說(shuō)起微積分，大家有什么印象？想必很多人會(huì)聯(lián)想到棘手的計(jì)算吧。甚至還會(huì)有人想到這種情景——在學(xué)校的考試中，只是因?yàn)橛?jì)算稍稍出錯(cuò)，就被大幅扣分，凄慘至極。

哎呀，這位姑娘似乎認(rèn)為解決微積分問(wèn)題，只要套用背誦的公式就足夠了。這就是那種在學(xué)校的考試中掌握了應(yīng)試要領(lǐng)的典型人物。

不過(guò)，對(duì)于如何看待微積分，還存在像上面這位博士一樣的一類(lèi)人，雖然會(huì)計(jì)算微積分更好，但最開(kāi)始學(xué)習(xí)微積分時(shí)，重點(diǎn)并不在計(jì)算上。

數(shù)學(xué)家是擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的人，所以他們也很擅長(zhǎng)計(jì)算吧？不，不一定是這樣的。令人意外的是，數(shù)學(xué)家不僅會(huì)有不少單純的計(jì)算失誤，而且也常常會(huì)在思路上出現(xiàn)錯(cuò)誤。

創(chuàng)立了組合拓?fù)鋵W(xué)的天才數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊也是經(jīng)常犯錯(cuò)誤的，據(jù)說(shuō)就連他的論文中也存在不少錯(cuò)誤。

但是，龐加萊思考的方向在本質(zhì)上是準(zhǔn)確無(wú)誤的。只要思考的方向正確，即使稍微出點(diǎn)兒差錯(cuò)，對(duì)整體而言也并不是致命的。在學(xué)校，考試之所以依據(jù)計(jì)算結(jié)果的正確與否來(lái)確定成績(jī)，是因?yàn)楦鶕?jù)思路來(lái)給分?jǐn)?shù)比較困難。

同樣，本文的側(cè)重點(diǎn)也放在了“思考的要領(lǐng)”上，我認(rèn)為這是微積分的本質(zhì)。微積分的本質(zhì)在于方法。簡(jiǎn)單說(shuō)，如果抓住思考的“要領(lǐng)”，那么就能輕而易舉地理解復(fù)雜算式。思考的方向找對(duì)了，之后只要根據(jù)需求掌握計(jì)算技術(shù)就可以了。

本文中幾乎沒(méi)有出現(xiàn)積分符號(hào)。你可能會(huì)擔(dān)心，不用積分符號(hào)的話是否能夠真正理解相關(guān)內(nèi)容。其實(shí)，先接觸微積分的本質(zhì)內(nèi)容，之后出現(xiàn)的公式、算式將會(huì)意外地變得易于理解。

積分的存在意義

積分應(yīng)用的基礎(chǔ)

小學(xué)所學(xué)的圖形面積、體積的計(jì)算，實(shí)際上是與積分世界相連通的。積分之所以會(huì)出現(xiàn)，是因?yàn)槿祟?lèi)需要把握那些可見(jiàn)的東西，例如計(jì)算物體的面積、體積等。

初等教育中的圖形計(jì)算，通常只針對(duì)長(zhǎng)方形、圓形等規(guī)規(guī)矩矩的圖形。而現(xiàn)實(shí)情況中，這些知識(shí)往往難以直接去應(yīng)用。

這是因?yàn)?，現(xiàn)實(shí)世界中存在的物質(zhì)，并非都是學(xué)校中學(xué)習(xí)的那些規(guī)則的形狀。相反，那些規(guī)則的形狀可以說(shuō)只是例外或理想化的情況。所以，對(duì)人類(lèi)而言，測(cè)量現(xiàn)實(shí)情況中各種復(fù)雜圖形大小的技術(shù)非常必要。

日本小學(xué)的家政課會(huì)講授烏冬面、土豆塊等簡(jiǎn)易料理的烹飪方法。之所以特地在學(xué)校中講授這些內(nèi)容，是因?yàn)檫@些都是烹飪中的基礎(chǔ)方法。實(shí)際上我們自己做菜時(shí)，多會(huì)在商店中購(gòu)買(mǎi)成品的烏冬面，也基本不會(huì)頻繁烹制土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎(chǔ)烹飪方法的話，就能夠烹制出更多復(fù)雜的菜品。例如，烏冬面的烹飪方法可以運(yùn)用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學(xué)到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學(xué)初中學(xué)的長(zhǎng)方形、圓形的知識(shí)比作烏冬面、土豆塊，那么微積分就相當(dāng)于面包、土豆沙拉等應(yīng)用性料理。多虧有了積分法，人類(lèi)才能夠計(jì)算各種圖形的面積和體積。使用積分，無(wú)論是多么奇怪的形狀，只要下功夫就能夠計(jì)算出結(jié)果，這真是巨大的進(jìn)步。

將思考應(yīng)用于實(shí)際，用自己的力量去推導(dǎo)面積、體積，這才是積分的樂(lè)趣，也是學(xué)習(xí)積分的真正意義。

所有圖形都與長(zhǎng)方形相通

圖形的種類(lèi)紛繁多樣，其中面積計(jì)算最為簡(jiǎn)單的就是“長(zhǎng)方形”了。

說(shuō)到這里，大家是不是想起了小學(xué)時(shí)初學(xué)面積計(jì)算的情景？在圖形面積計(jì)算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長(zhǎng)方形之后學(xué)習(xí)。長(zhǎng)方形的面積僅用“長(zhǎng)×寬”就可以計(jì)算，可以說(shuō)是最簡(jiǎn)單、樸素的圖形。順便提一下，在數(shù)學(xué)世界中，正方形被看作是“一種特殊的長(zhǎng)方形”。

掌握長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法后，就可以將其應(yīng)用到三角形的面積計(jì)算中。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果不知道長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，也就無(wú)法計(jì)算三角形的面積。

這是因?yàn)?，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長(zhǎng)、該邊上的高為另一邊的長(zhǎng)方形面積的一半”。根據(jù)圖2可知，三角形的面積正好是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形面積的一半，也就是說(shuō)“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什么情況呢？平行四邊形可以看作是兩個(gè)以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個(gè)相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)計(jì)算的，為“（上底+下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個(gè)圖形看上去沒(méi)什么直接關(guān)聯(lián)，但它們的面積公式都是以長(zhǎng)方形面積為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的。

和變?yōu)榱朔e分

計(jì)算圓的面積時(shí)，小學(xué)中采用的方法是用“正方形”來(lái)劃分圓的內(nèi)部空間。這樣做的原因?qū)嶋H上很簡(jiǎn)單，就是因?yàn)榉礁窦埖姆礁袷钦叫巍?/p>

求圓的面積，要領(lǐng)是精細(xì)地劃分圓。也就是說(shuō)，劃分的形狀應(yīng)該不限于正方形。因此，我們可以把圓分成“細(xì)長(zhǎng)的短條”來(lái)求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細(xì)長(zhǎng)的短條，也就是長(zhǎng)方形的組合。

雖說(shuō)如此，但既然說(shuō)到了符號(hào)，從現(xiàn)在開(kāi)始我們就嘗試使用積分符號(hào)吧。公式也會(huì)從此處開(kāi)始出現(xiàn)，不過(guò)內(nèi)容和剛才的講解是完全一致的，所以請(qǐng)輕松地讀下去。和業(yè)界人士使用行業(yè)術(shù)語(yǔ)講話一樣，使用數(shù)學(xué)符號(hào)講解數(shù)學(xué)，相同的內(nèi)容在表達(dá)上也會(huì)看起來(lái)非常優(yōu)雅。

在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向?yàn)閤軸。這時(shí)，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關(guān)系。

在此基礎(chǔ)之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德?tīng)査保―elta），多用作“差”（difference）的符號(hào)，表示非常小的數(shù)值。

現(xiàn)在，我們用公式來(lái)表示這條短條的面積。

短條的面積=短條在x值對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度×Δx

若問(wèn)為什么要算出短條面積，這是因?yàn)槲覀円獜倪@里開(kāi)始計(jì)算圓的面積。把這些細(xì)長(zhǎng)短條的面積相加，就是圓的面積。具體來(lái)說(shuō)，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。

在這里，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來(lái)，短條與其說(shuō)是長(zhǎng)方形，倒不如說(shuō)看起來(lái)更像“一條線”。無(wú)數(shù)根“線”相加，其結(jié)果逐漸接近“圓的面積”。用積分符號(hào)來(lái)表示的話，可以寫(xiě)成以下形式。

公式中那個(gè)像把字母S縱向拉長(zhǎng)的符號(hào)音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符號(hào)也是取自拉丁語(yǔ)中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數(shù)學(xué)家（兼哲學(xué)家）提出的。

在此簡(jiǎn)單補(bǔ)充一點(diǎn)兒德?tīng)査éぃ┖蚫的內(nèi)容。

Δ和d，這兩個(gè)符號(hào)都源于“差”（difference）。二者的不同之處在于，Δ是“近似值”，而英文小寫(xiě)字母d是“精確值”。

“精確值”是什么意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無(wú)限循環(huán)的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精確值”。近似值在某種情況下必定是不正確的，而精確值在任何情況下都是正確的。

所以，我們可以這樣理解dx：“將原本用短條寬度Δx計(jì)算的數(shù)值，看作趨向于0的‘精確值’?！?/p>

總結(jié)一下，德?tīng)査éぃ┖陀⑽男?xiě)字母d分別在以下情況中使用。

德?tīng)査éぃ?dāng)存在寬度（寬度大于0）之時(shí)。

英文小寫(xiě)字母d——當(dāng)寬度趨向于0，計(jì)算極限數(shù)值時(shí)。

另外，雖然微積分中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的公式、符號(hào)，不過(guò)初學(xué)者最開(kāi)始不太理解這些東西也沒(méi)有關(guān)系，對(duì)Δ和d也同樣如此。

感覺(jué)和邏輯

初中入學(xué)考試中的積分

我們來(lái)思考兩方面內(nèi)容：“有效分割圖形的方法”和“積分符號(hào)的使用方法”。為了便于講解，我選取了初中入學(xué)考試試題，并嘗試使用積分方法解答。

下面，我們將接觸到旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)體的體積是日本高中教科書(shū)中必定會(huì)出現(xiàn)的內(nèi)容，初中入學(xué)考試中則常常會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)體題目，例如下面的題目。

如圖所示，存在一個(gè)半徑為2 cm的圓板，距離該圓板圓心4 cm處存在一條豎軸，讓圓板以豎軸為軸旋轉(zhuǎn)一周，求出此時(shí)所形成的圖形的體積。

題目出自日本東海大學(xué)附屬高輪臺(tái)高等學(xué)校中等部2007年入學(xué)考試試題，內(nèi)容表述有部分修改。

該如何解答這個(gè)問(wèn)題？

圓板繞軸旋轉(zhuǎn)一周，這時(shí)會(huì)變成什么樣的圖形呢？

如圖43所示，圓板旋轉(zhuǎn)后就變成了這種甜甜圈形。這種甜甜圈的形狀在數(shù)學(xué)中被稱(chēng)作圓環(huán)體。

為了計(jì)算出圓環(huán)體的體積，我們來(lái)尋找最樸素的“積分”法。那什么樣的方法最有效呢？

如圖44所示， 我們可以考慮從水平方向切割圓環(huán)體。

如圖45所示，切割圓環(huán)體所得的截面如同從一個(gè)大圓中挖去了一個(gè)同心的小圓。求截面面積的話，只要知道大圓和小圓的半徑就可以了。計(jì)算方法和計(jì)算缽體截面面積時(shí)的相同。

難點(diǎn)在于，圓的半徑該如何計(jì)算呢？

下面來(lái)嘗試將我們的思路畫(huà)到題目給出的圖中。取旋轉(zhuǎn)軸為x軸，并將各個(gè)點(diǎn)標(biāo)注上字母（圖46）。

在x軸取點(diǎn)H。這樣一來(lái)，圖45截面上的兩個(gè)圓，大圓的半徑為AH，小圓的半徑為BH。

實(shí)際上，我們的思路中最關(guān)鍵的一點(diǎn)在于“用H的高度去切割圓環(huán)體”。著眼于這點(diǎn)就可以發(fā)現(xiàn)：我們可以使用勾股定理。

接著，設(shè)點(diǎn)A、點(diǎn)B的中點(diǎn)為M。這時(shí)，根據(jù)勾股定理可知，AM（BM）的長(zhǎng)為根號(hào)下4?x2。也就是說(shuō)，大圓的半徑AH為

小圓的半徑BH為

具體的計(jì)算過(guò)程在此省略。

圓環(huán)體的體積可以看作是，在從下面（x=?2）到上面（x=2）的范圍內(nèi)，眾多厚度為Δx的截面積（薄切片）的組合（截面積之和）。使用積分符號(hào)，可以用如下表示：

這樣一來(lái)，我們就求出了圓環(huán)體的體積。

我們來(lái)思考一下這個(gè)式子中“有意義的部分”。從整體結(jié)構(gòu)看，16π可以最后乘進(jìn)去，所以可以先不管它。首先應(yīng)該求的部分是

但是，這種辦法并非能輕易想到。所以，在目前的階段，大家可不必過(guò)分在意，先繼續(xù)往下讀。

也就是說(shuō)，這個(gè)積分式子的答案和圖48的半圓面積相等。即為

然后再乘以剛才跳過(guò)的16π，可得圓環(huán)體的體積為

圓環(huán)體看上去像是兩個(gè)圓相乘形成的圖形，在其體積計(jì)算中出現(xiàn)π的2次方確實(shí)非常有趣。在數(shù)學(xué)中，圓環(huán)體被定義為“圓和圓的笛卡兒積（準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，是圓環(huán)和圓周的笛卡兒積）”。說(shuō)圓環(huán)體是兩個(gè)圓相乘的圖形，可謂恰如其文字之意——不，是恰如數(shù)字之意。

像小學(xué)生那樣求圓環(huán)體體積

前文說(shuō)到的求解方法可以說(shuō)是大人的解題方法。但是，這種方法很難向連勾股定理和積分符號(hào)都不知道的小學(xué)生解釋。

不用前文的方法，該怎樣分割呢？適合向小學(xué)生講解的方法是“分割成細(xì)方格來(lái)求圓的面積”。但是，逐一數(shù)方格數(shù)量會(huì)相當(dāng)花費(fèi)時(shí)間，所以我們來(lái)試一試新的方法。

為了轉(zhuǎn)換思路，這里我先介紹一下“把圓分成扇形求圓面積的方法”。我們的目標(biāo)是求圓環(huán)體的體積，但這一目標(biāo)可以通過(guò)使用與“把圓分成扇形求圓面積的方法”類(lèi)似的思路來(lái)實(shí)現(xiàn)。圓環(huán)體是立體圖形，所以很難整體去想象，不過(guò)若是圓的話便容易形象化了。

如圖49所示，將圓分成細(xì)小的扇形，然后讓扇形上下交叉相互交錯(cuò)排列。由此，我們便得到了一個(gè)“平行四邊形”。

當(dāng)然，扇形的弧是彎曲的，所以形成的平行四邊形也有些彎曲。但是，如果逐漸分割出更加細(xì)小的扇形，就幾乎看不見(jiàn)彎曲的弧了，到了最后我們差不多就可以將弧看作直線段。通過(guò)無(wú)限分割出更小的扇形，平行四邊形的精確度會(huì)大幅提升。這時(shí)，平行四邊形的高就會(huì)恰好等于圓的半徑，底邊則等于圓周長(zhǎng)的一半（π×半徑）。也就是說(shuō)，平行四邊形的面積接近等于“π×半徑×半徑”。因此，圓的面積也就等于“半徑×半徑×π”。

以上內(nèi)容即為推導(dǎo)圓面積公式的“小學(xué)生式”方法。

把甜甜圈變成蛇的方法

結(jié)合前文推導(dǎo)圓面積的“小學(xué)生式”方法，下面我們開(kāi)始研究圓環(huán)體的體積。依然是用相同的思路，想辦法分割圓環(huán)體。這次我們不水平分割了，來(lái)試試從垂直方向分割（圖50）。

垂直分割圓環(huán)體后，所得的截面正好是小小的圓。

為了進(jìn)一步研究截面的圓，我們先將其8等分。然后使用圓分割后的扇形交錯(cuò)排列的技巧，相互交錯(cuò)排列圓環(huán)體。

這樣一來(lái)，圓環(huán)體就會(huì)被重構(gòu)成彎彎曲曲的蛇形。

在這里使用的模型是美仕唐納滋的白巧克力米粉甜甜圈。不用甜甜圈的話，用百吉圈也可以。先將甜甜圈8等分，如圖53。

把切好的甜甜圈交錯(cuò)排列，就會(huì)形成以下圖形（圖54）。

可以看到，重新排列后的甜甜圈確實(shí)變成了蛇形的立體圖形。

在這里我們是將甜甜圈8等分，如果進(jìn)行更加精細(xì)的分割，如100等分、200等分……蛇形的立體圖形會(huì)更加接近圓柱形（橫倒的圓柱形）。

也就是說(shuō)，如圖51所示，圓柱的底面是半徑為2的圓，而高則是半徑為4的圓的周長(zhǎng)（圓圍繞豎軸旋轉(zhuǎn)一周的圓心軌跡長(zhǎng)度），即8π。

因此，我們所求的圓環(huán)體體積，就轉(zhuǎn)化成了底面積為π×22、高為8π的圓柱（圖55）的體積，即為

圓周率可以約等于3.14，代入3.14，可以求出圓環(huán)體的體積為315.507 2 cm3。

我們順便來(lái)求一下白巧克力米粉甜甜圈的體積，甜甜圈截面圓的半徑為1.5 cm，甜甜圈的直徑為8 cm。

也就是說(shuō)，圖51中畫(huà)粗線的圓的半徑為8÷2-1.5=2.5 cm。因此，甜甜圈的體積等于底面積為π×1.52、高為2π×2.5 cm的圓柱的體積，即為

這大概和棱長(zhǎng)為4.8 cm的立方體體積相當(dāng)。

帕普斯—古爾丁定理

在日本中學(xué)的入學(xué)考試中，存在一個(gè)求旋轉(zhuǎn)體體積的“秘技”——帕普斯—古爾丁定理。

下面我們使用這個(gè)定理計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積。

在前面的圓環(huán)體中，“旋轉(zhuǎn)的平面圖形”是半徑為2的圓，其面積為2×2×π=4π。

接著是“旋轉(zhuǎn)面重心所經(jīng)過(guò)的距離”，這道題里的“重心”大家可以理解為是“旋轉(zhuǎn)體的正中央”。重心經(jīng)過(guò)的距離等同于圓柱的高，所以是4×π×2=8π。

把這些數(shù)據(jù)代入帕普斯—古爾丁定理，可得“旋轉(zhuǎn)體的體積”為4π×8π=32π2。

不少機(jī)靈的小學(xué)生都知道這個(gè)“秘技”，在實(shí)際的考試中肯定也有考生使用這個(gè)定理。但是，真正要來(lái)解釋這個(gè)計(jì)算原理，如大家所見(jiàn)，還真不是一件容易的事情。

將圓環(huán)體變形成圓柱，我們可以從這個(gè)過(guò)程中窺得積分的要領(lǐng)。

實(shí)際上，使用相同的方法也可以計(jì)算圓環(huán)體的“表面積”。

在圖55中能夠確認(rèn)，圓環(huán)體的表面積等于“底面半徑為2、高為8π的圓柱的側(cè)面積”。因此，半徑為2的圓的周長(zhǎng)為2×2×π=4π，再乘以8π，則圓環(huán)體的表面積就等于32π2。順便說(shuō)一下，這里的表面積和體積相等（都是32π2），只是一個(gè)偶然。

另外，使用將圓環(huán)體變形為圓柱的方法，也能輕松推導(dǎo)出圓環(huán)體的體積和表面積的公式。

如圖56所示，取r和R（R＞r）使之圍繞軸旋轉(zhuǎn)形成圓環(huán)體。將半徑為r的灰色圓板稱(chēng)為小圓，則圓環(huán)體的體積和表面積的公式如下：

體積=小圓的面積（πr2） × 小圓圓心經(jīng)過(guò)的距離（2πR） =2π2r2R

表面積=小圓的周長(zhǎng)（2πr）×小圓圓心經(jīng)過(guò)的距離（2πR）=4π2rR

表面積的這種計(jì)算方法只要理解了就會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單，但若使用其他計(jì)算方法就會(huì)比較麻煩，需要用到多重積分這種大學(xué)水平的積分知識(shí)。分割方法，讓積分可易可難。

反過(guò)來(lái)說(shuō)，那些看起來(lái)復(fù)雜困難的問(wèn)題，僅僅通過(guò)分割的方法，就能轉(zhuǎn)化為小學(xué)生也可以解開(kāi)的問(wèn)題了。

積分在應(yīng)用時(shí)，數(shù)值計(jì)算多會(huì)使用計(jì)算機(jī)來(lái)處理。實(shí)際上，把具體的積分式子寫(xiě)出來(lái)并計(jì)算的情況少之又少。計(jì)算機(jī)計(jì)算積分問(wèn)題，除了技術(shù)上的運(yùn)行處理外，剩下其實(shí)都是在“求取所有分割面積（或者長(zhǎng)度、體積）的總和”。

說(shuō)到底，積分可以說(shuō)就是求取“分割部分之和”，并無(wú)其他特別內(nèi)容。一旦可以寫(xiě)出積分的式子，那么數(shù)值計(jì)算就很簡(jiǎn)單了。

將各種各樣的量用積分的式子表達(dá)出來(lái)，這才是我們需要掌握的必要能力。

——本文選自《簡(jiǎn)單微積分：學(xué)校未教過(guò)的超簡(jiǎn)易入門(mén)技巧》

書(shū)中以微積分的“思考方法”為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導(dǎo)以及實(shí)際應(yīng)用意義，解答了微積分初學(xué)者遭遇的常見(jiàn)困惑。沒(méi)有煩瑣計(jì)算、干澀理論，是一本只需“輕松閱讀”便可以理解微積分原理的入門(mén)書(shū)。

第1章 積分是什么

積分的存在意義

兩個(gè)思想實(shí)驗(yàn)

切口的秘密

感覺(jué)和邏輯

第2章 微分是什么

微分存在的意義

豐富多彩的函數(shù)世界

有預(yù)謀地使用微分

第3章 探尋微積分的可能性

1800年后的真相

填坑

彎曲也沒(méi)問(wèn)題

微積分的真身