【試題1】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD交CE于點F．
（1）如圖2，當α＝45°時，求證：CF＝EF；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，
①問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；
②連接CD，當△CDF為等腰三角形時，求tanα/2的值．
【圖文解析】
（1）僅舉一種解法：
（2）典型的等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問題，常有多種“旋轉(zhuǎn)”法求解（本質(zhì)類似）：
從已知條件，結(jié)合圖形可以得到的結(jié)論：
①結(jié)論仍然成立．證明如下：
【法一】過點E作EM∥BC交BE的延長線于M，如下圖示：
先證∠M＝∠CBD＝∠EDM，得EM＝DE＝BC，再證△BCF≌△MEF，得CF＝EF．
【法二】如下圖所示：
【法三】過C點作CM∥BF將ED的延長線于M，連接CM．如下圖示：
【法四】過C點作CG⊥CF交BF于G．如下圖示（其中∠CFG＝45°前面已證）
【法五】過點D作DG⊥DF交CF于點G，如下圖示：
進一步，得∠AFE＝∠ADE＝90°．如下圖示：
最后利用等腰三角形△ACE“三線合一”，得到CF＝EF．
【法六】過E點作EG⊥CE交BF的延長線于點G，如下圖示：
【法七】過B點作BG⊥BF交EC的延長線于點G，如下圖示：
得到∠AFB＝∠G＝45°，進一步得到∠AFB＝90°，即AF⊥CE，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”得到CF＝EF．
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【法八】過C點作CG⊥BF于G，如下圖示，
不難證得CF：CG＝CA：CB＝√2：1．
進一步，得△BCG∽ACF，如下圖示：
從而∠AFC＝∠BGC＝90°，下同……
【法九】由∠CFB＝∠CAB＝45°，利用“統(tǒng)一法”或“反證法”證明：A、B、C、F四點共圓，得到AC為其直徑，得到∠AFC＝90°，進一步……（此法不建議）
【法十】添加如下圖所示的輔助線．
同時，通過證明B、G、C、H四點共圓，可得∠GCB＝∠GHB．
另一方面，BF：BG＝AB：BH＝√2：1，且∠GBH＝∠FBA＝45°+∠FBH，得到△GBH∽△FBA，得到∠GHB＝∠BAF．
從而∠BAF＝∠GCB，進一步，得∠BAF+∠BCF＝180°．又在四邊形ABCF中，∠ABC＝90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，得∠AFC＝90°，即AF⊥CF．……
【原題再現(xiàn)】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD交CE于點F．在旋轉(zhuǎn)過程中，
②連接CD，當△CDF為等腰三角形時，求tanα/2的值．
【圖文解析】可以充分利用第二小題的相關(guān)思路和解法，進一步求解第三小題（本文僅提供一種解法）。
前面已經(jīng)得到的結(jié)論：
當∠CDF＝90°時，如下圖示：
所以tanα/2＝1/2．
當∠CDF＝90°時，如下圖示：
【反思】上述第二問的多種解法，多數(shù)是充分利用45°的角的“特殊功能”，本質(zhì)類似于旋轉(zhuǎn)，顯然本題還可以利用其他相關(guān)條件通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等構(gòu)造等腰直角三角形，也可以利用輔助圓等，大同小異，有興趣的朋友不妨試試，并請留言分享。
第二問
