腳本之家
你與百萬開發(fā)者在一起
來源：編程珠璣
正如它的名字所體現(xiàn)，快速排序是在實踐中最快的已知排序算法，平均運行時間為O(NlogN)，最壞的運行時間為O(N^2)。算法的基本思想很簡單，然而想要寫出一個高效的快速排序算法并不是那么簡單?；鶞实倪x擇，元素的分割等都至關(guān)重要，如果你不清楚如何優(yōu)化快速排序算法，本文你不該錯過。
快速排序利用了分治的策略。而分治的基本基本思想是：將原問題劃分為若干與原問題類似子問題，解決這些子問題，將子問題的解組成原問題的解。
那么如何利用分治的思想對數(shù)據(jù)進行排序呢？假如有一個元素集合A：
選擇A中的任意一個元素pivot，該元素作為基準
將小于基準的元素移到左邊，大于基準的元素移到右邊（分區(qū)操作）
A被pivot分為兩部分，繼續(xù)對剩下的兩部分做同樣的處理
直到所有子集元素不再需要進行上述步驟
可以看到算法思想比較簡單，然而上述步驟實際又該如何處理呢？
實際上無論怎么選擇基準，都不會影響排序結(jié)果，但是不同的選擇卻可能影響整體排序時間，因為基準選擇不同，會導(dǎo)致分割的兩個集合大小不同，如果分割之后，兩個集合大小是幾乎相等的，那么我們整體分割的次數(shù)顯然也會減少，這樣整體耗費的時間也相應(yīng)降低。我們來看一下有哪些可選擇策略。
如果待排序數(shù)是隨機的，那么選擇第一個或者最后一個作基準是沒有什么問題的，這也是我們最常見到的選擇方案。但如果待排序數(shù)據(jù)已經(jīng)排好序的，就會產(chǎn)生一個很糟糕的分割。幾乎所有的數(shù)據(jù)都被分割到一個集合中，而另一個集合沒有數(shù)據(jù)。這樣的情況下，時間花費了，卻沒有做太多實事。而它的時間復(fù)雜度就是最差的情況O(N^2)。因此這種策略是絕對不推薦的。
隨機選擇基準是一種比較安全的做法。因為它不會總是產(chǎn)生劣質(zhì)的分割。
C語言實現(xiàn)參考：
ElementType randomPivot(ElementType A[],int start,int end)
{
srand(time(NULL))
int randIndex = rand()%(end -start)+start;
return A[randIndex];
}
從前面的描述我們知道，如果能夠選擇到數(shù)據(jù)的中值，那是最好的，因為它能夠?qū)⒓辖醯确譃槎?。但是很多時候很難算出中值，并且會耗費計算時間。因此我們隨機選取三個元素，并用它們的中值作為整個數(shù)據(jù)中值的估計值。在這里，我們選擇最左端，最右端和中間位置的三個元素的中值作為基準。
假如有以下數(shù)組：
1 9 10 3 8 7 6 2 4
左端元素為1，位置為0，右端元素為4，位置為8，則中間位置為[0+8]/2=4，中間元素為8。那么三數(shù)中值就為4（1，4，8的中值）。
選好基準之后，如何將元素移動到基準兩側(cè)呢？通常的做法如下：
將基準元素與最后的元素交換，使得基準元素不在被分割的數(shù)據(jù)范圍
i和j分別從第一個元素和倒數(shù)第二個元素開始。i在j的左邊時，將i右移，直到發(fā)現(xiàn)大于等于基準的元素，然后將j左移，直到發(fā)現(xiàn)小于等于基準的元素。i和j停止時，元素互換。這樣就把大于等于基準的移到了右邊，小于等于基準的移到了左邊
重復(fù)上面的步驟，直到i和j交錯
將基準元素與i所指向的元素交換，使得基準元素將整個元素集合分割為小于基準和大于基準的元素集合
在們采用三數(shù)中值得方法選擇基準的情況下，既然基準是中值，實際上只要保證左端，右端，中間值是從小到大即可。還是以前面提到的數(shù)組為例，我們找到三者后，對三者進行排序如下：
排序前
排序后 如果是這樣的情況，那么實際上不需要把基準元素和最后一個元素交換，而只需要和倒數(shù)第二個元素交換即可，因為最后一個元素肯定大于基準，這樣可以減少交換次數(shù)。 如果前面的描述還不清楚，我們看一看實際中一趟完整的流程是什么樣的。 第一步，將左端，右端和中間值排序，中值作為基準：
第二步，將中值與倒數(shù)第二個數(shù)交換位置： 第三步，i向右移動，直到發(fā)現(xiàn)大于等于基準的元素9：
第四步，j向左移動，直到發(fā)現(xiàn)小于等于基準的元素2：
第五步，交換i和j：
第六步，重復(fù)上述步驟，i右移，j左移：
第七步，交換i和j指向的值：
第八步，重復(fù)上述步驟，i右移，j左移，此時i和j已經(jīng)交錯：
第九步，i和j已經(jīng)交錯，因此最后將基準元素與i所指元素交換：
如何對子集進行排序到這一步的時候，我們發(fā)現(xiàn)i的左邊都是小于i指向的元素，而右邊都是大于i的元素。最后在對子集進行同樣的操作即可。
最常見的便是遞歸法了。遞歸的好處是代碼簡潔易懂，但是不可忽略的是，當遞歸嵌套過深時，它的效率問題以及棧溢出的風(fēng)險可能會迫使你選擇非遞歸法。在前面對整個集合一分為二之后，對剩下的兩個集合遞歸調(diào)用，直到完成排序。簡單描述如下(非可運行代碼)：
void Qsort(int A[],int left,int right)
{
/*分區(qū)操作*/
int i = partition(A,left,right);
/*對子集遞歸調(diào)用*/
Qsort(A,left,i-1);
Qsort(A,i+1,right);
}
遞歸最需要注意的便是遞歸結(jié)束調(diào)用，否則會產(chǎn)生無限遞歸，從而發(fā)生棧溢出。
后面我們會看到，遞歸法的代碼非常簡潔。（相關(guān)閱讀《面試官問你斐波那契數(shù)列的時候不要高興得太早》）
在遞歸版本中，Qsort分別遞歸調(diào)用計算左右兩個子集合，而第二個遞歸其實并非必須，完全可以用循環(huán)來替代，以下代碼模擬實現(xiàn)了尾遞歸，（并非是真的尾遞歸）：
void Qsort(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = 0;
while(left < right)
{
/*分割操作*/
i = partition(A,left,right);
/*遞歸調(diào)用*/
Qsort(A,left,i-1);
/*右半部分通過循環(huán)實現(xiàn)*/
left = i + 1;
}
}
那么有沒有方法可以不用遞歸呢？既然遞歸每次都進行壓棧操作，那么我們能不能分區(qū)后僅僅將區(qū)間信息存儲到棧里，然后從棧中取出區(qū)間再繼續(xù)分區(qū)呢？顯然是可以的。實際上我們每次分區(qū)時，只需要知道區(qū)間即可，那么將這些區(qū)間信息存儲起來，就可以不用遞歸了，按照分好的區(qū)間不斷分區(qū)即可。
例如對于前面提到的數(shù)組，首先對區(qū)間[0,8]進行分區(qū)操作，之后得到兩個新的分區(qū)，1,2,3和9，7，6，10，8，假設(shè)兩個區(qū)間仍然可以使用快速排序，那么需要將區(qū)間[0,2]和[5,8]的其中一個壓棧，另一個繼續(xù)分區(qū)操作。
按照這種思路，代碼簡單描述如下（非可運行代碼）：
void Qsort(A,left,right)
{
while(STACK_IS_NOT_EMPTY)
{
/*分區(qū)操作*/
POP(lo,hi);
int mid = partition(A,lo,hi);
/*存儲新的邊界*/
PUSH(lo,mid-1);
PUSH(mid+1,hi);
}
}
當然這里面沒有體現(xiàn)分區(qū)終止條件。我們需要在數(shù)據(jù)量小于一定值的時候，就不再繼續(xù)進行分區(qū)操作了，而是選擇插入排序（為什么？）。
那么問題來了，如何選擇棧的大小呢？查看qsort.c的源碼發(fā)現(xiàn)，它選擇了如下的值：
#define STACK_SIZE (8* sizeof(unsigned long int));
為什么會是這個值呢？設(shè)想一下，假設(shè)待排序數(shù)組長度使用unsigned long int來表示，并且假設(shè)每次都將集合分為二等分。那么即便數(shù)組長度達到最大值，實際上最多只需要分割8 *(sizeof(unsigned long int))次，也就將它分割完了。然而由于以下幾個原因，需要存儲在棧中的區(qū)間信息很難超出?？臻g，因為：
數(shù)組長度不會接近unsigned long int，否則內(nèi)存也撐不住了
區(qū)間足夠小時，不采用快速排序
每做一個分區(qū)，只會增加一個區(qū)間PUSH到棧中，增長速度慢
至此，快速排序所有的主要步驟已經(jīng)介紹完畢。但是有以下注意事項：
有大量重復(fù)元素時避免產(chǎn)生糟糕分區(qū)，因此在發(fā)現(xiàn)大于等于基準或者小于等于基準時，便停止掃描。
通常會將基準一開始移動到最后位置或倒數(shù)第二個位置，避免基準在待分區(qū)區(qū)間。
對于很小的數(shù)組（N<=20），插入排序要比快速排序更好。因為快速排序有遞歸開銷，并且插入排序是穩(wěn)定排序。
如果函數(shù)本身的局部變量很少，那么遞歸帶來的開銷也就越??；如果遞歸發(fā)生棧溢出了，首先需要排除代碼設(shè)計問題。因此如果你設(shè)計的非遞歸版本效率低于遞歸版本，也不要驚訝。
注：假定在待排序的記錄序列中，存在多個具有相同的關(guān)鍵字的記錄，若經(jīng)過排序，這些記錄的相對次序保持不變，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，則稱這種排序算法是穩(wěn)定的；否則稱為不穩(wěn)定的。--來自百科
C語言代碼實現(xiàn)如下：
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
/*使用快速排序的區(qū)間大小臨界值，可根據(jù)實際情況選擇*/
#define MAX_THRESH 4
typedef int ElementType;
/*元素交換*/
void swap(ElementType *a,ElementType *b)
{
ElementType temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
/*插入排序*/
void insertSort(ElementType A[],int N)
{
/*優(yōu)化后的插入排序*/
int j = 0;
int p = 0;
int temp = 0;
for(p = 1;p<N;p++)
{
temp = A[p];
for(j = p;j>0 && A[j-1] > temp;j--)
{
A[j] = A[j-1];
}
A[j] = temp;
}
}
/*三數(shù)中值法選擇基準*/
ElementType medianPivot(ElementType A[],int left,int right)
{
int center = (left + right)/2 ;
/*對三數(shù)進行排序*/
if(A[left] > A[center])
swap(&A[left],&A[center]);
if(A[left] > A[right])
swap(&A[left],&A[right]);
if(A[center] > A[right])
swap(&A[center],&A[right]);
/*交換中值和倒數(shù)第二個元素*/
swap(&A[center],&A[right-1]);
return A[right-1];
}
/*分區(qū)操作*/
int partition(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = left;
int j = right-1;
/*獲取基準值*/
ElementType pivot = medianPivot(A,left,right);
for(;;)
{
/*i j分別向右和向左移動，為什么不直接先i++？*/
while(A[++i] < pivot)
{}
while(A[--j] > pivot)
{}
if(i < j)
{
swap(&A[i],&A[j]);
}
/*交錯時停止*/
else
{
break;
}
}
/*交換基準元素和i指向的元素*/
swap(&A[i],&A[right-1]);
return i;
}
void Qsort(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = 0;
register ElementType *arr = A;
if(right-left >= MAX_THRESH)
{
/*分割操作*/
i = partition(arr,left,right);
/*遞歸*/
Qsort(arr,left,i-1);
Qsort(arr,i+1,right);
}
else
{
/*數(shù)據(jù)量較小時，使用插入排序*/
insertSort(arr+left,right-left+1);
}
}
/*打印數(shù)組內(nèi)容*/
void printArray(ElementType A[],int n)
{
if(n > 100)
{
printf('too much，will not print');
return;
}
int i = 0;
while(i < n)
{
printf('%d ',A[i]);
i++;
}
printf('');
}
int main(int argc,char *argv[])
{
if(argc < 2)
{
printf('usage:qsort num');
return -1;
}
int len = atoi(argv[1]);
printf('sort for %d numbers',len);
/*隨機產(chǎn)生輸入數(shù)量的數(shù)據(jù)*/
int *A = malloc(sizeof(int)*len);
int i = 0;
srand(time(NULL));
while(i < len)
{
A[i] = rand();
i++;
}
printf('before sort:');
printArray(A,len);
/*對數(shù)據(jù)進行排序*/
Qsort(A,0,len-1);
printf('after sort:');
printArray(A,len);
return 0;
}
略。
非遞歸版與遞歸版大部分代碼相同，Qsort函數(shù)有所不同，并且增加棧相關(guān)內(nèi)容定義：
/*存儲區(qū)間信息*/
typedef struct stack_node_t
{
int lo;
int hi;
}struct_node;
/*最大棧長度*/
#define STACK_SIZE 8 * sizeof(unsigned int)
/*入棧，出棧*/
#define STACK_PUSH( low, hig ) ( (top->lo = low), (top->hi = hig), top++)
#define STACK_POP( low, hig ) (top--, (low = top->lo), (hig = top->hi) )
/*快速排序*/
void Qsort( ElementType A[], int left, int right )
{
if(NULL == A)
return;
/*使用寄存器指針*/
register ElementType *arr = A;
if ( right - left >= MAX_THRESH )
{
struct_node stack[STACK_SIZE] = { { 0 } };
register struct_node *top = stack;
/*最大區(qū)間壓棧*/
int lo = left;
int hi = right;
STACK_PUSH( 0, 0);
int mid = 0;
while ( stack < top )
{
/*出棧，取出一個區(qū)間進行分區(qū)操作*/
mid = partition( arr, lo, hi );
/*分情況處理，左邊小于閾值*/
if ( (mid - 1 - lo) <= MAX_THRESH)
{
/* 左右兩個數(shù)據(jù)段的元素都小于閾值，取出棧中數(shù)據(jù)段進行劃分*/
if ( (hi - (mid+1)) <= MAX_THRESH)
/* 都小于閾值，從棧中取出數(shù)據(jù)段 */
STACK_POP (lo, hi);
else
/* 只有右邊大于閾值，右邊繼續(xù)分區(qū)*/
lo = mid -1 ;
}
/*右邊小于閾值，繼續(xù)計算左邊*/
else if ((hi - (mid+1)) <= MAX_THRESH)
hi = mid - 1;
/*左右兩邊都大于閾值，且左邊大于右邊，左邊入棧，右邊繼續(xù)分區(qū)*/
else if ((mid -1 - lo) > (hi - (mid + 1)))
{
STACK_PUSH (lo, mid - 1);
lo = mid + 1;
}
/*左右兩邊都大于閾值，且右邊大于左邊，右邊入棧，左邊繼續(xù)分區(qū)*/
else
{
STACK_PUSH (mid + 1, hi);
hi = mid -1;
}
}
}
/*最后再使用插入排序，對于接近有序狀態(tài)的數(shù)據(jù)，插入排序速度很快*/
insertSort(arr,right-left+1);
}
我們隨機產(chǎn)生1億個整數(shù)，并對其進行排序：
$ gcc -o qsort qsort.c
$ time ./qsort 100000000
遞歸版運行結(jié)果：
sort for 100000000 numbers
before sort:too much，will not print
after sort:too much，will not print
real 0m16.753s
user 0m16.623s
sys 0m0.132s
非遞歸版結(jié)果：
sort for 100000000 numbers
before sort:too much，will not print
after sort:too much，will not print
real 0m16.556s
user 0m16.421s
sys 0m0.137s
可以看到，實際上兩種方法的效率差距并不是很大。至于原因，前面我們已經(jīng)說過了。
本文所寫的示例實現(xiàn)與glibc的實現(xiàn)相比，還有很多可優(yōu)化的地方，例如，本文實現(xiàn)僅對int類型實現(xiàn)了排序或交換值，如果待排序內(nèi)容是其他類型，就顯得力不從心，讀者可參考《高級指針話題函數(shù)指針》思考如何實現(xiàn)對任意數(shù)據(jù)類型進行排序，。但快速排序的優(yōu)化主要從以下幾個方面考慮：
優(yōu)化基準選擇
優(yōu)化小數(shù)組排序效率
優(yōu)化交換次數(shù)
優(yōu)化遞歸
優(yōu)化最差情況，避免糟糕分區(qū)
元素聚合
有興趣地也可以進一步閱讀qsort源碼，了解更多優(yōu)化細節(jié)。
為什么要在遇到相同元素時就進行掃描？
插入排序最好的情況時間復(fù)雜度是多少，在什么情況下出現(xiàn)？
文中實現(xiàn)的代碼還有哪些可以優(yōu)化的地方？
采用第一種基準選擇策略實現(xiàn)快速排序，并測試對有序數(shù)組的排序性能
實現(xiàn)通用快速排序算法，參考《高級指針話題－函數(shù)指針》
《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析》
《算法導(dǎo)論》
glibc qsort.c源碼
