一、基本初等函數(shù)
1、冪函數(shù)
一般地，函數(shù) y = x^a (a 為常數(shù)，a∈Q) 叫做冪函數(shù) .
冪函數(shù) y = x^a (a∈Q) 的性質(zhì)：
① 所有冪函數(shù)在 （0，+∞）上都有定義，并且圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1,1）.
② 若 a > 0 , 冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn) （0 , 0）和（1 ，1）在第一象限內(nèi)遞增；
若 a < 0 , 冪函數(shù)圖象只經(jīng)過點(diǎn) （1,1），在第一象限內(nèi)遞減 .
③ 冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限，且不經(jīng)過第四象限；
如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn) .
④ 畫冪函數(shù)圖象時(shí)，先畫第一象限的部分，在根據(jù)函數(shù)的奇偶性完成整個(gè)圖象 .
⑤ 常見冪函數(shù)的圖象
常見冪函數(shù)的圖象
2、指數(shù)函數(shù)
一般地，函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指數(shù)函數(shù)，自變量 x 叫指數(shù)，a 叫底數(shù) .
指數(shù)函數(shù)的定義域是 R .
指數(shù)運(yùn)算法則：
指數(shù)運(yùn)算法則
指數(shù)函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的圖象 ：
指數(shù)函數(shù)圖象（分兩種情況）
指數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)：
① 指數(shù)函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 定義域為 R ，值域 （0，+∞）；
② 函數(shù) y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上遞增，函數(shù) y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上遞減 ；
③ 指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) （0 , 1）.
3、反函數(shù)
一般地，對(duì)于函數(shù) y = f(x)，設(shè)它的定義域?yàn)?D，值域?yàn)?A，
如果對(duì)于 A 中任意一個(gè)值 y，在 D 中總有唯一確定的 x 值與它對(duì)應(yīng)，且滿足 y = f(x) ,
這樣得到的 x 關(guān)于 y 的函數(shù)叫做 y = f(x) 的反函數(shù)，記作 x = f-1(y) ,
習(xí)慣上自變量常用 x 來表示，而函數(shù)用 y 來表示，所以把它改寫為 y = f-1(x) (x∈A) .
(1) 反函數(shù)的判定：
① 反函數(shù)存在的條件是原函數(shù)為一一對(duì)應(yīng)函數(shù)；
② 定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；
③ 周期函數(shù)不存在反函數(shù)；
④ 定義域?yàn)?strong>非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù) .
(2) 反函數(shù)的性質(zhì)：
① 函數(shù) y = f(x) 與 函數(shù) y = f-1(x) 互為反函數(shù) ；
原函數(shù) y = f(x) 和反函數(shù) y = f-1(x) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱；
② 若點(diǎn)（a , b）在原函數(shù) y = f(x) 上，則點(diǎn) （b , a）必在其反函數(shù) y = f-1(x) 上；
③ 原函數(shù) y = f(x) 的定義域是它反函數(shù) y = f-1(x) 的值域；
原函數(shù) y = f(x) 的值域是它反函數(shù) y = f-1(x) 的定義域，
④ 原函數(shù)與反函數(shù)具有對(duì)應(yīng)相同的單調(diào)性；
⑤ 奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù) .
(3) 求反函數(shù)的步驟：
① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；
② x , y 互換，即寫出 y = f-1(x)；
③ 確定反函數(shù)的定義域 .
注：
若函數(shù) f(ax + b) 存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為 y = 1/a [ f-1(x) - b ] ,
而不是 y = f-1(ax + b) ,
函數(shù) y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函數(shù) .
4、對(duì)數(shù)函數(shù)
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)
就是指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
的反函數(shù) .
對(duì)數(shù)函數(shù)
的性質(zhì)：
① 對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax 的圖象都在 y 軸的右側(cè)，定義域（0，+∞），值域 R ；
② 對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax 的圖象都經(jīng)過點(diǎn) （1 , 0）；
③ 對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax （a > 1）:
當(dāng) x > 1 時(shí)，y > 0 ; 當(dāng) 0 < x < 1 時(shí)，y < 0 ;
對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax （0 < a < 1）:
當(dāng) x > 1 時(shí)，y < 0 ; 當(dāng) 0 < x < 1 時(shí)，y > 0 .
④ 對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax （a > 1）在 （0，+∞）上是增函數(shù)，
對(duì)數(shù)函數(shù) y = logax （0 < a < 1）在 （0，+∞）上是減函數(shù) .
二、習(xí)題檢測(cè)
【習(xí)題1】用定義證明：函數(shù) f(x) = x + 1/x 在 x∈[1 , +∞) 上是增函數(shù) .
【解析】
【習(xí)題2】已知函數(shù) f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在區(qū)間 [0 , 1] 有最大值 2，求實(shí)數(shù) a 的值 .
【解析】
解：函數(shù) f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的對(duì)稱軸為 x = a ,
① 當(dāng) a < 0 時(shí)，
[0 , 1] 是函數(shù) f(x) 的遞減區(qū)間，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得 a = -1 ;
② 當(dāng) a > 1 時(shí)，
[0 , 1] 是函數(shù) f(x) 的遞增區(qū)間，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;
③ 當(dāng) 0 ≤ a ≤ 1 時(shí)，
綜上所述，a = -1 或 2 .
【習(xí)題3】已知 2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函數(shù)
的最大值和最小值 .
【解析】
【習(xí)題4】已知 a > 0 且 a ≠ 1 , 求使方程
有解時(shí)的 k 的取值范圍 .
【解析】
∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .
【習(xí)題5】某商品進(jìn)貨單價(jià)為 40 元，若銷售價(jià)為 50 元，可賣出 50 個(gè)，如果銷售單價(jià)每漲 1 元，銷售量就減少 1 個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，則此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為多少元 .
【解析】
解：設(shè)最佳售價(jià)為 （50 + x ) 元，最大利潤(rùn)為 y 元，
y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40
= -x^2 + 40x + 500
當(dāng) x = 20 時(shí)，y 取得最大值，
∴ 應(yīng)定價(jià)為 70 元 .
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