祖沖之還有一項極富創(chuàng)新的工作，但不大為人們所知，那就是得出圓球的體積和直徑的關系。我們前面看到，阿基米德在祖沖之以前大約六百年前就得到了這個關系，但中國對他的工作并不知曉。祖沖之用與阿基米德完全不同的辦法，得到了相同的結果。他和兒子首先設立一個定理：兩個等高的物體，如果沿著高的方向截面面積處處相等，它們必具有相同的體積。這個定理的基點同阿基米德切割求和的思路相同。設想有很多銅錢，把它們一個個疊加起來，可以構成一個圓柱體。如果把它們之間的水平位置錯開一些，也可以構成一個螺旋體或其他什么形狀。既然每枚銅錢的體積是一定的，它們的體積的總和當然不變。根據(jù)這個原理，他們父子倆思考一個奇怪的幾何形狀的體積，名叫“牟合方蓋”（圖15）。
所謂的牟合方蓋，就是兩個同等直徑的圓柱垂直相交而切出來的形狀，如圖15b所示。這個奇形怪狀的東西最初是劉徽想出來的。劉徽在研究《九章算術》的時候，發(fā)現(xiàn)球體體積的計算公式是錯誤的：“開立方圓球法：以16乘體積，取它的九分之一開立方，就得到直徑?！庇矛F(xiàn)代代數(shù)語言，這句話就是說，，這里d是球的直徑，V是體積。換句話說，。在《九章算術》的年代，人們習慣用數(shù)字3來近似圓周率。所以，《九章算術》給出的球體體積公式有可能是，這里r是球的半徑。但這顯然是不對的。
劉徽首先看出了問題，并設法尋找錯誤的來源。他認為，《九章算術》在估算球體體積的時候，采用的方法是比較球、圓柱和立方體之間的體積比例，如圖16所示。
這里，半徑為r的球體被半徑為r、高為2r的圓柱內切（這就是阿基米德為自己的墳墓所設計的紀念碑的樣子）。立方體的邊長也是2r。劉徽說，我們不曉得前人是怎樣得到16∶9這個比例的，但可以猜猜看。從垂直于平面ABCD的方向看下去，圓柱和球體截面（都是圓）的比值是1∶1，而立方體跟圓柱的截面，一是方，一是圓，所以比值是4∶3（這里的3相當于π）。從垂直于平面CDEF的方向看呢，圓柱和球體截面（一圓一方）的比值是4∶3，立方體和圓柱的截面（都是方形）的比例是1∶1。于是劉徽說，《九章算術》的作者可能是根據(jù)立方體和球體在兩個相互垂直方向投影的比例之積來估計球體體積的。
問題在于，上面所說的截面是球體的最大截面（半徑=r的截面）。如果沿著每個投影方向一層層地切割這個球體，你就會發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)截面的半徑都小于r。所以劉徽說，的估計是不對的。
沿著這個思路繼續(xù)下去，劉徽說，對球體體積更好的估算不是立方體，而是兩個相互垂直的圓柱相互切出來的體積，也就是圖15那個牟合方蓋?？纯磮D15b，它是不是很像兩把張開的方傘，一上一下緊緊扣在一起？再仔細看看，你就會發(fā)現(xiàn)，這個奇形怪狀的東西有三個特點：一、沿著垂直于兩根圓柱的任何一根的軸線作截面，所有的截面都是半徑為r的圓形；二、如果在兩根圓柱都垂直的方向作截面，那么所有的截面都是方形（圖15b）；三、半徑為r的球體恰好被牟合方蓋內切（圖15c）。
根據(jù)這些性質，劉徽說，
祖沖之父子采用下面的思路來計算牟合方蓋的體積。先把牟合方蓋圖15b切成對稱的兩半，只看上面的一半（下面的一半跟上面一模一樣；找到了一半的體積，就知道了整個的體積）。這半個牟合方蓋的底面是邊長為2r的正方形。讓我們在高出底面h的地方作一個截面，這個截面也是一個正方形，邊長我們不知道，但可以用已知的半徑r和高h來表示，如圖17a所示。這里邊長的一半x、高h及球體的半徑r構成直角三角形（圖17a），所以它們之間滿足勾股定理，換句話說，
下一步，祖氏父子選擇了半個立方體，這半個立方體的底面的邊長為2r，高為r（圖17b）。從這半個立方體頂端的四個角向底面的中心點作直線，得到一個頭朝下的“金字塔”，也就是底面為正方形的錐體?，F(xiàn)在設想從這半個立方體內挖除“金字塔”，祖沖之父子要計算半個立方體內剩下的體積。利用跟前面半個牟合方蓋同樣的方法，考慮距離地面高為h處的截面。那里的面積是
圖17b的體積很容易求出，它等于
“冪勢既同，則積不容異”。這個原理現(xiàn)在叫作“祖暅原理”。這個命名是根據(jù)唐朝李淳風在《九章算術》里的注釋的記錄。我們不知道祖氏父子倆誰先想到的。其實，劉徽在得到牟合方蓋體積同球體體積比等于
仔細想一想你會發(fā)現(xiàn)，利用這個原理，如果把圖17a中的半個牟合方蓋換成半個球體，利用任意h高度的相應于圖17a和17b截面的比值，就可以直接得到球體的體積而不必求助于牟合方蓋。這個問題留給讀者自己作為練習來做吧。
現(xiàn)在，讓我們回到阿基米德最為驕傲的內切圓球的圓柱體問題。讓我們采用跟祖氏父子類似的方法，但是把圖17a的半個牟合方蓋換成半個球體，把右邊的半個立方體換成高為r的圓柱。在圓柱內還是挖一個錐形，只不過現(xiàn)在是一個底面半徑為r的倒立圓錐。計算一下半圓內高度h處的截面面積和在同等高度h處圓柱在挖出倒立圓錐后剩下的圓環(huán)的面積。你得到什么結果（本章習題2）？想象不到吧，你明白阿基米德為什么對這個結果如此驕傲了嗎？
祖沖之研究過《九章算術》和劉徽所作的注解，給《九章算術》和劉徽的《重差》作過注解。他們父子還著有《綴術》一書，匯集了父子倆的數(shù)學研究成果。《綴術》在唐代被收入國子監(jiān)算學館的教本《算經(jīng)十書》，成為唐代的數(shù)學課本。當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深?！毒Y術》曾經(jīng)傳至朝鮮和日本。這本書內容過于深奧，以至“學官莫能究其深奧，故廢而不理”。所以到北宋時這部書就已經(jīng)逸失了。人們只能通過其他文獻了解祖沖之的部分工作：在《隋書·律歷志》中留有一小段祖氏父子關于圓周率的工作；唐代李淳風在《九章算術》注文中記載了他們求球體積的方法。他們還研究過“開差冪”和“開差立”問題，涉及二次方程和三次方程的求根問題。遺留下來的主要數(shù)學貢獻是對圓周率的計算結果和球體體積的計算公式。
祖暅定理在西方稱為卡瓦列利原理，是意大利耶穌軍教士、比薩大學數(shù)學家卡瓦列利（Bonaventura Francesco Cavalieri，公元1598－公元1647）在1635年提出來的。這比祖氏父子晚了差不多一千二百年。不過，卡瓦列利的概念更為明確，他令人信服地論證，任何三維的物體都可以看成是無數(shù)二維平面的疊加。他也是世界上第一位以“積分”的思路來思考三次多項式的人，直接促進了后來微積分學的發(fā)展。
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