其著名口號為“存在必須是被構造”。直覺主義者的“直覺”，是指思維的本能，一種心智活動。
直覺主義的歷史根源
直覺主義的思想可以追溯到亞里士多德時期，亞里士多德是歷史上第一位反對實無窮，只承認潛無窮的哲學家。直覺主義的哲學觀點則是直接淵源于康德和布勞威爾的自然數(shù)源于“原始直覺”，即康德的“自然數(shù)是從時間的直覺推演出來”的主張。
19世紀的克羅內克強調能行性，說當時好些定理都只是符號的游戲，沒有實際意義。他認為：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，別的都是人造的。而整數(shù)在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑。” 其意是說，只有自然數(shù)是真實存在，其余都只是人為做出的一些文字符號罷了。他還主張在自然數(shù)的基礎上來構造整個數(shù)學。
20 世紀初，龐加萊亦持自然數(shù)為最基本的直觀及潛無窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺主義或法國經(jīng)驗主義亦強調能行性的觀念。
他們公開否認選擇公理，認為根據(jù)選擇公理而作的集合，根本沒有能行性，不能承認其存在。他們提出能行性的概念，沒有能行性的便不承認其存在。他們都是直覺主義的先驅。所有這一切，都為布勞威爾的直覺主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅們之大成，系統(tǒng)的提供了直覺主義的主張。
直覺主義的數(shù)學觀思想
直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數(shù)學家布勞威爾，從1907 年布勞威爾的博士論文《數(shù)學的基礎》開始，直覺主義者逐步系統(tǒng)的闡述了他們的數(shù)學觀和重建數(shù)學基礎的主張。
他的數(shù)學觀包括以下幾個方面：
(1) 他對數(shù)學對象的觀點。
他提出一個著名的口號：“存在即是被構造。”他認為，人們對數(shù)學的認識不依賴于邏輯和語言經(jīng)驗，而是“原始直覺”（即人皆有的一種能力），純粹數(shù)學是“心智的數(shù)學構造自身”、是“反身的構造”，它“開始于自然數(shù)”，而不是集合論。這種數(shù)學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立于人們的知識無關，與人們所持的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就怎樣，數(shù)學判斷應該是永恒的真理。
因此，布勞威爾不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系。
實無窮論者認為“ 自然數(shù)全體” 就是指自然數(shù)集{1，2，3，……} ，這是一個確實存在了的完成了的集合，可以而且應該作為數(shù)學研究的對象。
潛無窮論者否認實無窮，認為無窮只是潛在的，并不是已完成了的封閉實體，只是就其發(fā)展來說是無窮的。在他們看來，自然數(shù)1，2，3，……只能是永遠處于不斷被構造和生成的過程，而不是完成了的、封閉實體。
所以，諸如“自然數(shù)全體”這樣的概念是沒有意義的。
(2)對數(shù)學所用的邏輯的觀點。
布勞威爾對數(shù)學對象的觀點直接導出了他對數(shù)學所用的邏輯觀點，認為“邏輯不是發(fā)現(xiàn)真理的絕對可靠的工具”，并認為，在真正的數(shù)學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經(jīng)典邏輯規(guī)律是從有窮集抽象出來的規(guī)律，因此不能無限制的使用到無窮集上去，同樣不能使用反證法。
直覺主義對20世紀數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。本世紀30年代以后，由于哥德爾的工作，許多數(shù)學家開始重視直覺主義。數(shù)學家們紛紛嘗試用構造法建立實數(shù)理論、數(shù)學分析以至全部數(shù)學，得出不少重要結果。
構造性數(shù)學已經(jīng)成為數(shù)學科學中一個重要的數(shù)學學科群體，與計算機科學密切相關。1967年，美國數(shù)學家畢肖普完成并出版《構造性分析》一書，開始了直覺主義學派的構造主義時期。
歷史證明，三大流派都有各自的優(yōu)點和缺陷，但是他們彌補了數(shù)學基礎的很多不足，為數(shù)學的嚴密性提供了更加精確的符號和語言。用G. H. Hardy的一句話來說就是：“Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.”
責任編輯：藍風
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