熱身練習(xí)
1、如圖點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D,E分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，已知AB=8， AC=2, 則DE的長(zhǎng)為_(kāi)______；
2、若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），點(diǎn)D,E分別是線段AB，AC的中點(diǎn),已知BC=10，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
3、在2中，條件都不變，BC=12，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____.
由上面的熱身練習(xí)可知，無(wú)論A在BC上什么位置，只要滿足D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，
則DE與BC的數(shù)量關(guān)系保持不變.（位置關(guān)系也不變）.
做一做
改變點(diǎn)A的位置，使點(diǎn)A不在BC上，但D、E仍然是AB,AC的中點(diǎn)，
猜想DE與BC的關(guān)系，
想一想
由上圖，
當(dāng)A不在BC上時(shí)，改變A點(diǎn)位置，改變BC長(zhǎng)度，都可以得到，DE與BC有特殊的數(shù)量關(guān)系，DE是BC的一半.通過(guò)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)，DE與BC是平行的.DE這條線是三角形中非常重要的一條線段，稱為三角形的中位線.
三角形的中位線定理
定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.
定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.
如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，則：
DE∥1/2BC，DE=1/2BC.
證明
分析：想要證明DE與BC的關(guān)系，這里的1/2如何處理是關(guān)鍵 .
思路1：倍長(zhǎng)
延長(zhǎng)DE至F，使得EF=DE，如圖
此時(shí)只需要證明DF與BC平行且相等，考慮證明四邊形DBCF是平行四邊形.
實(shí)際上，AC與DF互相平分，
易得四邊形ADCF是平行四邊形，
則AD與CF平行且相等，
則BD與CF平行且相等，
則四邊形DBCF是平行四邊形
所以DF與BC平行且相等
則命題得證.
思路2：截長(zhǎng)
取BC中點(diǎn)F，則BF=1/2BC，只需要證明DE與BC平行且相等
即證明四邊形DBFE是平行四邊形，怎么證明呢？問(wèn)題歸結(jié)為已有條件D,E是AB,AC中點(diǎn)怎么使用？
連接FE并截取EG=FE（或者也可以延長(zhǎng)FE交BC的平行線AG于G,可得到一組全等三角形）易得平行四邊形AFCG,則AB與FG平行且相等，則BD與FE平行且相等，則四邊形DBFE是平行四邊形，則DE與BF平行且相等，則命題得證.
通過(guò)猜想，驗(yàn)證，證明，我們得到了三角形的中位線定理.
使用三角形中位線定理的關(guān)鍵：
找中點(diǎn)的連線以及與之相關(guān)的三角形.
辨識(shí)：中線與中位線
名稱
圖示
特征
三角形的
中線
頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，
與三角形的一邊中點(diǎn)有關(guān)
三角形的
中位線
三角形兩邊中點(diǎn)的連線，與三角形兩邊中點(diǎn)有關(guān).
應(yīng)用
1、如圖, 在△ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點(diǎn)
（1）圖中共有幾個(gè)平行四邊形？為什么？
（2）圖四個(gè)小三角形有什么關(guān)系？
（3）若AC=4cm，BC=6cm，AB=8cm，
則△DEF的周長(zhǎng)= _______
（4）若△ABC的面積為24，△DEF的面積是_______
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理，可以得到很多特殊的性質(zhì)，如圖，連接三角形的三條中位線，將原三角形分成了四個(gè)全等的三角形.中位線構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)等于原三角形的周長(zhǎng)的一般，面積為原三角形面積的1/4.
2、如圖, 在四邊形ABCD中,D、E、F、G分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn).
思考1：四邊形EFGH有什么特殊的性質(zhì)？
分析：有很多中點(diǎn)的連線，但并無(wú)三角形，可以考慮構(gòu)造與中位線相關(guān)的三角形，連接AC,或BD，或者同時(shí)連接AC，BD可以解決問(wèn)題.
易得四邊形EFGH一定是平行四邊形.
此四邊形也稱為中點(diǎn)四邊形，任意四邊形的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.
思考2：四邊形EFGH的面積與原四邊形有什么關(guān)
分析：
設(shè)BD交中點(diǎn)四邊形EFGH于PQ,易得，四邊形EPQH時(shí)平行四邊形，由練習(xí)1可得，四邊形EMDH時(shí)平行四邊形，根據(jù)等底等高，可得平行四邊形EMDH的面積與平行四邊形EPQH的面積相等，再由練習(xí)1所得結(jié)論，可得，平行四邊形EPQH的面積為△ABD面積的一半，同理可得，四邊形PFGQ的面積是△BCD面積的一半.
中點(diǎn)四邊形EFGH面積是原四邊形ABCD面積的一半.這個(gè)結(jié)論對(duì)任意四邊形都成立.
思考3：四邊形EFGH的周長(zhǎng)與原四邊形的什么有關(guān)？
分析：直接上圖，
連接AC,BD可得，四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于對(duì)角線AC與BD的和.
變式1：將相對(duì)邊上的兩個(gè)中點(diǎn)移到對(duì)角線的中點(diǎn)
如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BD、BC、 AC、AD的中點(diǎn).
思考：四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
提示：如圖
利用三角形中位線定理即可.
變式2：如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為AC, BD的中點(diǎn),
求證：2EF＜AB+DC
分析：借助變式1思考，如圖
追問(wèn)：
若AB=CD，
上圖中有等腰三角形嗎？
易證得，如圖所示的藍(lán)色三角形是等腰三角形.
變式3：如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為BD, AC中點(diǎn), AB=DC,EF交AB于P,交CD于Q,且BA,CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，
求證：MP=MQ
三角形中位線定理中有平行線出現(xiàn) ，這樣就產(chǎn)生了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等許多角之間的等量關(guān)系，又由于中位線等于底邊的一半。 并且平分兩腰，這樣就出現(xiàn)了線段之間的等量關(guān)系。 更主要的是定理將角的等量關(guān)系與線段的等量關(guān)系有機(jī)地聯(lián)系在 一起，因此這個(gè)定理在幾何題的證明中，特別是在證明兩直線平行或線段的等量關(guān)系或角的等量關(guān)系中，起著獨(dú)特的作用，有時(shí)甚至非它莫許。因此凡是題設(shè)中有中點(diǎn)出現(xiàn)，就不妨設(shè)法應(yīng)用中位線定理來(lái)進(jìn)行證明，也許很有效。
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