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摘要:新課標(biāo)提出“要重視學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程”。有些同學(xué)解題中常出現(xiàn)這樣的情況：看看題目不陌生，但做起來，就出錯(cuò)。即使做出來，也不能完全得分,即“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”。這種情況不僅影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且容易產(chǎn)生厭學(xué)的思想，最終制約了數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。因此，研究 “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有十分重要的意義。

本文分兩部分.第一部分剖析了該現(xiàn)象的具體表現(xiàn)和形成原因.第二部分是對(duì)策。

關(guān)鍵詞:會(huì)而不對(duì) 對(duì)而不全 新課標(biāo) 有效教學(xué)

新課標(biāo)提出“要重視學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程”，考試離不開解題，解題教學(xué)仍是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在筆者近幾年連續(xù)的高三教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生在解題上花費(fèi)了大量的時(shí)間與精力，但有些同學(xué)解題中常出現(xiàn)這樣的情況：看看題目不陌生、會(huì)做，但真正做起來，就會(huì)出錯(cuò)，即使做出來，也因考慮不完整而不能完全得分。即“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”。這種情況的出現(xiàn)使學(xué)生在中低檔題目的得分率降低，而難題又得不到分，從而使卷面成績(jī)不理想，長(zhǎng)此以往，不僅影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且容易使學(xué)生產(chǎn)生討厭學(xué)數(shù)學(xué)的思想，最終制約了數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。因此，研究數(shù)學(xué)解題過程中的“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的成因與對(duì)策，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有十分重要的意義。

1. 數(shù)學(xué)解題過程中的“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的具體表現(xiàn)和形成原因

1.1概念理解不透徹，概念實(shí)質(zhì)沒掌握

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求”。教師對(duì)概念的傳授不到位，沒能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究的積極性，學(xué)生只是被動(dòng)地接受，就不能把握概念的實(shí)質(zhì)，不會(huì)靈活運(yùn)用。

例1.①已知函數(shù) ，在 上為減函數(shù)，則 的范圍           。②已知函數(shù) 上為增函數(shù)，則 的范圍           。

錯(cuò)解 本題考查了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。①主要考查學(xué)生判斷一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性的方法，部分學(xué)生認(rèn)為只需考慮每一段中的單調(diào)性，故求出答案為 。②主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法。通過對(duì) 的討論及二次函數(shù) 的單調(diào)性分析，部分學(xué)生得出 。

究其原因 對(duì)單調(diào)性的定義沒有真正的理解，從而造成解題失誤。教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)揣摩單調(diào)函數(shù)的定義：定義域?yàn)?span lang="EN-US"> ,區(qū)間 ,對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ，當(dāng) 時(shí)，都有 。在題①中要充分理解“任意”兩個(gè)字的含義，說明還需考慮 時(shí)的函數(shù)值要恒小于 的函數(shù)值，故答案為 。在題②中要特別注意“區(qū)間 ”，即要考慮 在 恒大于0，從而答案為 。

評(píng)注 新課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生探索精神,通過主動(dòng)參與形成積極的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。教師在概念講授時(shí)，不要面面俱到，要讓學(xué)生多思考多揣摩，通過學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)及老師的適當(dāng)點(diǎn)撥，切實(shí)搞清概念的內(nèi)涵和外延，這樣學(xué)生才能正真理解概念，更好的利用概念解題。

1.2只記住公式形式，忽視公式成立條件

常會(huì)有學(xué)生對(duì)公式的記憶只停留在基本形式上，而忽略了一些存在的前提條件。這一方面與老師當(dāng)初沒能真正引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷公式的探究過程，造成學(xué)生死記硬背，印象不深有關(guān)；另一方面也與人的記憶規(guī)律有關(guān)，即對(duì)主體部分較能記住，而特殊的地方或是細(xì)節(jié)的地方容易忽視。

例2.已知數(shù)列 ，求 。

錯(cuò)解 利用遞推公式 ，化簡(jiǎn)整理成 ,又 ，所以 ，所以 ，再利用 ，得

究其原因 部分同學(xué)只知道遞推公式 ，而忽略了該公式成立的前提條件是 ，由于沒對(duì) 進(jìn)行討論而造成錯(cuò)解，故 。

評(píng)注 新課改推行的今天，仍有部分老師對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)不足，學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)仍流于形式不能深入，使學(xué)生只是被動(dòng)地記憶公式或結(jié)論，不能正確的使用。只有讓學(xué)生主動(dòng)地參與其中，體驗(yàn)成功的樂趣與失敗的教訓(xùn)，才能加深對(duì)公式的理解。另一方面也要利用一些記憶規(guī)律每隔一段時(shí)間對(duì)大腦進(jìn)行反復(fù)刺激。

1.3解題反思不到位，變式訓(xùn)練沒落實(shí)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是重要的思維活動(dòng)。”學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤是難免的，關(guān)鍵是要把來自學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)做寶貴的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中及時(shí)反思錯(cuò)誤的根源，探究改正的方法，提出防范的措施，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c強(qiáng)化訓(xùn)練。

例3.已知直線 ，圓 ，若圓 上有兩個(gè)點(diǎn)到直線 的距離為 ，求此圓 的半徑的取值范圍。

錯(cuò)解 通過數(shù)形結(jié)合的方法分析出當(dāng)直線與圓相離時(shí)的某些情況和相切時(shí)滿足條件，故得出半徑 或別的錯(cuò)誤答案。

究其原因 學(xué)生對(duì)圖形的分析還不到位，沒能充分理解圓心到直線的距離 、圓上的點(diǎn)到直線的距離 、圓的半徑 及滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù) 四者之間的關(guān)系。其實(shí)，當(dāng)圓與直線相交時(shí)的某些情況也滿足條件。正確答案為 。

評(píng)注 解題的過程中，教師對(duì)學(xué)生的答案不要簡(jiǎn)單地用對(duì)或錯(cuò)來評(píng)判，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地對(duì)解題過程進(jìn)行反思，特別提倡通過同學(xué)間相互的討論進(jìn)行糾錯(cuò)，充分剖析錯(cuò)誤的根源，必要時(shí)老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并可通過一些變式訓(xùn)練進(jìn)一步加深對(duì)此類題目的認(rèn)識(shí)與理解。①若圓 上有四個(gè)點(diǎn)到直線 的距離為 ？三個(gè)點(diǎn)？一個(gè)點(diǎn)？沒有點(diǎn)呢？②推廣到一般，若已知圓心到直線的距離 、圓上的點(diǎn)到直線的距離 及滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù) ，如何求圓的半徑 滿足的條件？③已知直線 ，   ，若圓 的半徑為3，則圓 上到直線 的距離為 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為多少？④若已知圓心到直線的距離 、圓上的點(diǎn)到直線的距離 及圓的半徑 ,如何求滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù) ？通過層層遞進(jìn)的變式探究，讓學(xué)生靈活地掌握解此類題的思路與方法。

1.4省題不細(xì)致，沒能區(qū)分關(guān)鍵詞

審題是解題的第一步，細(xì)致深入的審題是解題成功的必要前提。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“最糟糕的情況是學(xué)生沒弄清問題就進(jìn)行演算和作圖。”事實(shí)上，學(xué)生常對(duì)此掉以輕心，致使解題失誤或陷入繁瑣之中。

例4．①求曲線 過點(diǎn) 的切線方程。

②已知 ，若 有解，求 的取值范圍。

錯(cuò)解 ① ，以 為切點(diǎn)的切線的斜率為 ，故切線方程為 。② 有解即為 ，故 ，又 ，所以 。

究其原因 ①中學(xué)生對(duì)“過點(diǎn) 的切線”的含義沒理解到位，以為一定以這 為切點(diǎn)，其實(shí)不一定。要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng) 為切點(diǎn)時(shí)，切線方程為 ；當(dāng) 不為切點(diǎn)時(shí)，另設(shè) 為切點(diǎn)，則以 為切點(diǎn)的切線方程為 ，把 代入，整理得 ，此時(shí)的切線方程為 。②中學(xué)生對(duì)“ 有解”沒能正確理解，“有解”要求某范圍內(nèi)存在 使不等式成立即可，即 ，又 ，所以 。此題關(guān)鍵讓學(xué)生區(qū)分“有解”與“恒成立”。“有解”要求某范圍內(nèi)存在 使不等式成立，故   ， ；“恒成立”要求對(duì)某范圍內(nèi)任意 不等式都成立，故  

評(píng)注 解題中學(xué)生常會(huì)因省題不清而對(duì)一些容易混淆的關(guān)鍵詞認(rèn)識(shí)不到位，產(chǎn)生錯(cuò)解。所以教學(xué)中教師一方面要努力培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、周密思考的習(xí)慣，另一方面要對(duì)一些容易混淆的關(guān)鍵詞作專門的分析與研究。先讓學(xué)生充分暴露問題，經(jīng)歷失敗，再通過對(duì)問題的深入剖析，找出問題之所在，并形成區(qū)分此類問題的行之有效的方法，這樣才能加深對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

1.5不善于歸納整理，不能使思維優(yōu)化

每道題目一般都會(huì)有不止一種的解法，平時(shí)要學(xué)會(huì)歸納整理、優(yōu)化組合不同的思路與方法，從而提高自身的思維水平。

例5．已知實(shí)數(shù) 的最大值為多少？

錯(cuò)解 思路1： ，所以 。

思路2：13= ，即 。

究其原因 思路1中用了兩次基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)兩次“等號(hào)”成立，但此時(shí)4=9，所以兩次“等號(hào)”不能同時(shí)取得，最大值 取不到。思路2兩次運(yùn)用了“完全平方非負(fù)”進(jìn)行放縮，同樣道理，兩次“等號(hào)”不能同時(shí)取得。由這兩種錯(cuò)誤的思路得到啟示，此題可作如下的求解：因?yàn)?span lang="EN-US"> ，則 ，即36 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，所以 。為培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和發(fā)散性，此題還可嘗試其他的方法。法二：令 ，則 ，即 。法三：設(shè) ，則   ，故 。

評(píng)注 通過教師引導(dǎo)，讓學(xué)生自我糾正，歸納整理，并且通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。另外，為了培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性，還可讓學(xué)生試著總結(jié)與推廣，如本題可得出以下結(jié)論：

1）  

 2）

3） ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)（柯西不等式）。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生思維的火花在智慧的碰撞中閃光，學(xué)生的知識(shí)技能得到鞏固，數(shù)學(xué)思想得以滲透，思維品質(zhì)和思維能力得以優(yōu)化和發(fā)展。

2.克服數(shù)學(xué)解題過程中的“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的對(duì)策

2.1有效教學(xué)

2.1.1創(chuàng)設(shè)自主探究的教學(xué)氛圍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的講授仍是重要的教學(xué)方式之一，但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的自主參與，師生互動(dòng)”。有效的教學(xué)要面向全體，學(xué)生對(duì)群體參與互相啟發(fā)所產(chǎn)生的互補(bǔ)、促進(jìn)效應(yīng)是個(gè)人“單打獨(dú)斗”無(wú)法比擬的。教師的一個(gè)重要任務(wù)是強(qiáng)化學(xué)生主體參與的意識(shí)，創(chuàng)設(shè)主體參與的良好課堂環(huán)境和氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，通過師生、生生之間的對(duì)話、提問、分享觀點(diǎn)、合作交流等方式促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，幫助學(xué)生不斷克服由于自身認(rèn)識(shí)局限所導(dǎo)致的主觀性偏差，引導(dǎo)學(xué)生的思路往辯證、深刻、合理的方向發(fā)展。當(dāng)學(xué)生思維出現(xiàn)“盲區(qū)”時(shí)，教師要善于搭建平臺(tái)，遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原則，巧妙地設(shè)置坡度適中的階梯式問題，引領(lǐng)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生沿著一個(gè)個(gè)臺(tái)階自然地登上題目的“峰頂”。這樣的自主探究，能真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，從而減少“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的出現(xiàn)。

2.1.2教師要學(xué)會(huì)精講

    新課標(biāo)不是全盤地否定教師的教師講，而是反對(duì)教師以陳舊的教學(xué)理念來看待教學(xué)過程。新課標(biāo)支持教師必要而精當(dāng)?shù)闹v。因?yàn)榻處煴匾?dāng)?shù)闹v授可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)得更扎實(shí)、有效?，F(xiàn)行的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)有一種片面的觀點(diǎn)，錯(cuò)誤理解了新課程的理念，盲目反對(duì)教師的講授，似乎講的越少越好，越少越能體現(xiàn)教育理念的先進(jìn)性。在這樣的觀念的影響下，有些老師該講的不敢講，本來一句話就能點(diǎn)明的問題，非要和學(xué)生“兜圈子”、“捉迷藏”。大大降低了課堂教學(xué)的有效性?？傊?，課堂上講的多與少并不一定是教學(xué)理念先進(jìn)與落后的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，也不是啟發(fā)式與注入式的分水嶺。我們要遵循這樣的原則：可講可不講的堅(jiān)決不講，有利于發(fā)揮教師主體作用的要講，內(nèi)容上沒必要讓學(xué)生親自發(fā)現(xiàn)或?qū)W生很難發(fā)現(xiàn)的要講。教師要花功夫去研究“講”的藝術(shù)，要講的精彩，善于化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為形象，把復(fù)雜、深?yuàn)W的道理用新鮮、活潑、簡(jiǎn)明、流暢的語(yǔ)言表達(dá)出來，使學(xué)生茅塞頓開、恍然大悟，從而使“講”這種常規(guī)的教學(xué)手段發(fā)揮出時(shí)代的光彩!通過老師的精講，學(xué)生對(duì)問題的實(shí)質(zhì)得到了全面深刻的理解，也就能逐步避免 “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的出現(xiàn)。

2.1.3關(guān)注反思，提高元認(rèn)知能力

課堂教學(xué)中的反思其目的是給學(xué)生以發(fā)現(xiàn)、探究、總結(jié)、發(fā)展的空間。教師要運(yùn)用認(rèn)知上的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生不斷反思。解題后要對(duì)問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括、變形拓展，對(duì)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行不斷的思考并作出新的判斷，讓學(xué)生體會(huì)解題帶來的樂趣，體驗(yàn)反思帶來的成就感。

反思活動(dòng)的展開提高了數(shù)學(xué)的元認(rèn)知能力。數(shù)學(xué)元認(rèn)知是指認(rèn)知主體對(duì)自己的認(rèn)知過程、結(jié)果或與之相關(guān)的活動(dòng)的認(rèn)識(shí)。其實(shí)質(zhì)是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程不僅是對(duì)所學(xué)材料的識(shí)別、加工和理解的認(rèn)知過程，也是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)自我調(diào)節(jié)自我監(jiān)控的元認(rèn)知過程。元認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)生能對(duì)自身從事的認(rèn)知活動(dòng)自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)整，它不僅能提高具體認(rèn)識(shí)活動(dòng)的有效性而且能使認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知策略得到優(yōu)化。所以，這也是克服“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象有效途徑。

2．2．學(xué)法指導(dǎo)

2.2.1重視知識(shí)梳理，進(jìn)行整理消化

    高中階段的知識(shí)點(diǎn)非常多，因此要讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)整理消化的習(xí)慣，每天整理消化當(dāng)天的內(nèi)容，每星期整理消化當(dāng)周的內(nèi)容，每個(gè)章節(jié)結(jié)束也要求學(xué)生做好知識(shí)點(diǎn)的歸納與總結(jié)。在具體的整理過程中，對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都設(shè)計(jì)一些有代表性的基礎(chǔ)題和中檔提，把知識(shí)點(diǎn)以練習(xí)的形式滲透進(jìn)去，在具體的解題中進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到真正的消化與理解。這樣以點(diǎn)帶面，到期末時(shí)或高三復(fù)習(xí)時(shí)就能不慌不忙、充滿自信、游刃有余了。當(dāng)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的非常牢固時(shí)，“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性就減少了。。

2.2.2建立錯(cuò)誤檔案，自我完善解題經(jīng)驗(yàn)

產(chǎn)生錯(cuò)誤沒關(guān)系，關(guān)鍵是決不能在同一個(gè)問題上再次犯錯(cuò)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“珍惜”錯(cuò)誤，最大限度地發(fā)揮錯(cuò)題功能，進(jìn)行錯(cuò)題辨析、挖掘隱藏信息、升華知識(shí)水平與能力水平，進(jìn)一步杜絕同一類錯(cuò)誤的產(chǎn)生。所以要求每位同學(xué)準(zhǔn)備一本“錯(cuò)題本”，把平時(shí)作業(yè)中和測(cè)驗(yàn)中錯(cuò)題整理在上面，并寫明錯(cuò)因，建立錯(cuò)誤檔案。這份錯(cuò)誤檔案將作為學(xué)生重要的復(fù)習(xí)資料而經(jīng)常翻閱，從而啟發(fā)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我糾正、自我總結(jié)，通過錯(cuò)題的失敗教訓(xùn)和終于醒悟的收獲，給學(xué)生以警醒的效果，從而不斷完善解題經(jīng)驗(yàn)，杜絕 “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象的出現(xiàn)。

總之，“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”現(xiàn)象是學(xué)生解題的頑疾，它產(chǎn)生的原因是多方面的。教學(xué)過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的不同情況，有的放矢，把改進(jìn)工作落到實(shí)處，從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

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3.    數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生元認(rèn)知能力的培養(yǎng).曹勇兵. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2009.1