完備性：中的柯西序列收斂。
列緊性：對于集合，若
內(nèi)的任意序列有收斂的子序列，則稱
有列緊性或稱是列緊的。
緊性：對于集合，若
的任意開覆蓋可選出有限覆蓋，則稱有緊性或稱是緊的。
描述實(shí)數(shù)完備性的定理:
1.柯西原理(波爾查諾-柯西)：
中的柯西序列收斂。
證明：用區(qū)間套定理證明。
設(shè)為R中的柯西序列。那么存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，即；對于正整數(shù)k>1，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，即。
構(gòu)造區(qū)間套，其中；對于正整數(shù)k>1，。
易知。又易知，。所以由區(qū)間套定理知，該區(qū)間套有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為。
下面證明序列收斂于c。
易知對于任意正數(shù)，存在正整數(shù)K，使得。由上述區(qū)間套的定義知,對于任意,。又，故。所以收斂于c。
2.確界原理:
R的有界子集存在確界。
證明:用柯西原理證明。
僅需證明有上界的集合存在上確界，下確界存在性的證明是類似的。
設(shè)集合A上有界，集合為A上界集為X。
（1）若A有最大值，則最大值即為上確界。
（2）若A無最大值。
首先，證明集合A中的元素和集合X元素的差可以任意小。反證法：設(shè)。假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對于成立。那么，則不是A的上界，。假設(shè)對正整數(shù)k,有，那么同理。由歸納原理，對任意自然數(shù)n有。那么由阿基米德原理知A無上界，與A上有界的條件矛盾。因此對于任意正數(shù)δ，存在，使得。
構(gòu)造柯西序列。取且滿足。對正整數(shù)k>1，取且滿足。
對此處選區(qū)方法做一個(gè)詳細(xì)解釋。設(shè)集合。由于A沒有最大值，Ak非空且。顯然Ak上有界且其上界集也是X。那么存在,,使得。這里由于，；由于，。若，令；否則令。這樣。
那么對于任意正數(shù)，取,那么對，。所以是柯西序列。根據(jù)柯西原理，收斂，設(shè)。構(gòu)造的子序列和，定義為，。易知由的奇數(shù)下標(biāo)項(xiàng)組成，對所有正整數(shù)n成立；由的偶數(shù)下標(biāo)項(xiàng)組成，對所有正整數(shù)n成立。故。
下面證明是A的上確界。
易知且嚴(yán)格單調(diào)遞增，故。設(shè)存在和非負(fù)數(shù),使得。存在正整數(shù)N,使得，由于是A的一個(gè)上界且A無最大值，不可能成立。所以， 是 A的上界。對于任意正數(shù)，存在存在正整數(shù)N，使得，所以任意小于的實(shí)數(shù)不是A的上界。綜上，是集合A的上確界。
3.單調(diào)收斂定理:
R中的單調(diào)有界序列必收斂。
證明:用確界原理證明。
僅對單調(diào)遞增的序列證明，單調(diào)遞減序列的證明是類似的。
設(shè)是單調(diào)遞增的序列且上有界。由確界原理知由上確界，設(shè)。
下面證明收斂于。
對任意正數(shù)，不是的上界。所以存在正整數(shù)N，使得。對n>N, ,由極限定義知收斂于。
4.區(qū)間套定理(柯西-康托爾):
R中長度趨于0的區(qū)間套有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。
證明:用單調(diào)收斂定理證明。
設(shè)，。易知單調(diào)遞增且上有界，單調(diào)遞減且下有界。所以和收斂。設(shè)。。所以和收斂于同一數(shù)，設(shè)。
下面證明是所有區(qū)間的唯一公共點(diǎn)，即。
由單調(diào)收斂定理知，所以，即。對于任意正實(shí)數(shù)，存在正整數(shù)N,使得，所以任意不等于的實(shí)數(shù)都不包含在中。所以是區(qū)間套的唯一公共點(diǎn)。
（或:用聚點(diǎn)定理證明。區(qū)間套的端點(diǎn)集合是有界的，用聚點(diǎn)定理可知其聚點(diǎn)存在。證明區(qū)間的每個(gè)大于等于某個(gè)左端點(diǎn)的數(shù)或每個(gè)小于等于某個(gè)右端點(diǎn)的數(shù)不是聚點(diǎn)都不是聚點(diǎn)，那么聚點(diǎn)只能是在所有區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)。）
（或:用列緊定理證明。用區(qū)間左右端點(diǎn)分別構(gòu)造一個(gè)序列。它們是有界的，存在收斂的子序列，根據(jù)這兩個(gè)序列的單調(diào)性得出原序列也是收斂的，它們收斂于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是區(qū)間套的公共點(diǎn)。）
描述實(shí)數(shù)列緊性的定理:
1.列緊定理(波爾查諾-魏爾斯特拉斯):
R的無窮有界子集是列緊的。
證明:用區(qū)間套定理證明。
取一個(gè)R的無窮有界集合S，在構(gòu)造包含于它的序列,設(shè)的象集為。
(1)X是有限集。
假設(shè)X中的每個(gè)元素都只有有限個(gè)下標(biāo)與之對應(yīng)，那么由于X的元素個(gè)數(shù)
有限，下標(biāo)個(gè)數(shù)就也是有限的。但是下標(biāo)數(shù)是自然數(shù)的個(gè)數(shù)，應(yīng)該是無限的，矛盾。所以必存在X的某個(gè)元素c對應(yīng)于無窮多個(gè)下標(biāo)。把這些下標(biāo)取出便得到了一個(gè)值為x的常序列，顯然它是收斂于c的。
(2)X是無限集。
集合X是有界的，設(shè)X包含在區(qū)間[a,b]中。構(gòu)造區(qū)間套。設(shè)。對正整數(shù)k>1,若已定義且包含無窮多集合X的點(diǎn)，那么和至少有一個(gè)包含了無窮多集合X的點(diǎn)。那么可以定義如下：若包含了無窮多集合X的點(diǎn)，那么令；否則。這樣也包含了無窮多集合X的點(diǎn)。由歸納原理知區(qū)間套是可定義的，且每個(gè)區(qū)間中都包含了無窮多集合X的點(diǎn)。
區(qū)間套的長度為，易知。那么由區(qū)間套定理知，存在實(shí)數(shù)，滿足。
下面構(gòu)造一個(gè)X中的序列，該序列收斂于。
定義如下：對每個(gè)，任取。因?yàn)?span lang="EN-US">，。因?yàn)?span lang="EN-US">，所以對于任意正數(shù)，存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，。那么根據(jù)極限的定義，收斂于。
（或:用致密性定理:元素個(gè)數(shù)無限時(shí)，選出元素互不相同的序列，再選出收斂子列，顯然該子列就是集合的收斂的序列）
（或:用聚點(diǎn)定理證明。元素個(gè)數(shù)無限時(shí)，用聚點(diǎn)定理得到聚點(diǎn)的存在性，再構(gòu)造一個(gè)收斂于聚點(diǎn)的序列）
（或:用單調(diào)收斂定理證明。選出單調(diào)子列，馬里蘭大學(xué)Fitzpatrick所著《高等微積分》的證法）
2.聚點(diǎn)定理(波爾查諾-魏爾斯特拉斯):
R的有界無限子集存在聚點(diǎn)(極限點(diǎn))。
證明:用列緊定理證明。
從集合中選出一個(gè)元素互不相同的序列(因?yàn)槭菬o限集，所以可以做到)，由列緊定理得到一個(gè)收斂的子序列，顯然此序列的極限是集合的聚點(diǎn)。
（或：用有限覆蓋定理證明。假設(shè)不存在聚點(diǎn)，那么每個(gè)點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，那么集合是閉集，有限覆蓋定理成立。每個(gè)孤立點(diǎn)都存在一個(gè)不包含任何其他點(diǎn)的鄰域，這些鄰域的集合是一個(gè)開覆蓋，而這個(gè)開覆蓋顯然不存在有限覆蓋，因?yàn)辄c(diǎn)和鄰域是一對一的。那么這與有限覆蓋定理矛盾，所以聚點(diǎn)必然存在。）
3.致密性定理(波爾查諾-魏爾斯特拉斯):
R的有界序列存在收斂的子序列。
證明：用聚點(diǎn)定理。
設(shè)是R的有界序列。設(shè)的象集是X。
(1) X是有限集。
顯然此時(shí)存在一個(gè)數(shù)a對應(yīng)了無窮個(gè)下標(biāo)，取出這些下標(biāo)便得到一個(gè)收斂到a的常序列。
(2) X是無限集。
因?yàn)?span lang="EN-US">是R的有界序列，集X顯然是有界的。所以由聚點(diǎn)定理知，集X存在聚點(diǎn)，設(shè)集X的一個(gè)聚點(diǎn)為x。根據(jù)聚點(diǎn)的定義，存在正整數(shù)，使得；對于正整數(shù)k>1，存在正整數(shù)，使得(注:對上述存在的必然性的說明。若上述要求的不存在，那么點(diǎn)x的鄰域中包含的X中的點(diǎn)的數(shù)目便不超過，是有限的；但是聚點(diǎn)的概念蘊(yùn)涵該鄰域必然包含無窮多X中的點(diǎn)，矛盾。)這樣，根據(jù)歸納原理，便構(gòu)造出了的一個(gè)子序列。
下面證明收斂于x。
對于任意正數(shù)，取正整數(shù)。當(dāng)n>N, 。即。所以收斂于x。
描述實(shí)數(shù)緊性的定理:
有限覆蓋定理(博雷爾-勒貝格):
R中的有界閉集是緊的。
證明:用致密性定理證明。
設(shè)集合X是有界閉集。根據(jù)林德勒夫覆蓋定理(見Apostol的《數(shù)學(xué)分析》)，任何X的無限開覆蓋可選出一個(gè)可數(shù)的開覆蓋，設(shè)。
假設(shè)不能選出有限覆蓋，可以選出不被覆蓋的點(diǎn)；那么任意正整數(shù)k>1，存在不被覆蓋的點(diǎn)且滿足(這里可以選出這樣的。假設(shè)不存在這樣的，那么不被覆蓋的點(diǎn)的數(shù)目只有不超過k-1個(gè)，那么便可選出有限覆蓋，與假設(shè)矛盾)。那么便構(gòu)造出了集X的序列，其中下標(biāo)n表示不被覆蓋，并且序列的元素互異。
因?yàn)榧?span lang="EN-US">X有界，所以集合有界。根據(jù)致密性定理，存在收斂的子序列，設(shè)收斂到點(diǎn)x。那么由于序列元素互異，點(diǎn)x是集合X的聚點(diǎn)。因?yàn)榧?span lang="EN-US">X是閉集，所以。那么由于易知存在正整數(shù)N，使得。因?yàn)?span lang="EN-US">中的集合是開集，中的每個(gè)集合都是中部分元素并集，所以是開集。所以存在正數(shù)，使得。由極限的定義，存在正整數(shù)K，使得且。因?yàn)?span lang="EN-US">，所以。但是因?yàn)?span lang="EN-US">，所以。又由序列的定義知，所以又有，矛盾。所以必能選出有限覆蓋。
以上各定理關(guān)系如圖：
列緊?有界
列緊閉集?有界閉集?緊集
附注：關(guān)于有理數(shù)集與實(shí)數(shù)集的差別
有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集都是代數(shù)域，都是有序的，都是有度量的。
實(shí)數(shù)集實(shí)際上是在有理數(shù)集的基礎(chǔ)上增加了一些“點(diǎn)”，這些“點(diǎn)”填充了有理數(shù)集的“空隙”。
有理數(shù)集的“空隙”體現(xiàn)在有理數(shù)集的：
(1)柯西序列不一定收斂
(2)有界子集不一定有確界
(3)單調(diào)有界序列不一定收斂
(4)長度趨于零區(qū)間套可能沒有公共點(diǎn)
(5)有界子集不一定能選出收斂的序列
(6)有界無限子集不一定存在聚點(diǎn)
(7)某些開覆蓋不能選出有限覆蓋
