換元法是數(shù)學(xué)中的重要方法之一,它往往和消元的思想聯(lián)系在一起.換元的實(shí)質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換.換元的基本方法有:整體換元、局部換元、均值換元、三角換元等.換元法的一般步驟為:設(shè)元(或構(gòu)造元)、換元、求解、回代和檢驗(yàn)等。
初中數(shù)學(xué)問題中,常見的就是整式運(yùn)算問題.在整式運(yùn)算中經(jīng)常會出現(xiàn)相對復(fù)雜的題目,這就需要在解題過程中將結(jié)構(gòu)相同的部分看成一個整體,并用新元去替換它,將綜合性強(qiáng)的問題轉(zhuǎn)換成普通問題。
【思路分析】從題目中可發(fā)現(xiàn),第一個括號中的式子=1-第四個括號中的式子,第三個括號中的式子=1-第二個括號中的式子.所以我們可以把第四個括號中的式子、第二個括號中的式子整體設(shè)元。
所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b+ab=a-b=999.
多項(xiàng)式中的某一部分用新的變量替換,減少因式項(xiàng)數(shù)或者降低次數(shù),同時,讓隱含的關(guān)系清晰地表現(xiàn)出來,從而使運(yùn)算過程簡明清晰.
【典型例題】
【思路分析】認(rèn)真觀察題目的結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)(x-4)(x+1)=x2-3x-4,(x-2)(x-1)=x2-3x+2,它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)完全相同,這就具備了換元的條件,使用換元法進(jìn)行降次處理,就使得分解變得簡單易行.在設(shè)輔助未知數(shù)時,方法比較靈活,如可設(shè)x2-3x=a,或設(shè)x2-3x-4=a等,一般地,設(shè)輔助元為x2-3x-4和x2-3x+2的算術(shù)平均式比較簡捷.
【答案解析】
（3）換元法在解方程(組)中的應(yīng)用
掌握運(yùn)用換元法解方程和方程組是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)要求,而在解高次方程、分式方程、無理方程時,要注意方程的特點(diǎn),創(chuàng)造運(yùn)用換元法的條件,往往會簡化求解過程.
解一元高次方程的基本思想是降次,而換元法是降次的一種基本方法.用換元法解高次方程的思路,與用換元法分解因式的思路一致.
【思路分析】這個方程左邊的兩個因式中都含有x2+3x,于是解此題可設(shè)x2+3x+4=y或者x2+3x=y,當(dāng)然與分解因式類似,也可設(shè)兩個因式的算術(shù)平均式為輔助元,不過此題中算術(shù)平均式為x2+3x+9/2,計(jì)算并不方便.所以輔助元的選擇要根據(jù)題意靈活地掌握.
運(yùn)用換元法解分式方程的基本思路是化分式方程為整式方程.
【答案解析】
運(yùn)用換元法解無理方程的基本思路是化無理方程為有理方程.
【思路分析】當(dāng)無理方程的有理式部分與無理式部分所含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)成比例(包括相等)時,把無理式部分設(shè)為輔助元.此方程組中存在兩組這樣的關(guān)系,所以需設(shè)兩個輔助元.用 換元法解方程或方程組,雖然能把復(fù)雜的方程(組)簡單化,但用此方法必須驗(yàn)根,因?yàn)樵趽Q元 過程中(特別是分式方程和無理方程)常會出現(xiàn)增根.
換元法在證明中應(yīng)用廣泛,比如一元二次方程根的問題、不等式的證明、幾何問題等,證明題利用換元法十分簡捷.常采用的方法有增量換元法、均值換元法等.
【思路分析】
因?yàn)閎+c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分別給b,c在4的基礎(chǔ)上加上一個變量,這兩個變量之和應(yīng)為0,所以為簡便起見,一個表示為t,另外一個則為-t.所以設(shè)b=4+t,c=4-t.又因?yàn)閎,c都大于0,所以可以求出t值的取值范圍.到此,設(shè)輔助元完成,然后代入換元即可.像這樣,若某幾個變量之和為一定值,則可求出其均值,則這幾個變量都在均值這一常量附近變化,此時,可設(shè)這幾個變量為該均值加上另外幾個變量.新加入的變量之和為0,這種換元方法叫作均值換元法.
