一些原則性的說明：
0. 到一定階段之后，你要看的就是各種文獻，闡釋文章或者原始文獻，還盯著書那是不行的。所以別花時間往下看了。
1. 看書之前一定要看序言。作者的目標(biāo)對象是誰，作者選擇什么內(nèi)容？合適的話再看。
2. 聲明一點，數(shù)論我只了解一點，不懂。這里的好些信息來自網(wǎng)絡(luò)與曾經(jīng)的諸位師友，在此表示謝意。
3. 大致完工（更大的可能是挖坑。。。）的時候，書單必定很長，我是想表明數(shù)論的廣闊，以及給愛好者多一些選擇。沒在單子里的書未必不好，很可能是我不知道。
4.我的意見是沒有什么書非得完整看完不可。你可以不斷換書看，只要掌握了需要的知識即可。當(dāng)然，高手（看他的結(jié)果硬不硬）的書最好還是多讀一讀，他們有一些話是經(jīng)驗換來的，其他人說不出來。
It can be of no practical use to know that is irrational, but if we can know, it surely would be intolerable not to know.
E. C. Titchmarsh (1899-1963)
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關(guān)于數(shù)論的看法（這直接影響了正文中對各種書籍的看法）
數(shù)論以問題為核心，新的方法帶來新的問題，不要認(rèn)為只有早先的問題才是數(shù)論；方法不限（極端一點，其他分支都是數(shù)論的“武器庫”），有效就行！所以，按著自己的興趣來吧，不趕時髦未必就落后；但潮流還是要了解的。
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【導(dǎo)引】：
畢竟整數(shù)和有理數(shù)是數(shù)論的最原始、最基本的對象，一些基本的東西還是要熟悉的。
《數(shù)》這本書很有意思，一個章節(jié)介紹一種數(shù)或相關(guān)的理論。國內(nèi)好像沒影印，可惜。作者陣容很強大。
哈代、懷特的《數(shù)論導(dǎo)引》世界上最富盛名的數(shù)論書。一再修訂，即使兩位作者去世后仍是如此。這應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)界的一項傳統(tǒng)。俄羅斯把這一點做得很好。
達文波特的《高等算術(shù)》是一部很出色的導(dǎo)論書，短小精悍，比哈代的書適合學(xué)習(xí)。
埃爾德什的《數(shù)論》是一本很好的書，入門推薦。該有的內(nèi)容都有，有些內(nèi)容還是埃爾德什自己的工作；習(xí)題不算多，但很有質(zhì)量，因為埃爾德什可是提問與解題方面的大師啊。
華羅庚的《數(shù)論導(dǎo)引》（華羅庚文集 其實就是這本書）（在我看來，這是中國人用中文寫就的唯一一本能被稱為佳作的數(shù)論書。有些人說什么數(shù)學(xué)大國、強國，純屬扯淡！連用母語寫作的底氣都沒有，還有什么好吹噓的?。﹥?nèi)容過多，挑喜歡的來看就好。華先生是技術(shù)流，寫作喜歡聯(lián)系其他領(lǐng)域。
愛德華茲的《高等算術(shù)》側(cè)重算法方面。愛教授一貫側(cè)重這一點，而且近半個世紀(jì)以來計算數(shù)論（其實整個計算數(shù)學(xué)也是這樣）蓬勃發(fā)展，值得了解。
貝殼的數(shù)論指南涵蓋的側(cè)面還是很多的（可惜缺了計算這一塊）。每個方面點到為止，不展開太多細節(jié)性的東西，并且都有進一步的閱讀建議。
可佩的數(shù)論想說一點：數(shù)論還是女皇。
塞爾的數(shù)論教程選取幾個經(jīng)典方向里的經(jīng)典結(jié)果，從基本講起，單刀直入，不蔓不枝。塞爾的簡潔的風(fēng)格很能考察你的數(shù)學(xué)成熟度。要求的基礎(chǔ)比前面幾本要稍微高一點。
差點忘了這本書了，數(shù)論中的初等方法，對這方面感興趣的不妨看看。第一部分是初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識，后面介紹了解析數(shù)論和加性數(shù)論中的初等方法，比較另類。作者的風(fēng)格一貫的平易。感覺可以做微積分的補充讀物，練練基本的分析技術(shù)。
【概貌】
Henryk Iwaniec和Emmanuel Kowalski 的 解析數(shù)論 作者都是當(dāng)代解析數(shù)論的頂尖人物。此書是解析數(shù)論大全，可以先翻翻，大概了解一下當(dāng)代解析數(shù)論大概是什么樣（國內(nèi)有些學(xué)者眼界太窄了）。無論怎么著也得把序言讀一下，綱領(lǐng)性的文字。
加藤和也等人的《數(shù)論I》《數(shù)論II》以具體的重要的例子引出相關(guān)性很強的幾種理論，行文風(fēng)格獨特。半是概貌，半是教材。
Fel'dman、 Nesterenko的《 超越數(shù)論》是俄羅斯數(shù)學(xué)百科全書中的一冊。
馬寧、潘奇斯金的《現(xiàn)代數(shù)論導(dǎo)引》側(cè)重算術(shù)幾何與模形式。至于非交換幾何方面，本人一竅不通，不多說。
貝克、烏斯?fàn)柶澋摹?a rel="nofollow" target="_blank">對數(shù)型和丟番圖幾何》是對貝克方法的導(dǎo)引，前半部分經(jīng)典，后半部分現(xiàn)代。兩位作者都是此領(lǐng)域的大家。我認(rèn)為貝克方法是丟番圖方程方面最了不起的進展之一，它讓我們能真正有效的處理一個具體的方程，而不僅僅是存在性論證，不僅僅是解的結(jié)構(gòu)的分析！計算，奠基于結(jié)構(gòu)之上的計算，將是新時代的主流。
【解析數(shù)論】（以復(fù)分析為主要工具）
特倫鮑姆的 解析與概率數(shù)論導(dǎo)引 以介紹方法為要，不求全求細。我以為這書最大的價值在于后半部分的概率數(shù)論，畢竟這方面的書不是很多。
達文波特的 乘性數(shù)論 達文波特屬于劍橋數(shù)論學(xué)派第二代，無論科研還是教學(xué)，都是很好的。
這本《乘性數(shù)論》比上一本更全面、更現(xiàn)代。不過第二部嘛時候出??？？
魔笛等著的《篩法導(dǎo)引及其應(yīng)用》入門用的。作者的另外一本《解析數(shù)論中的問題》用來練技術(shù)很不錯，就是作者很少闡述，自學(xué)的話容易迷失在細節(jié)里。
【代數(shù)數(shù)論】（首先你得了解這個概念，它講的是代數(shù)數(shù)的理論呢，還是數(shù)的代數(shù)理論？）
諾伊基希的《代數(shù)數(shù)論》整體與局部方法都有。內(nèi)容上還包含完整的類域論、算術(shù)幾何導(dǎo)引、數(shù)域上的解析函數(shù)理論（方法是Hecke的，而不是Iwasawa-Tate的）。當(dāng)代內(nèi)容最全面且深受好評的代數(shù)數(shù)論教材。他的講述類域論的方法我覺著很枯燥，忍不了，而且很多人名什么的都沒標(biāo)注。王湘浩教授是唯一一位在類域論上有貢獻的中國學(xué)者，結(jié)果名字都沒出現(xiàn)……
韋依的《基礎(chǔ)數(shù)論》應(yīng)該是數(shù)論領(lǐng)域里被人提及的最多而看的人最少的書。前半部分以Iwasawa-Tate方法講述數(shù)域及函數(shù)域的知識，后半部分以中心單代數(shù)方法講述類域論。
色狼的《代數(shù)數(shù)論》應(yīng)該是被引用的最多的代數(shù)數(shù)論書。第一部分代數(shù)味太重，我不喜歡。包含了解析理論和整體類域論。
博列維奇和沙法列維奇合著的《數(shù)論》也是數(shù)論界的經(jīng)典之作。英文版翻譯自原書的第一版，而俄文版已有第三版。國內(nèi)若有人翻譯，實在是功德無量。我個人強烈推薦沙法列維奇教授的所有著作，尤其是《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（向來目無余子的阿諾德都很推崇此書）。
H.P.F. Swinnerton-Dyer的《代數(shù)數(shù)論簡明導(dǎo)引》的確夠簡明，里面有好多“閑話”，不讀可惜。另外，第一頁就有張量積，所以做好代數(shù)準(zhǔn)備。
這部代數(shù)數(shù)論（修訂版）是會議文集，很多東西都不錯。學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容的時候別忘了這書。
志村五郎的二次型的算術(shù)的前幾章可做經(jīng)典代數(shù)數(shù)論的導(dǎo)引（我見過的篇幅最小的導(dǎo)引）。風(fēng)格上與當(dāng)今強烈的交換代數(shù)傾向迥異，習(xí)題更是別具一格。
馮克勤的《代數(shù)數(shù)論》有好些具體的東西，附錄是很好的圖書導(dǎo)引。
張賢科的《代數(shù)數(shù)論導(dǎo)引》之所以在這里提到這一本，是因為這是唯一一本中國人寫的包含類域論的書。
如果我沒有記錯的話，這本《代數(shù)數(shù)論導(dǎo)引》是唯一一本講述狄利克雷單位定理的范德瓦爾登證明的數(shù)論書。
《類域論》是作者在60年代的講稿的修訂版。作者死了，同事給修訂，好樣的！
類域論》類域論的“小圣經(jīng)”。有的符號看著很別扭。
謝娃來的《類域論》沒瞄過，不過看作者，應(yīng)該是有價值的。
巖澤健吉的《局部類域論（英文版）》和《局部類域論》是兩本書！
這本類域論走的是解析與代數(shù)相結(jié)合的路子，先整體后局部。好像按這順序?qū)懙木瓦@一本。（世圖好像要出影印版了）
《類域論》這可能是被看得最多的一本了。
這本《x^2+ny^2型的素數(shù)》從最初級的內(nèi)容講起，直至類域論入門。適合在學(xué)類域論之初看，存?zhèn)€感覺。
【朗蘭茲綱領(lǐng)相關(guān)】
數(shù)域上的傅里葉分析Tate博士論文導(dǎo)讀。 Tate的原文不可錯過。
【二次型】
《二次型導(dǎo)引》應(yīng)該是這領(lǐng)域最經(jīng)典的參考文獻了。
康威大神的《有聲有色的二次型》絕對值得一讀。世界上有些定理你或許能證明，但只有康威才能發(fā)現(xiàn)。幸運的是，他的書和他的定理一樣有趣。
【加性數(shù)論、組合數(shù)論、概率數(shù)論】
納森的《加性數(shù)論I》介紹華林問題和哥德巴赫猜想及相關(guān)數(shù)論技術(shù)。敘述細膩，適合自學(xué)。我越來越推崇這種寫書方式。認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)，步步前進，先不管無關(guān)的知識。在這條路上我們可能會了解為什么要引進某些概念，不同部分的知識可以如何交織在一起。這些了解的越早越好?，F(xiàn)在的書太講究“純粹性”，單方面的“自封性”，這是很不健康的。
納森的《加性數(shù)論II》仍以介紹加性數(shù)論中的幾個經(jīng)典結(jié)果為要。（我真心不怎么喜歡這些結(jié)果，哎）這個領(lǐng)域仍在起步階段，應(yīng)該大有可為。目前還有一個更廣泛的分支——加性組合學(xué)，在陶哲軒、高華斯等人的推動下很是熱鬧。
整數(shù)的拉姆塞理論連接拉姆塞理論和整數(shù)論，個人非常感興趣。最大的特色應(yīng)該是習(xí)題，里面好多研究課題。
【丟番圖數(shù)論】（包括丟番圖分析、方程、幾何等內(nèi)容）
丟番圖逼近方面的大牛施密特的《丟番圖逼近》、《丟番圖逼近和丟番圖方程》是這方面最經(jīng)典的入門文獻。逼近領(lǐng)域自身的理論發(fā)展，以及其在丟番圖方程上的應(yīng)用，是上個世紀(jì)數(shù)論方面最核心的課題之一。施密特沒拿菲爾茲獎很遺憾?。?br> 色狼的《丟番圖幾何基礎(chǔ)》我一直找不到，但眾多專家都很推崇此書。（歡迎有人上傳電子書 ?。。?br> 席福曼、亨得利的《丟番圖幾何導(dǎo)引》旨在以目前所知的最簡單的方法講述此領(lǐng)域的幾大基本而又核心的定理。無論是定理本身還是證明，都值得細心揣摩。
瓦爾德施密特的《線性代數(shù)群上的丟番圖分析》從最基本的開始，一直講到當(dāng)代?。?！難得某個領(lǐng)域出現(xiàn)這么一本詳細、全面而現(xiàn)代的書！有效性和非有效性方法都涉及。
【超越數(shù)論】
貝克的《超越數(shù)論》是此領(lǐng)域的最經(jīng)典書，但內(nèi)容并不僅限于超越數(shù)論。
魔笛等人的《超越數(shù)》 是新出的一本書，幾乎一講一個大定理，內(nèi)容還是比較全面的。
【模形式、橢圓曲線】
志村五郎的《自守函數(shù)的算術(shù)理論導(dǎo)引》是這個領(lǐng)域絕對的經(jīng)典之作。你要是只打算看一本書，那就是這本了。雖然難讀，但真花時間把這書吃透了，現(xiàn)代數(shù)論的幾個主要方向你都可以進的。
《計算模形式》可以從一個側(cè)面反映當(dāng)代計算數(shù)論的成就。
《整權(quán)與半整權(quán)模形式》可以作為志村那本書的輔助讀物。（我就是搞不明白為什么倆中國人用英文寫書，還在大陸出版）
《模形式的一些應(yīng)用》值得一看，可以同時參看http://book.douban.com/subject/6089793/
席福曼和泰特的《橢圓曲線上的有理點》是一本解釋思想非常好的書。二十世紀(jì)的橢圓曲線的算術(shù)理論如果只提一個人的名字，那就是泰特。他至今（估計以后也是）只在兩本書上署過名，他能在這么一本小書上署名（主要就是基于他的講義），絕不是一件簡單的事。雖然很基礎(chǔ)，但論解釋基本思想，絕對是一流的！
納普的《橢圓曲線》是一本很平易近人的書，在最基礎(chǔ)的層次上就聯(lián)系了橢圓曲線和模形式這兩個主題。這一點比席福曼的兩本要好。朗蘭茲教授為此書寫了個評論，值得一看。
席福曼的《橢圓曲線的算術(shù)》（到作者主頁上下載勘誤表，新版小錯誤有點多）、《橢圓曲線中的高等論題》是這個主題的經(jīng)典書籍。最好具備基本的代數(shù)幾何知識。
柯布里茲的《橢圓曲線和模形式導(dǎo)論》以同余數(shù)這個古老的問題為線索展開理論。
豪斯邁勒的《橢圓曲線》側(cè)重于幾何。
三位大家寫的概要性入門書模形式123非常值得一讀。
魔笛等人最近出版了一本《模形式中的問題》。我還沒看到書，估計還是作者前兩本習(xí)題集的風(fēng)格。（話說，喜歡刷題的中國在習(xí)題集的層次上也太落后了吧。哎）
【"局部"數(shù)論】（為比較強調(diào)此側(cè)面，從代數(shù)數(shù)論中抽出）
要學(xué)習(xí)和研究當(dāng)代代數(shù)數(shù)論（對學(xué)習(xí)代數(shù)幾何也有好處），“局部”數(shù)論是必備的，掌握的越熟練越好。我算是死在這條路上了。。。
《p進數(shù)》是這方面最簡單的一本書，可以混個臉熟。
塞爾的《局部域》是局部域方面的必引之作，也講述了局部類域論。
卡塞爾的《局部域》也很不錯，好多內(nèi)容都是其他地方不容易見的。就是這排版太惡劣，希望有蛋疼的網(wǎng)友能重排一下。
柯布里茲的《p 進數(shù)，p 進分析和p 進澤塔函數(shù)》是這個方向的必引之作。
華盛頓的《分圓域引論》是講述巖澤理論的經(jīng)典之作，比起色狼的書來寫的細致多了。巖澤理論是代數(shù)數(shù)論在20世紀(jì)下半葉最偉大的成就。
【計算數(shù)論（算法數(shù)論）】
科恩的《計算代數(shù)數(shù)論教程》科恩算是這方面的大家了。這本《高級教程》是續(xù)篇。
【數(shù)論史】
馮克勤的《代數(shù)數(shù)論簡史》可以在學(xué)著代數(shù)數(shù)論的時候翻翻，對學(xué)習(xí)有好處。
韋依的《數(shù)論前史》詳細考察了高斯之前的數(shù)論發(fā)展史。
Wladyslaw Narkiewicz 的《20世紀(jì)的有理數(shù)論史》作者是當(dāng)代數(shù)論史的大家，被稱為“當(dāng)代迪克森”。此書側(cè)重解析數(shù)論和加性數(shù)論的歷史。
【專題書】
愛德華茲的《費馬大定理》《黎曼澤塔函數(shù)》愛教授的書都是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)知識的完美結(jié)合。
Schoof的《卡塔蘭猜想》一本漂亮的小書，強烈推薦！
秘魯?shù)热说摹?a rel="nofollow" target="_blank">卡塔蘭問題》。沒想到這么一個問題居然出了兩本漂亮的讀物，讀者之福。
Titchmarsh的《黎曼澤塔函數(shù)理論》毫無疑問是這個專題最知名的書，當(dāng)代劍橋數(shù)論學(xué)派的杰出人物西斯-布朗為此書做了修訂。
Wladyslaw Narkiewicz 的《素數(shù)理論的發(fā)展》雖然有詳細的證明，但顯然適合做數(shù)論史方面的參考文獻，而不是教材。
二次互反律：從歐拉到愛森斯坦。后續(xù)發(fā)展不知道什么時候才能寫成書。
Aigner的《馬爾科夫定理》以一個定理為中心介紹了與此有關(guān)的諸多領(lǐng)域是如何出人意料的聯(lián)系起來的，又一次證實了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。市面上多數(shù)的書還是以學(xué)科體系的講述為主，這類以問題為主的旁征博引的書還不多。見到一次，高興一次。
【交叉】
《扭結(jié)與素數(shù)》算術(shù)拓?fù)鋵?dǎo)引。比較新的理論，拭目以待吧。
《遍歷論》
《初等數(shù)論，群論和拉瑪努金圖》
http://book.douban.com/subject/2855293/ 看書名好像很不錯的樣子
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待續(xù)，歡迎指正和補充。
你懂復(fù)幾何，完全可以從Nevalinna理論的角度入門，見汝敏的書：http://book.douban.com/subject/2866735/。Vojta建議了Diophantine geometry和Nevanlinna理論的聯(lián)系：http://math.berkeley.edu/~vojta/cime/cime.pdf，但這些聯(lián)系僅僅停留在analogue階段，沒有能真正弄清楚原因。復(fù)幾何和算術(shù)幾何有著眾所周知的對應(yīng)關(guān)系，比如Green-Griffiths conjecture和Lang‘s conjecture，Riemann-Roch和arithmetic Riemann-Roch，這些聯(lián)系也已經(jīng)被用來預(yù)測數(shù)論上的新結(jié)果。這種philosophy應(yīng)該類似于復(fù)幾何和辛幾何的對應(yīng)，著名的例子有homological mirror symmetry，Seidel-Thomas twist和Dehn twist的對應(yīng)，以及Ivan Smith的驚人工作：http://arxiv.org/pdf/1006.1099v3.pdf。用這種對應(yīng)關(guān)系作為phisolophy和motivation，可以發(fā)現(xiàn)大量驚人的結(jié)果，也導(dǎo)致了一些有趣的prediction，我寫過一些例子：http://www.douban.com/group/topic/56370109/，http://www.douban.com/note/428814620/。最近，有人開始研究辛幾何和算術(shù)幾何的對應(yīng)：http://arxiv.org/pdf/1211.4632v1.pdf，并稱之為arithmetic mirror symmetry。我想完全可以通過factor through辛幾何，再利用arithmetic mirror symmetry和原本就有的復(fù)幾何和辛幾何的mirror symmetry來理解復(fù)幾何和算術(shù)幾何的關(guān)系，從而真正realize Vojta的program。這條道路雖然看似遙遠，但并非不可以企及。只有完全建立了這些對應(yīng)關(guān)系，才有可能真正理解Green-Griffiths，Lang和Vojta的猜想。否則即便證明了某些困難的猜想，也是膚淺的工作。
記得以前去數(shù)學(xué)系上微分拓?fù)洌瑏碜圆ㄌm的高個兒教授突然想要證一個結(jié)論，證到一半掛了黑板。于是大家群策群力，在黑板上寫了又擦、擦了又寫，跌跌撞撞花了一節(jié)課終于湊全了證明。
看著寫得亂七八糟的黑板，教授興奮地說道：Now I see! It's trivial!
Mathematicians can prove only trivial theorems, because every theorem that’s proved is trivial. -- Richard Feynman
數(shù)學(xué)家只能證明“平凡”的定理，因為每一個經(jīng)過證明的定理都是“平凡”的。——理查·費曼
泛函分析是所有基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中最貼近工程技術(shù)實踐的一門學(xué)科。我研究過一段時間的科學(xué)學(xué)，做過一段調(diào)查：在工科碩士生中，最受青睞的數(shù)學(xué)課程是矩陣論和最優(yōu)化理論，其次是數(shù)理統(tǒng)計。而選修得最多的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程就是泛函分析（一般不加前綴，就默認(rèn)是線性泛函分析）。
當(dāng)然，經(jīng)濟學(xué)中時常還用到所謂動態(tài)規(guī)劃（Bellman方程），其實那也是一個變分問題，只不過是離散形式的罷了。
你陪我長大，我陪你變老
我仿佛聽到希爾伯特(Hilbert,1862-1943)作為花衣魔笛手，所吹奏的來自遠方的甜蜜笛聲，引誘著如此眾多的像鼠一般的追隨者和他一起跳進數(shù)學(xué)的深河徜徉。
——外爾(Weyl,1885-1955)
這句話應(yīng)該說的是希爾伯特在數(shù)學(xué)大會上提出的23個問題
Don't just read it; fight it! Ask your own questions,
look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What
about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?
--- Paul R. Halmos
引用巴拿赫的名言，體現(xiàn)舉一反三的境界：
A mathematician is a person who can find analogies between theorems;
a better mathematician is one who can see analogies between proofs
and the best mathematician can notice analogies between theories.
One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.
念高中時對南開的這個校門印象很深刻。研一時選修微分幾何和廣義相對論時曾刷過陳老的《微分幾何講義》，不過對現(xiàn)代微分幾何的學(xué)習(xí)還處于入門階段，因其博大精深。
物理幾何是一家，共同攜手到天涯。黑洞單極窮奧秘，纖維聯(lián)絡(luò)織綿霞。進化方程孤立異，對偶曲率瞬息空?；I算竟有無人用，拈花一笑不言中。-陳省身。
千古存心事，歐高黎嘉陳
古往今來者，長者永綿恒
你需要做的，就是踏實下來，看一本書，做習(xí)題。
實在是不行，你可以抄書，抄寫書上的證明。
只有做到透徹理解了一本書，你才會真的學(xué)會后面的大量的內(nèi)容。
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日本第一個菲爾茲獎小平邦彥，你知道他怎么學(xué)的數(shù)學(xué)么，他開始也是一片茫然，后來奇葩到抄書。。。抄定理，抄證明。他大學(xué)時抄過整本Van de Warden的代數(shù)，終于學(xué)會了抽象代數(shù)。天才尚且如此，何況凡人。
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小平邦彥是第二次世界大戰(zhàn)末、日本快戰(zhàn)敗時才出道的數(shù)學(xué)家。他在日本本土逐漸化成焦土, 人在半饑餓狀態(tài)下, 并在長子瀕死的病床邊完成的論文“Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized theory)”輾轉(zhuǎn)央托美國駐日軍人帶到美國后得到發(fā)表的機會, 因而得到Hermann Weyl 的賞識, 邀請他到Princeton 高等研究所當(dāng)臨時研究員。在那頂尖的數(shù)學(xué)家聚集的地方他得以伸展他的才能, 在1954年獲得相當(dāng)于數(shù)學(xué)Nobel 獎的Fields 獎, 為東方人得此獎的第一人。
