離期中考試的時間已不足兩個星期，本講我們將等腰三角形中的三大模型，將軍飲馬，手拉手，兩圓一線 進行歸納總結(jié)！
1、模型再現(xiàn)
將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？
我們把俯視圖視角的問題抽象化，數(shù)學化，將河流看作一條直線l，軍營看作一個點，轉(zhuǎn)化為一個路程之和的最短問題．即如下圖：直線同側(cè)有兩點A，B，在直線上選取一點C，使得AC＋BC最短．
如果“將軍飲馬”問題不能很快回答，那么我們先看這個問題，假如軍營A，B在河的兩岸，那么這個點C在哪呢？
很簡單，連接AB，與直線l的交點即為點C．理由，兩點之間，線段最短．(當然也可以用三角形一邊小于兩邊之和)
那么回到原先的問題，即軍營A，B在河的同側(cè)，該如何思考就不難了．根據(jù)線段對稱性，只需作點A關(guān)于直線l的對稱點A’，連接A’B，與直線l的交點即為點C．
如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是12，AC的垂直平分線EF分別交AB，AC邊于點E，F(xiàn)．若點D為BC邊的中點，點P為線段EF上一動點，則△PCD周長的最小值為______．
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分線．
若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是_____．
1、模型再現(xiàn)
所有的手拉手模型，皆起源于下圖．
國家領(lǐng)導(dǎo)人外出訪問時，經(jīng)常與他國領(lǐng)導(dǎo)人采用這樣的握手方式，以示友好．那么上圖中，AC，BC，DC，EC即可看作兩個人的兩雙手臂，點C看作兩個人握在一起的四只手，是不是很形象？
那么，“兩個形狀相同的圖形，共用同一個頂點”，即可看作“手拉手模型”．更特殊的，符合“共頂點，兩對等線段”的圖形，也是常考的模型．
這里給出四個常見模型．
2、手拉手模型中的一些結(jié)論及證明
以共線，共頂點雙等邊三角形為例，
在八上階段可有以下幾個結(jié)論：
(1)△ADC≌△BEC
(2)∠AOB＝60°
(3)△APC≌BQC
(4)△ECQ≌△DCP
(5)△PCQ為等邊三角形
(6)PQ∥AE
(7)OC平分∠AOE
(8)OA＝OB＋OC
(9)OE＝OC＋OD
這里(3)(4)類似，(8)(9)較難，詳見2年前文章《八上第六講 初識手拉手模型》，故選取(2)(3)(7)進行證明!
結(jié)論(2)
法1：
由△ADC≌△BEC得，
∠1＝∠2，又∵∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．
法2：(捆綁旋轉(zhuǎn))
△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△BCE，
則AD也繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到BE，
其夾角為60°．
具體詳解可見《八上第一講 全等證明格式易錯分析（附“捆綁旋轉(zhuǎn)”秒殺一類全等填空題）》
結(jié)論(3)
由∠1＝∠2，AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°可證．
結(jié)論(7)
過點C作CM⊥AD，CN⊥BE．
兩個大小不同的等腰直角三角尺如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，點B、C、E在同一條直線上，連接DC．
(1)請找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母)；
(2)證明：DC⊥BE．
如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB＝AC，點E是BD上一點，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
(1)求證：∠ABD＝∠ACD；
(2)若∠ACB＝62°，求∠BDC的度數(shù)．
如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠BOC＝α，∠AOB＝β(α、β均不是銳角)，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
(1)當β＝110°，α＝120°時，∠OAD＝______．
(2)∠OAD與α、β之間的哪一個角度有關(guān)系？寫出關(guān)系式．
(3)當β＝100°，α等于多少時，△ADO是等腰三角形．
1、模型再現(xiàn)
平面內(nèi)有一條線段AB，請再找一點C，使△ABC為等腰三角形．
分析：
若以AB為底，則點C為頂角頂點，CA＝CB，所以想到點C在線段AB的中垂線上，作AB的中垂線．若以AB為腰，則點A可為頂角頂點，AC＝AB，想到以點A為圓心，AB長為半徑作圓．同理，可以以點B為圓心，BA長為半徑構(gòu)造．由于要形成三角形，三個點必須保證不共線，則去掉點A、點B，及下圖中，其余3個白色的點．而中垂線實質(zhì)上就是畫兩個圓后將交點相連的直線，因此，先畫兩個圓，一條中垂線自然出來，即“兩圓一線問題”．
Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，在直線BC或AC上取一點P，使△PAB為等腰三角形，符合題意的點P的有幾個？
Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，在直線BC或AC上取一點P，使△PAB為等腰三角形，符合題意的點P的有幾個？
如圖，A，B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且為等腰三角形，滿足條件的點C有______個．
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