意大利科學(xué)家伽利略曾說(shuō)“自然這部大書(shū)只能被那些通曉其中所寫(xiě)語(yǔ)言的人閱讀，這種語(yǔ)言正是數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)究竟是什么？數(shù)學(xué)有什么用？是什么讓足球比賽出現(xiàn)在屏幕上？我們?nèi)绾晤A(yù)測(cè)天氣、股票市場(chǎng)？它們背后又與數(shù)學(xué)有怎樣的關(guān)聯(lián)？在《數(shù)學(xué)的語(yǔ)言：化無(wú)形為可見(jiàn)》中，這些問(wèn)題得到了全面的探討與解答。數(shù)學(xué)，是一切科學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。唯有借助數(shù)學(xué)，才能顯現(xiàn)萬(wàn)物背后隱藏的真理。數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不是一門枯燥而深?yuàn)W的學(xué)科，而是我們生活中豐富而生動(dòng)的一部分。《數(shù)學(xué)的語(yǔ)言》探索了這個(gè)經(jīng)常被誤解的學(xué)科，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單、精確、純粹和優(yōu)雅。何謂數(shù)學(xué)？隨機(jī)向人們提問(wèn)，你可能獲得的答案是，“數(shù)學(xué)是有關(guān)數(shù)字的一種學(xué)問(wèn)”。如果繼續(xù)追問(wèn)他們所謂的學(xué)問(wèn)是哪一種，你或許可以誘導(dǎo)他們提出譬如“那是一種有關(guān)數(shù)字的科學(xué)”之描述。不過(guò)，這大概是你可以得到的最多的信息。而這一種有關(guān)數(shù)學(xué)的描述，在大約兩千五百年前，就已經(jīng)不再正確了。在這樣嚴(yán)重的誤導(dǎo)之下，你所隨機(jī)抽樣的人們無(wú)法體會(huì)數(shù)學(xué)研究是一種興旺且無(wú)所不在的活動(dòng)，或是接受數(shù)學(xué)經(jīng)常相當(dāng)程度地貫穿我們?nèi)粘Ｉ钆c社會(huì)大部分活動(dòng)的看法。這毫不令人意外。事實(shí)上，“何謂數(shù)學(xué)”這個(gè)問(wèn)題的答案，在人類歷史過(guò)程中，已經(jīng)數(shù)度更易了。到公元前500年左右，數(shù)學(xué)的確是有關(guān)數(shù)字（number）的一種學(xué)問(wèn)。這是古埃及和古巴比倫時(shí)期的數(shù)學(xué)。在這些文明中，數(shù)學(xué)所包括的，幾乎都以算術(shù)（arithmethic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了“食譜”的特色（譬如，“對(duì)一個(gè)數(shù)字這樣做、那樣做，你將會(huì)得到答案”）。從大約公元前500年到公元300年的這一時(shí)期，是希臘數(shù)學(xué)的時(shí)代。古希臘的數(shù)學(xué)家主要關(guān)心幾何學(xué)（geometry）。誠(chéng)然，他們按幾何方式，將數(shù)字視為線段長(zhǎng)之度量，而當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)有數(shù)字缺乏對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)時(shí)，有關(guān)數(shù)字的研究就停頓下來(lái)了。對(duì)于希臘人而言，由于他們強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)，所以，數(shù)學(xué)不只研究數(shù)字，而且也是有關(guān)形狀（shape）的學(xué)問(wèn)。一直到17世紀(jì)中葉，英國(guó)的艾薩克·牛頓（Issac Newton）和德國(guó)的戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz）各自獨(dú)立發(fā)明微積分之前，數(shù)學(xué)的整體本質(zhì)未曾有過(guò)根本的變革，或者說(shuō)幾乎沒(méi)有任何顯著的進(jìn)展。實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)，微積分是研究運(yùn)動(dòng)（motion）和變化（change）的一門學(xué)問(wèn)。在此之前的數(shù)學(xué)大都局限于計(jì)算、度量和形狀描述的靜態(tài)議題上?，F(xiàn)在，引進(jìn)了處理運(yùn)動(dòng)和變化的技巧之后，數(shù)學(xué)家終于可以研究行星的運(yùn)行、地球的落體運(yùn)動(dòng)、機(jī)械裝置的運(yùn)作、液體的流動(dòng)、氣體的擴(kuò)散、如電力和磁力等物理力、飛行、動(dòng)植物的生長(zhǎng)、流行病的傳染、利潤(rùn)的波動(dòng)等。在牛頓和萊布尼茨之后，數(shù)學(xué)變成了研究數(shù)字、形狀、運(yùn)動(dòng)、變化以及空間（space）的一門學(xué)問(wèn)。
大部分涉及微積分的初始問(wèn)題都導(dǎo)向物理的研究；事實(shí)上，該時(shí)期很多偉大的數(shù)學(xué)家也被視為物理學(xué)家。不過(guò)，從大約18世紀(jì)中葉之后，當(dāng)數(shù)學(xué)家著手了解微積分為人類帶來(lái)的巨大力量背后是什么時(shí)，他們對(duì)于數(shù)學(xué)本身的興趣與日俱增，而不再只是關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用而已。因此，當(dāng)今日一大部分純數(shù)學(xué)被發(fā)展的時(shí)候，古希臘形式證明的傳統(tǒng)卷土重來(lái)掌握了優(yōu)勢(shì)。到 19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為有關(guān)數(shù)字、形狀、運(yùn)動(dòng)、變化、空間以及研究數(shù)學(xué)的工具的一門學(xué)問(wèn)。發(fā)生在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)之爆發(fā)相當(dāng)戲劇化。在1900那一年，世界上所有的數(shù)學(xué)知識(shí)可以全部裝入大約八十部書(shū)籍之中。而在今日，數(shù)學(xué)將必須有十萬(wàn)部書(shū)籍才能容納。這種非比尋常的成長(zhǎng)，不只源自一個(gè)世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的增進(jìn)，也因?yàn)樵S多新的分支已紛紛涌現(xiàn)。在1900年，數(shù)學(xué)可以被視為包括了大約十二個(gè)主題：算術(shù)、幾何、微積分等。至于今日，六十到七十之間的不同范疇，將是一個(gè)合理的數(shù)字。某些主題，譬如代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)（topology），已經(jīng)被細(xì)分為不同的子領(lǐng)域；至于其他主題，譬如復(fù)雜理論（complexitytheory）或動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領(lǐng)域。基于數(shù)學(xué)活動(dòng)如此迅速成長(zhǎng)這一事實(shí)，對(duì)于“何謂數(shù)學(xué)”這個(gè)問(wèn)題，一時(shí)之間唯一的簡(jiǎn)單答案，好像就是有一點(diǎn)愚昧地說(shuō)：“那是數(shù)學(xué)家賴以維生的東西?！币环N特定的研究之所以被歸類為數(shù)學(xué)，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究，也就是說(shuō)，基于被使用的方法論。在最近大約三十年間，一個(gè)為大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所同意的有關(guān)數(shù)學(xué)的定義，才終于出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)（science of patterns）。數(shù)學(xué)家的所作所為，就是去檢視抽象的模式——數(shù)值模式、形狀的模式、運(yùn)動(dòng)的模式、行為的模式、全國(guó)人口的投票模式、重復(fù)機(jī)會(huì)事件（repeating chance events）的模式等。這些模式可以是真實(shí)存在或想象的、視覺(jué)性或心智性的、靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的、定性或定量的、純粹功利或有點(diǎn)超乎娛樂(lè)趣味的。它們可以源自我們周遭的世界、源自空間和時(shí)間的深度，或者源自人類心靈的內(nèi)部運(yùn)作。不同種類的模式當(dāng)然引出不同的數(shù)學(xué)分支，譬如說(shuō)：l 算術(shù)與數(shù)論研究數(shù)字與計(jì)算模式。l 微積分允許我們處理運(yùn)動(dòng)模式。l 拓?fù)鋵W(xué)研究鄰近（closeness）與位置（position）模式。本書(shū)將運(yùn)用八個(gè)主題，涵蓋計(jì)算模式、推論與溝通模式、運(yùn)動(dòng)與變化模式、形狀模式、對(duì)稱與規(guī)則模式、位置模式、機(jī)會(huì)模式，以及宇宙的基本模式，以傳遞現(xiàn)代定義的數(shù)學(xué)的一些信息。雖然略去了數(shù)學(xué)的一些主要領(lǐng)域，它仍為當(dāng)代數(shù)學(xué)為何提供了一個(gè)不錯(cuò)的全面解答。每一個(gè)主題的處理，盡管只是在純描述的層次，卻一點(diǎn)也不膚淺。在數(shù)學(xué)史上，可辨識(shí)的代數(shù)符號(hào)初次有系統(tǒng)地使用，似乎是從丟番圖（Diophantus）開(kāi)始的。他在大約公元250年住在亞歷山大城（Alexandria）。他的論著《算術(shù)》（Arithmetic）——僅存原先十三卷中的六卷——通常被視為第一本“代數(shù)教科書(shū)”。丟番圖使用特殊的符號(hào)去代表一個(gè)方程式中的未知數(shù)，及未知數(shù)之乘冪；同時(shí)，他也運(yùn)用了表示減與相等的符號(hào)。在今日，數(shù)學(xué)書(shū)籍總是到處充斥著符號(hào)；但是，數(shù)學(xué)符號(hào)并不等于數(shù)學(xué)，其情況就如同記譜法并不等于音樂(lè)一樣。樂(lè)譜的一頁(yè)呈現(xiàn)一段音樂(lè)；當(dāng)樂(lè)譜上的音符被唱出來(lái)或者被樂(lè)器演奏時(shí)，你才可以得到音樂(lè)本身。也就是說(shuō)，在它的表演中，音樂(lè)變得有了生命，并且成為我們經(jīng)驗(yàn)的一部分。對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)也是一樣，書(shū)頁(yè)上的符號(hào)只不過(guò)是數(shù)學(xué)的一種表現(xiàn)（representation）。要是讓一位有素養(yǎng)的表演者（譬如，受過(guò)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的某人）來(lái)讀的話，印刷頁(yè)上的符號(hào)就擁有生命——正如同抽象的交響曲一樣，數(shù)學(xué)在讀者的心靈之中存活與呼吸。數(shù)學(xué)與音樂(lè)有這么多的相似性，兩者都有各自抽象的符號(hào)，并且都為各自的抽象法則所支配，所以如果說(shuō)很多（或許大多數(shù)）數(shù)學(xué)家也擁有音樂(lè)天分，那是一點(diǎn)也不令人驚訝的。雖然只有少數(shù)受過(guò)很好音樂(lè)訓(xùn)練的人可以讀懂樂(lè)譜，并且在心靈之中聽(tīng)到這段音樂(lè)，不過(guò)，如果同一段音樂(lè)由一位有素養(yǎng)的音樂(lè)家來(lái)演奏，那么，任何人只要擁有聆聽(tīng)的感官能力，也將能夠欣賞。無(wú)須專業(yè)訓(xùn)練，任何人都將有能力經(jīng)驗(yàn)與享受音樂(lè)表演。然而，對(duì)于數(shù)學(xué)的大部分歷史而言，欣賞數(shù)學(xué)的唯一方法，就是去“視讀”（sightread）其中的符號(hào)。盡管數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與類型一點(diǎn)一滴反映了人類心靈的結(jié)構(gòu)并與之產(chǎn)生共鳴，好比音樂(lè)的結(jié)構(gòu)與模式一樣，但人類卻并未發(fā)展出一雙耳朵的數(shù)學(xué)等價(jià)物體。數(shù)學(xué)只能利用“心靈的眼睛”（eyes of the mind）而得到“觀看”。這種情況就好比某人即便缺乏聽(tīng)覺(jué)能力，但只要能夠“視讀”記譜法，他仍將可以欣賞音樂(lè)的模式與調(diào)諧的樂(lè)音。不過(guò)，由于近年來(lái)電子計(jì)算機(jī)與視頻技術(shù)的發(fā)展，在某種程度上，數(shù)學(xué)變得更容易讓門外漢（theuntrained）親近。在訓(xùn)練有素的使用者手上，計(jì)算機(jī)可以用來(lái)“操弄”（perform）數(shù)學(xué)，而且其結(jié)果也可以展示成為屏幕上所有人都可見(jiàn)得到的形式。雖然目前只有一小部分?jǐn)?shù)學(xué)容許這樣的視覺(jué)“操弄”，然而，我們已經(jīng)有能力多少傳遞一點(diǎn)數(shù)學(xué)的美與調(diào)諧給門外漢，而這些當(dāng)然是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)時(shí)，所“看到”以及所經(jīng)驗(yàn)到的。在出版于1940年的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中杰出的英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy）描述道：數(shù)學(xué)家的模式，就好比畫(huà)家的或詩(shī)人的一樣，必須是美的；理念就像色彩或文字一樣，必須按和諧的方式安排在一起。美是第一個(gè)試煉；在這個(gè)世界上，丑陋的數(shù)學(xué)沒(méi)有永遠(yuǎn)的棲身之所……我們可能很難定義數(shù)學(xué)的美，然而，它就像其他種類的美之真實(shí)一樣———我們或許無(wú)法完全知曉所謂一篇美的詩(shī)是什么意思，但是，當(dāng)我們得讀一篇時(shí)，那并不會(huì)妨礙我們認(rèn)識(shí)它。哈代所指涉的美，在很多情況下，都是一種高度抽象的內(nèi)在美，抽象形式與邏輯結(jié)構(gòu)的一種美，一種只可以被那些受過(guò)充分?jǐn)?shù)學(xué)訓(xùn)練的人所觀察與欣賞的美。根據(jù)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）的看法，它是一種“冷冽與樸實(shí)無(wú)華的”美。在出版于1918年的《神秘主義與邏輯》（Mysticism and Logic）中，羅素寫(xiě)道：如果對(duì)數(shù)學(xué)加以正確考察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，它所包括的不只是真理，還有至高無(wú)上的美——一種冷冽與樸實(shí)無(wú)華的美，就像雕刻的美一樣，不必訴諸我們較弱本性的任一部分，無(wú)須繪畫(huà)與音樂(lè)的奢華裝飾，卻還是具有莊嚴(yán)的純粹，以及只有偉大的藝術(shù)才能表現(xiàn)的一種冷酷的完美。我們已經(jīng)利用“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”這一口號(hào)來(lái)回答“何謂數(shù)學(xué)？”這一疑問(wèn)。有關(guān)數(shù)學(xué)，還有另一個(gè)根本的問(wèn)題，能以一個(gè)吸引人的短語(yǔ)來(lái)回答：“數(shù)學(xué)作什么用？”我的意思是說(shuō)，當(dāng)你應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)研究某些現(xiàn)象時(shí)，數(shù)學(xué)真正帶給你的是什么？這一問(wèn)題的答案是，“數(shù)學(xué)讓不可見(jiàn)變成可見(jiàn)”（Mathematics makes the invisible visible）。接下來(lái)，請(qǐng)?jiān)试S我舉一些例子，以便說(shuō)明我這個(gè)答案的意義。要是沒(méi)有數(shù)學(xué)，你將無(wú)從理解，是什么東西讓一架巨型噴氣式飛機(jī)浮在空氣中。正如我們都知道的，大型金屬物體如果沒(méi)有東西支撐，根本無(wú)法停留在空中。但是，當(dāng)你注視一架噴氣式客機(jī)飛過(guò)你的頭頂時(shí)，你看不到任何支撐物。是數(shù)學(xué)讓我們“看到”令飛機(jī)飄浮高處的是什么。在本例中，讓你“看到”那些不可見(jiàn)的支撐物的，是一個(gè)在18世紀(jì)早期被數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）發(fā)現(xiàn)的方程式。當(dāng)我正在討論飛行主題時(shí)，是什么原因促使飛行器以外的物體一被我們松開(kāi)便墜地？你回答：“是重力?！比欢@只不過(guò)是給它一個(gè)名字，這無(wú)助于我們理解它。它仍然是不可見(jiàn)的。我們也可以稱它是一種“魔術(shù)”。為了理解重力，你必須“看到”它。那正是牛頓在17世紀(jì)利用他的運(yùn)動(dòng)和力學(xué)方程式所做的事。牛頓的數(shù)學(xué)幫助我們“看到”那些讓地球繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，以及造成蘋(píng)果從樹(shù)上墜地的不可見(jiàn)之力。在此，有一些我們可以經(jīng)由數(shù)學(xué)“看到”的人為模式：l 亞里士多德企圖使用數(shù)學(xué)去“看”我們認(rèn)定為音樂(lè)的不可見(jiàn)的聲音模式。l 他還試圖使用數(shù)學(xué)描述一出戲劇表演的不可見(jiàn)結(jié)構(gòu)。l 在20世紀(jì)50年代，語(yǔ)言學(xué)家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky）使用數(shù)學(xué)去“看”并描述我們認(rèn)定為文法語(yǔ)句的不可見(jiàn)的、抽象的文本模式。于是，他將語(yǔ)言學(xué)從人類學(xué)一個(gè)相當(dāng)晦澀的分支，轉(zhuǎn)變成為一門蓬勃發(fā)展的數(shù)理科學(xué)。最后，使用數(shù)學(xué)，我們可以展望未來(lái)：l 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)讓我們預(yù)測(cè)選舉的結(jié)果，且往往有著出色的準(zhǔn)確率。l 我們使用微積分預(yù)測(cè)明日的天氣。l 市場(chǎng)分析師企圖使用各種數(shù)學(xué)理論預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的行為。l 保險(xiǎn)公司使用統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論去預(yù)測(cè)來(lái)年一場(chǎng)事故發(fā)生的可能性，從而據(jù)以設(shè)定他們的保費(fèi)。當(dāng)時(shí)代引領(lǐng)我們展望未來(lái)時(shí)，數(shù)學(xué)允許我們將另外一些不可見(jiàn)——亦即尚未發(fā)生之事——變?yōu)榭梢?jiàn)。當(dāng)然，我們的視界并不完美，預(yù)測(cè)失準(zhǔn)在所難免，不過(guò)，要是沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們甚至連差勁地展望未來(lái)都不可能。今日，我們生活在一個(gè)技術(shù)型的社會(huì)（technological society）。當(dāng)我們環(huán)顧四周，在地球表面上，已經(jīng)愈來(lái)愈少有地方見(jiàn)不到我們的技術(shù)帶來(lái)的產(chǎn)品：高樓、橋梁、電線、電話線、路上的汽車、天上的飛行器，等等。溝通曾經(jīng)需要物理的近距離，今日我們大部分的溝通則是由數(shù)學(xué)作為媒介，沿著電線或光纖，或者經(jīng)由以太網(wǎng)（Ethernet），按數(shù)字形式來(lái)傳遞。電子計(jì)算機(jī)——機(jī)械執(zhí)行數(shù)學(xué)（運(yùn)算）——不只是我們的桌面計(jì)算機(jī)而已，它們存在于每一個(gè)事物之中，從微波爐到汽車，從兒童玩具到電子心臟定調(diào)器，等等。數(shù)學(xué)——基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的形式——決定我們將食用哪些食物，將購(gòu)買哪些產(chǎn)品，將看到哪些電視節(jié)目，以及將投票給哪些政客。正如工業(yè)（革命）時(shí)代的社會(huì)燃燒煤炭以啟動(dòng)引擎，在今日信息時(shí)代，我們所燃燒的主要燃料，則是數(shù)學(xué)。還有，在過(guò)去半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，隨著數(shù)學(xué)的角色變得愈來(lái)愈重要，數(shù)學(xué)也愈來(lái)愈隱身在我們的視界之外，構(gòu)成一個(gè)支撐我們的不可見(jiàn)宇宙。正如我們的一舉一動(dòng)都受制于自然的不可見(jiàn)之力（譬如重力），我們現(xiàn)在生活在一個(gè)由數(shù)學(xué)創(chuàng)造，并且由不可見(jiàn)的數(shù)學(xué)定律支配的不可見(jiàn)宇宙。本書(shū)將帶領(lǐng)你踏上不可見(jiàn)的宇宙之旅。它將對(duì)你展示：我們?nèi)绾问褂脭?shù)學(xué)，去看它不可見(jiàn)結(jié)構(gòu)的某些部分。在這趟旅程中，你可能發(fā)現(xiàn)你所遭遇到的世界顯得怪異而陌生，就像那些遙遠(yuǎn)的土地一樣。然而，所有的陌生感，并非來(lái)自我們將要旅行的一個(gè)遙遠(yuǎn)的宇宙，而是我們所居住的宇宙。（節(jié)選自《數(shù)學(xué)的語(yǔ)言：化無(wú)形為可見(jiàn)》，有刪節(jié)，小標(biāo)題為編者所加）數(shù)學(xué)的語(yǔ)言：化無(wú)形為可見(jiàn)
是什么讓一架巨型噴氣式飛機(jī)懸浮在空中？
是什么讓足球比賽出現(xiàn)在屏幕上？
我們?nèi)绾晤A(yù)測(cè)天氣、股票市場(chǎng)？
微波爐、手機(jī)、玩具、心臟起搏器、汽車和電腦是如何被發(fā)明的？
數(shù)學(xué)，是一切科學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
唯有借助數(shù)學(xué)，才能顯現(xiàn)萬(wàn)物背后隱藏的真理！
數(shù)學(xué)不僅僅是對(duì)數(shù)字的研究，它還為我們提供了識(shí)別和描述生活中隱藏的模式的眼睛，這些模式不僅存在于客觀的外部世界，也存在于內(nèi)部的思想領(lǐng)域。
數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不是一門枯燥而深?yuàn)W的學(xué)科，而是我們生活中豐富而生動(dòng)的一部分?！稊?shù)學(xué)的語(yǔ)言》探索了一個(gè)經(jīng)常被誤解的學(xué)科，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單、精確、純粹和優(yōu)雅。
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