四講 數(shù)學(xué)思維的開拓性
一、概述
數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個(gè)問題能從多方面考慮；對一個(gè)對象能從多種角度觀察；對一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解。
“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。
在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。
數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：
(1) 一題的多種解法
例如 已知復(fù)數(shù)滿足
，求
的最大值。
我們可以考慮用下面幾種方法來解決：
①運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；
②運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；
③運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；
④運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）；
⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系；
⑥（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與
有公共點(diǎn)時(shí)，的最大值。
(2) 一題的多種解釋
例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋：
①可以看成自由落體公式
②可以看成動(dòng)能公式
③可以看成熱量公式
又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。“1”可以變換為：，等等。
1． 思維訓(xùn)練實(shí)例
例1 已知求證：
分析1 用比較法。本題只要證為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。
證法1
所以
分析2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。
證法2 要證
只需證
即
因?yàn)?/span>
所以只需證
即
因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。所以原不等式成立?/span>
分析3 運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）
證法3
即
分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來方便。
證法4 可設(shè)
分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。
證法5（如圖4-2-1）因?yàn)橹本€經(jīng)過
圓的圓心O，所以圓上任意一點(diǎn)
到直線的距離都小于或等于圓半徑1，
即
簡評(píng) 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。
例2 如果求證：成等差數(shù)列。
分析1 要證，必須有成立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。
證法1
故 ，即 成等差數(shù)列。
分析2 由于已知條件具有輪換對稱特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來便利。
證法2 設(shè)則
于是，已知條件可化為：
所以成等差數(shù)列。
分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會(huì)。
證法3 當(dāng)時(shí)，由已知條件知即成等差數(shù)列。
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：
其判別式故方程有等根，顯然＝1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，
由韋達(dá)定理知 即 成等差數(shù)列。
簡評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。
例3 已知，求的最小值。
分析1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個(gè)字母，但已知條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。
解法1
設(shè)，則
二次項(xiàng)系數(shù)為故有最小值。
當(dāng)時(shí)，
的最小值為
分析2 已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。
解法2 即
即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。的最小值為
分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。
解法3 設(shè)
當(dāng)時(shí)，即的最小值為
分析4 因?yàn)橐阎獥l件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點(diǎn)，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。
解法4 如圖4－2－2，表示直線
表示原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方。
顯然其中以原點(diǎn)到直線的距離最短。
此時(shí)，即
所以的最小值為
注 如果設(shè)則問題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，半徑的最小值。
簡評(píng) 幾種解法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。
例4 設(shè)求證：
分析1 由已知條件為實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)，可提供設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個(gè)虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運(yùn)用韋達(dá)定理可以探求證題途徑。
證法1 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合。
于是有
該方程有一對共軛虛根，設(shè)為，于是
又由韋達(dá)定理知
分析2 由于實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是這個(gè)實(shí)數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程，注意到這一重要性質(zhì)，即可求出的值。
證法2 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合，
則有 ，
即
但
而 即
分析3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點(diǎn)。
證法3 即
從而必有
簡評(píng) 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁。現(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會(huì)的關(guān)鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。
例5 由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。
分析1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。
解法1 如圖4－2－3，設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，
則，在中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有
整理，得 其中
分析2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的
曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。
解法2 因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,
半徑為該圓的方程為：
化簡，得 其中
分析3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)可看作直線與割線的交點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。
解法3 設(shè)過點(diǎn)的割線的斜率為則過點(diǎn)的割線方程為：.
且過原點(diǎn)，的方程為 這兩條直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中
分析4 （參數(shù)法）將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動(dòng)點(diǎn)隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。
解法4 設(shè)過點(diǎn)的割線方程為：
它與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.
解方程組
利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)的軌跡方程為：
其中
分析5 （代點(diǎn)法）根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問題。這里由于中點(diǎn)的坐標(biāo)與兩交點(diǎn)通過中點(diǎn)公式聯(lián)系起來，又點(diǎn)構(gòu)成4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。
解法5 設(shè)則
兩式相減，整理，得
所以
即為的斜率，而對斜率又可表示為
化簡并整理，得 其中
簡評(píng) 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點(diǎn)且與二次曲線交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計(jì)算量要小，要簡捷得多。
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