一、整式的乘法
例題
例1：計算：
a2·(－a)3·(－a)；
xn·xn＋1·xn－1·x；
(x－2y)2·(2y－x)3
解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4
＝－a9；
原式＝xn＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；
方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3
＝－(x－2y)5
方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3
＝(2y－x)5
例2：下列運算中正確的是（ ）
A.a2＋a3＝a5
B.a2·a3＝a6
C.a2＋a3＝a
D.(a2)3＝a6
解析：a2與a3不是同類項,不能合并,A錯誤；
a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B錯誤；
a3與a2不是同類項,不能合并,C錯誤；
D正確；(a2)3＝a2×3＝a6。
答案：D
例3：已知am＝4,an＝10,求a2m＋n的值。
解析：將代數(shù)式a2m＋n變形為含am、an的代數(shù)式,依據(jù)是冪的運算法則。
解：a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝42×10＝160.
例4：計算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.
原式＝－6×m3n3(x－y)5
＝－2m3n3(x－y)5.
例5：計算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a＋3)(a－5)
解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3
原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－
(2a2－10a＋3a－15)
＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15
例6：計算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；
(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)
解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.
原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40
二、因式分解
例題
例7：下列式子中,從左到右變形屬于因式分解的是（ ）
A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
解析：根據(jù)因式分解的概念,只有B選項滿足：等號左邊是多項式,等號右邊是幾個整式的積的形式,并且經(jīng)檢驗運算過程正確,故選B.
答案 B
例8：若代數(shù)式x2＋ax可以分解因式,則常數(shù)a不可以取( )
解析：因為代數(shù)式x2＋ax可以分解因式,所以常數(shù)a不可以取0.
例9：下面分解因式正確的是（ ）
A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B.(x2－4)x＝x3－4x
C．a(chǎn)x＋bx＝（a＋b）x
D.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
解析：根據(jù)因式分解的概念,A項、B項不是分解因式；C項是提公因式法分解因式；D項雖是分解因式,但錯誤,應(yīng)是m2－2m＋n2＝(m－n)2
答案：C
例10：把下列各式分解因式：
－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；
4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；
(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；
9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2
解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)
＝－x2y4(4xy－3)2；
原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2
＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；
原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]
＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；
原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋
[5(x＋b)]2
＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2
＝(8x＋3a＋5b)2.
關(guān)鍵提醒：
因式分解的步驟：
(1)先看各項有沒有公因式,若有公因式,則先提取公因式.
(2)再看能否使用公式法.
(3)用分組分解法,即通過分組后再提出公因式或運用公式法來達到分解的目的.
(4)因式分解的最后結(jié)果,必須是幾個整式的積.
(5)因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式不能再分解為止。
因式分解巧妙解題法
例11：分解因式（x＋y）4＋x4＋y4。
解析：常規(guī)策略：可直接展開后，再分解因式。
巧妙解法：運用配方法解題
原式＝（x＋y）4＋[（x2＋y2）2－2x2y2]
＝（x＋y）4＋[（x＋y）2－2xy]2－2x2y2
＝2（x＋y）4－4xy（x＋y）2＋2x2y2
＝2[（x＋y）2－xy]2
＝2（x2＋xy＋y2）2。
關(guān)鍵提醒：配方法是一種特殊的添項法，如何拆項或添項，依賴于對題目所給代數(shù)式特點的觀察和分析。
思考：如何運用配方法分解因式x4＋4？
例12：分解因式
x2（y－z）＋y2（z－x）＋z2（x－y）。
解析：常規(guī)策略：直接展開，用分組分解法解。
巧妙解法：主元法解題，把原式看作x的二次三項式去分解。
原式＝（y－z）x2－（y2－z2）x＋yz（y－z）
＝（y－z）[x2－（y＋z）x＋yz]
＝（y－z）（x－y）（x－z）。
關(guān)鍵提醒：當(dāng)題目中的字母較多、問題較復(fù)雜時，我們可以把某一字母作為主元，而將其他字母作為常數(shù)去解決問題。
思考：如何用主元法分解因式
x4＋x2＋2ax＋1－a2。
例13：分解因式
（n－2）（n＋2）（n＋4）n＋12。
解析：常規(guī)策略：直接展開，重新組合，但較復(fù)雜。
巧妙解法：利用換元法解題。
原式＝（n2＋2n－8）（n2＋2n）＋12。
令n2＋2n＝A，
則原式＝（A－8）A＋12
＝A2－8A＋12＝（A－2）（A－6）
＝（n2＋2n－2）（n2＋2n－6）。
關(guān)鍵提醒：換元法就是根據(jù)代數(shù)式中的特征，把其中的某些部分看成一個整體，并用一個新的文字（新元）代替之，從而使這個代數(shù)式的結(jié)構(gòu)簡化，便于解題。
運用換元法分解因式，是將原多項式中的某一部分項用一個字母進行代替，使原多項式變成引入新變元（或新變元和原來變元混合）的多項式，從而使某些數(shù)量關(guān)系明朗化，進而便于分解因式。
思考：如何利用換元法分解因式
（x2＋4x＋8）2＋3x（x2＋4x＋8）＋2x2.
例14：分解因式x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3。
解析：常規(guī)策略:先用十字相乘法對二次項分解，然后再用十字相乘法處理。
巧妙解法:應(yīng)用待定系數(shù)法解題
因x2＋2xy－8y2＝（x－2y）（x＋4y），
故設(shè)原式＝（x－2y＋a）（x＋4y＋b）。
即x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3
＝x2＋2xy－8y2＋（a＋b）x＋
（4a－2b）y＋ab，①
解之，得 a＝3，b＝－1，
故原式＝（x－2y＋3）（x＋4y－1）。
關(guān)鍵提醒：待定系數(shù)法是先假定一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)各項恒等的性質(zhì)，列出幾個含有待確定系數(shù)的方程組，解之求得待定系數(shù)的值，或者從方程中消去這些待定系數(shù)，求出原來那些已知系數(shù)間所存在的關(guān)系，從而解決問題。
思考：如何運用待定系數(shù)法分解因式
4x2＋4xy－3y2－4x－10y－3。
例15：分解因式
12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3。
解析：常規(guī)策略：一般可采用待定系數(shù)法。
巧妙解法：運用雙十字相乘法。
原式＝（6x－5y）（2x＋4y）＋
（20x－11y）＋3
＝（6x－5y＋1）（2x＋4y＋3）。
關(guān)鍵提醒
運用雙十字相乘法對
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F型的多項式分解因式的步驟：
①用十字相乘法分解前三項組成的二次三項式；
②在這個十字相乘圖右邊再畫一個“十字”，把常數(shù)項分解為兩個因數(shù)，填在第二個十字的右端，使這兩個因數(shù)在第二個十字中交叉之積之和，等于原式中含y的一次項的系數(shù)E，同時還必須與第一個十字中左列的兩個因數(shù)交叉相乘，使其交叉之積之和等于原式中含x的一次項的系數(shù)D。
思考：如何運用雙十字相乘法分解因式
3x2＋4y2＋3z2＋8xy－8yz－10zx。
