教學(xué)目標(biāo)：了解第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及其發(fā)生與解決。體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也要經(jīng)歷從不完善到完善的過(guò)程。
教學(xué)過(guò)程
一、導(dǎo)入
經(jīng)歷了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)就一帆風(fēng)順地發(fā)展下來(lái)了嗎？不是的?！ ?/p>
二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
1、芝諾悖論引發(fā)微積分的產(chǎn)生
十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱(chēng)為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來(lái)看，它的發(fā)生也帶有必然性。
這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對(duì)無(wú)限性的理解問(wèn)題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無(wú)限的四個(gè)悖論：
“兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的1/4點(diǎn)……，如此類(lèi)推以至無(wú)窮。——結(jié)論是：無(wú)窮是不可窮盡的過(guò)程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。
“阿基里斯(《荷馬史詩(shī)》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過(guò)的路程一再平分。
“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
“操場(chǎng)或游行隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的C來(lái)看，比如說(shuō)A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里，可是從A看來(lái)，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。
芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專(zhuān)門(mén)針對(duì)數(shù)學(xué)的，但是它們?cè)跀?shù)學(xué)王國(guó)中卻掀起了一場(chǎng)軒然大被。它們說(shuō)明了希臘人已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無(wú)法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無(wú)窮小。
經(jīng)過(guò)許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門(mén)學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績(jī)主要在于：把各種有關(guān)問(wèn)題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；微分法和積分法有明確的計(jì)算步驟；互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問(wèn)題的重要工具。
說(shuō)白了，微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分，無(wú)限就是極限。極限思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題。比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。
其實(shí)，作為微積分基礎(chǔ)的極限思想，在中國(guó)古老的著作《莊子》中就出現(xiàn)過(guò)，《莊子》天下篇中有“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”的無(wú)窮思想，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)創(chuàng)立的“割圓術(shù)”中也有極限思想：“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割，以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣。”
只不過(guò)，中國(guó)人沒(méi)有覺(jué)得這有什么，也就沒(méi)有去研究。
微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一。它使數(shù)學(xué)從初等數(shù)學(xué)“進(jìn)化”到了高等數(shù)學(xué)。
2、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生
運(yùn)用微積分雖然可解決無(wú)限細(xì)分和無(wú)限求和這樣的問(wèn)題，但微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，運(yùn)用了自相矛盾的思想：一方面，他用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，這時(shí)候的無(wú)窮小量不能為零；另一方面，他把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式。雖然力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾。焦點(diǎn)是：無(wú)窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？
無(wú)窮小量究竟是不是零？?jī)煞N答案都會(huì)導(dǎo)致矛盾。牛頓對(duì)它曾作過(guò)三種不同解釋?zhuān)?669年說(shuō)它是一種常量；1671年又說(shuō)它是一個(gè)趨于零的變量；1676年它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無(wú)法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無(wú)窮小量成比例的有限量的差分來(lái)代替無(wú)窮小量，但是他也沒(méi)有找到從有限量過(guò)渡到無(wú)窮小量的橋梁。
雖在牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分之后的大約一百年中，很少有人注意到從邏輯上加強(qiáng)這門(mén)學(xué)科的基礎(chǔ)，但絕不是對(duì)薄弱的基礎(chǔ)沒(méi)有人批評(píng)。對(duì)有缺陷的基礎(chǔ)強(qiáng)有力的批評(píng)來(lái)自一位非數(shù)學(xué)家，這就是著名的英國(guó)唯心主義哲學(xué)家、大主教貝克萊。1734年，貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)----無(wú)窮小的問(wèn)題，提出了所謂貝克萊悖論。由此圍繞微積分基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)便開(kāi)始了。數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和神學(xué)家都紛紛卷入其中，被稱(chēng)為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
３、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大概念不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和具有任意性等等；符號(hào)的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等?！?/p>
歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見(jiàn)地的意見(jiàn)的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早想象使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的是拉格朗日，為了避免使用無(wú)窮小推斷和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來(lái)，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無(wú)法討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。所以，拉格朗日的以?xún)缂?jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問(wèn)題。
到了十九世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極地為微積分學(xué)的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾。他開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入導(dǎo)數(shù)學(xué)分析中。1816年他在二項(xiàng)展開(kāi)公式的證明中，明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念。同時(shí)對(duì)極限、連續(xù)、變量有了較深入的理解。特別是他曾寫(xiě)出《無(wú)窮的悖論》一書(shū)，書(shū)中包含許多真知灼見(jiàn)?？上В谒ナ纼赡旰笤摃?shū)才得以出版。
分析學(xué)的奠基人，公認(rèn)為法國(guó)多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西?？挛髟跀?shù)學(xué)分析和置換群理論方面做了開(kāi)拓性的工作，是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無(wú)窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基礎(chǔ)概念的精確定義，例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義，不過(guò)現(xiàn)在寫(xiě)的更加嚴(yán)格一點(diǎn)。
經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
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