先聲明一句，這篇帖子為了使非數(shù)學(xué)專業(yè)的人能夠閱讀下去，對(duì)主要概念的來源和主要定理的證明進(jìn)行了一些簡(jiǎn)化，可能導(dǎo)致不嚴(yán)謹(jǐn)。所以只能歸類于瞎扯范疇。專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者不要過于苛責(zé)。我為了簡(jiǎn)明扼要說清楚，不得不在嚴(yán)謹(jǐn)上做妥協(xié)，甚至有的地方可能是錯(cuò)的。
這篇帖子目的是介紹數(shù)學(xué)是如何從研究計(jì)算進(jìn)化到研究結(jié)構(gòu)的。
伽羅華是數(shù)學(xué)從計(jì)算轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵人物，或者說是數(shù)學(xué)從古代轉(zhuǎn)向近代的關(guān)鍵人物。在伽羅華之前，數(shù)學(xué)本質(zhì)是靠計(jì)算來解決問題，伽羅華以超凡的洞察力，構(gòu)建了從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來研究數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的框架。這時(shí)從具體到抽象的一步巨大跨越。
我想用一個(gè)具體例子說明人類是如何從具體事物進(jìn)化到抽象概念的。
為了非數(shù)學(xué)系的人能夠知道我說的內(nèi)容，我用了大量描述性語(yǔ)言，所以不夠嚴(yán)謹(jǐn)。在通俗和嚴(yán)謹(jǐn)之間，只能做此取舍。
人類第一個(gè)真正的抽象學(xué)科是抽象代數(shù)，抽象代數(shù)是從伽羅華群論發(fā)展起來。為了理解抽象代數(shù)，我們介紹一下伽羅華群論的來歷，這樣便于以后有興趣看抽象代數(shù)，進(jìn)入本質(zhì)更快一點(diǎn)。
由于篇幅和豆瓣對(duì)符號(hào)的限制，一般抽象代數(shù)就無法介紹了，有興趣的自己去看書。這里只做點(diǎn)科普。
我們已經(jīng)在以前討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的帖子里知道，現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要研究從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出的...是域。比如D是一個(gè)含有非零數(shù)的數(shù)集，如果D對(duì)于數(shù)的四則運(yùn)算都封閉，那么稱代數(shù)系統(tǒng)（D,+，－，×，÷）為一個(gè)域。
有理數(shù)域（Q,+,*)，實(shí)數(shù)域（R,+,*），復(fù)數(shù)域（C,+,*），連續(xù)函數(shù)域（R^R,+，·）都是域。但整數(shù)集Z不是域，因?yàn)?/x不是整數(shù)。（整數(shù)集Z是一個(gè)環(huán)，是整環(huán)）。
線性代數(shù)就是域的一個(gè)特例。
抽象代數(shù)與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。
在抽象代數(shù)研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，最簡(jiǎn)單的是群（Group）。它只有一種符合結(jié)合率的可逆運(yùn)算，通常叫“乘法”。如果這種運(yùn)算也符合交換率，那么就叫阿貝爾群 （Abelian Group）。
群論是伽羅華（Galois）在研究多項(xiàng)式方程根式求解過程中提出的，是抽象代數(shù)的起點(diǎn)。
所以想理解抽象代數(shù)，就得先理解群論，想理解群論，就得先理解伽羅華理論，想理解伽羅華理論，就得先了解拉格朗日的代數(shù)方程工作。
1、代數(shù)方程的歷史
我們?cè)诔踔芯椭赖囊辉淮魏鸵辉畏匠痰那蠼夥椒ㄆ鋵?shí)在古巴比倫時(shí)代就存在了，但是一元三次方程解的公式直到十六世紀(jì)初才由意大利人塔塔里亞發(fā)現(xiàn)。
三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利人的費(fèi)拉里解出。
先補(bǔ)充介紹一下一元一次方程到一元四次方程的解法，這個(gè)與后來的群的思想有關(guān)。
一次方程：ax+b=0，只要是學(xué)過初等代數(shù)的都會(huì)解：x=-b/a。
二次方程：ax^2+bx+c=0,解是:x=（-b±(b^2-4ac)^1/2）/2a，這個(gè)用因式分解很容易。
在公元前巴比倫人已能解這種形式的方程。
三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0和四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e =0的解法比解一次，二次的方程難得多了。
對(duì)一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，先除掉a，令b/a=a，c/a=b，d/a=c，原方程變成：
x^3+ax^2+bx+c=0，
令y=x+a/3，得：y^3+py+q=0。（1）
其中p=b－a^2/3，q=2a^3/27－ab/3+c，考慮等式（u+v）^3=u^3+v^3+3（u+v）uv.
即（u+v）^3－3（u+v）uv－（u^3+v^3）=0。（2）
比較（1）和（2），令y=u+v，則方程（2）變?yōu)椋?br>（u+v）^3+p（u+v）+q=0，其中p=－3uv,q=－(u^3+v^3)。
即u^3v^3=－p^3/27，u^3+v^3=－q。（3）
則得到v^6+qv^3-p^3/27=0
把v^3當(dāng)成x,則是一個(gè)二次函數(shù)，易解得，u^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2，v^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2；由于u,v對(duì)稱，所以也有v^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2，u^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2同時(shí)成立；
所以可得到:
y=（－(q/2)+(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3+（－(q/2)-(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3，進(jìn)而可得到原方程根x的值。
同理整理四次方程，對(duì)于x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0，令y=x+a/4，則原方程可變?yōu)椋?br>
y^4+py^2+qy+r=0。（4）
其中p=b－6(a/4)^2，q=c－(a/c)b+(a/2)^3，r=d－(a/4)c+(a/
4)^2b－3(a/4)^4
（4）移項(xiàng)，得：y^4+py^2=－qy－r。（5）
（5）等式左邊配方，得：(y^2+p/2)^2=－qy－r+(p/2)^2.
在左端括號(hào)內(nèi)加u得：(y^2+p/2+u)^2=－qy－r+(p/2)^2+2uy^2+pu+u^2。（6）
則右端應(yīng)為完全平方數(shù)，故有：Δ=q^2-4×2u(p^2/4+pu+u^2－r)=0。（二次方程可以分解為（x-（-b+(b^2-4ac)^1/2）/2a)(x-（-b-(b^2-4ac)^1/2）/2a)，如果Δ不等于零，就無法滿足右端完全平方數(shù)條件。（Δ=b^2-4ac）。
即：8u^3+8pu^2+（2p^2－8r）u－q^2=0。（7）
（7）顯然為可解的三次方程，解答該方程就可得到u的值。
而且（6）就變?yōu)?y^2+p/2+u)^2=((2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2))^2。
因此有y^2+p/2+u=(2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2)
由于u已經(jīng)解出（按照三次方程解法，有兩組，每組三個(gè)值），p,q,r都是已知的方程系數(shù)（見（4））所以這個(gè)二次方程很容易得到y(tǒng)的值，進(jìn)而得到原方程的根x的值。
上面工作都是初等數(shù)學(xué)，學(xué)過初中一年級(jí)因式分解，理解毫無問題。
注意，數(shù)學(xué)家的大招馬上就來，一步從初中跨入大學(xué)。 當(dāng)然后面內(nèi)容也是檢驗(yàn)一個(gè)人抽象思維能力的試金石，看不懂的話，也就沒法從事數(shù)學(xué)工作了。
2、拉格朗日工作
在介紹拉格朗日工作前，我們先得介紹韋達(dá)定理。
★韋達(dá)定理：
設(shè)x1,x2,......xn是方程x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+.......+an-1x+an的n個(gè)根，則：
x1+x2+......+xn=-a1
x1x2+x1x3+......+x1xn+x2x3+......xn-1xn=a2
......
x1x2....xn=(-1)^n*an
韋達(dá)定理很容易用數(shù)學(xué)歸納法證明。
下面介紹一下簡(jiǎn)單置換的記號(hào)：
x1,x2,x3,....xn,如果進(jìn)行置換，例如x1置換成x2,x2置換成x3,......xn置換成x1,記成（123......n），置換不變，記為1。顯然n元素所有的置換是一個(gè)n!元素的集合。
先介紹拉格朗日的發(fā)現(xiàn)，然后介紹其發(fā)現(xiàn)過程。
拉格朗日發(fā)現(xiàn)：
★解一元三次方程需要預(yù)解二次輔助方程，解一元四次方程需要預(yù)解三次輔助方程。
★要解高次方程主要是解它的輔助方程。
★輔助方程的次數(shù)必須小于原方程的次數(shù)，不然原方程一般不可解。
（當(dāng)然解三次方程時(shí)的輔助方程是六次的，是因?yàn)榭砂炊畏匠糖?，所以本質(zhì)還是降階了）
★由于輔助方程解的表達(dá)式可以任意交換其系數(shù)a,b,c的位置（因?yàn)閷?duì)稱），即3次方程的解的表達(dá)式有 3!=3×2=6個(gè)。（Lagrange原話是：方程的解其實(shí)不依賴a, b, c 的值，而是依賴輔助方程結(jié)構(gòu)在原方程根下置換出的不同值的個(gè)數(shù)）。
至此，解代數(shù)方程必有置換的想法已正式形成（也即n次方程的n個(gè)根的排列順序有n!個(gè)，或者說這n！個(gè)排列組合的根，都是方程的解，也即方程根時(shí)對(duì)稱的）。
這是一個(gè)很重要的發(fā)現(xiàn)：也即方程解必須滿足置換條件，這也就是伽羅華從研究求解轉(zhuǎn)為研究代數(shù)方程結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)，他通過研究根組成的集合（置換群）的性質(zhì)，證明了：大于五次的方程的根組成的置換群其性質(zhì)導(dǎo)致其不可通過輔助方程降階，也即不可以用有理運(yùn)算和方根求解）。
★輔助方程的關(guān)鍵是找到根的表達(dá)式——預(yù)解式（為原方程根的函數(shù)），解方程只需要找到預(yù)解式。
所以解代數(shù)方程實(shí)際是要解輔助方程，因此要尋找一個(gè)預(yù)解式，此預(yù)解式在原方程根的置換下取不同值的個(gè)數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找到了合適的預(yù)解式就得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表示），解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。
因?yàn)橹灰辛祟A(yù)解式，就很容易得到它在原方程根下置換出不同值的個(gè)數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。
下面介紹拉格朗日的工作過程。
先用二次方程來解釋他的思考過程。
考慮二次方程x^2+px+q=0，設(shè)x1,x2是其兩個(gè)解，構(gòu)造預(yù)解式r1=x1-x2，r2=x2-x1，顯然r1,r2在置換S(2)（包括置換1和（12），其實(shí)1和（12）就是一個(gè)2階置換群）下，有r1-->r1，r2-->r2；r1-->r2，r2--><><><><><>
那么如何把伽羅華域伽羅華群聯(lián)系起來呢？
伽羅華定義了域上自同構(gòu)群。域上的自同構(gòu)群概念的引入，使域與群發(fā)生了聯(lián)系，即建立了伽羅華 域的子域與伽羅華群的子群之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：保 持F元素不動(dòng)的的每個(gè)自同構(gòu)決定方程根的一個(gè)置換,它屬于伽羅瓦群G,反之,G中每 個(gè)置換引起的一個(gè)自同構(gòu),它使F的元素不動(dòng)。
這樣就建立了E的自同構(gòu)群和方程的伽羅瓦群之間的同構(gòu)。由此建立E的子域(包含F(xiàn))和 G的子群之間的一一對(duì)應(yīng)：保持子域Fi不動(dòng)的G中全部置換構(gòu)成的一個(gè)子群Gi,讓Gi與Fi對(duì)應(yīng),而且反過來也可 用Gi來刻劃Fi,即Fi是E中被Gi的每個(gè)置換保持不動(dòng)的元素全體。也即Fi和Gi存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
這就是伽羅瓦基本定理。顯然利用這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可由群的性質(zhì)刻劃域的性質(zhì),反之亦 然。因此,伽羅華的理論是群與域這兩種代數(shù)基本結(jié)構(gòu)綜合的結(jié)果。
那么怎么用伽羅華群性質(zhì)證明方程是否可解呢？
伽羅華在拉格朗日方法基礎(chǔ)上，認(rèn)為解方程，必須從預(yù)解式開始，當(dāng)他構(gòu)造二項(xiàng)方程作為預(yù)解方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)其相應(yīng)的置換子群應(yīng)是正規(guī)子群且指數(shù)為素?cái)?shù)才行。利用正規(guī)子群概念可以區(qū)分合成群與單群的概念，利用它的性質(zhì)就可以判別已知方程能否轉(zhuǎn)化為低次方程的可解性問題。這是伽羅華的第二個(gè)重要發(fā)現(xiàn)。
伽羅華的的思想是：
首先定義正規(guī)子群的概念：群G的子群N是G的正規(guī)子群，是指對(duì)每個(gè)g∈G，g^-1Ng=N；
其次是尋找極大正規(guī)子群列，確定極大正規(guī)子群列的一系列合成因子。
伽羅華證明：伽羅華域F，如果每次所添加的根式均為素?cái)?shù)次根，那么,那么F可以經(jīng)過有限次添加根式擴(kuò)張，成為E（也即方程有根式解）。這時(shí)中間域Fi的結(jié)構(gòu)等價(jià)于使Fi-1保持不變的的Fi自同構(gòu)置換群的結(jié)構(gòu)。這樣的自同構(gòu)群是素?cái)?shù)階的循環(huán)群,且階數(shù)為〔Fi:Fi-1〕。
伽羅華因此定義：如果一個(gè)群所生成的全部合成因子都是素?cái)?shù)，則稱這個(gè)群為可解的。
這樣就利用可解群的概念全面刻劃了用根式解方程的特性，給出了一個(gè)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則是：一個(gè)方程可用根式解的充要條件是這個(gè)方程的伽羅華群是可解群。
這樣伽羅華證明了：一元n次多項(xiàng)式方程能用根式求解的一個(gè)充分必要條件是該方程的伽羅華群為可解群。這時(shí)是1832年。
由于高于四次的一般方程的伽羅華群不是可解群，也就直接推論出高于四次的一般方程的不可解性。
也即伽羅華發(fā)現(xiàn)本質(zhì)就是：域的無數(shù)種擴(kuò)張方式其實(shí)就是有限階的群。n階對(duì)稱群對(duì)應(yīng)著n次一元方程，而5階和5階以上的對(duì)稱群不是可解群，也就是五次和五次以上的代數(shù)方程沒有求根公式。
（4）、伽羅華的創(chuàng)造
★先不忙考慮求解方法，先證明解是不是存在，不然就是無用功，也即伽羅華把存在性證明與數(shù)的計(jì)算相分離，這是人類偉大的一步。
★通過研究根式擴(kuò)張和根對(duì)稱性得出代數(shù)方程是否可解。也即發(fā)現(xiàn)方程解的對(duì)稱性和解的結(jié)構(gòu)，決定是否可以根式解。
具體說就是伽羅華發(fā)現(xiàn)：一個(gè)多項(xiàng)式方程有根式解的話，各個(gè)根的對(duì)稱性要滿足一定關(guān)系：出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式，一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函數(shù)。五次以上的方程這個(gè)關(guān)系不一定滿足。
伽羅華的發(fā)現(xiàn)證明：計(jì)算不如結(jié)構(gòu)重要。
伽羅華定義的群本質(zhì)就是方程根形成的集合必須具有對(duì)稱性質(zhì)。
如果解集上定義某種兩兩映射（同構(gòu)），如果能保持解集不變，解集就是對(duì)那個(gè)自同構(gòu)對(duì)稱的。
事實(shí)上，如果解集存在，保持解集不變的自同構(gòu)一定是存在的（很容易證明）。因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)恒等自同構(gòu)，即從自身映射到自身。再比如一元二次方程有兩個(gè)根x1和x2，那么x1到x2的映射也是一個(gè)自同構(gòu)。
這就是說，如果某個(gè)擴(kuò)張域是存在的，擴(kuò)張所對(duì)應(yīng)的自同構(gòu)也一定存在，這兩個(gè)存在性是等價(jià)的。所以擴(kuò)域的研究自然而然地變成了對(duì)自同構(gòu)的研究。
至此為止，我們把伽羅華的基本思想介紹完了。至于細(xì)節(jié)，我們?cè)谙旅婧?jiǎn)單介紹一下，對(duì)不想麻煩的人，不看也可以。
附：五次以上方程不可解性的嚴(yán)格證明（給一個(gè)抽象代數(shù)教科書典型的證明定理的例子）
證： 若S5（五階置換群）是可解的，則存在正規(guī)子群N使S5/N可交換。設(shè)f為S5到S5/N的自然同態(tài)，考察三項(xiàng)循環(huán)（a，b，c）∈S5，再取另兩元d，e。令x=（d，b，a），y=（a，e，c）。x^-1y^-1xy的f像為x‘^-1y'^-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交換知x‘^-1y'^-1x'y'=1，即有x^-1y^-1xy=（a，b，c）∈N。故N包含所有三輪換，同理其正規(guī)群列均包含三輪換，所以不可能結(jié)束于1。這就是5次以上一元方程不可解的證明。
4、說點(diǎn)細(xì)節(jié)
其實(shí)伽羅華關(guān)鍵工作我們已經(jīng)介紹完了。下面說點(diǎn)細(xì)節(jié)。
伽羅華定義的的群并不是現(xiàn)在抽象代數(shù)定義的群（最前面介紹的），伽羅華定義群是方程根的置換。從直覺來看，方程的解顯然和它們的順序無關(guān)，所以當(dāng)置換作用于方程的解集合時(shí)，方程對(duì)這種變換而言是對(duì)稱的。
伽羅華發(fā)現(xiàn)滿足這些條件的集合（群）的結(jié)構(gòu)是非常固定的。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：包含三個(gè)元素的群的結(jié)構(gòu)一定是 (0,1,-1)，其中0是恒等元，-1是1的逆元。（但是5階以上的對(duì)稱群不一定是可解群，所以5次以上的代數(shù)方程沒有一般的求根公式）。
在1831年的論文中，伽羅華首次提出了群這一術(shù)語(yǔ)，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他發(fā)現(xiàn)置換群是解方程的關(guān)鍵，方程的根是一個(gè)置換群。他從此開始把解方程問題轉(zhuǎn)化為置換群結(jié)構(gòu)問題(其實(shí)群這個(gè)概念不是伽羅華原創(chuàng)，柯西在1813年就提出了，只是沒能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：群的基本性質(zhì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)一元n次多項(xiàng)式方程解的關(guān)系）。
（1）、群的定義
★（封閉性）集合中任意兩個(gè)元素用規(guī)定的運(yùn)算時(shí)，所得的結(jié)果還是系統(tǒng)中的一個(gè)元素。也即集合G，任意x,y屬于G，集合G上定義的運(yùn)算為*，x*y也一定屬于G。（這個(gè)運(yùn)算*的定義是廣義的，既可以是加減乘除等運(yùn)算，也可以是旋轉(zhuǎn)，置換等等一切行為）。
例如：一個(gè)整數(shù)加到另一個(gè)整數(shù)上去的結(jié)果還是一個(gè)整數(shù)；兩個(gè)有理數(shù)相乘的結(jié)果還是一個(gè)有理數(shù)；一個(gè)置換將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1,另外一個(gè)置換是將x2變成x1,x3,x3變成x2,x1變成x3，那末這兩個(gè)置換結(jié)合仍然是一個(gè)置換；平面一個(gè)60度的旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針方向）之后跟著一個(gè)120度的旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針方向)，結(jié)果是一個(gè)180度的旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針方向)，仍然是一個(gè)旋轉(zhuǎn)等等。
★結(jié)合律必須成立。也即任意x,y,z屬于G，(x*y)*z=x*(y*z)。
★集合中必須含有單位元，也即與集合中任意另一個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果仍是那另一個(gè)元素。也即集合G存在單位元e，任意一個(gè)x屬于G，e*x=x。
例如，在定義加法的整數(shù)中，單位元是0，因?yàn)?與任何整數(shù)相加的結(jié)果還是那個(gè)整數(shù)；在定義乘法的有理數(shù)中，單位元是1，因?yàn)槿我庖粋€(gè)有理數(shù)用1乘了之后的積還是那個(gè)有理數(shù)；在置換中，單位元就是那個(gè)將x1變成x1，x2變成x2，x3變成x3的置換，因?yàn)槿我庖粋€(gè)置換和這個(gè)置換結(jié)合的結(jié)果還是那個(gè)置換；在平面旋轉(zhuǎn)中，單位元就是那個(gè)360度的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)榧现腥我庖粋€(gè)旋轉(zhuǎn)和這個(gè)旋轉(zhuǎn)結(jié)合的結(jié)果還是那個(gè)旋轉(zhuǎn)等等。
★每個(gè)元素必須有一個(gè)逆元素：一個(gè)元素和他的逆元素用集合上定義的運(yùn)算結(jié)合的結(jié)果是單位元。也即任意x屬于G，存在x^-，x^-*x=e。
例如，在整數(shù)集合中，定義加法，3的逆元素就是—3，因?yàn)?加上—3的和是0；在有理數(shù)集合中定義乘法，則a/b的逆元素是b/a,因?yàn)閍/b和b/a相乘的積是1；在置換中，將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換的逆元素是那個(gè)將x2變成x1,x3變成x2，x1變成x3的置換，因?yàn)檫@兩個(gè)置換結(jié)合的結(jié)果是那個(gè)將x2變成x2,x3變成x3,x1變成x1的置換；在平面旋轉(zhuǎn)中，那個(gè)60度的旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針方向）的逆元素是一個(gè)一個(gè)順時(shí)針方向的60度的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)檫@兩個(gè)旋轉(zhuǎn)結(jié)合的結(jié)果和那個(gè)360度的旋轉(zhuǎn)一樣。
滿足上述的四條性質(zhì)，就是一個(gè)群。
如果在整數(shù)上定義加法，但是若把0去掉，就不成為群了，因?yàn)闆]有單位元；一切整數(shù)用乘法作集合中的運(yùn)算不是群，例如3的逆元素1/3不在整數(shù)集合中。
所以一個(gè)集合是否是群，不但與元素有關(guān)，也與運(yùn)算有關(guān)。
前面已經(jīng)說了，群的元素不必一定是數(shù)，可以是一種運(yùn)動(dòng)（如平面旋轉(zhuǎn)），也可以是一種動(dòng)作（例如置換）；運(yùn)算不必一定要是加法或乘法，或?qū)こＫ阈g(shù)，抽象代數(shù)中所稱為的運(yùn)算，可以是任何定義，例如乘法可以是一個(gè)置換跟著另一個(gè)置換，也可以說是一個(gè)置換乘另一個(gè)置換。這個(gè)乘法與普通算術(shù)或代數(shù)中乘法不是一個(gè)概念，千萬不要蒙，而且群定義的廣義的乘法的性質(zhì)可以和普通乘法的性質(zhì)大異，例如，在普通的乘法中，2*3=3*2（普通的乘法是適合交換律的），也即普通乘法中因子的次序可以交換，結(jié)果相同?？墒?，置換中的“乘法”，交換律就不成立了，例如將x1變成x3，x3變成x1，x2變成x2的置換和一個(gè)將x1變成x2，x2變成x3，x3變成x1的置換就沒有交換律，如果先進(jìn)行第一個(gè)置換然后進(jìn)行第二個(gè)置換于式子x1x2+x3，那末，這式子先變成x3x2+x1，再變成x1x3+x2；如果將置換的次序交換一下，那末，原來的式子先變成x2x3+x1，再變成x2x1+x3，這個(gè)結(jié)果顯與前面一個(gè)不同。所以群里面定義的“乘法”是不需要適合交換律的，因此，相乘時(shí)元素的次序很重要；兩個(gè)元素用運(yùn)算結(jié)合時(shí)當(dāng)照一定的次序結(jié)合。
（2）、置換群
伽羅華用來解方程的是置換群(SubstitutionGroup)，下面先介紹一下記號(hào)。
一個(gè)將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換，可以用簡(jiǎn)單記號(hào)來表示：x可以省去，只要用1,2,3來代表于是這個(gè)置換可以記作(123)，這記號(hào)的意思是說：1變作2，2變作3，3變作1。也即：x1變作x2，x2變作x3，x3變作x1。（每個(gè)數(shù)變作他后一個(gè)數(shù)，而最后的一數(shù)則變成最先的一數(shù)，如此完成一個(gè)循環(huán)）
同樣，一個(gè)將x2變成x3,x3變成x1,x1變成x2的置換可以記作(231)；同樣(132)表示一個(gè)將x1變成x3,x3變成x2,x2變成x1的置換；又如(13)(2)或(13)表示一個(gè)將x1變成x3,x3變成x1,x2變成x2的置換，所以前面講乘法交換律時(shí)所說兩個(gè)置換相乘的例子，若照第一種次序是(13)(123)=(23)；若照第二種次序是(123)(13)=(12)，由這兩個(gè)式子就知道這種乘法是不適合交換律的，將一個(gè)元素右乘或左乘另一個(gè)元素，他的結(jié)果是完全不同的。
一個(gè)群的一部分元素構(gòu)成一個(gè)群，這種群稱為子群(Subgroup)。例如整數(shù)集定義加法成為群，單拿偶數(shù)集，定義加法，也成一群：因?yàn)槿旱乃膫€(gè)性質(zhì)都能適合：
★兩個(gè)偶數(shù)的和還是偶數(shù)；
★零是單位元；
★一個(gè)正偶數(shù)的逆元素是一個(gè)負(fù)偶數(shù)，而一個(gè)負(fù)偶數(shù)的逆元素是正偶數(shù)；
★結(jié)合律成立。
所以單是偶數(shù)全體對(duì)于加法而言是一個(gè)群，這個(gè)群就是是那個(gè)由一切整數(shù)定義加法而成的群的子群。
再例如，一個(gè)置換群（即是以置換作元素的群）也可以有子群。
例如，1,(12),(123),(132),(13),(23)六個(gè)置換構(gòu)成一個(gè)群（1表示那個(gè)不動(dòng)置換，即是將x1變成x1,x2變成x2,x3變成x3的置換)，因?yàn)槿旱乃臈l性質(zhì)都成立：這六個(gè)置換中每?jī)蓚€(gè)的積還是這六個(gè)中的一個(gè)置換，例如(12)(123)=(13)，(123)(132)=1,(13)(23)=(123)，(123)(123)=(132)，等等）單位元是1；每個(gè)元素的逆元素都在這六個(gè)元素之中，比如(123)的逆元素是(132)，(12)的逆元素是(12)等等；結(jié)合律成立。
現(xiàn)在從這六個(gè)置換中取出1和(12)兩個(gè)來，這兩個(gè)元素也成為一個(gè)群，這是原來那個(gè)群的子群。
很容易證明：子群的元數(shù)(即集合中元素的個(gè)數(shù))是原來的群的元數(shù)的約數(shù)（拉格朗日定理）。
（3）、不變子群
最重要的子群是不變子群。
變換的直觀定義：群中一個(gè)元素若以另一個(gè)元素右乘，再用這另一個(gè)元素的逆元素左乘，所得結(jié)果稱為元素應(yīng)用另一個(gè)元素的變換。
例如一個(gè)元素(12),我們用另一個(gè)元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132)去左乘他，結(jié)果是(132)(12)(123)=(23)，(23)就稱為(12)應(yīng)用(123)的變換。
定義：一個(gè)子群中任何元素應(yīng)用原來的群中任何元素的變換，若仍是子群中的元素，這子群就稱為原來那個(gè)群的不變子群。
對(duì)伽羅華理論來講，不變子群是很重要的概念。
定義：設(shè)H是G的不變子群，假如G中沒有包含H而且比H大的不變真子群存在時(shí)，H就稱為G的一個(gè)極大不變真子群。
定義：假設(shè)G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)極大不變真子群，K是H的一個(gè)極大不變真子群.......若將G的元數(shù)用H的元數(shù)去除，H的元數(shù)用K的元數(shù)去除，......如此所得的系列數(shù)，就稱為群G的組合因數(shù)，假設(shè)這些組合因數(shù)都是素?cái)?shù)，就說G是一個(gè)可解群（可解的含義后面再介紹）。
在有些群中，群中的一切元素都是某一個(gè)元素(不是單位元)的乘冪，比如在群1,(123),(132)中，2(123)=(123)(123)=(132)3(123) =(123)(123)(123)=1，這群中的元素都是(123)的乘冪，像這種群，稱為循環(huán)群。
在一個(gè)置換群中，如果每個(gè)元素都有一個(gè)而且只有一個(gè)置換將元素?fù)Q成其他某一個(gè)元素(這個(gè)元素也可以和原來那個(gè)元素相同)，那末，這個(gè)群就稱為正置換群。
例如前面所說的群1,(123),(132)在1中x1變成x1,在(123)中x1變成x2,在(132)中x1變成x3，......所以這是一個(gè)循環(huán)正置換群。這種群在方程的應(yīng)用上很重要。
伽羅華證明：對(duì)于一個(gè)一定的數(shù)域，方程x^n+a1x^n-1+......+an-1x+an=0的根都能構(gòu)造一個(gè)置換群，群的階數(shù)是n!。
例如對(duì)三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0，假定它的三個(gè)根x1,x2,x3是不同的，隨便取一個(gè)這三個(gè)根的函數(shù)，例如x1x2+x3，在這函數(shù)中，我們?nèi)魧⑦@些x互相替換，那末，一共有多少種置換呢？
顯然只有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個(gè)置換（3！）。
(12)置換，也即將x1x2+x3變成x2x1+x3；(13)置換，就是將x1x2+x3變成x3x2+x1等等。
(123)置換就是把原來的函數(shù)變成x2x3+x1。而1就是不動(dòng)置換了。所以對(duì)于這三個(gè)x，一共有3!種可能的替換。
同理，對(duì)于四個(gè)x有4！種可能的置換，一般的情形，n個(gè)x就有n!可能的替換。
當(dāng)然一個(gè)函數(shù)進(jìn)行一個(gè)置換的時(shí)候，函數(shù)的值可以因此而變，也可以仍舊不變，例如若將(12)這個(gè)置換施行于函數(shù)x1+x2，這函數(shù)的值不變，可是，若將(12)施行于函數(shù)x1-x2，函數(shù)的值就由x1-x2一變而為x2-x1了。
計(jì)算一個(gè)已知n次方程的伽羅華群是很困難的，因此伽羅華認(rèn)為目標(biāo)不在于計(jì)算伽羅華群，而是證明：
對(duì)任意n次方程，其伽羅華群是方程根的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個(gè)元素集合構(gòu)成的，S(n)中的元素乘積實(shí)際上是指兩個(gè)置換之積。現(xiàn)在把S(n)中的元素個(gè)數(shù)稱為階，S(n)的階是n!。
伽羅華找出方程系數(shù)域中的伽羅華群G后，找到它的最大真子群H1，用有理運(yùn)算來構(gòu)造根的一個(gè)函數(shù)Φ1（x) ，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。
再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，再找到一個(gè)函數(shù)Φ1（x) ，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R1；再找到H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群1）。
在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時(shí)，系數(shù)域R也隨之一步步擴(kuò)大為R1,R2,…,Rm，每個(gè)Ri對(duì)應(yīng)于群Hi。當(dāng)Hm=1時(shí)，Rm就是該方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。
我們從拉格朗日工作已經(jīng)知道一個(gè)方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。
于是，伽羅華引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個(gè)重要概念“正規(guī)子群”
（4）、正規(guī)子群
正規(guī)子群定義：設(shè)H是G的一個(gè)子群，如果對(duì)G中的每個(gè)g都有g(shù)H=Hg，則稱H為G的一個(gè)正規(guī)子群。
伽羅華證明：當(dāng)作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預(yù)解式是一個(gè)二項(xiàng)方程x^p=A (p為素?cái)?shù))時(shí)，則H1是G的一個(gè)正規(guī)子群。反之，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素?cái)?shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項(xiàng)方程。
極大正規(guī)子群：如果一個(gè)有限群有正規(guī)子群，則必有一個(gè)子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大的，這個(gè)子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。
一個(gè)極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個(gè)群都可生成一個(gè)極大正規(guī)子群序列。
把一個(gè)群G生成的一個(gè)極大正規(guī)子群序列標(biāo)記為G、H1、H2、H3…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H1]，[H1/H2]，[H2/H3]…。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。例如對(duì)上面的四次方程x^4+px^2+q=0，H1是G的極大正規(guī)子群， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群，即對(duì)方程x^4+px^2+q=0的群G 生成了一個(gè)極大正規(guī)子群的序列G、H1、H2、H3。
伽羅華在此基礎(chǔ)上定義可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素?cái)?shù)。也即伽羅華群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素?cái)?shù)時(shí)，方程可用根式求解。若不全為素?cái)?shù)，則不可用根式求解。
或者說：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)方程系數(shù)域上的群是可解群時(shí)，該方程才可用根式求解。
可解性的性質(zhì)在某一意義上是可繼承的，如：
若G為可解的，且H為G的子群，則H也是可解的。
若G是可解的，且H為G的正規(guī)子群，則G/H也是可解的。
若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態(tài)，則H也是可解的。
若H及G/H為可解的，則G也是可解的。
若G及H為可解的，則其直積G × H也是可解的。
例如x^4+px^2+q=0，它的[G/H1]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為素?cái)?shù)，所以x^4+px^2+q=0是可用根式解的。
再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時(shí)，有兩個(gè)二次預(yù)解式t^2=A和t^3=B，合成序列指數(shù)為2與3，它們是素?cái)?shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對(duì)n=4，有四個(gè)二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。
（5）、5次以上一元方程不可解
一般n次方程的伽羅華群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (A(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個(gè)子群。如果一個(gè)置換可表為偶數(shù)個(gè)這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個(gè)數(shù)為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群1，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是素?cái)?shù)，但當(dāng)n ≥5時(shí)，n！/2不是素?cái)?shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。
例如，四次方程 x^4+px^2+q=0 ， p與q獨(dú)立，系數(shù)域R是添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計(jì)算出它的伽羅華群G。
G是S(4)的一個(gè)8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中 E=1，E1=（1234），E2=（2134），E3=（2143），E4=（3412），E5=（4312）， E6=（3421）， E7=（4321）。
要把R擴(kuò)充到R1，需在R中構(gòu)造一個(gè)預(yù)解式:t^2-(p^2-4q)=0，
則添加預(yù)解式的根((p^2-4q))^1/2到R中得到一個(gè)新域R1，于是可證明原方程 x^4+px^2+q=0關(guān)于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。
然后構(gòu)造第二個(gè)預(yù)解式t^2-2(-p-(p^2-4q)^1/2)，
解出根(2(-p-(p^2-4q)^1/2))^1/2在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程 x^4+px^2+q=0在R2中的群H2，H2={E，E1}.
此時(shí)第二個(gè)預(yù)解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2。
再然后構(gòu)造第三個(gè)預(yù)解式t^2-2(-p+(p^2-4q)^1/2)，得它的根2(-p+(p^2-4q)^1/2))^1/2 ，把添加到R2中得擴(kuò)域R3，此時(shí)方程 x^4+px^2+q=0在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=1，則R3是方程 x^4+px^2+q=0的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。
在這個(gè)四次方程中，系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。
這種可解理論對(duì)于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
現(xiàn)仍以四次方程x^4+px^2+q=0為例，伽羅華從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二次的二項(xiàng)方程，既然可解原理對(duì)高次方程也適用，那么對(duì)于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個(gè)素?cái)?shù)次p的二項(xiàng)方程x^p=A。由于高斯早已證明二項(xiàng)方程是可用根式求解的。因此很容易得到：如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項(xiàng)方程，則能用根式求解原方程。
至此，伽羅華完全解決了方程的可解性問題。
（6）、用直尺與圓規(guī)的作圖
伽羅華解決了用直尺與圓規(guī)的作圖難題。
伽羅華發(fā)現(xiàn)了判別方程能否用根式解的方法后，他還解決了如何求一個(gè)能用根式解的方程的根的方法，這方法是利用一組輔助方程，這些輔助方程的次數(shù)恰是原來那個(gè)方程的群的組合因數(shù)。
基本流程如下：先把第一個(gè)輔助方程的根加入數(shù)域F中，將數(shù)域擴(kuò)大了可以增加P(y)分解因數(shù)的可能性，也能將P(y)的不可約部分減少，因此能將方程的群變小，當(dāng)然，必須數(shù)域擴(kuò)大了之后的確能繼續(xù)分解P(y)的因數(shù)，才會(huì)成立。
現(xiàn)在假設(shè)數(shù)域經(jīng)第一個(gè)輔助方程的根加入而擴(kuò)大了，而且使分解因數(shù)的工作因之可以再繼續(xù)下去，結(jié)果使方程在這擴(kuò)大了的數(shù)域F1中的群是H。
再將第二個(gè)輔助方程的根加入F1中，使方程的群變?yōu)镵，如此持續(xù)，直到后來，方程在那個(gè)最后擴(kuò)大成的數(shù)域Fm中的群是1。函數(shù)x1顯然不能被群1中的置換變更他的值，所以x1必在數(shù)域Fm中。仿此，其余的根也都在Fm中。
這樣先決定了方程的群和此群的組合因數(shù)，才知道輔助方程的次數(shù)。由此我們可以知道什么樣的數(shù)應(yīng)該加入原來的數(shù)域里去，而把方程的群變?yōu)?。于是可以決定方程的根存在于怎樣一個(gè)數(shù)域中。
現(xiàn)在用方程x^3-3x+1=0為例，這個(gè)方程在有理數(shù)域中的群是由1,(123),(132)三個(gè)置換構(gòu)成的，其唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是3,所以有一個(gè)次數(shù)是3的輔助方程，而這個(gè)輔助方程的根含有一個(gè)立方根，所以這個(gè)立方根必須加入數(shù)域中，才能使方程的群變?yōu)?，這樣原來的方程的根可以從有理數(shù)域中的數(shù)及這個(gè)立方根用有理數(shù)運(yùn)算得出。
直尺與圓規(guī)作圖等價(jià)于直線和圓作交點(diǎn)圖。也即求一次和二次方程的交點(diǎn)，只要解一個(gè)二次方程就可以把交點(diǎn)的坐標(biāo)用有理運(yùn)算和平方根表作系數(shù)的函數(shù)。所以凡是能用直尺與圓規(guī)作出的圖都可以有限次的加，減，乘，除和平方根表出，而且假使給了兩線段a,b和單位長(zhǎng)度，我們可以用直尺與圓規(guī)作出他們的和a+b,差a-b,積ab,商a/b,以及這些量的平方根如(ab)^1/2,b^1/2之類，這種運(yùn)算當(dāng)然可以重復(fù)應(yīng)用于一切已經(jīng)作出的線段。
一個(gè)作圖單用直尺，圓規(guī)是否可能時(shí)，必須作出一個(gè)表示這作圖的代數(shù)方程：假使這方程在數(shù)域中可以分解成單是一次和二次的代數(shù)式，那么，一切實(shí)數(shù)根當(dāng)然都能用直尺與圓規(guī)作出。即使方程不能分解成上述的樣子，只要方程的實(shí)數(shù)根能用有限次的有理運(yùn)算與平方根作已知的幾何量的函數(shù)，那末這作圖單用直尺，圓規(guī)還是可能的，否則這作圖就不可能了。
也即立方根是無法靠直尺和圓規(guī)作出的。
如果能夠找到一個(gè)三等分角的方程是不能用直尺與圓規(guī)三等分，那末用直尺和圓規(guī)三等分任意角的作圖就不可能了。
取120度角來三等分。假定這角位于一個(gè)半徑是單位長(zhǎng)的圓中心。假使能作出cos40度來，那末，只要取OA=cos40,于是a就是一只40度的角，而三等分120度的作圖就完成了。
應(yīng)用三角恒等式2cos3α=8cosα^3-6cosα，令x=2cosα,
(證明：cos3α =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2 a-1)cosa-(2sinacosa)sina =2cos^3 a-cosa-2sin^2 acosa =2cos^3 a-cosa-2(1-cos^2 a)cosa =2cos^3 a-cosa-2cosa+2cos^3 a =4cos^3 a-3cosa）
則有：2cos3α=x^3-3x
因?yàn)?α=120度，cos3α=-1/2，所以上面的方程可以寫作
x^3-3x+1=0
這正是以前討論過的方程。
現(xiàn)在作一個(gè)半徑是單位長(zhǎng)的圓，而且可以作OB=1/2，于是角AOC=120度。因?yàn)樗o的只有單位長(zhǎng)，所以數(shù)域限定在有理數(shù)域。
所以要解這個(gè)方程，必須將一個(gè)立方根加入于有理數(shù)域中，然而一個(gè)立方根是不能用直尺與圓規(guī)作出的，這樣，我們可以知道：用直尺與圓規(guī)三等分任意角是不可能的。
以相似的方法，不難證明用直尺，圓規(guī)解決立方倍積問題也是不可能的，對(duì)于這個(gè)問題，方程是x^3=2
數(shù)域是有理數(shù)域，這方程在這個(gè)數(shù)域中的群含有六個(gè)置換?？梢援?dāng)證明須加入一個(gè)平方根和一個(gè)立方根于有理數(shù)域中，方程的群才會(huì)變成1。又因一個(gè)立方根是不能用直尺，圓規(guī)作出的，所以我們這個(gè)立方倍積問題是不可能的。
類似的，也可以可以應(yīng)用群論去探討正多邊形作圖的問題。
附：伽羅華的關(guān)鍵定理的思想脈絡(luò)：
問題：要證明一個(gè)方程若有一個(gè)伽羅華可解群，這方程就可用根式解。
伽羅華的思想脈絡(luò)如下：在二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根x1,x2中，用韋達(dá)定理有x1+x2=-b與x1x2=c的關(guān)系，那么為什么不從這兩個(gè)方程中去解x1,x2呢？因?yàn)檫@條路是走不通的，因?yàn)榻?jīng)過計(jì)算的結(jié)果是與原來的二次方程絲毫也沒分別。
但是，如果能得到一對(duì)都是一次的方程，x1和x2就可以求得了。
假設(shè)方程f(x)=0有n個(gè)相異的根，而且由方程的系數(shù)及x^n=1的n次根決定的數(shù)域中，此方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群。
為什么伽羅華要先引進(jìn)這個(gè)1的n個(gè)n次根呢？
先看看1有三個(gè)立方根：1，-1/2+1/2*(-3)^1/2,-1/2-1/2*(-3)^1/2，(通常都記作1，ω，ω^2)（在一般的情形，1有n個(gè)n次根，這n個(gè)n次根記作1,ρ,ρ^2,......ρ^(n-1)）
1的三個(gè)立方根只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù)，同樣1的n個(gè)n次根也只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù)，所以這種數(shù)加入數(shù)域中去時(shí)并不影響到方程是能用根式解的命題。
因?yàn)榍懊婕俣ㄟ@個(gè)方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，群中元素都是置換群，群中的元素都是置換(123......n)的乘冪，這個(gè)置換的n次乘冪就是不動(dòng)置換。
現(xiàn)在構(gòu)造一組一次方程（n個(gè)）：
x1 + (ρ^k) x2 + ( ρ^2k) x3 + ......+(ρ^(n-1)k) xn = γk
此處k的值為0與n-1間之任何整數(shù)。
例如當(dāng)k=0時(shí)，上式就成為：
x1+x2+x3+......+xn=γ0
當(dāng)k=1時(shí)，上式就成為：
x1+ρx2+ρ^2x3+......+ρ^(n-1)xn=γ1等等。
因?yàn)橐粋€(gè)方程的最高次項(xiàng)系數(shù)是1，則諸根之和等于方程中第二項(xiàng)的系數(shù)的負(fù)值，所以γ0之值可以直接從方程的系數(shù)中求得。
現(xiàn)在要將置換(1234.....n)作用于上面方程組的左端，左端就成為：
x2+(ρ^k)x3+(ρ^2k)x4+......+(ρ^(n-1)k)x1等等，
若將左端用ρ^(-k)一乘，也可得出同樣的結(jié)果，這是因?yàn)棣裗n=1的緣故。所以置換(1234.....n)將γk之值變?yōu)棣裗(-k)γk。
又因ρ^n=1，所以γk^n=(ρ^(-k)γk)^n
所以置換(1234......n)不變更γk^n的值。同樣，群中其他的置換也不變?chǔ)胟^n。
這樣群中一切置換都不變更γk^n之值，γk^n之值必在數(shù)域中。因此，γk是數(shù)域中某一個(gè)數(shù)的n次根，這就是說：所有γ的值都可由根式得到（對(duì)于定義的數(shù)域而言）。而上面方程組中可以將x用ρ與γ表出，于是這組方程是可以用根式解的。這些x就是方程f(x)=0 根。
所以已經(jīng)證明：如果方程在一數(shù)域中的群是元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，則此方程必可用根式解。
舉例來說：方程x^3-3x+1=0在有理數(shù)域中的群是1，(123),(132)；這是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，所以可以從
x1+x2+x3=0
x1+ωx2+ω^2x3=γ1
x1+ω^2x2+ωx3=γ2
這三個(gè)一次方程求解。此處ω表示1的一個(gè)虛立方根，γ1與γ2可以由數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而得。換句話說，如果把根加入到數(shù)域中去，則x都存在于擴(kuò)大的數(shù)域中。
假使方程的群是一個(gè)可解群時(shí)，由于組合因數(shù)都是素?cái)?shù)，這方程還是能用根式解的，因?yàn)檫@時(shí)候每個(gè)輔助方程在那個(gè)用前幾個(gè)輔助方程的根擴(kuò)大成的數(shù)域中的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，這些輔助方程都能用根式解。因?yàn)檫@些加入原來的數(shù)域去的輔助方程的根，都只不過是原來的數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而已。所以只要方程的群是可解群，方程就是能用根式解的。
在一般的情形，?。?br>
y^2 =(x(1)-x(2))^2*(x(1)-x(3))^2 ....(x(n-1)- x(n))^2作第一個(gè)輔助方程，此式右端是所有每?jī)蓚€(gè)根之差的平方之積。假若方程的第一項(xiàng)系數(shù)是1的話，則上式的右端正是方程的判別式,例如二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根x1,x2之差之平方是(x1-x2)^2=(x1+x2)^2- 4x1x2=b^2-4c，這恰是方程的判別式。同樣，高次方程的判別式也可從系數(shù)求得?，F(xiàn)在第一個(gè)輔助方程的兩個(gè)根就是這判別式的兩個(gè)平方根，將這兩個(gè)平方根加入數(shù)域中，方程式在這新的數(shù)域F1中的群是H，再照同樣方法用其余的輔助方程進(jìn)行下去。
設(shè)若所要解的方程是一個(gè)一般的三次方程，將第一個(gè)輔助方程的根加入原來的數(shù)域之后，方程的群變?yōu)镠，在這情形，H是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，所以我們可以利用
x1+x2+x3=0
x1+ωx2+ω^2x3=γ1
x1+ω^2x2+ωx3=γ2
這三個(gè)一次方程來解原來的三次方程，此中的γ1，γ2可由數(shù)域(由三次方程的系數(shù)以及第一個(gè)輔助方程式的根決定）中的數(shù)的根數(shù)求得。換句話說，假使把γ1，γ2的值也加入數(shù)域中，則方程的群變?yōu)?，這也就是說，x1,x2,x3存在于這個(gè)最后經(jīng)γ1，γ2之加入而擴(kuò)大成的數(shù)域中。
如此就已經(jīng)證明：方程在一個(gè)由其系數(shù)與1之n個(gè)n次根而決定的數(shù)域中的群若是一個(gè)可解群，則此方程是可以用根式解的。
當(dāng)然，如果方程在一個(gè)含有其系數(shù)的數(shù)域中的群是可解群，則對(duì)于這數(shù)域而言，此方程是可以解的。
至此伽羅華解決了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。
他也解決了古代三大作圖問題中的兩個(gè)：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。
對(duì)上述思想再舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子：
二次方程x^2+3x+1=0,有兩個(gè)根x1,x2,因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)根，所以可能的置換只有1和(12)兩種（也即是S（2）置換群），所以這方程的伽羅華群或者含有這兩個(gè)置換，或者只有1一個(gè)，至于是什么，這就要憑在什么數(shù)域中而決定了。
現(xiàn)在取函數(shù)x1-x2，從韋達(dá)定理中我們知道：二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根之差是x1-x2=(b^2-4c)^1/2，b=3,c=1,所以x1-x2=5^1/2，如果所討論的數(shù)域是有理數(shù)域，這個(gè)函數(shù)的值不在數(shù)域中，所以群中必有一個(gè)置換，他能變更這函數(shù)的值。而1和(12)兩個(gè)置換中只有(12)變更函數(shù)x1-x2的值。所以伽羅華群中必含有(12),因此，這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群是由1,(12)兩個(gè)置換構(gòu)成的。
如果所討論的數(shù)域是實(shí)數(shù)域，顯然5^1/2在其中，所以S（2）群中一切置換都不改變函數(shù)x1-x2的值。所以(12)不能在伽羅華群中，這方程在實(shí)數(shù)域中的伽羅華群是由1一個(gè)置換構(gòu)成的。
再以方程x^3-3x+1=0為例，假設(shè)三個(gè)根為x1,x2,x3，所以至多有六種可能的置換，即是1,(12),(13),(23),(123),(132)（即S（3）置換群）。
求這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群，我們應(yīng)用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)這個(gè)函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)之值是±(-4c^3 -27d^2)^1/2?，F(xiàn)在c=-3,d=1,所以(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)=±9，±9是有理數(shù)，在有理數(shù)域中，伽羅華群中一切置換都不能變更函函數(shù)的值。但在上列六個(gè)置換中，只有1，(123),(132)不變更這數(shù)的值，所以這個(gè)三次方程在有理數(shù)域中的伽羅華群的元素或者就是這三個(gè)置換，或者只是1一個(gè)，所以單利用函數(shù)(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)還不能決定這個(gè)方程在有理數(shù)域中的伽羅華群。我們?cè)賾?yīng)用另外一個(gè)函數(shù)x1，如果群中只有1一個(gè)元素，那么，1不會(huì)變更函數(shù)x1的值，所以x1，必在有理數(shù)域中，換句話說，這個(gè)三次方程的根x1必須是有理數(shù)，同樣的道理，x2,x3也須是有理數(shù)，但是，這個(gè)三次方程沒有一個(gè)根是有理數(shù)，所以，他在有理數(shù)域中的伽羅華群不能單含1一個(gè)元素，個(gè)伽羅華群必定是由1,(123),(132)三個(gè)元素構(gòu)成的。
如此，我們利用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)和x1兩個(gè)函數(shù)而決定了這個(gè)方程在有理數(shù)域中的伽羅華群。
上面討論的這個(gè)三次方程也是討論直尺圓規(guī)三等分任意角問題的基本方程。
至此，我們已經(jīng)知道什么叫做一個(gè)方程在一個(gè)數(shù)域中的伽羅華群，而且知道如何去求。
根據(jù)前面介紹的伽羅華定理，我們知道一個(gè)方程在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中的群若是可解群，則此方程就能用根式求解，而且僅滿足這個(gè)條件的方程才能用根式解。
例如對(duì)一般的二次方程:ax^2+bx+c=0，設(shè)兩個(gè)根是x1,x2,在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中的置換群的元素是1和(12),這個(gè)置換群的唯一的極大不變真子群是1，所以此群的組合因數(shù)是2/1=2是一個(gè)素?cái)?shù)，因此，根據(jù)伽羅華定理，二次方程都可用根式解。
再例如，一般的三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，三個(gè)根x1,x2,x3，在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中，他的群含有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個(gè)置換，此群的唯一極大不變真子群H含有1,(123),(132)三個(gè)置換，而H的唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是6/3=2,與/1=3,兩個(gè)都是素?cái)?shù)，所以三次方程都是可用根式求解。
再例如四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，在一個(gè)含有其系數(shù)的數(shù)域中的群的元數(shù)是4!=24,按照前面計(jì)算，能夠得到這個(gè)群的組合因數(shù)是2,3,2,2,這些都是素?cái)?shù)，所以四次方程也都可以用根式解。
對(duì)于一般的五次方程，G含有5!個(gè)置換，G的極大不變真子群H含有5!/2個(gè)置換，而H的唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是2與5!/2，5!/2當(dāng)然不是素?cái)?shù)，所以一般的五次方程是不能用根式解的。
其實(shí)，對(duì)于一般的n次方程，n若是大于4，組合因數(shù)便是2與n!/2而后者當(dāng)然不是素?cái)?shù)。
這樣就得到了用方程結(jié)構(gòu)來決定一個(gè)方程是否能用根式求解。
但是如果方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，這方程的確可以通過輔助方程降階簡(jiǎn)化，也即可以根式解。
5、感想
一般說來，一個(gè)抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)，沒有結(jié)構(gòu)的集合，是沒有意義的。數(shù)學(xué)研究的集合是定義了運(yùn)算或者變換的（系統(tǒng)科學(xué)研究的集合，上面定義的可能是正反饋，負(fù)反饋，延遲，發(fā)散，收斂等等），這些運(yùn)算或變換，就形成了集合的結(jié)構(gòu)，也即定義了集合中元素的關(guān)系。伽羅華群結(jié)構(gòu)思想是人類第一次將對(duì)象按照結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并不管研究對(duì)象和運(yùn)算具體是什么（群上面定義的運(yùn)算，可以是加法，也可以是變換等等）。
伽羅華思想的價(jià)值是開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大門，使數(shù)學(xué)從運(yùn)算轉(zhuǎn)向研究運(yùn)算性質(zhì)，也即集合的結(jié)構(gòu)。所以伽羅華思想是開啟后來法國(guó)布爾巴 基學(xué)派以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀 念統(tǒng)一數(shù)學(xué)的先導(dǎo)（布爾巴基學(xué)派簡(jiǎn)介在上一篇介紹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)介紹過），布爾巴基實(shí)現(xiàn)了伽羅華沒有實(shí)現(xiàn)的理想，他們把康托爾的集合論及希爾伯特的公理化方法作為統(tǒng)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，從抽象群的公理理論出發(fā)，通過分析抽象群結(jié)構(gòu)，搞清楚了人類的抽象結(jié)構(gòu)概念是如何產(chǎn)生的，例如他們通過群就是在某一集合中定義有結(jié)合性，么元和逆元的一個(gè)運(yùn)算（這三個(gè)性質(zhì)叫群結(jié)構(gòu)公理），就抽象出結(jié)構(gòu)概念的一般特點(diǎn)是：滿足一定條件公理的關(guān)系集合。所以布爾巴基認(rèn)為集合上的關(guān)系是數(shù)學(xué)至關(guān)重要的概念，因?yàn)殛P(guān)系是各種運(yùn)算的抽象，是構(gòu)成一個(gè)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，不同的關(guān)系可以構(gòu)成不同的結(jié) 構(gòu)。布爾巴基學(xué)派就從結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)出發(fā)，選出三種基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，作為元結(jié)構(gòu)，通過從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一般到 特殊的層次概念，構(gòu)造出各種不同的結(jié)構(gòu)，如復(fù)合結(jié)構(gòu)、 多重結(jié)構(gòu)、混合結(jié)構(gòu)，建立了各種公理理論，在此基礎(chǔ)上，統(tǒng)一了人類目前所有的數(shù)學(xué)學(xué)科。這其實(shí)是伽羅華思想的進(jìn)一步發(fā)展：數(shù)學(xué)本質(zhì)就是研究結(jié)構(gòu)的。布爾巴基所做的只是把伽羅華已經(jīng)確定的觀念推廣而已。
群的抽象定義是凱萊提出的，到20世紀(jì)初，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的核心概念，幾乎所有大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為其是數(shù)學(xué)的中心概念和統(tǒng)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念。如外爾就說過：沒有群就不可能理解近代數(shù)學(xué)。龐加萊也曾說 過：可以說群論就是那摒棄其內(nèi)容化為純粹形式的整個(gè)數(shù)學(xué)。
總之，群論是十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就，是人類擺脫幼年思維的標(biāo)志，也即從此擺脫了依賴直觀+計(jì)算來理解世界。群論以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把人類從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，是物理學(xué)和化學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)。
抽象的力量是巨大的，F(xiàn)eynman認(rèn)為用代數(shù)角度而不是偏微分方程來理解量子力學(xué)要容易得多，因?yàn)榇鷶?shù)的抽象恰好可以避免望文生義和誤入歧途。而且偏重計(jì)算的偏微分方程會(huì)導(dǎo)致學(xué)生舍本求末，陷入細(xì)節(jié)而難以抓住本質(zhì)。
代數(shù)雖然沒幾何直觀，但是面對(duì)N維空間時(shí)，其實(shí)幾何直觀優(yōu)勢(shì)已經(jīng)蕩然無存（所以克萊因才要用抽象代數(shù)統(tǒng)一幾何）。面對(duì)直觀以外的世界，我們唯一可以依靠的只有抽象+邏輯。
幾何與代數(shù)的特點(diǎn)很像以現(xiàn)象研究為對(duì)象的初等物理和以本質(zhì)研究（不變量研究）為主的理論物理。
代數(shù)通過不斷的抽象來提煉更加基本的概念，例如兩個(gè)群，不論它們的元素真實(shí)背景是什么（這些元素不管描述的是膨脹、收縮、轉(zhuǎn)動(dòng)、反演、振動(dòng)、聲音、流體、電磁波等等)，只要運(yùn)算性質(zhì)相同，彼此就是同構(gòu)的，并且可以因此認(rèn)為是相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)而不加區(qū)別。
代數(shù)的每一次抽象都是學(xué)科升級(jí)的過程。
例如克萊因用群論來把幾何中的許多互不相干的分支之間建立了內(nèi)在的聯(lián)系。
克萊因?qū)缀螌W(xué)的定義：幾何學(xué)是當(dāng)集合S的元素經(jīng)受某變換群T中所包含的變換時(shí)集合S保持不變的那些性質(zhì)的研究，為方便起見,這種幾何學(xué)以符號(hào)G(S,T)表示。
也即任何一種幾何學(xué)可以用公理化方法來構(gòu)建，也可以把變換群和幾何學(xué)聯(lián)系起來。
例如集合S叫做空間，S的元素叫做點(diǎn)，S的子集A和B叫做圖形，凡是等價(jià)的圖形都屬于同一類（圖形等價(jià)類）。
同一類里的一切圖形所具有的幾何性質(zhì)必是變換群G下的不變量，因而可用變換群來研究幾何學(xué)（Erlangen綱領(lǐng)），例如在正交變換群下保持幾何性質(zhì)不變的便是歐式幾何，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何，在射影變換群下保持不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何。
稍微具體一點(diǎn)，平面歐幾里得度量幾何為設(shè)S為通常平面上所有點(diǎn)的集合,考慮由平移、旋轉(zhuǎn)和線上的反射組成的所有S的變換的集合T。因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)這樣的變換的乘積和任何這樣的變換的逆變換還是這 樣的變換,所以,T是一個(gè)變換群。長(zhǎng)度、面積、全等、平行、垂直、圖形的相似性,點(diǎn)的共線性和線的共點(diǎn)性這樣的一些性質(zhì)在群T下是不變的,而這些性質(zhì)正是平面歐幾里得度量幾何所研究的。
仿射幾何就是把平面歐幾里得度量幾何的變換群T擴(kuò)大, 除了平移、旋轉(zhuǎn)和線上的反射外,再加上仿射變換（換句話說，就是從歐幾里得空間的距離概念抽象化出單比的概念，就從歐式幾何中舍棄距離不變而保留更普遍的單比不變，就從歐氏幾何升級(jí)到仿射幾何）。在此擴(kuò)大的群下,像長(zhǎng)度面積和全等這類性質(zhì)不再保持不變,因而不再作為研究的課題。但平行垂直圖形的相似性,點(diǎn)的共線性,線的共點(diǎn)性仍然是不變的性質(zhì),因而仍然是這種幾何中要研究的課題.
射影幾何所研究的是平面上的點(diǎn)經(jīng)受所謂射影變換時(shí)仍然保持不變的性質(zhì)從單比抽象到交比概念（換句話說，從仿射幾何中舍棄單比不變而保留更普遍的交比不變，升級(jí)射影幾何）。在前面講的那些性質(zhì)中,點(diǎn)的共線性和線的共點(diǎn)性仍然保持不變,因而是這種幾何所要研究的課題
在上述的幾何中,使某變換群的變換起作用的基本元素是點(diǎn),因此,上述幾何均為點(diǎn)幾何的例子。還有線幾何, 圓幾何,球幾何和其他幾何的例子。
在建立一種幾何時(shí),人們首先是不受拘束地選擇幾何的基本元素，其次是自由選擇這些元素的空間或流形，自由選擇作用于這些基本元素的變換群,這樣,新幾何的建立就成為相當(dāng)簡(jiǎn)單的事了。也即從歐式空間（長(zhǎng)度，夾角）到內(nèi)積空間（模，不嚴(yán)格的夾角）再到賦范空間（范，完全拋棄夾角），不斷的抽象，最后甚至連范數(shù)（最不愿拋棄的度量或度規(guī)）也拋棄了，從不嚴(yán)格的距離發(fā)展到不確定的距離，也即由歐式空間的連續(xù)函數(shù)抽象出度量空間的連續(xù)映射，一直到抽象出拓?fù)淇臻g中的同胚映射，最后得到了拓?fù)淇臻g的概念，這是人類目前為止在抽象上最深刻的極限。可以說克萊因用群論來研究幾何學(xué)是人類思想的突破。
總之，群是數(shù)學(xué)中最有影響的概念，不了解群，就不可能了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。群論直接推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、函數(shù)論、微分方程與特殊 函數(shù)論和代數(shù)拓?fù)涞漠a(chǎn)生和發(fā)展，甚至很多經(jīng)典數(shù)學(xué)領(lǐng)域，因?yàn)槿赫摰囊攵F(xiàn)代化。
其實(shí)數(shù)學(xué)上這種抽象過程，也推動(dòng)了理論物理學(xué)的發(fā)展，例如狹義相對(duì)論發(fā)展就是要擺脫坐標(biāo)而直接度量時(shí)空的過程，而廣義相對(duì)論發(fā)展就是擺脫時(shí)空度量概念，走向空間同胚概念的過程。
目前群論已經(jīng)是現(xiàn)代物理的主要工具。群論廣泛用于基本粒子、核結(jié)構(gòu)、原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)等，因?yàn)閷?duì)稱性是物質(zhì)世界最普遍的性質(zhì)，例如各種物體（分子、晶體或圖形）都可以用特定的對(duì)稱性群來描述其結(jié)構(gòu)（晶體的空間對(duì)稱性可以用點(diǎn)群描述，其實(shí)晶體X射線衍射的圖案直接與其點(diǎn)群相關(guān)）；再例如時(shí)空存在對(duì)稱性，可以用彭加萊群描述不同表示對(duì)應(yīng)不同自旋的粒子，例如標(biāo)量粒子、旋量粒子、矢量粒子；再例如量子力學(xué)里的全同粒子就是對(duì)稱性的（基本粒子的規(guī)范對(duì)稱性可以由李群描述，其實(shí)李群的結(jié)構(gòu)常數(shù)直接決定了規(guī)范玻色子，比如膠子、W、Z玻色子的自相互作用）。
現(xiàn)代化學(xué)也離不開群論。例如化學(xué)中分子的性質(zhì)受到分子對(duì)稱性的影響（因?yàn)榉肿拥膶?duì)稱性反映出分子中原子核和電子云的分布情況），所以可以根據(jù)分子對(duì)稱性判斷該分子的一些基本性質(zhì)，例如判斷是否具有旋光性（判別分子是否具有旋光性的常用的方法是比較實(shí)物和它的鏡像，看它們能否完全重合，凡不能和鏡像重合的分子都具有旋光性；反之，如果兩者能夠重合，則分子就沒有旋光性），所以可以用分子的對(duì)稱元素和所屬對(duì)稱群來判斷其是否具有旋光性。
同樣，根據(jù)分子的對(duì)稱性，也可以判斷分子有無偶極距。分子偶極距大小決定于分子正負(fù)電重心間的距離與電荷量，其方向規(guī)定為從正至負(fù)。因?yàn)榉肿铀哂械膶?duì)稱性是分子中原子核和電子云對(duì)稱分布的反映，分子正負(fù)電重心一定處于分子的對(duì)稱元素上。所以分子的永久偶極矩是分子的靜態(tài)性質(zhì)，靜態(tài)性質(zhì)的特點(diǎn)就是它在分子所屬點(diǎn)群每一對(duì)稱操作下必須保持不變，為此μ向量必須落在每一元素上，因此可以根據(jù)“分子對(duì)稱元素是否只交于一點(diǎn)”來預(yù)測(cè)分子有無永久μ。如果分子有對(duì)重心落在同一點(diǎn)上，因而無偶極距。若不存在上述的對(duì)稱元素時(shí)，則分子的正負(fù)電重心不落在同一點(diǎn)上，就有偶極矩。
如果分子具有對(duì)稱中心，那么分子的所有對(duì)稱元素都交于此點(diǎn)，此點(diǎn)亦即分子正負(fù)電荷的重心。因此，具有對(duì)稱中心的分子沒有偶極矩。如果分子有兩個(gè)對(duì)稱元素交于一點(diǎn)，比如有一個(gè)對(duì)稱面和垂直于此面的對(duì)稱軸，或者有兩個(gè)以上不相重合的對(duì)稱軸，那么分子的正負(fù)電荷中心必重合于此交點(diǎn)，因而也沒有偶極矩。分支雖有對(duì)稱面和對(duì)稱軸，但他們?nèi)舨幌噍^于一點(diǎn)，而且對(duì)稱軸為對(duì)稱面所包含，則他們具有偶極矩。
按照這一判據(jù)，可將分子所屬點(diǎn)群和它是否具有偶極矩的關(guān)系總結(jié)為：對(duì)于具有偶極矩的分子可以進(jìn)一步推斷：當(dāng)分子有C2 軸時(shí)，偶極矩必沿著此軸；當(dāng)分子有對(duì)稱面時(shí)，偶極矩必位于此面上；當(dāng)分子有幾個(gè)對(duì)稱面時(shí)則偶極矩必沿著他們的交線。
再例如化學(xué)位移等價(jià)性的判別質(zhì)子或其他的原子核，在一定的交變磁場(chǎng)的作用下，由于分子中所處的化學(xué)環(huán)境不同，從而將在不同的共振磁場(chǎng)下顯示吸收峰。這一現(xiàn)象就叫做化學(xué)位移。化學(xué)位移是核磁共振波普中反映化合物結(jié)構(gòu)特征最重要的信息之一。
氫氣(H1)譜亦即質(zhì)子譜，在核磁共振波普中應(yīng)用最為廣泛。氫譜中的各個(gè)峰與分子中的不同環(huán)境的質(zhì)子相對(duì)應(yīng)。這樣便可根據(jù)分子對(duì)稱性識(shí)別等價(jià)院子或基團(tuán)，進(jìn)而可以判別氫譜中化學(xué)位移的等價(jià)性。全同質(zhì)子（通過旋轉(zhuǎn)操作課互換的質(zhì)子）在任何化學(xué)環(huán)境中都是化學(xué)位移等價(jià)的。對(duì)映異位質(zhì)子（存在對(duì)稱操作使分子中兩個(gè)質(zhì)子互換的質(zhì)子）在非手性溶劑中具有相同的化學(xué)性質(zhì)，也是化學(xué)位移等價(jià)的，但在光學(xué)活性或酶產(chǎn)生的手性環(huán)境中就不再是化學(xué)等價(jià)的，在核磁共振波普中可以顯示偶合現(xiàn)象。此外，非對(duì)映異位質(zhì)子（不能通過操作達(dá)到互換的質(zhì)子）在任何化學(xué)環(huán)境中都是化學(xué)位移不等價(jià)的。分子中化學(xué)位移等價(jià)的核構(gòu)成一個(gè)核組，相互作用的許多核組構(gòu)成一個(gè)自旋系統(tǒng)。考慮分子的對(duì)稱性，有利于對(duì)它們進(jìn)行分類，因而群論就是最基礎(chǔ)的。
群論也廣泛用于分子結(jié)構(gòu)判斷，因?yàn)榉肿油庑蔚膶?duì)稱性通過分子波函數(shù)與分子結(jié)構(gòu)聯(lián)系，而分子波函數(shù)可以作為分子所屬點(diǎn)群的不可約表示的基。
雜化軌道理論主要是研究分子的幾何構(gòu)型，而構(gòu)型和雜化的原子軌道在空間的分布和方向有密切的聯(lián)系。由于在微觀世界中，分子都具有一定的對(duì)稱性，而對(duì)稱性不同時(shí)，則其分子構(gòu)型也必然不同，因此分子對(duì)稱性就與其雜化軌道有內(nèi)在的聯(lián)系。群論的方法可以告訴我們：在具有一定形狀的分子的化學(xué)成鍵中，中心原子可能采用什么樣的雜化方式。運(yùn)用群論的知識(shí)還可以知道中心原子提供哪些原子軌道去構(gòu)成合乎對(duì)稱性要求的雜化軌道，而且還可以進(jìn)一步求出雜化軌道的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
當(dāng)然群論還有實(shí)際工程應(yīng)用，例如先進(jìn)陶瓷材料研發(fā)。我們都知道，先進(jìn)陶瓷材料現(xiàn)在用途極為廣泛，例如渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)用的陶瓷涂層材料，或陶瓷基復(fù)合葉片，甚至在尾噴管，燃燒室等等都開始使用陶瓷復(fù)合材料，以及在導(dǎo)彈某些關(guān)鍵部位的應(yīng)用。
而大家不知道的是：群論在先進(jìn)（陶瓷）材料的結(jié)構(gòu)篩選中是基本工具。
因?yàn)榫Я?duì)陶瓷的性能起著關(guān)鍵性的作用，所以研究晶粒是獲得新材料性能的關(guān)鍵，例如由晶體的各向異性性，可以通過控制外界工藝條件使晶粒在某個(gè)晶向優(yōu)先生長(zhǎng)，從而可能具有某些前所未有的性能，在力學(xué)上使結(jié)構(gòu)陶瓷得到更好的晶須增韌效果，在物理性能上或者在力學(xué)性質(zhì)上增強(qiáng)，使功能陶瓷獲得更好的韌性，剛性，抗切變性，或者是在電學(xué)性能上增強(qiáng)，例如獲得更好的壓電性能、熱釋電性、倍頻效應(yīng)，或者使人工晶體獲得更好的旋光性等光學(xué)性能等等。
目前通常做法是通過對(duì)這些具有一定力學(xué)性能、物理性能的材料的微觀本質(zhì)的分析，可以利用對(duì)稱群分析計(jì)算，篩選出摻雜物質(zhì)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)造方式等等，來改變晶體的晶格，以獲得性能更佳，物理效應(yīng)更顯著的晶體。
用對(duì)稱群為工具也可以研究非晶態(tài)材料和非平衡態(tài)材料結(jié)構(gòu)。非晶體與晶體相比有著大量的缺陷，原子或離子間的結(jié)合也不如晶體那般整齊有序，所以比同類晶體具有更大的內(nèi)能，因此當(dāng)非晶態(tài)向晶態(tài)轉(zhuǎn)變或者反過來晶態(tài)向非晶態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)將吸收或放出大量的能量，選擇適當(dāng)?shù)牟牧巷@然在某些場(chǎng)合可以考慮由此而用來存儲(chǔ)能量。
本篇帖子由于豆瓣不能上數(shù)學(xué)公式，所以用一直奇特的模式寫，痛苦不堪，可能錯(cuò)誤比較多，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤請(qǐng)指出來。
再順便感概一下，現(xiàn)在大學(xué)老師基本都是照本宣科，把教科書在課堂朗讀一遍拉倒，純粹是誤人子弟。
我在中國(guó)科大數(shù)學(xué)系上學(xué)時(shí)，任意一門數(shù)學(xué)課的老師教課都是這個(gè)模式：任何一個(gè)重要概念的實(shí)際背景（包括但不限于工程，物理，軍事等等問題），來龍去脈，要解決什么問題，結(jié)果解決什么問題，這些抽象概念的基本思想和原型是什么等等，都要讓學(xué)生知其然，也知其所以然。
一個(gè)蒙查查的老師，一般不太可能教出什么明白學(xué)生。大學(xué)之間的水平差距，其實(shí)在老師之間的差距。上大學(xué)，如果不想被教成蒙查查，最好上最好的大學(xué)，不然人家勇猛奮進(jìn)的四年光景，你不過是混日子的四年。
先聲明一句，這篇帖子為了使非數(shù)學(xué)專業(yè)的人能夠閱讀下去，對(duì)主要概念的來源和主要定理的證明進(jìn)行了一些簡(jiǎn)化，可能導(dǎo)致不嚴(yán)謹(jǐn)。所以只能歸類于瞎扯范疇。專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者不要過于苛責(zé)。我為了簡(jiǎn)明扼要說清楚，不得不在嚴(yán)謹(jǐn)上做妥協(xié)，甚至有的地方可能是錯(cuò)的。
這篇帖子目的是介紹數(shù)學(xué)是如何從研究計(jì)算進(jìn)化到研究結(jié)構(gòu)的。
伽羅華是數(shù)學(xué)從計(jì)算轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵人物，或者說是數(shù)學(xué)從古代轉(zhuǎn)向近代的關(guān)鍵人物。在伽羅華之前，數(shù)學(xué)本質(zhì)是靠計(jì)算來解決問題，伽羅華以超凡的洞察力，構(gòu)建了從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來研究數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的框架。這時(shí)從具體到抽象的一步巨大跨越。
我想用一個(gè)具體例子說明人類是如何從具體事物進(jìn)化到抽象概念的。
為了非數(shù)學(xué)系的人能夠知道我說的內(nèi)容，我用了大量描述性語(yǔ)言，所以不夠嚴(yán)謹(jǐn)。在通俗和嚴(yán)謹(jǐn)之間，只能做此取舍。
人類第一個(gè)真正的抽象學(xué)科是抽象代數(shù)，抽象代數(shù)是從伽羅華群論發(fā)展起來。為了理解抽象代數(shù)，我們介紹一下伽羅華群論的來歷，這樣便于以后有興趣看抽象代數(shù)，進(jìn)入本質(zhì)更快一點(diǎn)。
由于篇幅和豆瓣對(duì)符號(hào)的限制，一般抽象代數(shù)就無法介紹了，有興趣的自己去看書。這里只做點(diǎn)科普。
我們已經(jīng)在以前討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的帖子里知道，現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要研究從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也即結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，而結(jié)構(gòu)進(jìn)入數(shù)學(xué)只有100年的歷史，是由群的概念引進(jìn)而開始的。群的概念的引入就是伽羅華，他也是第一位在有意識(shí)地以結(jié)構(gòu)的研究代替計(jì)算的人。群論徹底解決了代數(shù)方程的根式求解問題 此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論。
但是群的概念并不是伽羅華發(fā)明的，而是產(chǎn)生于拉格朗日研究代數(shù)方程的解過程中：拉格朗日已經(jīng)意識(shí)到一元n次方程的根是一個(gè)置換群，而且也猜想一般五次以上方程無根式解，但是拉格朗日沒能證明這個(gè)猜想，后來魯菲力和阿貝爾都企圖證明這個(gè)猜想，其中魯菲力的論文有560多頁(yè)，阿貝爾有幾頁(yè)，不過證明被驗(yàn)證后都是錯(cuò)的或邏輯不完備的。
而置換群的性質(zhì)，柯西在1815年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，可是柯西沒能把其與一元n次方程的解結(jié)合起來，錯(cuò)過了這一數(shù)學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)。
伽羅華的重大發(fā)現(xiàn)不是發(fā)明了群的概念，而是發(fā)現(xiàn)每個(gè)一元n次方程的解都與一個(gè)置換群對(duì)應(yīng)，而置換群的群結(jié)構(gòu)決定了解的特性。所以不需要計(jì)算解，只需要研究置換群的結(jié)構(gòu)，就能了解解的性質(zhì)。也即把數(shù)學(xué)計(jì)算改為研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
抽象代數(shù)是研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的，代數(shù)結(jié)構(gòu)=集合上按照公理體系定義的運(yùn)算規(guī)則（集合包括包括實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、向量（vector）、矩陣（matrix）、變換（transformation）等集合，運(yùn)算規(guī)則包括加法，乘法等等）。
按照教科書定義，抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)結(jié)構(gòu)的學(xué)科，如群（group）、環(huán)（ring）、域（domain）等等。
下面先說說目前抽象代數(shù)對(duì)其研究的主要代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象定義，不過這些定義不是我們的重點(diǎn)，看不看無所謂。只是想表明一下抽象的格式是什么，不是我想講的。
群的定義是：
假設(shè)一個(gè)非空集合， 上面有一個(gè)二元運(yùn)算，如果滿足以下條件：
(1) 封閉性：若a,b∈G，則存在唯一確定的c∈G ，使得a.b=c ；
(2) 結(jié)合律成立，即對(duì)G 中任意元素 都有(a.b).c=a.(b.c) ；
(3) 單位元存在：存在 e ∈G，對(duì)任意a ，滿足a.e=e.a=a 。 e稱為單位元，也稱幺元；
(4) 逆元存在：任意a∈G ，存在b ，a.b=b.a=e （e 為單位元），則稱a 與b 互為逆元素，簡(jiǎn)稱逆元。 記作a^-1 ；
則稱G 對(duì) . 構(gòu)成一個(gè)群。
環(huán)的定義是：
R是一個(gè)非空集合，若定義了兩種代數(shù)運(yùn)算+和 （不一定是我們常識(shí)的加與乘，是一種抽象運(yùn)算規(guī)則），且滿足：
（1）、集合R在+運(yùn)算下構(gòu)成阿貝爾群(Abel group，交換群，也即對(duì)任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，并不是所有群都是阿貝爾群，比如矩陣的乘法不滿足交換律，所以n階可逆方陣關(guān)于乘法組成的群不是交換群）；
（2）、關(guān)于 有結(jié)合律，即 ，
.R對(duì) 構(gòu)成一個(gè)半群；
（3）、分配律與結(jié)合律對(duì)成立，即 ，有：；
稱代數(shù)系統(tǒng) 是一個(gè)環(huán)(Ring)。
域的定義有兩種方式：
其一是D是一個(gè)有單位元e（≠0）的交換環(huán)（即對(duì)于乘法運(yùn)算可交換）,如果D中每個(gè)非零元都可逆，稱D是一個(gè)域。（比如有理數(shù)域，剩余類域，典型域，有理函數(shù)域，半純函數(shù)域等等）。
第二種定義，設(shè)是環(huán)，如果和都是交換群（“0”為的幺元）且滿足分配律，則稱是域。比如D是一個(gè)含有非零數(shù)的數(shù)集，如果D對(duì)于數(shù)的四則運(yùn)算都封閉，那么稱代數(shù)系統(tǒng)（D,+，－，×，÷）為一個(gè)域。
有理數(shù)域（Q,+,*)，實(shí)數(shù)域（R,+,*），復(fù)數(shù)域（C,+,*），連續(xù)函數(shù)域（R^R,+，·）都是域。但整數(shù)集Z不是域，因?yàn)?/x不是整數(shù)。（整數(shù)集Z是一個(gè)環(huán)，是整環(huán)）。
線性代數(shù)就是域的一個(gè)特例。
抽象代數(shù)與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。
在抽象代數(shù)研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，最簡(jiǎn)單的是群（Group）。它只有一種符合結(jié)合率的可逆運(yùn)算，通常叫“乘法”。如果這種運(yùn)算也符合交換率，那么就叫阿貝爾群 （Abelian Group）。
群論是伽羅華（Galois）在研究多項(xiàng)式方程根式求解過程中提出的，是抽象代數(shù)的起點(diǎn)。
所以想理解抽象代數(shù)，就得先理解群論，想理解群論，就得先理解伽羅華理論，想理解伽羅華理論，就得先了解拉格朗日的代數(shù)方程工作。
1、代數(shù)方程的歷史
我們?cè)诔踔芯椭赖囊辉淮魏鸵辉畏匠痰那蠼夥椒ㄆ鋵?shí)在古巴比倫時(shí)代就存在了，但是一元三次方程解的公式直到十六世紀(jì)初才由意大利人塔塔里亞發(fā)現(xiàn)。
三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利人的費(fèi)拉里解出。
先補(bǔ)充介紹一下一元一次方程到一元四次方程的解法，這個(gè)與后來的群的思想有關(guān)。
一次方程：ax+b=0，只要是學(xué)過初等代數(shù)的都會(huì)解：x=-b/a。
二次方程：ax^2+bx+c=0,解是:x=（-b±(b^2-4ac)^1/2）/2a，這個(gè)用因式分解很容易。
在公元前巴比倫人已能解這種形式的方程。
三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0和四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e =0的解法比解一次，二次的方程難得多了。
對(duì)一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，先除掉a，令b/a=a，c/a=b，d/a=c，原方程變成：
x^3+ax^2+bx+c=0，
令y=x+a/3，得：y^3+py+q=0。（1）
其中p=b－a^2/3，q=2a^3/27－ab/3+c，考慮等式（u+v）^3=u^3+v^3+3（u+v）uv.
即（u+v）^3－3（u+v）uv－（u^3+v^3）=0。（2）
比較（1）和（2），令y=u+v，則方程（2）變?yōu)椋?br>（u+v）^3+p（u+v）+q=0，其中p=－3uv,q=－(u^3+v^3)。
即u^3v^3=－p^3/27，u^3+v^3=－q。（3）
則得到v^6+qv^3-p^3/27=0
把v^3當(dāng)成x,則是一個(gè)二次函數(shù)，易解得，u^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2，v^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2；由于u,v對(duì)稱，所以也有v^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2，u^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2同時(shí)成立；
所以可得到:
y=（－(q/2)+(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3+（－(q/2)-(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3，進(jìn)而可得到原方程根x的值。
同理整理四次方程，對(duì)于x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0，令y=x+a/4，則原方程可變?yōu)椋?br>
y^4+py^2+qy+r=0。（4）
其中p=b－6(a/4)^2，q=c－(a/c)b+(a/2)^3，r=d－(a/4)c+(a/
4)^2b－3(a/4)^4
（4）移項(xiàng)，得：y^4+py^2=－qy－r。（5）
（5）等式左邊配方，得：(y^2+p/2)^2=－qy－r+(p/2)^2.
在左端括號(hào)內(nèi)加u得：(y^2+p/2+u)^2=－qy－r+(p/2)^2+2uy^2+pu+u^2。（6）
則右端應(yīng)為完全平方數(shù)，故有：Δ=q^2-4×2u(p^2/4+pu+u^2－r)=0。（二次方程可以分解為（x-（-b+(b^2-4ac)^1/2）/2a)(x-（-b-(b^2-4ac)^1/2）/2a)，如果Δ不等于零，就無法滿足右端完全平方數(shù)條件。（Δ=b^2-4ac）。
即：8u^3+8pu^2+（2p^2－8r）u－q^2=0。（7）
（7）顯然為可解的三次方程，解答該方程就可得到u的值。
而且（6）就變?yōu)?y^2+p/2+u)^2=((2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2))^2。
因此有y^2+p/2+u=(2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2)
由于u已經(jīng)解出（按照三次方程解法，有兩組，每組三個(gè)值），p,q,r都是已知的方程系數(shù)（見（4））所以這個(gè)二次方程很容易得到y(tǒng)的值，進(jìn)而得到原方程的根x的值。
上面工作都是初等數(shù)學(xué)，學(xué)過初中一年級(jí)因式分解，理解毫無問題。
注意，數(shù)學(xué)家的大招馬上就來，一步從初中跨入大學(xué)。 當(dāng)然后面內(nèi)容也是檢驗(yàn)一個(gè)人抽象思維能力的試金石，看不懂的話，也就沒法從事數(shù)學(xué)工作了。
2、拉格朗日工作
在介紹拉格朗日工作前，我們先得介紹韋達(dá)定理。
★韋達(dá)定理：
設(shè)x1,x2,......xn是方程x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+.......+an-1x+an的n個(gè)根，則：
x1+x2+......+xn=-a1
x1x2+x1x3+......+x1xn+x2x3+......xn-1xn=a2
......
x1x2....xn=(-1)^n*an
韋達(dá)定理很容易用數(shù)學(xué)歸納法證明。
下面介紹一下簡(jiǎn)單置換的記號(hào)：
x1,x2,x3,....xn,如果進(jìn)行置換，例如x1置換成x2,x2置換成x3,......xn置換成x1,記成（123......n），置換不變，記為1。顯然n元素所有的置換是一個(gè)n!元素的集合。
先介紹拉格朗日的發(fā)現(xiàn)，然后介紹其發(fā)現(xiàn)過程。
拉格朗日發(fā)現(xiàn)：
★解一元三次方程需要預(yù)解二次輔助方程，解一元四次方程需要預(yù)解三次輔助方程。
★要解高次方程主要是解它的輔助方程。
★輔助方程的次數(shù)必須小于原方程的次數(shù)，不然原方程一般不可解。
（當(dāng)然解三次方程時(shí)的輔助方程是六次的，是因?yàn)榭砂炊畏匠糖?，所以本質(zhì)還是降階了）
★由于輔助方程解的表達(dá)式可以任意交換其系數(shù)a,b,c的位置（因?yàn)閷?duì)稱），即3次方程的解的表達(dá)式有 3!=3×2=6個(gè)。（Lagrange原話是：方程的解其實(shí)不依賴a, b, c 的值，而是依賴輔助方程結(jié)構(gòu)在原方程根下置換出的不同值的個(gè)數(shù)）。
至此，解代數(shù)方程必有置換的想法已正式形成（也即n次方程的n個(gè)根的排列順序有n!個(gè)，或者說這n！個(gè)排列組合的根，都是方程的解，也即方程根時(shí)對(duì)稱的）。
這是一個(gè)很重要的發(fā)現(xiàn)：也即方程解必須滿足置換條件，這也就是伽羅華從研究求解轉(zhuǎn)為研究代數(shù)方程結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)，他通過研究根組成的集合（置換群）的性質(zhì)，證明了：大于五次的方程的根組成的置換群其性質(zhì)導(dǎo)致其不可通過輔助方程降階，也即不可以用有理運(yùn)算和方根求解）。
★輔助方程的關(guān)鍵是找到根的表達(dá)式——預(yù)解式（為原方程根的函數(shù)），解方程只需要找到預(yù)解式。
所以解代數(shù)方程實(shí)際是要解輔助方程，因此要尋找一個(gè)預(yù)解式，此預(yù)解式在原方程根的置換下取不同值的個(gè)數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找到了合適的預(yù)解式就得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表示），解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。
因?yàn)橹灰辛祟A(yù)解式，就很容易得到它在原方程根下置換出不同值的個(gè)數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。
下面介紹拉格朗日的工作過程。
先用二次方程來解釋他的思考過程。
考慮二次方程x^2+px+q=0，設(shè)x1,x2是其兩個(gè)解，構(gòu)造預(yù)解式r1=x1-x2，r2=x2-x1，顯然r1,r2在置換S(2)（包括置換1和（12），其實(shí)1和（12）就是一個(gè)2階置換群）下，有r1-->r1，r2-->r2；r1-->r2，r2-->r1。
構(gòu)造以r1，r2為根的輔助方程（也稱預(yù)解方程）：
Φ（X）=（X-r1）*（X-r2），這個(gè)方程顯然在S（2）下不變，
根據(jù)韋達(dá)定理，r1+r2=-p,r1*r2=q，能夠得到Φ（X）=X^2-（p^2-4q）
對(duì)一般n次方程，由于Φ（X）是根組成的置換群，是對(duì)稱的，可以按照高中代數(shù)學(xué)過的牛頓多項(xiàng)式定理，得到：Φ（X）=原方程系數(shù)構(gòu)成的初等多項(xiàng)式表達(dá)，也即Φ（X）可以用原來方程的系數(shù)表達(dá)出來。
顯然X有兩個(gè)解：r1,r2,（p^2-4q）^1/2和-（p^2-4q）^1/2，（當(dāng)然r1,r2具體取值，是一個(gè)2！的排列組合）
r1=x1-x2,r2=x2-x1，原方程滿足x1+x2=-p，那么原方程解得到：
x1，x2=（-p±（p^2-4q）^1/2)/2，具體x1,x2取值，也是2！個(gè)組合。
對(duì)一般三次方程x^3+px+q=0(參見前面介紹，任意三次方程總能整理成這個(gè)模式），假設(shè)x1,x2,x3是其根，引入預(yù)解式：
r1=x1+wx2+w^2x3,（其中x^3=1的三個(gè)根表達(dá)為1，w，w^2）
x^n=1的解可以這樣考慮，令x=r(isinθ+cosθ),由于x^n=1，所以r=1，nθ=2πk，k=1,2,......n-1，方程的n個(gè)解分別為1，w,w^2,w^3......w^(n-1)，其中w=e^(i2π/n)，e是歐拉常數(shù)。（這是大學(xué)微積分常識(shí)）
用S(3)做置換計(jì)算得到（S(3)包括：1，（132），（321），（213）,（231）,(312)等六個(gè)置換，這是一個(gè)六階置換群）
1=x1+wx2+w^2x3,
r2=wx1+w^2x2+x3,
r3=w^2x1+x2+wx3
r4=x1+w^2x2+wx3
r5=wx1+x2+w^2x3
r6=w^2x1+wx2+x3
做這種置換，是要用韋達(dá)定理把根與系數(shù)的關(guān)系建立起來.
定義預(yù)解方程Φ（X）=（X-r1）*（X-r2）......（X-r6）
顯然1+w+w^2=0，w^3=1（w是x^3=1的三個(gè)根之一）。
得到：Φ（X）=（X^3-r1^3）*（X^3-r2^3）=0
令r1^3=u,r2^3=v,x^3=t,則轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程，也即形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個(gè)開立方之和。
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時(shí)立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，
所以（2）可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，
移項(xiàng)可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，
和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡(jiǎn)得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實(shí)就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因?yàn)锳和B可以看作是一元二次方程的兩個(gè)根，而(6)則是關(guān)于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個(gè)根的韋達(dá)定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對(duì)比（6）和（8），可令A(yù)＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)；y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) ，2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式
(14)只是一元三方程的一個(gè)實(shí)根解，按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個(gè)根，不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個(gè)根，另兩個(gè)根就容易求出了。
對(duì)于一般一元四次方程，ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，拉格朗日照樣構(gòu)造預(yù)解方程r1=x1+ix2-x3-ix4,然后經(jīng)S（4）置換，出來24組，
然后構(gòu)造Φ（X）=（X-r1）*（X-r2）....(X-r24）
根據(jù)上面解三次方程方法，拉格朗日解決了四次方程求根辦法（具體寫起來太復(fù)雜，純粹是力氣活，沒創(chuàng)意，省略）。
按照拉格朗日方法，一元四次求根公式這種方法來解一元四次方程，只需求解一個(gè)一元三次方程即可。
根據(jù)上述結(jié)果，拉格朗日認(rèn)為：解三次方程方法，輔助方程為二次的，解四次方程，輔助方程為3次的，那么解n次方程，只要找到n-1輔助方程，就可以解。
為這個(gè)目標(biāo)，Lagrange利用1的任意n次單位根 （x^ n =1）,引進(jìn)了預(yù)解式1+x+ x^2+ x^3+…+ x^n-1來試圖找到n次方程解法，但是用這種方法，Lagrange進(jìn)行五次及五次以上方程的嘗試都失敗了。
因?yàn)榘凑账姆椒ǎ庖辉宕畏匠绦枰A(yù)解二十四次的輔助方程 （ Tschirnaus、Bezut、Euler也得到同樣的結(jié)果）。由此，他開始懷疑五次以上方程是無根式解的。
1771年，拉格朗日發(fā)表長(zhǎng)篇論文《關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考》提出了這個(gè)懷疑。（不過德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1801年，他解決了分圓方程x^p-1=0（p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進(jìn)一步查明）。
根據(jù)拉格朗日的判斷，魯菲力（Ruffini）1813年，從反面論證高于五次的方程可能沒有一般代數(shù)解，不過他的證明不嚴(yán)謹(jǐn)。
1826年，阿貝爾嚴(yán)格證明：如果一個(gè)方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個(gè)定理又證明出了阿貝爾定理：
一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解，這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。但是阿貝爾沒有回答每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。
阿貝爾還在在高斯分圓方程可解性基礎(chǔ)上，證明了：
任意次的一類特殊方程的可解充分必要條件是全部根都是其中一個(gè)根（假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個(gè)根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數(shù)。（現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程）。
其實(shí)這就是群，只是阿貝爾沒能意識(shí)到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合（因?yàn)槿舴匠趟械母加酶鵻1來表示成有理函數(shù)qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當(dāng)用另一個(gè)根xi代替x1時(shí)，其中i≤n ，那么qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。也即根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一個(gè)置換），阿貝爾僅僅考慮了根的可交換性：q1q2(x)=q2q1(x)，并證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡(jiǎn)化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
所以阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。
3、伽羅華出場(chǎng)了
伽羅華的思想來自于拉格朗日用置換的思想進(jìn)行代數(shù)方程求解。
（1）、伽羅華從拉格朗日方程根的置換思想入手
為了介紹伽羅華從拉格朗日工作飛躍，我們用一個(gè)簡(jiǎn)單例子來解釋。
拉格朗日已經(jīng)意識(shí)到，如果一元n次方程能夠變成[x-x(1)][x-x(2)]...[x-x(n)]這樣徹底地分解因式，那么方程的解就得到了。但往往不能，必須擴(kuò)張系數(shù)的數(shù)域才行。例如：
f(x)=x^2+1
這個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是不能分解的，如果允許把虛數(shù)單位i作為系數(shù)的話，這個(gè)式子可以分解成：
f(x)=(x+i)(x-i)
也即：當(dāng)域的范圍越大，在這個(gè)域中進(jìn)行的因式分解就越徹底，當(dāng)一個(gè)n次多項(xiàng)式可以被分解為n個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積時(shí)，方程的n個(gè)解就找出來了。這個(gè)域叫做f(x)的分裂域。
通過一系列的擴(kuò)域就能把多項(xiàng)式的系數(shù)域擴(kuò)張到多項(xiàng)式的分裂域，方程就找到解了?？墒沁@里有一個(gè)核心問題：系數(shù)域可擴(kuò)張為分裂域的充分必要條件是什么，或者是不是分裂域都是存在的（也即等價(jià)于一元n次方程都是有解的）。
由于域定義了四種運(yùn)算（例如四則運(yùn)算），拉格朗日發(fā)現(xiàn)域是一種非常難以把握的集合。而且一元n次方程涉及的大部分域都是無限域（有無限多的元素，比如實(shí)數(shù)域，有理數(shù)域），要準(zhǔn)確地給出系數(shù)域可以擴(kuò)張為分裂域的充分必要條件是非常困難的。
（2）、伽羅華的工作
伽羅華首先是對(duì)一元n次多項(xiàng)式方程可解的定義進(jìn)行改進(jìn)：
簡(jiǎn)單說是指經(jīng)過有限次加、減、乘、除、乘方和開方運(yùn)算可以表示出方程的根。（這個(gè)定義的嚴(yán)格表達(dá)是：如果一個(gè)集合包含方程的系數(shù)，且對(duì)加、減、乘、除、乘方和開方封閉，那么求根公式的存在性等價(jià)于根在這個(gè)集合中的存在性。這個(gè)結(jié)論是顯然的，多想一下就明白）。
所以一個(gè)代數(shù)方程是否有解，要看我們對(duì)于解所加的限制條件而定，例如如果允許x可以是負(fù)數(shù)的話，x+5=3是可解的，但是如果限定x不能是負(fù)數(shù)，那么這個(gè)方程就無解了。
同樣，假使x表示有理數(shù)，方程2x+3=10是可解的。如果x表示整數(shù)，這方程就無解了，因?yàn)閤=3.5在整數(shù)里面沒有意義。
再例如，要三等分任意一角，若只準(zhǔn)用直尺與圓規(guī)，這是不可能的，但是若許用別的儀器，就可能了。
所以關(guān)鍵的一個(gè)要點(diǎn)來了：一個(gè)多項(xiàng)式是可以因式分解的或不可因式分解的，要看在什么數(shù)域中分解而定。例如x^2+1在實(shí)數(shù)域中就是不可分解的，但是在復(fù)數(shù)域中卻是可分解的，因?yàn)閤^2+1=(x+i)(x-i),i=（-1）^1/2。所以，單說一個(gè)多項(xiàng)式是不是可因式分解的，而不說出在什么數(shù)域內(nèi)，這其實(shí)是廢話。
同理，一個(gè)命題在什么范圍中是對(duì)的，在什么范圍中是錯(cuò)的，甚而至于在什么范圍中是絕對(duì)沒有意義的也是這個(gè)道理。
伽羅華要解決的問題是：一般高于四次的方程不能用根式解。
不能用根式解，就是說方程的根不能用方程的系數(shù)通過有限次的有理運(yùn)算（加，減，乘，除）和開方得到（或者說等價(jià)于方程的根不能表達(dá)成方程系數(shù)通過有理運(yùn)算形成的函數(shù)）。
例如一次方程ax+b=0，方程的根是x=-b/a，也即x的值可以用a除b而得，這是一個(gè)有理運(yùn)算。
二次方程ax^2+bx+c=0，兩根是x=（-b±(b^2-4ac)^1/2）/2a，這也可以由方程系數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算和開方而得。
同樣，一般的三次，四次方程的根也表達(dá)成用有限次的有理運(yùn)算和開方方程系數(shù)的函數(shù)。
顯然乘方是乘法的特例（反復(fù)乘法）。開方顯然不是四則運(yùn)算（域中被定義的運(yùn)算只有加減乘除四種），所以必須把開方通過擴(kuò)域的方式被加入到求根公式允許的運(yùn)算方式中。
所以伽羅華發(fā)展出了第一個(gè)重要的概念：擴(kuò)域。也即伽羅華發(fā)現(xiàn)了：從包含方程系數(shù)的最小的域出發(fā)，通過域的擴(kuò)張逐漸添加元素，直到把方程的所有解包含在某個(gè)擴(kuò)域中為止：如果我們能這樣做到，方程就是有解的，否則，方程就沒有一般的求根公式。
（3）、伽羅華定理
基于上述發(fā)現(xiàn)，伽羅華繼續(xù)努力。
對(duì)有理系數(shù)的n次方程 x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an=0，
假設(shè)它的n個(gè)根是x1,x2,…,xn，伽羅華證明：
每個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)域（由方程系數(shù)和全部根組成，這個(gè)域定義為伽羅華域），每一個(gè)域與一個(gè)伽羅華群對(duì)應(yīng)。
這也就意味著，伽羅華發(fā)現(xiàn)了研究一元n次方程解結(jié)構(gòu)問題，可以轉(zhuǎn)為研究伽羅華群結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
伽羅華群定義：某個(gè)數(shù)域上任意一個(gè)一元n次多項(xiàng)式方程,它的根的置換群里面某些置換所構(gòu)成的一個(gè)子群，滿足如下條件就被定義作該方程的伽羅華群：
對(duì)任意一個(gè)取有理數(shù)值關(guān)于根的多項(xiàng)式函數(shù)，伽羅華群中的每一個(gè)置換都使函數(shù)的值不變。同時(shí)，如果伽羅華群中每一個(gè)置換都使根的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的值不變，則這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的值是有理的。
伽羅華域定義：對(duì)有理系數(shù)的n次方程 x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an=0，
假設(shè)它的n個(gè)根是x1,x2,…,xn，方程系數(shù)生成的域是F，E是把n個(gè)根添加到F上生成的域，又叫伽羅華擴(kuò)域或伽羅華擴(kuò)張。
伽羅華定理：假定G為這個(gè)方程的伽羅華群，一元n次方程是否有根式解的充分必要條件是：假定F是含有這個(gè)方程的系數(shù)及x^n=1的各次方根的最小域，那么F是否可以經(jīng)過有限次添加根式擴(kuò)張，成為E。
也即是否存在有限多個(gè)中間域Fi(i=1,......k),使F<><><><><>
那么如何把伽羅華域伽羅華群聯(lián)系起來呢？
伽羅華定義了域上自同構(gòu)群。域上的自同構(gòu)群概念的引入，使域與群發(fā)生了聯(lián)系，即建立了伽羅華 域的子域與伽羅華群的子群之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：保 持F元素不動(dòng)的的每個(gè)自同構(gòu)決定方程根的一個(gè)置換,它屬于伽羅瓦群G,反之,G中每 個(gè)置換引起的一個(gè)自同構(gòu),它使F的元素不動(dòng)。
這樣就建立了E的自同構(gòu)群和方程的伽羅瓦群之間的同構(gòu)。由此建立E的子域(包含F(xiàn))和 G的子群之間的一一對(duì)應(yīng)：保持子域Fi不動(dòng)的G中全部置換構(gòu)成的一個(gè)子群Gi,讓Gi與Fi對(duì)應(yīng),而且反過來也可 用Gi來刻劃Fi,即Fi是E中被Gi的每個(gè)置換保持不動(dòng)的元素全體。也即Fi和Gi存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
這就是伽羅瓦基本定理。顯然利用這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可由群的性質(zhì)刻劃域的性質(zhì),反之亦 然。因此,伽羅華的理論是群與域這兩種代數(shù)基本結(jié)構(gòu)綜合的結(jié)果。
那么怎么用伽羅華群性質(zhì)證明方程是否可解呢？
伽羅華在拉格朗日方法基礎(chǔ)上，認(rèn)為解方程，必須從預(yù)解式開始，當(dāng)他構(gòu)造二項(xiàng)方程作為預(yù)解方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)其相應(yīng)的置換子群應(yīng)是正規(guī)子群且指數(shù)為素?cái)?shù)才行。利用正規(guī)子群概念可以區(qū)分合成群與單群的概念，利用它的性質(zhì)就可以判別已知方程能否轉(zhuǎn)化為低次方程的可解性問題。這是伽羅華的第二個(gè)重要發(fā)現(xiàn)。
伽羅華的的思想是：
首先定義正規(guī)子群的概念：群G的子群N是G的正規(guī)子群，是指對(duì)每個(gè)g∈G，g^-1Ng=N；
其次是尋找極大正規(guī)子群列，確定極大正規(guī)子群列的一系列合成因子。
伽羅華證明：伽羅華域F，如果每次所添加的根式均為素?cái)?shù)次根，那么,那么F可以經(jīng)過有限次添加根式擴(kuò)張，成為E（也即方程有根式解）。這時(shí)中間域Fi的結(jié)構(gòu)等價(jià)于使Fi-1保持不變的的Fi自同構(gòu)置換群的結(jié)構(gòu)。這樣的自同構(gòu)群是素?cái)?shù)階的循環(huán)群,且階數(shù)為〔Fi:Fi-1〕。
伽羅華因此定義：如果一個(gè)群所生成的全部合成因子都是素?cái)?shù)，則稱這個(gè)群為可解的。
這樣就利用可解群的概念全面刻劃了用根式解方程的特性，給出了一個(gè)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則是：一個(gè)方程可用根式解的充要條件是這個(gè)方程的伽羅華群是可解群。
這樣伽羅華證明了：一元n次多項(xiàng)式方程能用根式求解的一個(gè)充分必要條件是該方程的伽羅華群為可解群。這時(shí)是1832年。
由于高于四次的一般方程的伽羅華群不是可解群，也就直接推論出高于四次的一般方程的不可解性。
也即伽羅華發(fā)現(xiàn)本質(zhì)就是：域的無數(shù)種擴(kuò)張方式其實(shí)就是有限階的群。n階對(duì)稱群對(duì)應(yīng)著n次一元方程，而5階和5階以上的對(duì)稱群不是可解群，也就是五次和五次以上的代數(shù)方程沒有求根公式。
（4）、伽羅華的創(chuàng)造
★先不忙考慮求解方法，先證明解是不是存在，不然就是無用功，也即伽羅華把存在性證明與數(shù)的計(jì)算相分離，這是人類偉大的一步。
★通過研究根式擴(kuò)張和根對(duì)稱性得出代數(shù)方程是否可解。也即發(fā)現(xiàn)方程解的對(duì)稱性和解的結(jié)構(gòu)，決定是否可以根式解。
具體說就是伽羅華發(fā)現(xiàn)：一個(gè)多項(xiàng)式方程有根式解的話，各個(gè)根的對(duì)稱性要滿足一定關(guān)系：出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式，一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函數(shù)。五次以上的方程這個(gè)關(guān)系不一定滿足。
伽羅華的發(fā)現(xiàn)證明：計(jì)算不如結(jié)構(gòu)重要。
伽羅華定義的群本質(zhì)就是方程根形成的集合必須具有對(duì)稱性質(zhì)。
如果解集上定義某種兩兩映射（同構(gòu)），如果能保持解集不變，解集就是對(duì)那個(gè)自同構(gòu)對(duì)稱的。
事實(shí)上，如果解集存在，保持解集不變的自同構(gòu)一定是存在的（很容易證明）。因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)恒等自同構(gòu)，即從自身映射到自身。再比如一元二次方程有兩個(gè)根x1和x2，那么x1到x2的映射也是一個(gè)自同構(gòu)。
這就是說，如果某個(gè)擴(kuò)張域是存在的，擴(kuò)張所對(duì)應(yīng)的自同構(gòu)也一定存在，這兩個(gè)存在性是等價(jià)的。所以擴(kuò)域的研究自然而然地變成了對(duì)自同構(gòu)的研究。
至此為止，我們把伽羅華的基本思想介紹完了。至于細(xì)節(jié)，我們?cè)谙旅婧?jiǎn)單介紹一下，對(duì)不想麻煩的人，不看也可以。
附：五次以上方程不可解性的嚴(yán)格證明（給一個(gè)抽象代數(shù)教科書典型的證明定理的例子）
證： 若S5（五階置換群）是可解的，則存在正規(guī)子群N使S5/N可交換。設(shè)f為S5到S5/N的自然同態(tài)，考察三項(xiàng)循環(huán)（a，b，c）∈S5，再取另兩元d，e。令x=（d，b，a），y=（a，e，c）。x^-1y^-1xy的f像為x‘^-1y'^-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交換知x‘^-1y'^-1x'y'=1，即有x^-1y^-1xy=（a，b，c）∈N。故N包含所有三輪換，同理其正規(guī)群列均包含三輪換，所以不可能結(jié)束于1。這就是5次以上一元方程不可解的證明。
4、說點(diǎn)細(xì)節(jié)
其實(shí)伽羅華關(guān)鍵工作我們已經(jīng)介紹完了。下面說點(diǎn)細(xì)節(jié)。
伽羅華定義的的群并不是現(xiàn)在抽象代數(shù)定義的群（最前面介紹的），伽羅華定義群是方程根的置換。從直覺來看，方程的解顯然和它們的順序無關(guān)，所以當(dāng)置換作用于方程的解集合時(shí)，方程對(duì)這種變換而言是對(duì)稱的。
伽羅華發(fā)現(xiàn)滿足這些條件的集合（群）的結(jié)構(gòu)是非常固定的。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：包含三個(gè)元素的群的結(jié)構(gòu)一定是 (0,1,-1)，其中0是恒等元，-1是1的逆元。（但是5階以上的對(duì)稱群不一定是可解群，所以5次以上的代數(shù)方程沒有一般的求根公式）。
在1831年的論文中，伽羅華首次提出了群這一術(shù)語(yǔ)，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他發(fā)現(xiàn)置換群是解方程的關(guān)鍵，方程的根是一個(gè)置換群。他從此開始把解方程問題轉(zhuǎn)化為置換群結(jié)構(gòu)問題(其實(shí)群這個(gè)概念不是伽羅華原創(chuàng)，柯西在1813年就提出了，只是沒能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：群的基本性質(zhì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)一元n次多項(xiàng)式方程解的關(guān)系）。
（1）、群的定義
★（封閉性）集合中任意兩個(gè)元素用規(guī)定的運(yùn)算時(shí)，所得的結(jié)果還是系統(tǒng)中的一個(gè)元素。也即集合G，任意x,y屬于G，集合G上定義的運(yùn)算為*，x*y也一定屬于G。（這個(gè)運(yùn)算*的定義是廣義的，既可以是加減乘除等運(yùn)算，也可以是旋轉(zhuǎn)，置換等等一切行為）。
例如：一個(gè)整數(shù)加到另一個(gè)整數(shù)上去的結(jié)果還是一個(gè)整數(shù)；兩個(gè)有理數(shù)相乘的結(jié)果還是一個(gè)有理數(shù)；一個(gè)置換將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1,另外一個(gè)置換是將x2變成x1,x3,x3變成x2,x1變成x3，那末這兩個(gè)置換結(jié)合仍然是一個(gè)置換；平面一個(gè)60度的旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針方向）之后跟著一個(gè)120度的旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針方向)，結(jié)果是一個(gè)180度的旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針方向)，仍然是一個(gè)旋轉(zhuǎn)等等。
★結(jié)合律必須成立。也即任意x,y,z屬于G，(x*y)*z=x*(y*z)。
★集合中必須含有單位元，也即與集合中任意另一個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果仍是那另一個(gè)元素。也即集合G存在單位元e，任意一個(gè)x屬于G，e*x=x。
例如，在定義加法的整數(shù)中，單位元是0，因?yàn)?與任何整數(shù)相加的結(jié)果還是那個(gè)整數(shù)；在定義乘法的有理數(shù)中，單位元是1，因?yàn)槿我庖粋€(gè)有理數(shù)用1乘了之后的積還是那個(gè)有理數(shù)；在置換中，單位元就是那個(gè)將x1變成x1，x2變成x2，x3變成x3的置換，因?yàn)槿我庖粋€(gè)置換和這個(gè)置換結(jié)合的結(jié)果還是那個(gè)置換；在平面旋轉(zhuǎn)中，單位元就是那個(gè)360度的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)榧现腥我庖粋€(gè)旋轉(zhuǎn)和這個(gè)旋轉(zhuǎn)結(jié)合的結(jié)果還是那個(gè)旋轉(zhuǎn)等等。
★每個(gè)元素必須有一個(gè)逆元素：一個(gè)元素和他的逆元素用集合上定義的運(yùn)算結(jié)合的結(jié)果是單位元。也即任意x屬于G，存在x^-，x^-*x=e。
例如，在整數(shù)集合中，定義加法，3的逆元素就是—3，因?yàn)?加上—3的和是0；在有理數(shù)集合中定義乘法，則a/b的逆元素是b/a,因?yàn)閍/b和b/a相乘的積是1；在置換中，將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換的逆元素是那個(gè)將x2變成x1,x3變成x2，x1變成x3的置換，因?yàn)檫@兩個(gè)置換結(jié)合的結(jié)果是那個(gè)將x2變成x2,x3變成x3,x1變成x1的置換；在平面旋轉(zhuǎn)中，那個(gè)60度的旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針方向）的逆元素是一個(gè)一個(gè)順時(shí)針方向的60度的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)檫@兩個(gè)旋轉(zhuǎn)結(jié)合的結(jié)果和那個(gè)360度的旋轉(zhuǎn)一樣。
滿足上述的四條性質(zhì)，就是一個(gè)群。
如果在整數(shù)上定義加法，但是若把0去掉，就不成為群了，因?yàn)闆]有單位元；一切整數(shù)用乘法作集合中的運(yùn)算不是群，例如3的逆元素1/3不在整數(shù)集合中。
所以一個(gè)集合是否是群，不但與元素有關(guān)，也與運(yùn)算有關(guān)。
前面已經(jīng)說了，群的元素不必一定是數(shù)，可以是一種運(yùn)動(dòng)（如平面旋轉(zhuǎn)），也可以是一種動(dòng)作（例如置換）；運(yùn)算不必一定要是加法或乘法，或?qū)こＫ阈g(shù)，抽象代數(shù)中所稱為的運(yùn)算，可以是任何定義，例如乘法可以是一個(gè)置換跟著另一個(gè)置換，也可以說是一個(gè)置換乘另一個(gè)置換。這個(gè)乘法與普通算術(shù)或代數(shù)中乘法不是一個(gè)概念，千萬不要蒙，而且群定義的廣義的乘法的性質(zhì)可以和普通乘法的性質(zhì)大異，例如，在普通的乘法中，2*3=3*2（普通的乘法是適合交換律的），也即普通乘法中因子的次序可以交換，結(jié)果相同?？墒?，置換中的“乘法”，交換律就不成立了，例如將x1變成x3，x3變成x1，x2變成x2的置換和一個(gè)將x1變成x2，x2變成x3，x3變成x1的置換就沒有交換律，如果先進(jìn)行第一個(gè)置換然后進(jìn)行第二個(gè)置換于式子x1x2+x3，那末，這式子先變成x3x2+x1，再變成x1x3+x2；如果將置換的次序交換一下，那末，原來的式子先變成x2x3+x1，再變成x2x1+x3，這個(gè)結(jié)果顯與前面一個(gè)不同。所以群里面定義的“乘法”是不需要適合交換律的，因此，相乘時(shí)元素的次序很重要；兩個(gè)元素用運(yùn)算結(jié)合時(shí)當(dāng)照一定的次序結(jié)合。
（2）、置換群
伽羅華用來解方程的是置換群(SubstitutionGroup)，下面先介紹一下記號(hào)。
一個(gè)將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換，可以用簡(jiǎn)單記號(hào)來表示：x可以省去，只要用1,2,3來代表于是這個(gè)置換可以記作(123)，這記號(hào)的意思是說：1變作2，2變作3，3變作1。也即：x1變作x2，x2變作x3，x3變作x1。（每個(gè)數(shù)變作他后一個(gè)數(shù)，而最后的一數(shù)則變成最先的一數(shù)，如此完成一個(gè)循環(huán)）
同樣，一個(gè)將x2變成x3,x3變成x1,x1變成x2的置換可以記作(231)；同樣(132)表示一個(gè)將x1變成x3,x3變成x2,x2變成x1的置換；又如(13)(2)或(13)表示一個(gè)將x1變成x3,x3變成x1,x2變成x2的置換，所以前面講乘法交換律時(shí)所說兩個(gè)置換相乘的例子，若照第一種次序是(13)(123)=(23)；若照第二種次序是(123)(13)=(12)，由這兩個(gè)式子就知道這種乘法是不適合交換律的，將一個(gè)元素右乘或左乘另一個(gè)元素，他的結(jié)果是完全不同的。
一個(gè)群的一部分元素構(gòu)成一個(gè)群，這種群稱為子群(Subgroup)。例如整數(shù)集定義加法成為群，單拿偶數(shù)集，定義加法，也成一群：因?yàn)槿旱乃膫€(gè)性質(zhì)都能適合：
★兩個(gè)偶數(shù)的和還是偶數(shù)；
★零是單位元；
★一個(gè)正偶數(shù)的逆元素是一個(gè)負(fù)偶數(shù)，而一個(gè)負(fù)偶數(shù)的逆元素是正偶數(shù)；
★結(jié)合律成立。
所以單是偶數(shù)全體對(duì)于加法而言是一個(gè)群，這個(gè)群就是是那個(gè)由一切整數(shù)定義加法而成的群的子群。
再例如，一個(gè)置換群（即是以置換作元素的群）也可以有子群。
例如，1,(12),(123),(132),(13),(23)六個(gè)置換構(gòu)成一個(gè)群（1表示那個(gè)不動(dòng)置換，即是將x1變成x1,x2變成x2,x3變成x3的置換)，因?yàn)槿旱乃臈l性質(zhì)都成立：這六個(gè)置換中每?jī)蓚€(gè)的積還是這六個(gè)中的一個(gè)置換，例如(12)(123)=(13)，(123)(132)=1,(13)(23)=(123)，(123)(123)=(132)，等等）單位元是1；每個(gè)元素的逆元素都在這六個(gè)元素之中，比如(123)的逆元素是(132)，(12)的逆元素是(12)等等；結(jié)合律成立。
現(xiàn)在從這六個(gè)置換中取出1和(12)兩個(gè)來，這兩個(gè)元素也成為一個(gè)群，這是原來那個(gè)群的子群。
很容易證明：子群的元數(shù)(即集合中元素的個(gè)數(shù))是原來的群的元數(shù)的約數(shù)（拉格朗日定理）。
（3）、不變子群
最重要的子群是不變子群。
變換的直觀定義：群中一個(gè)元素若以另一個(gè)元素右乘，再用這另一個(gè)元素的逆元素左乘，所得結(jié)果稱為元素應(yīng)用另一個(gè)元素的變換。
例如一個(gè)元素(12),我們用另一個(gè)元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132)去左乘他，結(jié)果是(132)(12)(123)=(23)，(23)就稱為(12)應(yīng)用(123)的變換。
定義：一個(gè)子群中任何元素應(yīng)用原來的群中任何元素的變換，若仍是子群中的元素，這子群就稱為原來那個(gè)群的不變子群。
對(duì)伽羅華理論來講，不變子群是很重要的概念。
定義：設(shè)H是G的不變子群，假如G中沒有包含H而且比H大的不變真子群存在時(shí)，H就稱為G的一個(gè)極大不變真子群。
定義：假設(shè)G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)極大不變真子群，K是H的一個(gè)極大不變真子群.......若將G的元數(shù)用H的元數(shù)去除，H的元數(shù)用K的元數(shù)去除，......如此所得的系列數(shù)，就稱為群G的組合因數(shù)，假設(shè)這些組合因數(shù)都是素?cái)?shù)，就說G是一個(gè)可解群（可解的含義后面再介紹）。
在有些群中，群中的一切元素都是某一個(gè)元素(不是單位元)的乘冪，比如在群1,(123),(132)中，2(123)=(123)(123)=(132)3(123) =(123)(123)(123)=1，這群中的元素都是(123)的乘冪，像這種群，稱為循環(huán)群。
在一個(gè)置換群中，如果每個(gè)元素都有一個(gè)而且只有一個(gè)置換將元素?fù)Q成其他某一個(gè)元素(這個(gè)元素也可以和原來那個(gè)元素相同)，那末，這個(gè)群就稱為正置換群。
例如前面所說的群1,(123),(132)在1中x1變成x1,在(123)中x1變成x2,在(132)中x1變成x3，......所以這是一個(gè)循環(huán)正置換群。這種群在方程的應(yīng)用上很重要。
伽羅華證明：對(duì)于一個(gè)一定的數(shù)域，方程x^n+a1x^n-1+......+an-1x+an=0的根都能構(gòu)造一個(gè)置換群，群的階數(shù)是n!。
例如對(duì)三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0，假定它的三個(gè)根x1,x2,x3是不同的，隨便取一個(gè)這三個(gè)根的函數(shù)，例如x1x2+x3，在這函數(shù)中，我們?nèi)魧⑦@些x互相替換，那末，一共有多少種置換呢？
顯然只有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個(gè)置換（3！）。
(12)置換，也即將x1x2+x3變成x2x1+x3；(13)置換，就是將x1x2+x3變成x3x2+x1等等。
(123)置換就是把原來的函數(shù)變成x2x3+x1。而1就是不動(dòng)置換了。所以對(duì)于這三個(gè)x，一共有3!種可能的替換。
同理，對(duì)于四個(gè)x有4！種可能的置換，一般的情形，n個(gè)x就有n!可能的替換。
當(dāng)然一個(gè)函數(shù)進(jìn)行一個(gè)置換的時(shí)候，函數(shù)的值可以因此而變，也可以仍舊不變，例如若將(12)這個(gè)置換施行于函數(shù)x1+x2，這函數(shù)的值不變，可是，若將(12)施行于函數(shù)x1-x2，函數(shù)的值就由x1-x2一變而為x2-x1了。
計(jì)算一個(gè)已知n次方程的伽羅華群是很困難的，因此伽羅華認(rèn)為目標(biāo)不在于計(jì)算伽羅華群，而是證明：
對(duì)任意n次方程，其伽羅華群是方程根的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個(gè)元素集合構(gòu)成的，S(n)中的元素乘積實(shí)際上是指兩個(gè)置換之積?，F(xiàn)在把S(n)中的元素個(gè)數(shù)稱為階，S(n)的階是n!。
伽羅華找出方程系數(shù)域中的伽羅華群G后，找到它的最大真子群H1，用有理運(yùn)算來構(gòu)造根的一個(gè)函數(shù)Φ1（x) ，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。
再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，再找到一個(gè)函數(shù)Φ1（x) ，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R1；再找到H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群1）。
在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時(shí)，系數(shù)域R也隨之一步步擴(kuò)大為R1,R2,…,Rm，每個(gè)Ri對(duì)應(yīng)于群Hi。當(dāng)Hm=1時(shí)，Rm就是該方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。
我們從拉格朗日工作已經(jīng)知道一個(gè)方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。
于是，伽羅華引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個(gè)重要概念“正規(guī)子群”
（4）、正規(guī)子群
正規(guī)子群定義：設(shè)H是G的一個(gè)子群，如果對(duì)G中的每個(gè)g都有g(shù)H=Hg，則稱H為G的一個(gè)正規(guī)子群。
伽羅華證明：當(dāng)作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預(yù)解式是一個(gè)二項(xiàng)方程x^p=A (p為素?cái)?shù))時(shí)，則H1是G的一個(gè)正規(guī)子群。反之，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素?cái)?shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項(xiàng)方程。
極大正規(guī)子群：如果一個(gè)有限群有正規(guī)子群，則必有一個(gè)子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大的，這個(gè)子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。
一個(gè)極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個(gè)群都可生成一個(gè)極大正規(guī)子群序列。
把一個(gè)群G生成的一個(gè)極大正規(guī)子群序列標(biāo)記為G、H1、H2、H3…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H1]，[H1/H2]，[H2/H3]…。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。例如對(duì)上面的四次方程x^4+px^2+q=0，H1是G的極大正規(guī)子群， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群，即對(duì)方程x^4+px^2+q=0的群G 生成了一個(gè)極大正規(guī)子群的序列G、H1、H2、H3。
伽羅華在此基礎(chǔ)上定義可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素?cái)?shù)。也即伽羅華群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素?cái)?shù)時(shí)，方程可用根式求解。若不全為素?cái)?shù)，則不可用根式求解。
或者說：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)方程系數(shù)域上的群是可解群時(shí)，該方程才可用根式求解。
可解性的性質(zhì)在某一意義上是可繼承的，如：
若G為可解的，且H為G的子群，則H也是可解的。
若G是可解的，且H為G的正規(guī)子群，則G/H也是可解的。
若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態(tài)，則H也是可解的。
若H及G/H為可解的，則G也是可解的。
若G及H為可解的，則其直積G × H也是可解的。
例如x^4+px^2+q=0，它的[G/H1]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為素?cái)?shù)，所以x^4+px^2+q=0是可用根式解的。
再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時(shí)，有兩個(gè)二次預(yù)解式t^2=A和t^3=B，合成序列指數(shù)為2與3，它們是素?cái)?shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對(duì)n=4，有四個(gè)二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。
（5）、5次以上一元方程不可解
一般n次方程的伽羅華群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (A(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個(gè)子群。如果一個(gè)置換可表為偶數(shù)個(gè)這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個(gè)數(shù)為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群1，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是素?cái)?shù)，但當(dāng)n ≥5時(shí)，n！/2不是素?cái)?shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。
例如，四次方程 x^4+px^2+q=0 ， p與q獨(dú)立，系數(shù)域R是添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計(jì)算出它的伽羅華群G。
G是S(4)的一個(gè)8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中 E=1，E1=（1234），E2=（2134），E3=（2143），E4=（3412），E5=（4312）， E6=（3421）， E7=（4321）。
要把R擴(kuò)充到R1，需在R中構(gòu)造一個(gè)預(yù)解式:t^2-(p^2-4q)=0，
則添加預(yù)解式的根((p^2-4q))^1/2到R中得到一個(gè)新域R1，于是可證明原方程 x^4+px^2+q=0關(guān)于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。
然后構(gòu)造第二個(gè)預(yù)解式t^2-2(-p-(p^2-4q)^1/2)，
解出根(2(-p-(p^2-4q)^1/2))^1/2在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程 x^4+px^2+q=0在R2中的群H2，H2={E，E1}.
此時(shí)第二個(gè)預(yù)解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2。
再然后構(gòu)造第三個(gè)預(yù)解式t^2-2(-p+(p^2-4q)^1/2)，得它的根2(-p+(p^2-4q)^1/2))^1/2 ，把添加到R2中得擴(kuò)域R3，此時(shí)方程 x^4+px^2+q=0在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=1，則R3是方程 x^4+px^2+q=0的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。
在這個(gè)四次方程中，系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。
這種可解理論對(duì)于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
現(xiàn)仍以四次方程x^4+px^2+q=0為例，伽羅華從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二次的二項(xiàng)方程，既然可解原理對(duì)高次方程也適用，那么對(duì)于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個(gè)素?cái)?shù)次p的二項(xiàng)方程x^p=A。由于高斯早已證明二項(xiàng)方程是可用根式求解的。因此很容易得到：如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項(xiàng)方程，則能用根式求解原方程。
至此，伽羅華完全解決了方程的可解性問題。
（6）、用直尺與圓規(guī)的作圖
伽羅華解決了用直尺與圓規(guī)的作圖難題。
伽羅華發(fā)現(xiàn)了判別方程能否用根式解的方法后，他還解決了如何求一個(gè)能用根式解的方程的根的方法，這方法是利用一組輔助方程，這些輔助方程的次數(shù)恰是原來那個(gè)方程的群的組合因數(shù)。
基本流程如下：先把第一個(gè)輔助方程的根加入數(shù)域F中，將數(shù)域擴(kuò)大了可以增加P(y)分解因數(shù)的可能性，也能將P(y)的不可約部分減少，因此能將方程的群變小，當(dāng)然，必須數(shù)域擴(kuò)大了之后的確能繼續(xù)分解P(y)的因數(shù)，才會(huì)成立。
現(xiàn)在假設(shè)數(shù)域經(jīng)第一個(gè)輔助方程的根加入而擴(kuò)大了，而且使分解因數(shù)的工作因之可以再繼續(xù)下去，結(jié)果使方程在這擴(kuò)大了的數(shù)域F1中的群是H。
再將第二個(gè)輔助方程的根加入F1中，使方程的群變?yōu)镵，如此持續(xù)，直到后來，方程在那個(gè)最后擴(kuò)大成的數(shù)域Fm中的群是1。函數(shù)x1顯然不能被群1中的置換變更他的值，所以x1必在數(shù)域Fm中。仿此，其余的根也都在Fm中。
這樣先決定了方程的群和此群的組合因數(shù)，才知道輔助方程的次數(shù)。由此我們可以知道什么樣的數(shù)應(yīng)該加入原來的數(shù)域里去，而把方程的群變?yōu)?。于是可以決定方程的根存在于怎樣一個(gè)數(shù)域中。
現(xiàn)在用方程x^3-3x+1=0為例，這個(gè)方程在有理數(shù)域中的群是由1,(123),(132)三個(gè)置換構(gòu)成的，其唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是3,所以有一個(gè)次數(shù)是3的輔助方程，而這個(gè)輔助方程的根含有一個(gè)立方根，所以這個(gè)立方根必須加入數(shù)域中，才能使方程的群變?yōu)?，這樣原來的方程的根可以從有理數(shù)域中的數(shù)及這個(gè)立方根用有理數(shù)運(yùn)算得出。
直尺與圓規(guī)作圖等價(jià)于直線和圓作交點(diǎn)圖。也即求一次和二次方程的交點(diǎn)，只要解一個(gè)二次方程就可以把交點(diǎn)的坐標(biāo)用有理運(yùn)算和平方根表作系數(shù)的函數(shù)。所以凡是能用直尺與圓規(guī)作出的圖都可以有限次的加，減，乘，除和平方根表出，而且假使給了兩線段a,b和單位長(zhǎng)度，我們可以用直尺與圓規(guī)作出他們的和a+b,差a-b,積ab,商a/b,以及這些量的平方根如(ab)^1/2,b^1/2之類，這種運(yùn)算當(dāng)然可以重復(fù)應(yīng)用于一切已經(jīng)作出的線段。
一個(gè)作圖單用直尺，圓規(guī)是否可能時(shí)，必須作出一個(gè)表示這作圖的代數(shù)方程：假使這方程在數(shù)域中可以分解成單是一次和二次的代數(shù)式，那么，一切實(shí)數(shù)根當(dāng)然都能用直尺與圓規(guī)作出。即使方程不能分解成上述的樣子，只要方程的實(shí)數(shù)根能用有限次的有理運(yùn)算與平方根作已知的幾何量的函數(shù)，那末這作圖單用直尺，圓規(guī)還是可能的，否則這作圖就不可能了。
也即立方根是無法靠直尺和圓規(guī)作出的。
如果能夠找到一個(gè)三等分角的方程是不能用直尺與圓規(guī)三等分，那末用直尺和圓規(guī)三等分任意角的作圖就不可能了。
取120度角來三等分。假定這角位于一個(gè)半徑是單位長(zhǎng)的圓中心。假使能作出cos40度來，那末，只要取OA=cos40,于是a就是一只40度的角，而三等分120度的作圖就完成了。
應(yīng)用三角恒等式2cos3α=8cosα^3-6cosα，令x=2cosα,
(證明：cos3α =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2 a-1)cosa-(2sinacosa)sina =2cos^3 a-cosa-2sin^2 acosa =2cos^3 a-cosa-2(1-cos^2 a)cosa =2cos^3 a-cosa-2cosa+2cos^3 a =4cos^3 a-3cosa）
則有：2cos3α=x^3-3x
因?yàn)?α=120度，cos3α=-1/2，所以上面的方程可以寫作
x^3-3x+1=0
這正是以前討論過的方程。
現(xiàn)在作一個(gè)半徑是單位長(zhǎng)的圓，而且可以作OB=1/2，于是角AOC=120度。因?yàn)樗o的只有單位長(zhǎng)，所以數(shù)域限定在有理數(shù)域。
所以要解這個(gè)方程，必須將一個(gè)立方根加入于有理數(shù)域中，然而一個(gè)立方根是不能用直尺與圓規(guī)作出的，這樣，我們可以知道：用直尺與圓規(guī)三等分任意角是不可能的。
以相似的方法，不難證明用直尺，圓規(guī)解決立方倍積問題也是不可能的，對(duì)于這個(gè)問題，方程是x^3=2
數(shù)域是有理數(shù)域，這方程在這個(gè)數(shù)域中的群含有六個(gè)置換?？梢援?dāng)證明須加入一個(gè)平方根和一個(gè)立方根于有理數(shù)域中，方程的群才會(huì)變成1。又因一個(gè)立方根是不能用直尺，圓規(guī)作出的，所以我們這個(gè)立方倍積問題是不可能的。
類似的，也可以可以應(yīng)用群論去探討正多邊形作圖的問題。
附：伽羅華的關(guān)鍵定理的思想脈絡(luò)：
問題：要證明一個(gè)方程若有一個(gè)伽羅華可解群，這方程就可用根式解。
伽羅華的思想脈絡(luò)如下：在二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根x1,x2中，用韋達(dá)定理有x1+x2=-b與x1x2=c的關(guān)系，那么為什么不從這兩個(gè)方程中去解x1,x2呢？因?yàn)檫@條路是走不通的，因?yàn)榻?jīng)過計(jì)算的結(jié)果是與原來的二次方程絲毫也沒分別。
但是，如果能得到一對(duì)都是一次的方程，x1和x2就可以求得了。
假設(shè)方程f(x)=0有n個(gè)相異的根，而且由方程的系數(shù)及x^n=1的n次根決定的數(shù)域中，此方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群。
為什么伽羅華要先引進(jìn)這個(gè)1的n個(gè)n次根呢？
先看看1有三個(gè)立方根：1，-1/2+1/2*(-3)^1/2,-1/2-1/2*(-3)^1/2，(通常都記作1，ω，ω^2)（在一般的情形，1有n個(gè)n次根，這n個(gè)n次根記作1,ρ,ρ^2,......ρ^(n-1)）
1的三個(gè)立方根只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù)，同樣1的n個(gè)n次根也只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù)，所以這種數(shù)加入數(shù)域中去時(shí)并不影響到方程是能用根式解的命題。
因?yàn)榍懊婕俣ㄟ@個(gè)方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，群中元素都是置換群，群中的元素都是置換(123......n)的乘冪，這個(gè)置換的n次乘冪就是不動(dòng)置換。
現(xiàn)在構(gòu)造一組一次方程（n個(gè)）：
x1 + (ρ^k) x2 + ( ρ^2k) x3 + ......+(ρ^(n-1)k) xn = γk
此處k的值為0與n-1間之任何整數(shù)。
例如當(dāng)k=0時(shí)，上式就成為：
x1+x2+x3+......+xn=γ0
當(dāng)k=1時(shí)，上式就成為：
x1+ρx2+ρ^2x3+......+ρ^(n-1)xn=γ1等等。
因?yàn)橐粋€(gè)方程的最高次項(xiàng)系數(shù)是1，則諸根之和等于方程中第二項(xiàng)的系數(shù)的負(fù)值，所以γ0之值可以直接從方程的系數(shù)中求得。
現(xiàn)在要將置換(1234.....n)作用于上面方程組的左端，左端就成為：
x2+(ρ^k)x3+(ρ^2k)x4+......+(ρ^(n-1)k)x1等等，
若將左端用ρ^(-k)一乘，也可得出同樣的結(jié)果，這是因?yàn)棣裗n=1的緣故。所以置換(1234.....n)將γk之值變?yōu)棣裗(-k)γk。
又因ρ^n=1，所以γk^n=(ρ^(-k)γk)^n
所以置換(1234......n)不變更γk^n的值。同樣，群中其他的置換也不變?chǔ)胟^n。
這樣群中一切置換都不變更γk^n之值，γk^n之值必在數(shù)域中。因此，γk是數(shù)域中某一個(gè)數(shù)的n次根，這就是說：所有γ的值都可由根式得到（對(duì)于定義的數(shù)域而言）。而上面方程組中可以將x用ρ與γ表出，于是這組方程是可以用根式解的。這些x就是方程f(x)=0 根。
所以已經(jīng)證明：如果方程在一數(shù)域中的群是元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，則此方程必可用根式解。
舉例來說：方程x^3-3x+1=0在有理數(shù)域中的群是1，(123),(132)；這是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，所以可以從
x1+x2+x3=0
x1+ωx2+ω^2x3=γ1
x1+ω^2x2+ωx3=γ2
這三個(gè)一次方程求解。此處ω表示1的一個(gè)虛立方根，γ1與γ2可以由數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而得。換句話說，如果把根加入到數(shù)域中去，則x都存在于擴(kuò)大的數(shù)域中。
假使方程的群是一個(gè)可解群時(shí)，由于組合因數(shù)都是素?cái)?shù)，這方程還是能用根式解的，因?yàn)檫@時(shí)候每個(gè)輔助方程在那個(gè)用前幾個(gè)輔助方程的根擴(kuò)大成的數(shù)域中的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，這些輔助方程都能用根式解。因?yàn)檫@些加入原來的數(shù)域去的輔助方程的根，都只不過是原來的數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而已。所以只要方程的群是可解群，方程就是能用根式解的。
在一般的情形，取：
y^2 =(x(1)-x(2))^2*(x(1)-x(3))^2 ....(x(n-1)- x(n))^2作第一個(gè)輔助方程，此式右端是所有每?jī)蓚€(gè)根之差的平方之積。假若方程的第一項(xiàng)系數(shù)是1的話，則上式的右端正是方程的判別式,例如二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根x1,x2之差之平方是(x1-x2)^2=(x1+x2)^2- 4x1x2=b^2-4c，這恰是方程的判別式。同樣，高次方程的判別式也可從系數(shù)求得。現(xiàn)在第一個(gè)輔助方程的兩個(gè)根就是這判別式的兩個(gè)平方根，將這兩個(gè)平方根加入數(shù)域中，方程式在這新的數(shù)域F1中的群是H，再照同樣方法用其余的輔助方程進(jìn)行下去。
設(shè)若所要解的方程是一個(gè)一般的三次方程，將第一個(gè)輔助方程的根加入原來的數(shù)域之后，方程的群變?yōu)镠，在這情形，H是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，所以我們可以利用
x1+x2+x3=0
x1+ωx2+ω^2x3=γ1
x1+ω^2x2+ωx3=γ2
這三個(gè)一次方程來解原來的三次方程，此中的γ1，γ2可由數(shù)域(由三次方程的系數(shù)以及第一個(gè)輔助方程式的根決定）中的數(shù)的根數(shù)求得。換句話說，假使把γ1，γ2的值也加入數(shù)域中，則方程的群變?yōu)?，這也就是說，x1,x2,x3存在于這個(gè)最后經(jīng)γ1，γ2之加入而擴(kuò)大成的數(shù)域中。
如此就已經(jīng)證明：方程在一個(gè)由其系數(shù)與1之n個(gè)n次根而決定的數(shù)域中的群若是一個(gè)可解群，則此方程是可以用根式解的。
當(dāng)然，如果方程在一個(gè)含有其系數(shù)的數(shù)域中的群是可解群，則對(duì)于這數(shù)域而言，此方程是可以解的。
至此伽羅華解決了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。
他也解決了古代三大作圖問題中的兩個(gè)：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。
對(duì)上述思想再舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子：
二次方程x^2+3x+1=0,有兩個(gè)根x1,x2,因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)根，所以可能的置換只有1和(12)兩種（也即是S（2）置換群），所以這方程的伽羅華群或者含有這兩個(gè)置換，或者只有1一個(gè)，至于是什么，這就要憑在什么數(shù)域中而決定了。
現(xiàn)在取函數(shù)x1-x2，從韋達(dá)定理中我們知道：二次方程x^2+bx+c=0的兩個(gè)根之差是x1-x2=(b^2-4c)^1/2，b=3,c=1,所以x1-x2=5^1/2，如果所討論的數(shù)域是有理數(shù)域，這個(gè)函數(shù)的值不在數(shù)域中，所以群中必有一個(gè)置換，他能變更這函數(shù)的值。而1和(12)兩個(gè)置換中只有(12)變更函數(shù)x1-x2的值。所以伽羅華群中必含有(12),因此，這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群是由1,(12)兩個(gè)置換構(gòu)成的。
如果所討論的數(shù)域是實(shí)數(shù)域，顯然5^1/2在其中，所以S（2）群中一切置換都不改變函數(shù)x1-x2的值。所以(12)不能在伽羅華群中，這方程在實(shí)數(shù)域中的伽羅華群是由1一個(gè)置換構(gòu)成的。
再以方程x^3-3x+1=0為例，假設(shè)三個(gè)根為x1,x2,x3，所以至多有六種可能的置換，即是1,(12),(13),(23),(123),(132)（即S（3）置換群）。
求這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群，我們應(yīng)用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)這個(gè)函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)之值是±(-4c^3 -27d^2)^1/2?，F(xiàn)在c=-3,d=1,所以(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)=±9，±9是有理數(shù)，在有理數(shù)域中，伽羅華群中一切置換都不能變更函函數(shù)的值。但在上列六個(gè)置換中，只有1，(123),(132)不變更這數(shù)的值，所以這個(gè)三次方程在有理數(shù)域中的伽羅華群的元素或者就是這三個(gè)置換，或者只是1一個(gè)，所以單利用函數(shù)(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)還不能決定這個(gè)方程在有理數(shù)域中的伽羅華群。我們?cè)賾?yīng)用另外一個(gè)函數(shù)x1，如果群中只有1一個(gè)元素，那么，1不會(huì)變更函數(shù)x1的值，所以x1，必在有理數(shù)域中，換句話說，這個(gè)三次方程的根x1必須是有理數(shù)，同樣的道理，x2,x3也須是有理數(shù)，但是，這個(gè)三次方程沒有一個(gè)根是有理數(shù)，所以，他在有理數(shù)域中的伽羅華群不能單含1一個(gè)元素，個(gè)伽羅華群必定是由1,(123),(132)三個(gè)元素構(gòu)成的。
如此，我們利用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)和x1兩個(gè)函數(shù)而決定了這個(gè)方程在有理數(shù)域中的伽羅華群。
上面討論的這個(gè)三次方程也是討論直尺圓規(guī)三等分任意角問題的基本方程。
至此，我們已經(jīng)知道什么叫做一個(gè)方程在一個(gè)數(shù)域中的伽羅華群，而且知道如何去求。
根據(jù)前面介紹的伽羅華定理，我們知道一個(gè)方程在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中的群若是可解群，則此方程就能用根式求解，而且僅滿足這個(gè)條件的方程才能用根式解。
例如對(duì)一般的二次方程:ax^2+bx+c=0，設(shè)兩個(gè)根是x1,x2,在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中的置換群的元素是1和(12),這個(gè)置換群的唯一的極大不變真子群是1，所以此群的組合因數(shù)是2/1=2是一個(gè)素?cái)?shù)，因此，根據(jù)伽羅華定理，二次方程都可用根式解。
再例如，一般的三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，三個(gè)根x1,x2,x3，在一個(gè)含有他的系數(shù)的數(shù)域中，他的群含有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個(gè)置換，此群的唯一極大不變真子群H含有1,(123),(132)三個(gè)置換，而H的唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是6/3=2,與/1=3,兩個(gè)都是素?cái)?shù)，所以三次方程都是可用根式求解。
再例如四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，在一個(gè)含有其系數(shù)的數(shù)域中的群的元數(shù)是4!=24,按照前面計(jì)算，能夠得到這個(gè)群的組合因數(shù)是2,3,2,2,這些都是素?cái)?shù)，所以四次方程也都可以用根式解。
對(duì)于一般的五次方程，G含有5!個(gè)置換，G的極大不變真子群H含有5!/2個(gè)置換，而H的唯一極大不變真子群是1，所以組合因數(shù)是2與5!/2，5!/2當(dāng)然不是素?cái)?shù)，所以一般的五次方程是不能用根式解的。
其實(shí)，對(duì)于一般的n次方程，n若是大于4，組合因數(shù)便是2與n!/2而后者當(dāng)然不是素?cái)?shù)。
這樣就得到了用方程結(jié)構(gòu)來決定一個(gè)方程是否能用根式求解。
但是如果方程的群是一個(gè)元數(shù)為素?cái)?shù)的循環(huán)正置換群，這方程的確可以通過輔助方程降階簡(jiǎn)化，也即可以根式解。
5、感想
一般說來，一個(gè)抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)，沒有結(jié)構(gòu)的集合，是沒有意義的。數(shù)學(xué)研究的集合是定義了運(yùn)算或者變換的（系統(tǒng)科學(xué)研究的集合，上面定義的可能是正反饋，負(fù)反饋，延遲，發(fā)散，收斂等等），這些運(yùn)算或變換，就形成了集合的結(jié)構(gòu)，也即定義了集合中元素的關(guān)系。伽羅華群結(jié)構(gòu)思想是人類第一次將對(duì)象按照結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并不管研究對(duì)象和運(yùn)算具體是什么（群上面定義的運(yùn)算，可以是加法，也可以是變換等等）。
伽羅華思想的價(jià)值是開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大門，使數(shù)學(xué)從運(yùn)算轉(zhuǎn)向研究運(yùn)算性質(zhì)，也即集合的結(jié)構(gòu)。所以伽羅華思想是開啟后來法國(guó)布爾巴 基學(xué)派以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀 念統(tǒng)一數(shù)學(xué)的先導(dǎo)（布爾巴基學(xué)派簡(jiǎn)介在上一篇介紹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)介紹過），布爾巴基實(shí)現(xiàn)了伽羅華沒有實(shí)現(xiàn)的理想，他們把康托爾的集合論及希爾伯特的公理化方法作為統(tǒng)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，從抽象群的公理理論出發(fā)，通過分析抽象群結(jié)構(gòu)，搞清楚了人類的抽象結(jié)構(gòu)概念是如何產(chǎn)生的，例如他們通過群就是在某一集合中定義有結(jié)合性，么元和逆元的一個(gè)運(yùn)算（這三個(gè)性質(zhì)叫群結(jié)構(gòu)公理），就抽象出結(jié)構(gòu)概念的一般特點(diǎn)是：滿足一定條件公理的關(guān)系集合。所以布爾巴基認(rèn)為集合上的關(guān)系是數(shù)學(xué)至關(guān)重要的概念，因?yàn)殛P(guān)系是各種運(yùn)算的抽象，是構(gòu)成一個(gè)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，不同的關(guān)系可以構(gòu)成不同的結(jié) 構(gòu)。布爾巴基學(xué)派就從結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)出發(fā)，選出三種基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，作為元結(jié)構(gòu)，通過從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一般到 特殊的層次概念，構(gòu)造出各種不同的結(jié)構(gòu)，如復(fù)合結(jié)構(gòu)、 多重結(jié)構(gòu)、混合結(jié)構(gòu)，建立了各種公理理論，在此基礎(chǔ)上，統(tǒng)一了人類目前所有的數(shù)學(xué)學(xué)科。這其實(shí)是伽羅華思想的進(jìn)一步發(fā)展：數(shù)學(xué)本質(zhì)就是研究結(jié)構(gòu)的。布爾巴基所做的只是把伽羅華已經(jīng)確定的觀念推廣而已。
群的抽象定義是凱萊提出的，到20世紀(jì)初，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的核心概念，幾乎所有大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為其是數(shù)學(xué)的中心概念和統(tǒng)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念。如外爾就說過：沒有群就不可能理解近代數(shù)學(xué)。龐加萊也曾說 過：可以說群論就是那摒棄其內(nèi)容化為純粹形式的整個(gè)數(shù)學(xué)。
總之，群論是十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就，是人類擺脫幼年思維的標(biāo)志，也即從此擺脫了依賴直觀+計(jì)算來理解世界。群論以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把人類從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，是物理學(xué)和化學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)。
抽象的力量是巨大的，F(xiàn)eynman認(rèn)為用代數(shù)角度而不是偏微分方程來理解量子力學(xué)要容易得多，因?yàn)榇鷶?shù)的抽象恰好可以避免望文生義和誤入歧途。而且偏重計(jì)算的偏微分方程會(huì)導(dǎo)致學(xué)生舍本求末，陷入細(xì)節(jié)而難以抓住本質(zhì)。
代數(shù)雖然沒幾何直觀，但是面對(duì)N維空間時(shí)，其實(shí)幾何直觀優(yōu)勢(shì)已經(jīng)蕩然無存（所以克萊因才要用抽象代數(shù)統(tǒng)一幾何）。面對(duì)直觀以外的世界，我們唯一可以依靠的只有抽象+邏輯。
幾何與代數(shù)的特點(diǎn)很像以現(xiàn)象研究為對(duì)象的初等物理和以本質(zhì)研究（不變量研究）為主的理論物理。
代數(shù)通過不斷的抽象來提煉更加基本的概念，例如兩個(gè)群，不論它們的元素真實(shí)背景是什么（這些元素不管描述的是膨脹、收縮、轉(zhuǎn)動(dòng)、反演、振動(dòng)、聲音、流體、電磁波等等)，只要運(yùn)算性質(zhì)相同，彼此就是同構(gòu)的，并且可以因此認(rèn)為是相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)而不加區(qū)別。
代數(shù)的每一次抽象都是學(xué)科升級(jí)的過程。
例如克萊因用群論來把幾何中的許多互不相干的分支之間建立了內(nèi)在的聯(lián)系。
克萊因?qū)缀螌W(xué)的定義：幾何學(xué)是當(dāng)集合S的元素經(jīng)受某變換群T中所包含的變換時(shí)集合S保持不變的那些性質(zhì)的研究，為方便起見,這種幾何學(xué)以符號(hào)G(S,T)表示。
也即任何一種幾何學(xué)可以用公理化方法來構(gòu)建，也可以把變換群和幾何學(xué)聯(lián)系起來。
例如集合S叫做空間，S的元素叫做點(diǎn)，S的子集A和B叫做圖形，凡是等價(jià)的圖形都屬于同一類（圖形等價(jià)類）。
同一類里的一切圖形所具有的幾何性質(zhì)必是變換群G下的不變量，因而可用變換群來研究幾何學(xué)（Erlangen綱領(lǐng)），例如在正交變換群下保持幾何性質(zhì)不變的便是歐式幾何，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何，在射影變換群下保持不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何。
稍微具體一點(diǎn)，平面歐幾里得度量幾何為設(shè)S為通常平面上所有點(diǎn)的集合,考慮由平移、旋轉(zhuǎn)和線上的反射組成的所有S的變換的集合T。因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)這樣的變換的乘積和任何這樣的變換的逆變換還是這 樣的變換,所以,T是一個(gè)變換群。長(zhǎng)度、面積、全等、平行、垂直、圖形的相似性,點(diǎn)的共線性和線的共點(diǎn)性這樣的一些性質(zhì)在群T下是不變的,而這些性質(zhì)正是平面歐幾里得度量幾何所研究的。
仿射幾何就是把平面歐幾里得度量幾何的變換群T擴(kuò)大, 除了平移、旋轉(zhuǎn)和線上的反射外,再加上仿射變換（換句話說，就是從歐幾里得空間的距離概念抽象化出單比的概念，就從歐式幾何中舍棄距離不變而保留更普遍的單比不變，就從歐氏幾何升級(jí)到仿射幾何）。在此擴(kuò)大的群下,像長(zhǎng)度面積和全等這類性質(zhì)不再保持不變,因而不再作為研究的課題。但平行垂直圖形的相似性,點(diǎn)的共線性,線的共點(diǎn)性仍然是不變的性質(zhì),因而仍然是這種幾何中要研究的課題.
射影幾何所研究的是平面上的點(diǎn)經(jīng)受所謂射影變換時(shí)仍然保持不變的性質(zhì)從單比抽象到交比概念（換句話說，從仿射幾何中舍棄單比不變而保留更普遍的交比不變，升級(jí)射影幾何）。在前面講的那些性質(zhì)中,點(diǎn)的共線性和線的共點(diǎn)性仍然保持不變,因而是這種幾何所要研究的課題
在上述的幾何中,使某變換群的變換起作用的基本元素是點(diǎn),因此,上述幾何均為點(diǎn)幾何的例子。還有線幾何, 圓幾何,球幾何和其他幾何的例子。
在建立一種幾何時(shí),人們首先是不受拘束地選擇幾何的基本元素，其次是自由選擇這些元素的空間或流形，自由選擇作用于這些基本元素的變換群,這樣,新幾何的建立就成為相當(dāng)簡(jiǎn)單的事了。也即從歐式空間（長(zhǎng)度，夾角）到內(nèi)積空間（模，不嚴(yán)格的夾角）再到賦范空間（范，完全拋棄夾角），不斷的抽象，最后甚至連范數(shù)（最不愿拋棄的度量或度規(guī)）也拋棄了，從不嚴(yán)格的距離發(fā)展到不確定的距離，也即由歐式空間的連續(xù)函數(shù)抽象出度量空間的連續(xù)映射，一直到抽象出拓?fù)淇臻g中的同胚映射，最后得到了拓?fù)淇臻g的概念，這是人類目前為止在抽象上最深刻的極限?？梢哉f克萊因用群論來研究幾何學(xué)是人類思想的突破。
總之，群是數(shù)學(xué)中最有影響的概念，不了解群，就不可能了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。群論直接推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、函數(shù)論、微分方程與特殊 函數(shù)論和代數(shù)拓?fù)涞漠a(chǎn)生和發(fā)展，甚至很多經(jīng)典數(shù)學(xué)領(lǐng)域，因?yàn)槿赫摰囊攵F(xiàn)代化。
其實(shí)數(shù)學(xué)上這種抽象過程，也推動(dòng)了理論物理學(xué)的發(fā)展，例如狹義相對(duì)論發(fā)展就是要擺脫坐標(biāo)而直接度量時(shí)空的過程，而廣義相對(duì)論發(fā)展就是擺脫時(shí)空度量概念，走向空間同胚概念的過程。
目前群論已經(jīng)是現(xiàn)代物理的主要工具。群論廣泛用于基本粒子、核結(jié)構(gòu)、原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)等，因?yàn)閷?duì)稱性是物質(zhì)世界最普遍的性質(zhì)，例如各種物體（分子、晶體或圖形）都可以用特定的對(duì)稱性群來描述其結(jié)構(gòu)（晶體的空間對(duì)稱性可以用點(diǎn)群描述，其實(shí)晶體X射線衍射的圖案直接與其點(diǎn)群相關(guān)）；再例如時(shí)空存在對(duì)稱性，可以用彭加萊群描述不同表示對(duì)應(yīng)不同自旋的粒子，例如標(biāo)量粒子、旋量粒子、矢量粒子；再例如量子力學(xué)里的全同粒子就是對(duì)稱性的（基本粒子的規(guī)范對(duì)稱性可以由李群描述，其實(shí)李群的結(jié)構(gòu)常數(shù)直接決定了規(guī)范玻色子，比如膠子、W、Z玻色子的自相互作用）。
現(xiàn)代化學(xué)也離不開群論。例如化學(xué)中分子的性質(zhì)受到分子對(duì)稱性的影響（因?yàn)榉肿拥膶?duì)稱性反映出分子中原子核和電子云的分布情況），所以可以根據(jù)分子對(duì)稱性判斷該分子的一些基本性質(zhì)，例如判斷是否具有旋光性（判別分子是否具有旋光性的常用的方法是比較實(shí)物和它的鏡像，看它們能否完全重合，凡不能和鏡像重合的分子都具有旋光性；反之，如果兩者能夠重合，則分子就沒有旋光性），所以可以用分子的對(duì)稱元素和所屬對(duì)稱群來判斷其是否具有旋光性。
同樣，根據(jù)分子的對(duì)稱性，也可以判斷分子有無偶極距。分子偶極距大小決定于分子正負(fù)電重心間的距離與電荷量，其方向規(guī)定為從正至負(fù)。因?yàn)榉肿铀哂械膶?duì)稱性是分子中原子核和電子云對(duì)稱分布的反映，分子正負(fù)電重心一定處于分子的對(duì)稱元素上。所以分子的永久偶極矩是分子的靜態(tài)性質(zhì)，靜態(tài)性質(zhì)的特點(diǎn)就是它在分子所屬點(diǎn)群每一對(duì)稱操作下必須保持不變，為此μ向量必須落在每一元素上，因此可以根據(jù)“分子對(duì)稱元素是否只交于一點(diǎn)”來預(yù)測(cè)分子有無永久μ。如果分子有對(duì)重心落在同一點(diǎn)上，因而無偶極距。若不存在上述的對(duì)稱元素時(shí)，則分子的正負(fù)電重心不落在同一點(diǎn)上，就有偶極矩。
如果分子具有對(duì)稱中心，那么分子的所有對(duì)稱元素都交于此點(diǎn)，此點(diǎn)亦即分子正負(fù)電荷的重心。因此，具有對(duì)稱中心的分子沒有偶極矩。如果分子有兩個(gè)對(duì)稱元素交于一點(diǎn)，比如有一個(gè)對(duì)稱面和垂直于此面的對(duì)稱軸，或者有兩個(gè)以上不相重合的對(duì)稱軸，那么分子的正負(fù)電荷中心必重合于此交點(diǎn)，因而也沒有偶極矩。分支雖有對(duì)稱面和對(duì)稱軸，但他們?nèi)舨幌噍^于一點(diǎn)，而且對(duì)稱軸為對(duì)稱面所包含，則他們具有偶極矩。
按照這一判據(jù)，可將分子所屬點(diǎn)群和它是否具有偶極矩的關(guān)系總結(jié)為：對(duì)于具有偶極矩的分子可以進(jìn)一步推斷：當(dāng)分子有C2 軸時(shí)，偶極矩必沿著此軸；當(dāng)分子有對(duì)稱面時(shí)，偶極矩必位于此面上；當(dāng)分子有幾個(gè)對(duì)稱面時(shí)則偶極矩必沿著他們的交線。
再例如化學(xué)位移等價(jià)性的判別質(zhì)子或其他的原子核，在一定的交變磁場(chǎng)的作用下，由于分子中所處的化學(xué)環(huán)境不同，從而將在不同的共振磁場(chǎng)下顯示吸收峰。這一現(xiàn)象就叫做化學(xué)位移?；瘜W(xué)位移是核磁共振波普中反映化合物結(jié)構(gòu)特征最重要的信息之一。
氫氣(H1)譜亦即質(zhì)子譜，在核磁共振波普中應(yīng)用最為廣泛。氫譜中的各個(gè)峰與分子中的不同環(huán)境的質(zhì)子相對(duì)應(yīng)。這樣便可根據(jù)分子對(duì)稱性識(shí)別等價(jià)院子或基團(tuán)，進(jìn)而可以判別氫譜中化學(xué)位移的等價(jià)性。全同質(zhì)子（通過旋轉(zhuǎn)操作課互換的質(zhì)子）在任何化學(xué)環(huán)境中都是化學(xué)位移等價(jià)的。對(duì)映異位質(zhì)子（存在對(duì)稱操作使分子中兩個(gè)質(zhì)子互換的質(zhì)子）在非手性溶劑中具有相同的化學(xué)性質(zhì)，也是化學(xué)位移等價(jià)的，但在光學(xué)活性或酶產(chǎn)生的手性環(huán)境中就不再是化學(xué)等價(jià)的，在核磁共振波普中可以顯示偶合現(xiàn)象。此外，非對(duì)映異位質(zhì)子（不能通過操作達(dá)到互換的質(zhì)子）在任何化學(xué)環(huán)境中都是化學(xué)位移不等價(jià)的。分子中化學(xué)位移等價(jià)的核構(gòu)成一個(gè)核組，相互作用的許多核組構(gòu)成一個(gè)自旋系統(tǒng)?？紤]分子的對(duì)稱性，有利于對(duì)它們進(jìn)行分類，因而群論就是最基礎(chǔ)的。
群論也廣泛用于分子結(jié)構(gòu)判斷，因?yàn)榉肿油庑蔚膶?duì)稱性通過分子波函數(shù)與分子結(jié)構(gòu)聯(lián)系，而分子波函數(shù)可以作為分子所屬點(diǎn)群的不可約表示的基。
雜化軌道理論主要是研究分子的幾何構(gòu)型，而構(gòu)型和雜化的原子軌道在空間的分布和方向有密切的聯(lián)系。由于在微觀世界中，分子都具有一定的對(duì)稱性，而對(duì)稱性不同時(shí)，則其分子構(gòu)型也必然不同，因此分子對(duì)稱性就與其雜化軌道有內(nèi)在的聯(lián)系。群論的方法可以告訴我們：在具有一定形狀的分子的化學(xué)成鍵中，中心原子可能采用什么樣的雜化方式。運(yùn)用群論的知識(shí)還可以知道中心原子提供哪些原子軌道去構(gòu)成合乎對(duì)稱性要求的雜化軌道，而且還可以進(jìn)一步求出雜化軌道的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
當(dāng)然群論還有實(shí)際工程應(yīng)用，例如先進(jìn)陶瓷材料研發(fā)。我們都知道，先進(jìn)陶瓷材料現(xiàn)在用途極為廣泛，例如渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)用的陶瓷涂層材料，或陶瓷基復(fù)合葉片，甚至在尾噴管，燃燒室等等都開始使用陶瓷復(fù)合材料，以及在導(dǎo)彈某些關(guān)鍵部位的應(yīng)用。
而大家不知道的是：群論在先進(jìn)（陶瓷）材料的結(jié)構(gòu)篩選中是基本工具。
因?yàn)榫Я?duì)陶瓷的性能起著關(guān)鍵性的作用，所以研究晶粒是獲得新材料性能的關(guān)鍵，例如由晶體的各向異性性，可以通過控制外界工藝條件使晶粒在某個(gè)晶向優(yōu)先生長(zhǎng)，從而可能具有某些前所未有的性能，在力學(xué)上使結(jié)構(gòu)陶瓷得到更好的晶須增韌效果，在物理性能上或者在力學(xué)性質(zhì)上增強(qiáng)，使功能陶瓷獲得更好的韌性，剛性，抗切變性，或者是在電學(xué)性能上增強(qiáng)，例如獲得更好的壓電性能、熱釋電性、倍頻效應(yīng)，或者使人工晶體獲得更好的旋光性等光學(xué)性能等等。
目前通常做法是通過對(duì)這些具有一定力學(xué)性能、物理性能的材料的微觀本質(zhì)的分析，可以利用對(duì)稱群分析計(jì)算，篩選出摻雜物質(zhì)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)造方式等等，來改變晶體的晶格，以獲得性能更佳，物理效應(yīng)更顯著的晶體。
用對(duì)稱群為工具也可以研究非晶態(tài)材料和非平衡態(tài)材料結(jié)構(gòu)。非晶體與晶體相比有著大量的缺陷，原子或離子間的結(jié)合也不如晶體那般整齊有序，所以比同類晶體具有更大的內(nèi)能，因此當(dāng)非晶態(tài)向晶態(tài)轉(zhuǎn)變或者反過來晶態(tài)向非晶態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)將吸收或放出大量的能量，選擇適當(dāng)?shù)牟牧巷@然在某些場(chǎng)合可以考慮由此而用來存儲(chǔ)能量。
本篇帖子由于豆瓣不能上數(shù)學(xué)公式，所以用一直奇特的模式寫，痛苦不堪，可能錯(cuò)誤比較多，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤請(qǐng)指出來。
再順便感概一下，現(xiàn)在大學(xué)老師基本都是照本宣科，把教科書在課堂朗讀一遍拉倒，純粹是誤人子弟。
我在中國(guó)科大數(shù)學(xué)系上學(xué)時(shí)，任意一門數(shù)學(xué)課的老師教課都是這個(gè)模式：任何一個(gè)重要概念的實(shí)際背景（包括但不限于工程，物理，軍事等等問題），來龍去脈，要解決什么問題，結(jié)果解決什么問題，這些抽象概念的基本思想和原型是什么等等，都要讓學(xué)生知其然，也知其所以然。
一個(gè)蒙查查的老師，一般不太可能教出什么明白學(xué)生。大學(xué)之間的水平差距，其實(shí)在老師之間的差距。上大學(xué)，如果不想被教成蒙查查，最好上最好的大學(xué)，不然人家勇猛奮進(jìn)的四年光景，你不過是混日子的四年。
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