在《如何用一張1×1的紙折出正七邊形？ 》一文中，我們知道了一張1×1的紙可以玩出怎樣的花樣：折出長度比等于1：的兩段、三等分一個角、得到正n邊形（n=費馬質(zhì)數(shù)）。
當然，如果除了紙和雙手以外，你還有更多的工具，創(chuàng)造出一些驚人的藝術(shù)品也不是不可能，就像這樣：
Credit：Meenakshi Mukerji
這次我們就暫不討論剪紙工藝的問題，而是繼續(xù)暢游Origamics的世界，用數(shù)學(xué)的方法去虐手。
認識芳賀
芳賀和夫（Kazuo Haga）被認為是折紙幾何的開創(chuàng)者，筑波大學(xué)（University of Tsukuba）教授，同時在植物分類學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出貢獻。
芳賀生于1934年，作為一名具有探索精神的研究者，早些時候他就發(fā)現(xiàn)了折紙過程中的一些數(shù)學(xué)結(jié)論，但并沒有作為研究重點去關(guān)注。
直到之后與其他數(shù)學(xué)家的交流中，他提到了自己的這些“小發(fā)現(xiàn)”，沒想到受到了其他人的高度贊賞，從此就一發(fā)不可收拾，在折紙的路上越走越遠。不僅提出了Origamics這一學(xué)科領(lǐng)域，還在1992年第三次折紙年會上，用自己的名字命名了芳賀第三定理?，F(xiàn)在，我們通常把折紙幾何中的三個基本定理分別稱為芳賀第一、第二和第三定理。
2008年，芳賀出版了圖書《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》（折紙幾何：用折紙來探索數(shù)學(xué)），里面包含了更多有趣的結(jié)論，圖文并茂地展示了這個年輕學(xué)科里的內(nèi)涵和無限的可能性。
《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》
芳賀第一定理
芳賀第一定理是教你如何折出三等分點的定律。
關(guān)于芳賀最早的“小發(fā)現(xiàn)”，經(jīng)過歸納之后變成了我們現(xiàn)在所說的芳賀第一定理，它巧妙地把中點、三等分點、3:4:5直角三角形融合到了一張1×1的白紙上。
說到折紙幾何，這一定理無疑可以幫助我們真正理解其中的精髓。
下面就請同學(xué)們緊張地拿出準備好的1×1白紙，跟著我一起折吧。
第一步：將紙對折，找到一邊的中點，我們叫它P點
第二步：找到P點右下對應(yīng)的正方形角點D點
第三步：折疊使D點與P點重合，同時正方形底邊與臨邊相交于Q點
這時， Q點是正方形臨邊的三等分點，如下圖：
P是AB的中點時，我們得到BQ=2QC
利用相似三角形的性質(zhì)，我們可以輕易證明這一結(jié)論，但關(guān)于這個圖形還有更多值得注意的地方。
通過計算，我們發(fā)現(xiàn)AR：DR=3:5。由于是翻折，所以DR=PR，再加上∠A是直角，聰明的你一定發(fā)現(xiàn)了直角△PAR是著名的勾股三角形（三條邊的長度之比等于3:4:5），不知你有沒有和我一樣，很驚喜很意外呢！
好了，根據(jù)芳賀第一定理，簡單兩步我們就得到了三等分點（QC=1/3），不要就此止步，我們可以順著這個思路繼續(xù)走下去，看看有沒有其他的隱藏成就等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。
多走一步！
答案是肯定的。要嘗試其他可能，第一反應(yīng)大概就是讓P點在邊上移動了，芳賀也確實是這么做的。
有些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的小伙伴們掐指一算，就不難發(fā)現(xiàn)：無論P在邊上怎么移動，AP，BQ，CQ還有另外幾條線段之間都有相同的關(guān)系：
如果正方形邊長是1，其他線段之間的關(guān)系
簡單取幾個數(shù)試試，當P點分別是2等分點、3等分點、5等分點的時候，對應(yīng)的Q點就是3等分點、2等分點、3等分點。
至此我們就完整回答了上篇文章里讀者提出的找3等分點的問題。
關(guān)于芳賀第二、第三定理，本文就不展開贅述了，折紙到現(xiàn)在已經(jīng)不易，且行且珍惜。后面的內(nèi)容數(shù)學(xué)性較強，歡迎有興趣的讀者繼續(xù)試探。
等分等分等分！
按照上面的辦法，要多等分線段的話，我們首先要找到對應(yīng)的P點。然而，當你需要找例如6等分的Q點時，你會發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的AP需要等于5/7，6等分點都沒找著，我們上哪去找5/7的點呢？真是讓人頭大。
這下總算終于輪到新方法登場了，接下來的步驟同樣簡單，卻可以幫你找到n等分線段（當然n是正整數(shù)）的辦法。想知道怎么做到的？迭代！
首先我們來看基本操作。
對于CE上任意一個點A，
第一步：沿CD折疊，得到折痕CD
第二步：沿A點對折，得到折痕AB
第三步：沿EB折疊，得到交點X
第四步：沿X點對折，得到F、G兩點
基本操作完成。
熟悉的味道，相似的三角！~ 我們找出△XFE和△BAE這對相似三角形，結(jié)合下圖寫出那個偉大的等式。
聰明的你會發(fā)現(xiàn)，如果像圖中這樣表示長度，設(shè)正方形邊長為1，那么一定有
EF/AE = XF/AB
也就是： x/(1/(n-1)) = (1-x)/1
化簡：x=1/n
是的 x=1/n ！如果你沒有看出其中的玄機，可以嘗試帶入具體的數(shù)字試試看。
如果n=2，就是AE=1，這時A點就在C點，那么x=1/2，廢話！因為基本操作其實就是把紙對折了。
接著，如果n=3，就是AE=1/2，A是中點，那么x=1/3，神奇！3等分點get。
再往后，你大可以把上次的F點當作下次的A點，找到另一個F點，那么x會依次等于1/4，1/5，1/6……
堅持到這里，不知道你有沒有和小編一樣恍然大悟的感覺呢？這就是迭代的力量，通過重復(fù)完成同一個基本操作，我們可以找出線段上的n等分點（只要你的紙足夠大）。
那么，折紙系列到此就結(jié)束了，撒花！對于有興趣的小伙伴們，相信你們已經(jīng)領(lǐng)會到了個中奧妙，大門已經(jīng)開啟，各位各自前行就好。不太感冒的小伙伴權(quán)當是一種嘗試，世界還很大，我們之后會繼續(xù)陪你探索的，下次見。
參考資料：
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms
https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/7023
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8A%B3%E8%B3%80%E5%92%8C%E5%A4%AB
https://mathigon.org/origami#intersecting-planes
來源：
