獨(dú)立思考是突破顏值文化的唯一出路
古哥古點(diǎn) 2015年11月30日
《懸垂的繩子》
麥當(dāng)勞曾被傳出打算改名為金拱門(mén)，然而這兩個(gè)拱門(mén)的曲線(xiàn)卻是可以寫(xiě)出方程的。從古羅馬時(shí)期的凱旋門(mén)到中世紀(jì)的教堂拱頂，建筑師們采用的很多都是同一條曲線(xiàn)。它堅(jiān)固輕盈，堪稱(chēng)最佳的拱門(mén)外形。如果有人對(duì)這條曲線(xiàn)不熟悉的話(huà)，沒(méi)關(guān)系，把它反過(guò)來(lái)看就一定不會(huì)感到陌生，因?yàn)樗褪且粭l再尋常不過(guò)的懸鏈線(xiàn)。（Catenary）
懸鏈線(xiàn)顧名思義，就是把一根質(zhì)量均勻的鏈條或繩索的兩端懸掛起來(lái)之后自然垂下形成的曲線(xiàn)。人們?cè)缇妥⒁獾搅诉@類(lèi)曲線(xiàn)的存在，但直到17世紀(jì)才開(kāi)始認(rèn)真的探求這一曲線(xiàn)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。懸鏈線(xiàn)最標(biāo)準(zhǔn)的形態(tài)是把兩端固定在等高度的兩點(diǎn)后形成的，大家對(duì)此司空見(jiàn)慣，但是懸鏈線(xiàn)究竟是什么類(lèi)型的曲線(xiàn)呢？
很多人或許從直觀上會(huì)預(yù)測(cè)它是一條拋物線(xiàn)，因?yàn)榭雌饋?lái)的確很像，就連最早提及該問(wèn)題的物理學(xué)家伽利略也一度是這么認(rèn)為的。在1638年他所撰寫(xiě)的《兩個(gè)新科學(xué)》（TwoNew Sciences）一書(shū)中，伽利略提到懸鏈線(xiàn)可能就是一條拋物線(xiàn)。他在描述如何繪制這樣的曲線(xiàn)時(shí)寫(xiě)道：“另一個(gè)方法是在墻上釘兩個(gè)釘子保持相同的高度，在其上懸掛一根鏈條，它將被假定為具有拋物線(xiàn)的形態(tài)。”通過(guò)觀察，伽利略進(jìn)一步正確的指出當(dāng)懸鏈線(xiàn)拉伸的越扁平時(shí)，即曲率越小時(shí)，它與拋物線(xiàn)越難以區(qū)分。和伽利略同時(shí)期的笛卡爾（ReneDescartes）也有類(lèi)似的猜測(cè)。笛卡爾的朋友皮克曼（Beeckman）曾向他提出過(guò)關(guān)于懸掛繩索的問(wèn)題，笛卡爾在自己的筆記中注釋說(shuō)它們可能是某種圓錐曲線(xiàn)。顯然，封閉的橢圓不會(huì)是候選者，笛卡爾是把開(kāi)放型的拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)都放進(jìn)了懷疑名單，但他的猜想也僅止于此，沒(méi)有材料表明他在這個(gè)問(wèn)題上有過(guò)繼續(xù)的探討。此后幾十年間，幾位數(shù)學(xué)家使用不同的方式各自證明了懸鏈線(xiàn)并不等同于拋物線(xiàn)。1646年，荷蘭物理學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（ChristiaanHuygens）在與梅森（Marin Mersenne）的通信中給出了自己頗有想象力的證明方法。當(dāng)時(shí)的他還沒(méi)有微積分工具可用，就在懸鏈上加掛了一串虛擬小球來(lái)凸顯載荷分布的影響，并且用這種土辦法證明了如何改變真實(shí)世界中并不存在的繩子自重分布才能得到一條想要的拋物線(xiàn)。1673年耶穌會(huì)神父帕蒂斯（Ignace-GastonPardies）和1669年德國(guó)數(shù)學(xué)家約阿海姆·永弟（Joachim Jungius）也分別證明了懸鏈線(xiàn)不是拋物線(xiàn)的結(jié)論。相比較而言，帕蒂斯的證明最為優(yōu)雅，他使用了一個(gè)有趣的推論，懸鏈線(xiàn)上兩切線(xiàn)的交點(diǎn)應(yīng)該恰好通過(guò)整根線(xiàn)條的重心。這里可能有一個(gè)疑問(wèn)，參加過(guò)高中物理奧林匹克競(jìng)賽的人一定會(huì)有印象，在訓(xùn)練題目中就有計(jì)算懸鏈線(xiàn)方程的問(wèn)題，而其標(biāo)準(zhǔn)答案正是一條拋物線(xiàn)。這是怎么回事呢？因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)解法中，從繩索的微元靜力分析可以非常容易的推知懸鏈曲線(xiàn)方程的二階導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)常數(shù)λg/T，T是繩索的分布拉力，λ是質(zhì)量的線(xiàn)密度，由此方程的解當(dāng)然是一條拋物線(xiàn)。但這種解法存在著一個(gè)假設(shè)前提，即一段繩子的質(zhì)量不是正比于它的長(zhǎng)度而是正比于它在水平方向的投影長(zhǎng)度。這個(gè)假設(shè)至關(guān)重要，它大大簡(jiǎn)化了推導(dǎo)復(fù)雜度，讓微元運(yùn)算一下子就湊出二階導(dǎo)數(shù)形式。不過(guò)這只能是一種近似，繩段總長(zhǎng)度當(dāng)然不等于投影長(zhǎng)度，兩者誤差只有在線(xiàn)條非常扁平時(shí)才相對(duì)較小。這就是伽利略所觀察到的情況，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)我們的大伽利略只遺憾的弄錯(cuò)了一點(diǎn)點(diǎn)。也正因?yàn)槿绱?，在橋梁建筑設(shè)計(jì)中，懸索橋的曲線(xiàn)計(jì)算總是是介于拋物線(xiàn)和懸鏈線(xiàn)兩種形態(tài)的方程之間。如果橋板本身重量遠(yuǎn)大于懸索自重，則可認(rèn)為懸索負(fù)載絕大部分集中在水平投影方向上，此時(shí)用拋物線(xiàn)模擬的精度是足夠的。如果分析的是簡(jiǎn)易懸索橋，橋身很輕，重量遠(yuǎn)不及懸索自重，則應(yīng)該視其曲線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)懸鏈線(xiàn)。
永弟證明（Robert Hooke）懸鏈線(xiàn)不是拋物線(xiàn)的兩年后，大名鼎鼎的羅伯特·胡克（Robert Hooke）出場(chǎng)了。這位以建立彈性定律而聞名的科學(xué)家一生科學(xué)發(fā)現(xiàn)甚多，但是他卻是一個(gè)脾氣極差的人，不僅容易狂躁，而且對(duì)同行們充滿(mǎn)了警惕和嫉妒心，比如他和牛頓就曾因?yàn)橐ζ椒椒幢纫?guī)律的首先發(fā)明權(quán)而爭(zhēng)吵不休。胡克特別喜歡使用一種叫做“置換”（anagram）的密碼技巧。所謂置換就是文字的重排游戲，把一句話(huà)的字母重新打亂排序后變成另一句含義完全不相干的話(huà)，以起到加密作用。在十七世紀(jì)，這樣的加密做法非常普遍，伽利略等很多名人都常常這么做，有時(shí)是為了對(duì)付教會(huì)的迫害，有時(shí)則是為了故意隱藏自己的學(xué)術(shù)發(fā)現(xiàn)。這樣，當(dāng)后來(lái)者做出相同的成果后，前面的人就會(huì)拿出置換密語(yǔ)加以解密后證明自己早已完成有關(guān)研究，以此來(lái)消遣對(duì)方。胡克的彈性定律發(fā)表時(shí)就是用置換密語(yǔ)寫(xiě)下的，在懸鏈線(xiàn)計(jì)算問(wèn)題上他也玩了這么一手。當(dāng)時(shí)，身兼多職的胡克要為圣保羅大教堂的修繕計(jì)算拱頂形狀，他宣稱(chēng)自己已經(jīng)徹底在數(shù)學(xué)和力學(xué)方面解決了最佳拱頂?shù)耐庑螁?wèn)題。幾年后，他發(fā)表了這一成果，只是相關(guān)內(nèi)容是用隱文寫(xiě)下的。一直到1705年胡克死后，他的遺囑執(zhí)行人才公開(kāi)了他此前寫(xiě)下的話(huà)，明文意為“最佳的拱形曲線(xiàn)就是把自由懸掛線(xiàn)給反過(guò)來(lái)?！?/span>
胡克并沒(méi)有用解析形式給出懸鏈線(xiàn)表達(dá)，完成這一任務(wù)的是稍后的惠更斯、萊布尼茲（Gottfried WilhelmLeibniz）和他的學(xué)生約翰·伯努利（Johann Bernoulli）。約翰·伯努利和他的哥哥雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）都是伯努利家族的數(shù)學(xué)奇才，約翰的早期數(shù)學(xué)功課還是雅克布輔導(dǎo)教授的。但隨著約翰的成長(zhǎng)，兄弟之間開(kāi)始出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)的氣氛，彼此經(jīng)?；ハ喑鲭y題挑戰(zhàn)對(duì)方，這也是當(dāng)時(shí)歐洲的學(xué)術(shù)圈子熱衷的智力競(jìng)賽形式。不過(guò)這兄弟倆實(shí)在太過(guò)投入，到1697年他們的關(guān)系因這種競(jìng)賽而瀕臨崩潰。在1690年，雅克布公布了一道挑戰(zhàn)題目即計(jì)算自由懸垂的繩子形狀。當(dāng)時(shí)，伯努利兄弟都不知道已經(jīng)有人證明了拋物線(xiàn)不同于懸鏈線(xiàn)的結(jié)論。雅克布一心想著利用拋物線(xiàn)作為基礎(chǔ)來(lái)推導(dǎo)懸鏈線(xiàn)的方程，這當(dāng)然是毫無(wú)可能的，在苦思無(wú)計(jì)的情況下，雅克布就把這一題目以挑戰(zhàn)形式加以發(fā)表。一年后，弟弟約翰和萊布尼茲以及前面提到過(guò)的惠更斯都對(duì)該挑戰(zhàn)給出了正確的解答。人盡皆知，萊布尼茨和牛頓因?yàn)槲⒎e分的發(fā)明權(quán)爭(zhēng)的不可開(kāi)交，作為萊布尼茲的學(xué)生，約翰·伯努利也全力支持自己的老師。不過(guò)，在懸鏈線(xiàn)計(jì)算問(wèn)題上，師徒兩人卻似乎走了迥然不同的兩條路徑。萊布尼茨并沒(méi)有利用自己發(fā)明的當(dāng)時(shí)還顯得模糊的微積分作為工具加以計(jì)算，反而使用的是傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖法。他利用兩條不等長(zhǎng)的隨機(jī)線(xiàn)段作為元素反復(fù)進(jìn)行尺規(guī)操作，在坐標(biāo)圖上繪制出一系列的點(diǎn)且不斷加密，最后這些點(diǎn)集構(gòu)成的就是一條懸鏈線(xiàn)。今天可以證明，當(dāng)這兩條隨機(jī)線(xiàn)段的長(zhǎng)度比值是一個(gè)特定常數(shù)時(shí)，萊布尼茲是正確的，他繪制的點(diǎn)的確分布在懸鏈線(xiàn)上。人們非常好奇，萊布尼茲神奇的大腦當(dāng)初是如何想到這種古怪方法的，其思想的驅(qū)動(dòng)源頭在哪里？可惜的是，以現(xiàn)有的資料來(lái)看已經(jīng)無(wú)從得知，唯一的可能推斷是他從懸鏈線(xiàn)會(huì)把自己的分布等效重心放置的盡可能低這一理念出發(fā)完成了尺規(guī)作圖設(shè)計(jì)。
惠更斯和萊布尼茨當(dāng)初的解法示意圖
相比之下，約翰·伯努利對(duì)微積分的運(yùn)用至少在這一題目上更加熟練，他正確的給出了懸鏈線(xiàn)的解析形式。懸鏈線(xiàn)是一條雙曲余弦曲線(xiàn)，雙曲余弦就是指數(shù)曲線(xiàn)e的x次方和其對(duì)偶曲線(xiàn)e的-x次方的平均曲線(xiàn)。在約翰·伯努利時(shí)期還沒(méi)有出現(xiàn)雙曲三角函數(shù)這樣的術(shù)語(yǔ)，甚至連e的定義也是由他的哥哥雅克布完成的，所以約翰給出的方程只是一個(gè)正確的微分形式，但這已足以讓他認(rèn)識(shí)到懸鏈線(xiàn)是一條超越曲線(xiàn)，而不是他哥哥雅克布苦苦追求的拋物線(xiàn)。至于已經(jīng)在懸鏈線(xiàn)問(wèn)題上盤(pán)桓已久的惠更斯，這次依然受制于數(shù)學(xué)工具的限制而未能寫(xiě)出曲線(xiàn)方程，但是他列出了大量的關(guān)于懸鏈線(xiàn)的數(shù)學(xué)推論，顯示他確實(shí)對(duì)這條曲線(xiàn)有了充分的掌握?；莞?、萊布尼茲和約翰·伯努利三人相比，當(dāng)然要屬約翰的解最為徹底。
懸鏈線(xiàn)有許多奇妙的地方，比如說(shuō)著名的正方形車(chē)輪游戲。如果古代人把車(chē)輪設(shè)計(jì)成了正方形，那坐車(chē)的人肯定要受罪了，因?yàn)樵谄教孤访嫔蠞L動(dòng)的正方形，其中心會(huì)時(shí)刻發(fā)生高度的改變。有個(gè)聰明的犟眼子，他不愿意用車(chē)輪就乎路面，把輪子改回簡(jiǎn)單的圓，而是打算用路面就乎輪子，讓道路波浪起伏以保證每一時(shí)刻正方形的中心都會(huì)因路面高度的補(bǔ)償而維持在同樣的水平線(xiàn)上。能不能做到呢？能，只要讓波浪線(xiàn)符合一段一段的懸鏈線(xiàn)方程，正方形車(chē)輪一樣可以在這樣膈應(yīng)的路面上暢通無(wú)阻。其實(shí)，這個(gè)結(jié)論可以拓展到任意正多邊形車(chē)輪，它們要保持平穩(wěn)行駛，路面都得是精心拼接的懸鏈線(xiàn)段。
只要路面設(shè)計(jì)成恰當(dāng)?shù)膽益溇€(xiàn)波浪，正方形車(chē)輪也可以平穩(wěn)騎行
神奇之處還不止于此。如果把指數(shù)曲線(xiàn)e的x次方看成一面彎曲的鏡子，讓無(wú)數(shù)條平行光線(xiàn)從正上方照射到這一曲線(xiàn)鏡面上經(jīng)過(guò)反射后向外飛出。當(dāng)把所有的反射線(xiàn)條全都繪制出來(lái)以后，反射光的包絡(luò)線(xiàn)也就是反射光所能照亮區(qū)域的邊界就是一條懸鏈線(xiàn)。前面提到的伯努利兄弟在最速降線(xiàn)問(wèn)題上曾做出過(guò)突出貢獻(xiàn)。所謂最速降線(xiàn)就是任取空間中一高一低的AB兩點(diǎn)，假設(shè)在AB間搭建一條任意形狀的絕對(duì)光滑的軌道，讓小球從A點(diǎn)滑下沿軌道來(lái)到B點(diǎn)。在所有的可能路徑中，使小球用時(shí)最短的那條路線(xiàn)就被稱(chēng)為最速降線(xiàn)。最速降線(xiàn)問(wèn)題的研究草圖看起來(lái)很像一條條懸掛的繩索，或許伯努利兄弟正是從此由最速降線(xiàn)問(wèn)題分支到了對(duì)懸鏈線(xiàn)的研究也說(shuō)不定。對(duì)于最速降線(xiàn)問(wèn)題，我們會(huì)在以后的節(jié)目中專(zhuān)門(mén)介紹，這里只給出結(jié)論，最速降線(xiàn)就是一條擺線(xiàn)。所謂擺線(xiàn)是在一個(gè)半徑為R的圓周上標(biāo)記一個(gè)點(diǎn)P，當(dāng)該圓沿著平坦地面無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，P所劃過(guò)的空間軌跡就是擺線(xiàn)。這種以定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡表示曲線(xiàn)的方法非常形象，受到人們的喜歡，被稱(chēng)作旋動(dòng)線(xiàn)（roulette）。人們發(fā)現(xiàn)懸鏈線(xiàn)也屬于這樣的旋動(dòng)線(xiàn)。它的旋動(dòng)方式剛好要用到它的近親拋物線(xiàn)，當(dāng)一個(gè)拋物線(xiàn)外形的車(chē)輪沿著平坦路面無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，其焦點(diǎn)經(jīng)過(guò)的軌道恰好就形成了一條懸鏈線(xiàn)。
如果把自由吊掛形成的懸鏈線(xiàn)連同其最低點(diǎn)下方的水平X軸豎立起來(lái)，然而讓豎直的懸鏈線(xiàn)圍繞豎直的x軸旋轉(zhuǎn)一周，這樣掃掠而成的曲面叫做懸鏈面。大家可能都聽(tīng)到過(guò)那個(gè)有名的關(guān)于懸鏈面的例子。把兩個(gè)等半徑的鐵絲圓環(huán)一上一下排列伸入肥皂水當(dāng)中，輕輕拉開(kāi)兩圓環(huán)的間距扯出一張肥皂膜出來(lái)。肥皂膜自然張成的彎曲表面就是懸鏈面。之所以會(huì)如此是因?yàn)樵砟ぴ诒砻鎻埩ψ饔孟聲?huì)形成最小曲面，懸鏈面剛好是這一邊界條件下的最小曲面。這一結(jié)論在1776年第一次由歐拉加以證明。不過(guò)，這個(gè)廣為流傳的說(shuō)法有一個(gè)細(xì)小的瑕疵。所謂最小曲面并不等同于表面積最小的曲面。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)，最小曲面是一個(gè)局部定義而非全局概念。它指的是在一個(gè)曲面上，如果任意一點(diǎn)的鄰域范圍都處在表面積最小狀態(tài)，則該曲面就被稱(chēng)為最小曲面?，F(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在相同條件下有可能存在多個(gè)最小曲面。此時(shí)如果用總表面積最小作為一種限定就得排除掉一些最小曲面，顯然這是不符合定義的。即使是雙圓環(huán)皂膜這個(gè)經(jīng)典例子也可以發(fā)現(xiàn)在有些參數(shù)條件下，兩圓環(huán)皂膜如果直接限縮為上下兩個(gè)圓，其總面積有可能比懸鏈面更小，但這樣的兩個(gè)分開(kāi)的圓面卻并非最小曲面。
肥皂膜隨著間距的拉開(kāi)變得越來(lái)越向內(nèi)凹陷
在幾何上，最小曲面有一個(gè)常用的等價(jià)定義，就是平均曲率處處為零的曲面。平均曲率該怎樣理解呢？還是回到雙圓環(huán)皂膜實(shí)驗(yàn)。當(dāng)兩圓環(huán)間距很小時(shí)，此時(shí)的皂膜在腰部向內(nèi)彎曲的量很少，整體近似為一個(gè)圓柱面。隨著圓環(huán)的拉開(kāi)，皂膜腰部向內(nèi)凹陷的程度越來(lái)越深，這就是平均曲率在發(fā)揮作用。懸鏈面的橫截面是一個(gè)個(gè)的圓，其側(cè)向剖面，也就是數(shù)學(xué)上說(shuō)的母線(xiàn)是一條懸鏈線(xiàn)。當(dāng)圓環(huán)間距拉開(kāi)時(shí)，從兩側(cè)向中心，截面圓的半徑迅速變小，也可以說(shuō)這一橫向曲率在快速變大，這一維度的彎曲越來(lái)越厲害。為了保證平均曲率為零，另一個(gè)維度的母線(xiàn)曲率也必須同步增加，這樣才能從相反方向用同等強(qiáng)度抵消橫向曲率的增長(zhǎng)。母線(xiàn)和橫截圓就像經(jīng)緯線(xiàn)編織在一起，他們的曲率同步增減，始終維持著零和博弈，其結(jié)果就是觀察者看到的肥皂膜演變規(guī)律。
前一段時(shí)間，關(guān)于懸鏈線(xiàn)還鬧出了一個(gè)不大不小的新聞。執(zhí)著的陜西岐山縣農(nóng)民傅可一從70年代開(kāi)始就醉心于研究懸鏈線(xiàn)方程。據(jù)說(shuō)，他是1975年有一次在工廠(chǎng)生活區(qū)門(mén)口準(zhǔn)備看電影時(shí)，看到了一長(zhǎng)串彩燈激發(fā)了靈感，從此孜孜以求。多年間，他和陜西一些高校的數(shù)學(xué)老師通信，爭(zhēng)取他們對(duì)其研究結(jié)果的認(rèn)可。盡管有不少專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)研究者肯定了其方程的正確卻否定了其重復(fù)研究的意義，他還是在苦苦堅(jiān)持。最終他被媒體發(fā)現(xiàn)而遭到一輪熱捧，在《中國(guó)報(bào)告文學(xué)》2015年第二期上，專(zhuān)門(mén)有一篇名為《數(shù)學(xué)界又一里程碑》的文章對(duì)其進(jìn)行了盛贊。部分媒體的溢美之詞聽(tīng)完之后真的令人恨不得自己把自己掛在懸垂鏈上。任何對(duì)知識(shí)的渴望都值得被稱(chēng)贊，但如果真想進(jìn)入嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，系統(tǒng)性的預(yù)先學(xué)習(xí)是不可避免的，恐怕這個(gè)過(guò)程也會(huì)是艱難而枯燥的。自從200多年前人們找到了懸鏈面這第一個(gè)最小曲面后，現(xiàn)代數(shù)學(xué)界對(duì)最小曲面的認(rèn)知已經(jīng)越來(lái)越深入，許多稀奇古怪的帶有大量折疊和孔洞的最小曲面被不可思議的找到，最小曲面理論也已經(jīng)推廣到流形層面。這其中和這背后仍大有可為，但在施展之前，需要認(rèn)真的沿著前人的軌跡好好走一遍。或者，不想往深度發(fā)展，也可以做一些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)性工作。前面提到過(guò)，拱和懸垂鏈一個(gè)承受壓力一個(gè)承受拉力，構(gòu)成了對(duì)稱(chēng)的兩大形態(tài)。既然繩索在自然承拉時(shí)會(huì)形成懸鏈線(xiàn)，與之對(duì)稱(chēng)的拱結(jié)構(gòu)在承壓時(shí)就被認(rèn)為是優(yōu)化的，古代建筑師們?cè)缫呀?jīng)在實(shí)踐中這樣做了。對(duì)這個(gè)一直以來(lái)的結(jié)論，巴塞羅那建筑學(xué)院的團(tuán)隊(duì)就不愿意輕信。
桂爾宮大門(mén)輪廓線(xiàn)擬合情況。紅色為懸鏈線(xiàn)，綠色為拋物線(xiàn)，淺藍(lán)色為正圓，深藍(lán)色為雙曲線(xiàn)?？梢钥吹?，任何類(lèi)型的曲線(xiàn)吻合度都不算完美
他們對(duì)大量的建筑拱門(mén)進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量和數(shù)據(jù)擬合，想看看有多少例子符合拋物線(xiàn)外形，有多少例子使用的真是懸鏈線(xiàn)。結(jié)果證實(shí)，采用拋物線(xiàn)、懸鏈線(xiàn)外形的拱門(mén)實(shí)例都有不少，還有一些竟然更匹配于雙曲線(xiàn)，就像笛卡爾的猜測(cè)一樣。至于和任何已知曲線(xiàn)都不搭的四不像的例子也存在，巴塞羅那桂爾宮（PalauGüell）的大門(mén)就是如此。這也許是施工工人在建筑時(shí)帶來(lái)的偏差，但更有可能是設(shè)計(jì)師的故意而為。畢竟人不是垂下的繩子，人是可以有自由意志的。這種平淡的驗(yàn)證和較真兒的勁頭看起來(lái)瑣碎，但它其實(shí)是支撐觀念進(jìn)步的真正的金拱門(mén)。
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