肖博數(shù)學(xué)大題專練二十二 ·作業(yè) 選修 4-5 不等式選講
A 級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.(2017·蘭州市診斷)已知函數(shù) f(x)= |x+1|+|x-3|-m的定義
域?yàn)?R。
(1)求 m 的取值范圍;
(2)若 m 的最大值為 n，解關(guān)于 x 的不等式：|x-3|-2x≤2n-4。
解 (1)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的定義域?yàn)?R，
所以|x+1|+|x-3|-m≥0 恒成立，
設(shè)函數(shù) g(x)=|x+1|+|x-3|，
則 m 不大于函數(shù) g(x)的最小值，
又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4，
即 g(x)的最小值為 4。
所以 m≤4。
(2)當(dāng) m 取最大值 4 時(shí)，原不等式等價(jià)于
|x-3|-2x≤4，
所以?
?
?x≥3，
x-3-2x≤4
或
?
?
?x<3，
3-x-2x≤4，
解得 x≥3 或-1
3≤x<3。
所以原不等式的解集為?
?
?
?
?
?
x
?
?
?
x≥-
1
3 。
2.(2017·湖北七市聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)=|x-2|+2，g(x)=m|x|(m
∈R)。
(1)解關(guān)于 x 的不等式 f(x)>5;
2
(2)若不等式 f(x)≥g(x)對(duì)任意 x∈R 恒成立，求 m 的取值范圍。
解 (1)由 f(x)>5，得|x-2|>3，
∴x-2<-3 或 x-2>3，
解得 x<-1 或 x>5。
故原不等式的解集為{x|x<-1 或 x>5}。
(2)由 f(x)≥g(x)，得|x-2|+2≥m|x|對(duì)任意 x∈R 恒成立，
當(dāng) x=0 時(shí)，不等式|x-2|+2≥m|x|，
即為|x-2|+2≥0，顯然恒成立，
當(dāng) x≠0 時(shí)，問題等價(jià)于 m≤
|x-2|+2
|x| 對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，
∵
|x-2|+2
|x| ≥
|x-2+2|
|x| =1，
∴m≤1，即 m 的取值范圍是(-∞，1]。
3.已知函數(shù) f(x)=|x-2|+|2x+a|，a∈R。
(1)當(dāng) a=1 時(shí)，解不等式 f(x)≥4;
(2)若存在 x0，使 f(x0)+|x0-2|<3 成立，求 a 的取值范圍。
解 (1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)=|x-2|+|2x+1|。
由 f(x)≥4，得|x-2|+|2x+1|≥4。
當(dāng) x≥2 時(shí)，不等式等價(jià)于 x-2+2x+1≥4，解得 x≥
5
3，所以 x≥2;
當(dāng)-1
2
即 x≥1，所以 1≤x<2;
當(dāng) x≤-
1
2時(shí)，不等式等價(jià)于 2-x-2x-1≥4，
解得 x≤-1，所以 x≤-1。
3
所以原不等式的解集為{x|x≤-1 或 x≥1}。
(2)應(yīng)用絕對(duì)值不等式可得 f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|
+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|。
因?yàn)榇嬖?x0，使 f(x0)+|x0-2|<3 成立，
所以(f(x)+|x-2|)min<3，
所以|a+4|<3，解得-7
1)。
4.已知 x，y∈R+，x+y=4。
(1)要使不等式1
x
+
1
y
≥|a+2|-|a-1|恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范
圍;
(2)求證：x
2+2y
2≥
32
3 ，并指出等號(hào)成立的條件。
解 (1)因?yàn)?x，y∈R+，x+y=4，所以x
4+
y
4=1。于是，應(yīng)用基
本不等式，得1
x
+
1
y=?
?
?
?
?
1 ?
x
+
1
y ?
?
?
?
?
x ?
4+
y
4 =
1
2+
1
4?
?
?
?
?
y ?
x
+
x
y
≥
1
2+
1
2
y
x
·
x
y=1，當(dāng)
且僅當(dāng) x=y=2 時(shí)取等號(hào)。要使不等式1
x
+
1
y
≥|a+2|-|a-1|恒成立，
只需不等式|a+2|-|a-1|≤1 成立。
構(gòu)造函數(shù) f(a)=|a+2|-|a-1|，則等價(jià)于解不等式 f(a)≤1。
因?yàn)?f(a)=
??
?
?
?
-3，a≤-2，
2a+1，-2
3，a≥1，
所以解不等式 f(a)≤1，得
a≤0。
所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(-∞，0]。
4
(2)證明：因?yàn)?x，y∈R+，x+y=4，所以 y=4-x(0
x
2+2y
2=x
2+2(4-x)
2=3x
2-16x+32=3
?
?
?
?
?
?
x-
8
3
2+
32
3 ≥
32
3 ，當(dāng) x=
8
3，y
=
4
3時(shí)等號(hào)成立。
B 級(jí) 能力提升
5.(2017·河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知 f(x)=|2x-1|-|x+1|。
(1)將 f(x)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并作出其圖象;
(2)若 a+b=1，對(duì)?a，b∈(0，+∞)，
1
a
+
4
b≥3f(x)恒成立，求 x
的取值范圍。
解 (1)由已知，得 f(x)=
?
?
?
?
?
-x+2，x<-1，
-3x，-1≤x≤
1
2，
x-2，x>
1
2，
函數(shù) f(x)的圖象如圖所示。
(2)∵a，b∈(0，+∞)，且 a+b=1，
∴
1
a
+
4
b=?
?
?
?
?
1 ?
a
+
4
b
(a+b)=5+?
?
?
?
?
b ?
a
+
4a
b ≥5+2
b
a
·
4a
b =9，當(dāng)且僅當(dāng)
b
a=
4a
b ，即 a=
1
3，b=
2
3時(shí)等號(hào)成立。
∵
1
a
+
4
b≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立，
5
∴|2x-1|-|x+1|≤3，
結(jié)合圖象知-1≤x≤5，
∴x 的取值范圍是[-1,5]。
6.(2017·陜西省教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))已知函數(shù) f(x)=2|x+a|-|x-
1|(a>0)。
(1)若函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形面積的最小值為 4，求
實(shí)數(shù) a 的取值范圍;
(2)對(duì)任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。
解 (1)f(x)=
??
?
?
?
-x-2a-1，x<-a，
3x+2a-1，-a≤x<1，
x+2a+1，x≥1，
如圖所示，函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸圍成的△ABC，求得
A(-2a-1,0)，B
?
?
?
?
?
?
?
? 1-2a
3 ，0 ，C(-a，-a-1)。
∴S△ABC=
1
2?
?
?
?
?
?
?
? 1-2a
3 -(-2a-1) ×|-a-1|=
2
3
(a+1)2≥4(a>0)，解
得 a≥ 6-1。
(2)由(1)中圖，可知 f(x)min=f(-a)=-a-1，
對(duì)任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0，
6
即(-a-1)+2≥0，解得 0
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