-01-拉馬努金恒等式

2016年4月8日在英國上映了一部名叫《知無涯者》的電影。電影講述了印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887.12.22~1920.4.26），

短暫而傳奇的一生。拉馬努金出生貧寒，沒有受過專門的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，但天資聰穎，完全靠自學(xué)。直到1913年，得到英國數(shù)學(xué)家哈代的賞識，他的數(shù)學(xué)才華大放異彩。但他不同于傳統(tǒng)意義上數(shù)學(xué)家，他的成果往往是憑直覺得到，只有結(jié)論，而沒有證明。他短暫的一生發(fā)現(xiàn)了3900條數(shù)學(xué)公式和命題，許多結(jié)果完全是新穎的、原始的和非傳統(tǒng)的，但被后續(xù)證明他的結(jié)論都是正確的。

本文要介紹的這個恒等式，就是拉馬努金流傳最廣的成果之一。先看這個恒等式的一邊：

我相信大多數(shù)人能按照這個式子的規(guī)律接著寫下去，但會發(fā)現(xiàn)這是無窮盡的，并且很好奇這個式子的結(jié)果到底是多少？

拉馬努金說，這個式子的結(jié)果等于3。

他對形如上式的無窮二次根式，進行深入研究得到這個結(jié)果，并且將此發(fā)表在《印度數(shù)學(xué)會刊》上征集證明，數(shù)月內(nèi)無人能應(yīng)。

-02-拉馬努金恒等式的數(shù)學(xué)邏輯

下面我們以今天中學(xué)生的認(rèn)知來看其中的數(shù)學(xué)邏輯：

3=√9。。。。。一層根號

=√1+8

=√1+2x4

=√1+2√16。。。。二層根號

=√1+2√1+15

=√1+2√1+3x5

=√1+2√1+3√25。。三層根號

=√1+2√1+3√1+24

=√1+2√1+3√1+4x6

=√1+2√1+3√1+4√36。四層根號

。。。。。。

由此不難發(fā)現(xiàn)：將3拆分后，含n層根號時，3=

√1+2√1+。。。n√（n+2）2

。。。n層根號

驗證一下，n=10時（由外向內(nèi)數(shù)，含10層根號），壯觀景象：

第10層根號里的數(shù)：

122=144；

第9層根號里的數(shù)：

112=121；

第8層根號里的數(shù)：

102=100；

。。。

第3層根號里的數(shù)：

52=25；

第2層根號里的數(shù)：

42=144；

第1層根號里的數(shù)：

32=9；

√9=3

理所當(dāng)然是個恒等式。

-03-拉馬努金恒等式的數(shù)學(xué)證明

問題來了，正整數(shù)3可以象這樣用二次根式進行無窮拆分，那么其他正整數(shù)呢？他是怎么想到了呢？

平方差公式是初中代數(shù)中的最基本的公式之一：

a2-1=(a-1)(a+1)；

變形得

a2=1+(a-1)(a+1)；

即

a=√1+(a-1)(a+1)。

建立一個關(guān)于a的函數(shù)：

F（a）=a=√1+(a-1)(a+1)，則

F（a+1）=a+1

=√1+(a+1-1)(a+1+1)

=√1+a(a+2)

=√1+aF(a+2)，

F（a+2）=a+2

=√1+(a+2-1)(a+2+1)

=√1+(a+1)(a+3)

=√1+(a+1)F(a+3),

F（a+3）=a+3

=√1+(a+3-1)(a+3+1)

=√1+(a+2)(a+4)

=√1+(a+2)F(a+4)，

...

F（a+n）=a+n

=√1+(a+n-1)(a+n+1)

=√1+(a+n-1)F(a+n+1)，

...

通過層層嵌套，得到

F(a)=√1+(a-1)F(a+1)

=√1+(a-1)√1+aF(a+2)

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3)

...

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。

即

其中，a為正整數(shù)。

當(dāng)a=2時，得到

當(dāng)a=3時，得到

當(dāng)a=4時，得到

由此，可以把任意一個正整數(shù)，用二次根式有規(guī)律地?zé)o窮展開。

所以拉馬努金恒等式，更一般的形式是：

-04-結(jié)語

利用平方差公式和函數(shù)嵌套（復(fù)合函數(shù)）的思想，可以來說明他的正確性。雖然初中不提函數(shù)嵌套（復(fù)合函數(shù)）這種說法，但“整體思想”已經(jīng)具備其雛形，所以上述證明過程，數(shù)學(xué)程度稍好的同學(xué)也可以看懂。

拉馬努金沒有受過正規(guī)的高等數(shù)學(xué)教育，但他靠自學(xué)沉湎于數(shù)論，尤其鐘愛涉及π、質(zhì)數(shù)等數(shù)學(xué)常數(shù)的求和公式和整數(shù)分拆。特別是他對數(shù)的直覺（數(shù)感）常常令人稱奇，以至于亦師亦友的哈代感嘆說：“我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，拉馬努金則發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造了數(shù)學(xué)?！?/p>