一個(gè)工程，如果10個(gè)人來完成，需要30天；20人來完成，需要15天。看起來這樣推理是沒有問題的。因?yàn)楣こ炭偭渴莻€(gè)定值，完成時(shí)間與參與工程的人數(shù)成反比。這樣的問題不常常在我們的資料上出現(xiàn)么？
只要稍一延伸，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題。30人來完成，需要10天；300人來完成，需要1天；3000人來完成，需要0.1天……照這樣推理，原來需要幾十人修建幾個(gè)月的樓房，只要人足夠多，就可以在一瞬間之內(nèi)建好！雖然我們常說：人多好辦事，但這也太不可思議了吧。
之所以得出這種不符合實(shí)際的結(jié)論，是因?yàn)樵诤芏鄬?shí)際問題中，反比例函數(shù)模型的成立，是要求自變量的取值在一定范圍內(nèi)的。
而在反比例函數(shù)教學(xué)的時(shí)候，教材考慮到學(xué)生的接受能力，沒有引入函數(shù)的定義域，那老師們更談不上強(qiáng)調(diào)。
反比例函數(shù)教學(xué)，對(duì)總量為定值強(qiáng)調(diào)較多。但有時(shí)候，由于有些人考慮不周到，把總量不為定值的問題也當(dāng)作簡單的反比例函數(shù)來處理了。典型的例子就是牛吃草問題。
一片草地能夠讓10頭牛吃30天，如果有15頭牛，能吃幾天呢？如果簡單地認(rèn)為：牛頭數(shù)越多，吃的天數(shù)就越少，二者是反比例關(guān)系，應(yīng)該是于30×10÷15=20天。
此問題當(dāng)然不會(huì)這樣簡單。牛吃的草，有的是原來的，有的是這些天里新長的，又不是只吃原來草場上的那些草。牛多了，新長的草還不夠牛吃的，夠吃的天數(shù)會(huì)比20天少。至于到底是多少天，由于題目條件不足，沒法計(jì)算。下面我們給出一個(gè)完整的題目。
有一片草地，如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草，如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草。假設(shè)草每天勻速生長，每頭牛吃草的量是相等的。如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？
解這類問題的關(guān)鍵就是要注意到，雖然草總在生長，但操場上原來的草是定值，而草是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。抓住不變量，我們可以得到下面4個(gè)關(guān)系式；顯然（3）和（4）可看作是（2）的變式。
（1）草的生長速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；
（2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；
（3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；
（4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。
所以此題解答為：
草的生長速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12（份草）
原有草量：21×8-12×8=72（份草）
16頭牛可吃：72÷(16-12)=18（天）
此問題大有來頭，最早是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的，記載在他的《普遍的算術(shù)》一書中。
此類問題的研究很有必要，因?yàn)樵趯?shí)際生活中可以找到很多這樣的例子。譬如超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60名顧客前來排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時(shí)刻，超市如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問如果當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了。
分析：一個(gè)收銀臺(tái)4小時(shí)處理4*80=320名顧客付款，4小時(shí)中有4*60=240名顧客前來排隊(duì)，則超市開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)時(shí)有320-240=80名顧客要付款。設(shè)當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)付款開始x小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，則80+60x=2*80x，解得x=0.8。
有人認(rèn)為這道題是道錯(cuò)題，理由是：收銀員每小時(shí)能應(yīng)付80名顧客，但只來60名，這說明收銀員完全可以應(yīng)付的過來啊。何必還要考慮增設(shè)收銀臺(tái)呢？
提出質(zhì)疑說明他有過思考。假設(shè)每分鐘來一個(gè)顧客，收銀員馬上處理，來一個(gè)走一個(gè)，確實(shí)用不著排隊(duì)，更不用增設(shè)收銀臺(tái)?？墒穷櫩偷牡絹硎请S機(jī)的，而不是均勻的。以最差的情況來說，60名顧客同時(shí)來付款，那么后面的人就要等四五十分鐘了。而在一般情況下，可能要等半小時(shí)以上。等得太久，顧客可能會(huì)放棄購物，這是超市不愿意看到的，所以要考慮增加收銀臺(tái)。
而增加收銀臺(tái)，則意味著超市將增加成本，而且超市并不是每時(shí)每刻都那么忙。兩者權(quán)衡之下，超市會(huì)根據(jù)需要增加收銀臺(tái)，但絕不會(huì)增加太多。
當(dāng)然，有些數(shù)學(xué)題人為簡化了生活中的一些問題。譬如下面這道排隊(duì)問題。
畫展九點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)零9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個(gè)入場口，9點(diǎn)零5分就沒有人排隊(duì)，第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是什么時(shí)間？
解：設(shè)每分鐘來x個(gè)人，每個(gè)入場口每分鐘進(jìn)y人，第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)距9點(diǎn)有z分鐘，由題可得:x(z+9)/(3*9*y)=x(z+5)/(5*5*y),解得z=45,所以第一個(gè)到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)15分。
排隊(duì)論是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，主要研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法。排隊(duì)論應(yīng)用十分廣泛，千萬不要覺得只有排著長龍的地方，才有排隊(duì)論！譬如一條線路要安排多少輛公交車，移動(dòng)公司要安排多少個(gè)接電話的客服，醫(yī)院要安排多少張病床，很多實(shí)際問題都要用到排隊(duì)論。甚至可以說，排隊(duì)論適用于一切服務(wù)系統(tǒng)，尤其在通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)、存貯系統(tǒng)、生產(chǎn)管理系統(tǒng)等領(lǐng)域。
評(píng)價(jià)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的好壞要以顧客與服務(wù)機(jī)構(gòu)兩方面的利益為標(biāo)準(zhǔn)，既要滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又要使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。就顧客來說總希望等待時(shí)間或逗留時(shí)間越短越好，從而希望服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)盡可能多些但是，就服務(wù)機(jī)構(gòu)來說，增加服務(wù)臺(tái)數(shù)，就意味著增加投資，增加多了會(huì)造成浪費(fèi)，增加少了要引起顧客的抱怨甚至失去顧客，增加多少比較好呢？顧客與服務(wù)機(jī)構(gòu)為了照顧自己的利益對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)中的3個(gè)指標(biāo)：隊(duì)長、等待時(shí)間、服務(wù)臺(tái)的忙期都很關(guān)心。因此這3個(gè)指標(biāo)也就成了排隊(duì)論的主要研究內(nèi)容。
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