題目 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)
，點(diǎn)
滿足
，則
的取值范圍是 ，直線
與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .
這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定的考題．從高等幾何的觀點(diǎn)知，這里的點(diǎn)和直線就是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)與極線，本題第二問實(shí)際上是：已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，判斷極線與橢圓的位置關(guān)系．據(jù)筆者之前發(fā)表的文章中圓錐曲線極點(diǎn)和極線的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論：
定理 已知點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)與極線．（1）若極點(diǎn)在曲線上，則極線與曲線的相切于點(diǎn)；（2）若極點(diǎn)在曲線內(nèi)，則極線與曲線的相離；（2）若極點(diǎn)在曲線外，則極線與曲線的相交．
由該定理不難知道，考題中的直線與橢圓相離，故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．若運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作動(dòng)態(tài)演示，不僅可以驗(yàn)證確認(rèn)該結(jié)論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解．本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明．
為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線內(nèi)部和外部的定義．圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻，拋物線、雙曲線不是封閉的是開的，我們參考一些雜志專著，對(duì)雙曲線和拋物線的內(nèi)部和外部給出如下定義：焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱為該曲線的內(nèi)部，不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱為曲線的外部，曲線上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部．關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系我們有如下結(jié)論（這里證明從略）．
引理1 已知點(diǎn)和拋物線．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．
引理2 已知點(diǎn)和橢圓（或圓）．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．
引理3 已知點(diǎn)和雙曲線．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．
圓錐曲線把平面上的點(diǎn)分成三個(gè)部分：曲線上的點(diǎn)、曲線內(nèi)的點(diǎn)和曲線外的點(diǎn)，每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于曲線方程的左右兩邊的值具有相同的大小關(guān)系，真是“物以類集，人以群分”．下面將圓錐曲線分為拋物線、橢圓（圓）和雙曲線三種情形，借用判別式法對(duì)定理給出如下證明．
定理1 已知點(diǎn)和直線是拋物線的一對(duì)極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
證明 由得，，將其代入拋物線方程得，，所以．所以，（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
定理2 已知點(diǎn)和直線是橢圓（圓）的一對(duì)極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
證明 當(dāng)時(shí)，．則（1）點(diǎn)在直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
當(dāng)時(shí)，，將其代入曲線方程整理得，．所以．所以，
（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
綜上所述，命題結(jié)論正確．同理可證如下如下結(jié)論：
定理3 已知點(diǎn)和直線是雙曲線的一對(duì)極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．
下面舉例說明極點(diǎn)、極線與圓錐曲線位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用．
1.判斷點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系
例1 若直線和沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)（ ）
至少有一個(gè) 有兩個(gè) 只有一個(gè) 不存在
解 顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線，又極線與圓沒有公共點(diǎn)，所以極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)（實(shí)際上，由圖形可知圓上除兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上外，其余點(diǎn)均在橢圓內(nèi)，因點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)），故過點(diǎn)的直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，故應(yīng)選．
例2 已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
解 因?yàn)闃O線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，所以有，故的取值范圍是．
2.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例3 若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線的方程為，則（ ）
，且與相離 ，且與相交
，且與相離 ，且與相交
解 顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線，因極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以極與圓相離．又是直線的一個(gè)法向量，所以，而直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，所以，所以．故應(yīng)選．
例4 已知曲線，過點(diǎn)能否作一條直線，與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？
解 假設(shè)存在這樣的直線．設(shè)，則 ，兩式相減得，．因點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，代入上式可得．若則有，于是兩點(diǎn)重合不合題意，所以，所以，即直線的斜率為，故直線的點(diǎn)斜式方程為，即．將直線方程化為雙曲線的極線方程形式得，因直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，而 ，所以極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，從而直線與雙曲線相離沒有公共點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾，故不存在這樣的直線．
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