如圖，直線和橢圓的位置關(guān)系有三種：
分別是相離、相切、相交.我們一般是通過直線方程和橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，利用判別式來判斷直線和橢圓交點的個數(shù).
比如下面這道十年前的高考題：
這道題常見的解法是：
這個解法看起來是很簡單的，不過“化簡可得”這四個字背后的艱辛是誰化誰知道呀，如果一個同學(xué)計算能力不強(qiáng)，在考場上這道題放棄的可能性是很大的，因為他怕辛辛苦苦算出來之后沒有選項，還不如猜個答案.
而且高考中我們很少在一道小題中就聯(lián)立直線和二次曲線，因為大題已經(jīng)考了，小題一般是不重復(fù)考察的，所以這道題是不是就有一些別的方法呢？
該題直線和橢圓只有一個交點，就是相切，如下圖：
直線和橢圓切于點P，直線上異于點P的一點Q，顯然有|QF1|+|QF2|大于2a，所以P點是直線上所有點中到點F1和F2距離之和最小的點，所以只需作F1關(guān)于直線的對稱點N，連接NF2，與直線的交點為P，所以2a的值為|NF2|的.
如圖：
解答過程如下：
這個方法只需要解二元一次方程組，比第一個方法要簡單，但是缺點是很難想到.
所以我們還是需要來探索一些更簡單的方案：
直線和圓的位置關(guān)系只需要通過圓心到直線距離與半徑大小作比較，但是直線和橢圓做不到，那么可不可以把二者聯(lián)系到一起呢？之前在通過幾何畫板學(xué)解析幾何(一)——橢圓的九種畫法中，我們介紹了橢圓其實可以通過圓壓縮得到的，這個壓縮專業(yè)地說就是伸縮變換，對于橢圓的伸縮變換，在選修四的坐標(biāo)系與參數(shù)方程中有介紹，今天我們不從伸縮來闡述，就通過換元來說明：
綜上，直線和橢圓相切的問題，可以聯(lián)立，也可以用導(dǎo)數(shù)，也可以背公式，但是有一個最漂亮的方法就是通過換元將橢圓換成了圓，雖然交點變了，但是個數(shù)沒變.
帶著這樣的想法，大家做做下面四道題：
第四題把點P用參數(shù)方程的形式表達(dá)出來，所以又有了一個新的證法.
答案：
[2,2sqrt(2)),0. 2.B 3.B
