一、基本概念
在計算機科學(xué)中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復(fù)雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合并。這個技巧是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規(guī)模有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規(guī)模較大的問題，有時是相當困難的。 具體可以：
分解（Divide）：將原問題分解成一系列子問題；
解決（conquer）：遞歸地解各個子問題。若子問題足夠小，則直接求解；
合并（Combine）：將子問題的結(jié)果合并成原問題的解。
合并排序（merge sort）是一個典型分治法的例子。其對應(yīng)的直觀的操作如下：
分解：將n個元素分成各含n/2個元素的子序列；
解決：用合并排序法對兩個子序列遞歸地排序；
合并：合并兩個已排序的子序列以得到排序結(jié)果。
二、基本思想及策略
分治法的設(shè)計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對于一個規(guī)模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規(guī)模n較?。﹦t直接解決，否則將其分解為k個規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合并得到原問題的解。這種算法設(shè)計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時應(yīng)用在算法設(shè)計之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。
三、分治法適用的情況
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
1) 該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；
第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；、
第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。
第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。
四、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
step1 分解：將原問題分解為若干個規(guī)模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
step2 解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
step3 合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。
它的一般的算法設(shè)計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子問題
7. return(T)
其中|P|表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當問題P的規(guī)模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當P的規(guī)模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應(yīng)的解y1,y2,...,yk合并為P的解。
實例：
[找出偽幣] 給你一個裝有1 6個硬幣的袋子。1 6個硬幣中有一個是偽造的，并且那個偽造的硬幣比真的硬幣要輕一些。你的任務(wù)是找出這個偽造的硬幣。
為了幫助你完成這一任務(wù)，將提供一臺可用來比較兩組硬幣重量的儀器，利用這臺儀器，可以知道兩組硬幣的重量是否相同。比較硬幣1與硬幣2的重量。假如硬幣1比硬幣2輕，則硬幣1是偽造的；假如硬幣2比硬幣1輕，則硬幣2是偽造的。這樣就完成了任務(wù)。假如兩硬幣重量相等，則比較硬幣3和硬幣4。同樣，假如有一個硬幣輕一些，則尋找偽幣的任務(wù)完成。假如兩硬幣重量相等，則繼續(xù)比較硬幣5和硬幣6。按照這種方式，可以最多通過8次比較來判斷偽幣的存在并找出這一偽幣。
另外一種方法就是利用分而治之方法。假如把1 6硬幣的例子看成一個大的問題。第一步，把這一問題分成兩個小問題。隨機選擇8個硬幣作為第一組稱為A組，剩下的8個硬幣作為第二組稱為B組。這樣，就把1 6個硬幣的問題分成兩個8硬幣的問題來解決。第二步，判斷A和B組中是否有偽幣。可以利用儀器來比較A組硬幣和B組硬幣的重量。假如兩組硬幣重量相等，則可以判斷偽幣不存在。假如兩組硬幣重量不相等，則存在偽幣，并且可以判斷它位于較輕的那一組硬幣中。最后，在第三步中，用第二步的結(jié)果得出原先1 6個硬幣問題的答案。若僅僅判斷硬幣是否存在，則第三步非常簡單。無論A組還是B組中有偽幣，都可以推斷這1 6個硬幣中存在偽幣。因此，僅僅通過一次重量的比較，就可以判斷偽幣是否存在。
現(xiàn)在假設(shè)需要識別出這一偽幣。把兩個或三個硬幣的情況作為不可再分的小問題。注意如果只有一個硬幣，那么不能判斷出它是否就是偽幣。在一個小問題中，通過將一個硬幣分別與其他兩個硬幣比較，最多比較兩次就可以找到偽幣。這樣，1 6硬幣的問題就被分為兩個8硬幣（A組和B組）的問題。通過比較這兩組硬幣的重量，可以判斷偽幣是否存在。如果沒有偽幣，則算法終止。否則，繼續(xù)劃分這兩組硬幣來尋找偽幣。假設(shè)B是輕的那一組，因此再把它分成兩組，每組有4個硬幣。稱其中一組為B1，另一組為B2。比較這兩組，肯定有一組輕一些。如果B1輕，則偽幣在B1中，再將B1又分成兩組，每組有兩個硬幣，稱其中一組為B1a，另一組為B1b。比較這兩組，可以得到一個較輕的組。由于這個組只有兩個硬幣，因此不必再細分。比較組中兩個硬幣的重量，可以立即知道哪一個硬幣輕一些。較輕的硬幣就是所要找的偽幣。
五、分治法的復(fù)雜性分析
一個分治法將規(guī)模為n的問題分成k個規(guī)模為n／m的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費1個單位時間。再設(shè)將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通過迭代法求得方程的解：
遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當 mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
六、可使用分治法求解的一些經(jīng)典問題
（1）二分搜索
（2）大整數(shù)乘法
（3）Strassen矩陣乘法
（4）棋盤覆蓋
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）線性時間選擇
（8）最接近點對問題
（9）循環(huán)賽日程表
（10）漢諾塔
七、依據(jù)分治法設(shè)計程序時的思維過程
實際上就是類似于數(shù)學(xué)歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然后根據(jù)方程公式設(shè)計遞歸程序。
1、一定是先找到最小問題規(guī)模時的求解方法
2、然后考慮隨著問題規(guī)模增大時的求解方法
3、找到求解的遞歸函數(shù)式后（各種規(guī)?；蛞蜃樱O(shè)計遞歸程序即可。
應(yīng)用之歸并排序：
- package sort;
- public class mergerSort2 {
- static void merge(int arr[], int L, int M, int R) {//合并算法
- int LEFT_SIZE = M - L;//left array size
- int RIGHT_SIZE = R - M + 1;
- // int left[LEFT_SIZE];
- // int right[RIGHT_SIZE];
- int left[] = new int[LEFT_SIZE];
- int right[] = new int[RIGHT_SIZE];
- int i, j, k;
- // 1. Fill in the left sub array
- for (i=L; i<M; i++) {
- left[i-L] = arr[i];//sub array begin from 0
- }
- // 2. Fill in the right sub array
- for (i=M; i<=R; i++) {
- right[i-M] = arr[i];//sub array begin from 0
- }
- // 3. Merge into the original array
- i = 0; j = 0; k = L;//k point to the left array
- while (i < LEFT_SIZE && j < RIGHT_SIZE) {//沒有到達子矩陣的頂端，這時比較左右矩陣如果左面小arr[k]位置放入左面值，即達到取曉得放入新的矩陣，i，j,k指針各自加上1
- if (left[i] < right[j]) {
- arr[k] = left[i];
- i++;
- k++;
- }
- else {
- arr[k] = right[j];
- j++;
- k++;
- }
- }
- while (i < LEFT_SIZE) {//一邊到達了頂端，那么如果另一方還沒到直接放入新矩陣
- arr[k] = left[i];
- i++;
- k++;
- }
- while (j < RIGHT_SIZE) {
- arr[k] = right[j];
- j++;
- k++;
- }
- }
- static void mergeSort(int arr[], int L, int R) {//分治+歸并?。。?！
- if (L == R) {//分支的結(jié)束為只有一個
- return;
- }
- else {
- int M = (L + R) / 2;
- mergeSort(arr, L, M);
- mergeSort(arr, M+1, R);
- merge(arr, L, M+1, R);
- }
- }
- public static void main(String[] args)
- {
- int arr[] = {6, 8, 10, 9, 4, 5, 2, 7,3};
- int L = 0;
- int R = arr.length;
- mergeSort(arr, L, R);
- int i;
- for (i=0; i<=R; i++) {
- System.out.println(arr[i]);
- }
- }
- }
