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前不久，美國(guó)奧數(shù)國(guó)家隊(duì)的主教練，羅博深，作為卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)系教授，獲得大學(xué)頒發(fā)的“優(yōu)秀教學(xué)獎(jiǎng)”。

很多人了解羅博深，是因?yàn)樗趪?guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽(IMO)中，交出的一份堪稱完美的成績(jī)單。

2015、2016年，他帶領(lǐng)美國(guó)奧數(shù)隊(duì)，連續(xù)兩年問(wèn)鼎IMO團(tuán)體冠軍，改寫(xiě)了美國(guó)隊(duì)在國(guó)際奧賽中21年無(wú)團(tuán)體金牌的歷史；去年，他帶領(lǐng)隊(duì)員在羅馬尼亞再次奪冠，成為當(dāng)之無(wú)愧的“金牌教練”。

而作為一名大學(xué)的數(shù)學(xué)系教授，他在教學(xué)領(lǐng)域，同樣頗有成就。

今年四月，羅博深被卡內(nèi)基梅隆大學(xué)授予The William H. and Francis S. Ryan優(yōu)秀教學(xué)獎(jiǎng)，表彰他在教學(xué)中的創(chuàng)新和熱忱。

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)，這所著名的綜合性大學(xué)，不僅它的計(jì)算機(jī)學(xué)院享譽(yù)全球，也以課業(yè)繁重、對(duì)學(xué)生的嚴(yán)格訓(xùn)練而著稱，連續(xù)多年被普林斯頓評(píng)論（Princeton Review）評(píng)為“全美乃至全世界訓(xùn)練最為殘酷的大學(xué)”之一。

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想不到，“最殘酷大學(xué)”的競(jìng)賽數(shù)學(xué)課程，卻能受到學(xué)生的歡迎，選修人數(shù)逐年翻倍。

課堂上，羅博深引進(jìn)了分層的教學(xué)理念，讓不同能力的學(xué)生都能參與進(jìn)來(lái)，而且“顛覆”和“翻轉(zhuǎn)”了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，提倡“問(wèn)題先行”，把課堂變成了由學(xué)生思考和提出解決方案的“思維訓(xùn)練場(chǎng)”。

在給低年齡孩子上課時(shí)，他也同樣提倡“問(wèn)題先行”的教學(xué)方法。他會(huì)充當(dāng)“主持人”的角色，邀請(qǐng)學(xué)生們就某一個(gè)題目各抒己見(jiàn)，及時(shí)記錄和總結(jié)他們的觀點(diǎn)，整堂課就像是一場(chǎng)思維碰撞。

羅博深認(rèn)為：比起數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更重要的是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

21世紀(jì)是人工智能的時(shí)代，思維能力和創(chuàng)新能力變得前所未有的重要。這個(gè)時(shí)代，需要的是走在前面的人，而不是跟隨者或模仿者。

“如果你想領(lǐng)先一步，而不是亦步亦趨的模仿，靠的就是思維。它讓你在不知道從何入手的情況下，想出創(chuàng)造性解決問(wèn)題的辦法?！?/span>

羅博深在卡耐基梅隆大學(xué)

在面向中小學(xué)生的公益講座、公開(kāi)課中，羅博深經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)思維”的重要性。很多孩子正是通過(guò)他的數(shù)學(xué)思維課程，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇妙，愛(ài)上了思考。

那么，他究竟是如何看不見(jiàn)、摸不著的“數(shù)學(xué)思維”傳授給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣？

外灘君采訪了羅博深，和他聊聊什么是“數(shù)學(xué)思維”，我們又該怎樣幫助孩子提升這一“數(shù)學(xué)思維能力”。

數(shù)學(xué)，是最基礎(chǔ)的思維鍛煉工具

前段時(shí)間，任正非在接受媒體采訪中，特別提到了數(shù)學(xué)的重要性。他認(rèn)為我們現(xiàn)階段之所以很難依靠自主創(chuàng)新，正是因?yàn)槿鄙僭跀?shù)學(xué)、物理、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，踏踏實(shí)實(shí)搞基礎(chǔ)研究的人才。

羅博深對(duì)此很有感觸，“如果我們真的想要培養(yǎng)數(shù)學(xué)、科學(xué)等方面的高端人才，最根本在于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，否則，數(shù)學(xué)只是考試的工具和賺錢謀生的手段?！闭缢约阂恢睆氖聰?shù)學(xué)教育，正是源于對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，希望將這份樂(lè)趣帶給更多人。

不過(guò)，相對(duì)于任正非對(duì)數(shù)學(xué)人才流失的惋惜，羅博深的想法則更樂(lè)觀一些。他認(rèn)為，即使沒(méi)有留在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)人才一樣可以做出自己的貢獻(xiàn)。

比如，Art of Problem Solving網(wǎng)站的創(chuàng)始人，也曾經(jīng)是數(shù)學(xué)系學(xué)生，雖然從事了金融工作，卻創(chuàng)辦了如今全世界數(shù)學(xué)愛(ài)好者都在用的網(wǎng)站。

怎樣提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣？在羅博深看來(lái)，基礎(chǔ)教育階段，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，尤其重要。

因此，作為美國(guó)奧數(shù)隊(duì)的總教練，雖然羅博深一直在指導(dǎo)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“最強(qiáng)大腦”，但是，他本人也同樣熱衷數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，希望每個(gè)普通的孩子，能有機(jī)會(huì)利用數(shù)學(xué)這門工具，得到思維的鍛煉。

帶著這樣的信念，羅博深幾乎每周都飛往美國(guó)不同的城市，前往大學(xué)和中小學(xué)做演講和公開(kāi)課；過(guò)去的一年里，他的足跡甚至遍布全世界，傳遞他獨(dú)特的數(shù)學(xué)理念，也了解各個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的重要性不言而喻。然而，一直以來(lái)，我們都熱衷于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握解題套路，卻忽略了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。

在羅博深看來(lái)，數(shù)學(xué)，無(wú)疑是鍛煉思維最基礎(chǔ)、最簡(jiǎn)便的工具。

羅博深聯(lián)合外灘教育進(jìn)行演講

他解釋說(shuō)，“雖然化學(xué)、物理等很多學(xué)科的學(xué)習(xí)，都能起到思維鍛煉的作用，但是，相比較這些學(xué)科，數(shù)學(xué)不需要借助太多學(xué)科知識(shí)，就可以進(jìn)行推理、證明等純邏輯的鍛煉。這也是為什么，數(shù)學(xué)，會(huì)成為所有學(xué)生最早開(kāi)始接觸的基礎(chǔ)學(xué)科?！?/span>

那么，什么才是數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的表現(xiàn)呢？

羅博深表示，這和你掌握了多少解題套路無(wú)關(guān)。真正的數(shù)學(xué)思維能力，是當(dāng)你碰到一個(gè)完全沒(méi)有接觸過(guò)的題目，能獨(dú)立地想出解決方案。這其中，不僅包括推理能力，還有抓重點(diǎn)的能力。

面對(duì)一道復(fù)雜的題目，學(xué)生往往需要“透過(guò)表象看本質(zhì)”，抓住最核心問(wèn)題。

羅博深解釋說(shuō)，“比如，桌上有兩瓶礦泉水，形狀不同、款式不同，我們很可能被它們表面的復(fù)雜所迷惑。數(shù)學(xué)思維能力，讓你很快能找到問(wèn)題的關(guān)鍵——“它們的容量是一樣的”！”

羅博深

無(wú)論是推理能力，還是抓重點(diǎn)的能力，都無(wú)法通過(guò)“刷題”而獲得。

眼下，很多家長(zhǎng)依然迷信題海戰(zhàn)術(shù)，認(rèn)為通過(guò)記憶更多的解題方法，不斷地做題和訓(xùn)練，就可以得到數(shù)學(xué)能力的提升。

羅博深表示：數(shù)學(xué)并非是一門記憶學(xué)科，也不是考查“熟練度”的學(xué)科。

如果我們只是讓孩子去記住解題技巧，不斷地練習(xí)以達(dá)到熟練，這個(gè)過(guò)程中，他究竟在其中投入了多少思考？

對(duì)此，他給了一個(gè)巧妙地比喻：“就好像，雖然你看了很多場(chǎng)足球賽，并不代表你學(xué)會(huì)了踢球。你需要去操場(chǎng)，嘗試踢不同的角度，在真正的踢球過(guò)程中學(xué)會(huì)踢球。

只有學(xué)生不斷通過(guò)自己的思考，去尋找解題方案，日復(fù)一日地強(qiáng)化，才能真正起到思維鍛煉的效果?！?/span>

去“刷”那些正確率只有60%的題目

羅博深反對(duì)“刷題”，并不意味著他反對(duì)“做題”。他也很贊同，在解決一道道數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，去鍛煉思考能力。

但是，做什么樣的題目？這里面卻大有學(xué)問(wèn)。

羅教授認(rèn)為：想要提高數(shù)學(xué)思維能力，我們應(yīng)該花一些時(shí)間，去練習(xí)那些真正有挑戰(zhàn)性的難題，追求的是“質(zhì)高量少”。

“只有那些學(xué)生不能一眼就看出解題方法，而且成功概率差不多在50%到75%的題目，才是值得做的，有挑戰(zhàn)性的題目。”

現(xiàn)實(shí)情況卻是，很多家長(zhǎng)已經(jīng)習(xí)慣看到孩子拿高分，當(dāng)他們看到孩子僅有50%的正確率，會(huì)很焦慮，覺(jué)得孩子沒(méi)有數(shù)學(xué)天賦。

因此，家長(zhǎng)首先需要轉(zhuǎn)變思路，思考這樣的問(wèn)題：“在傳統(tǒng)考試中達(dá)到 95%的正確率，就能說(shuō)明數(shù)學(xué)很好嗎？這樣的考試，對(duì)數(shù)學(xué)思維鍛煉有幫助嗎？”

羅博深正在授課

羅博深強(qiáng)調(diào)說(shuō)，那些真正會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的人，反而不愿意浪費(fèi)時(shí)間在正確率很高的考試和練習(xí)上，讓他們感到開(kāi)心的是背后的挑戰(zhàn)，而不是表面的分?jǐn)?shù)。這樣的學(xué)生，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上表現(xiàn)優(yōu)異，在各個(gè)方面都會(huì)有飛快的進(jìn)步。

在羅博深的課堂上，他會(huì)提供具有一定難度的題目給學(xué)生。甚至，這些題目可能看上去有點(diǎn)“超綱”，是高年級(jí)階段的考題。

但是他認(rèn)為，“值得思考的好題目，有時(shí)候是不分學(xué)齡和年級(jí)的?！?/strong>只要了解其中的知識(shí)點(diǎn)和概念，并且可以通過(guò)已知的知識(shí)進(jìn)行推理，那么，它就屬于學(xué)生能力范圍內(nèi)，可以去嘗試和挑戰(zhàn)的。

不過(guò)，無(wú)論是設(shè)置課堂練習(xí)，還是為競(jìng)賽出題，羅博深都會(huì)過(guò)濾掉這樣兩種題型：

首先是那些傳統(tǒng)的，學(xué)生已經(jīng)看過(guò)、練過(guò)、可能掌握一定技巧的題目；

其次，是沒(méi)有真正的思考價(jià)值，僅僅只是為了增添解題麻煩程度的題目。

為了方便學(xué)生和家長(zhǎng)，找到合適的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題目，羅博深推薦《Competition Math For Middle School》這本書(shū)。他表示，在美國(guó)這本書(shū)非常風(fēng)靡，參加初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生，幾乎人手一本。

《Competition Math For Middle School》

（目前只有英文版本）

這本書(shū)上的習(xí)題，分成代數(shù)、幾何等不同方向，難度逐漸遞增，方便學(xué)生循序漸進(jìn)地思考，并且配套詳盡的推導(dǎo)過(guò)程。

因此，雖然面向初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，但是小學(xué)一年級(jí)的學(xué)生，只要有了基本的加減乘數(shù)運(yùn)算概念，完全可以用它進(jìn)行思維鍛煉。

羅博深的女兒，就是從一年級(jí)開(kāi)始接觸這本書(shū)。他還表示，很多感興趣的家長(zhǎng)，也可以通過(guò)這本書(shū)和孩子一起學(xué)習(xí)，“因?yàn)槟悴恍枰彻健⒂浗忸}套路，真正的思考過(guò)程，一點(diǎn)都不無(wú)聊”。

數(shù)學(xué)老師應(yīng)該是一名“向?qū)А?/span>

傳統(tǒng)教學(xué)中，往往是由老師先做一遍示范，告訴學(xué)生某一種題型的解決思路，再讓學(xué)生將這樣的題型多練習(xí)幾遍。

羅博深認(rèn)為：這種“輕思考，重習(xí)題”的傳統(tǒng)教學(xué)方法，并不能真正鍛煉數(shù)學(xué)思維。“想要提高數(shù)學(xué)思維能力，老師在課堂上的角色是，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的思考，想出解題做法，而不是老師直接示范怎么做。”

因此，哪怕是面對(duì)低年級(jí)學(xué)生，羅博深也會(huì)像在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)一樣，采用“翻轉(zhuǎn)課堂”的形式來(lái)授課。

課堂開(kāi)始前，他會(huì)展示給學(xué)生今天要解決的題目，請(qǐng)學(xué)生來(lái)提出想法，自己則充當(dāng)“向?qū)А钡慕巧?。在這過(guò)程中，“向?qū)А辈恍枰呒榷肪€，完全可以隨著學(xué)生的興趣去探險(xiǎn)。當(dāng)學(xué)生走進(jìn)一個(gè)‘死胡同’，“向?qū)А眲t會(huì)提醒，是否應(yīng)該換一條路。

羅博深與學(xué)生合影

“這樣的課堂，看似花費(fèi)了時(shí)間，卻能在沿途收獲更多風(fēng)景，也讓學(xué)生知道，解決復(fù)雜的題目時(shí)，需要思考各種可能性，在多方嘗試中找到答案?！?/span>

羅博深相信，這不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還能培養(yǎng)不斷試錯(cuò)、大膽發(fā)散、持之以恒的思考習(xí)慣。

有了這樣的習(xí)慣，當(dāng)他們?cè)儆龅郊值膯?wèn)題時(shí)，才會(huì)有耐心、愿意花費(fèi)時(shí)間和精力，將它克服。

雖然，不可能人人都有機(jī)會(huì)成為羅博深的學(xué)生，但是他依然希望能將自己的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方法，帶給更多人。

他不僅開(kāi)設(shè)了微信公眾號(hào)“羅博深數(shù)學(xué)”，分享趣味數(shù)學(xué)題和自己的學(xué)習(xí)理念；也錄制了一系列視頻課程，讓很多原本恐懼?jǐn)?shù)學(xué)的孩子，也走進(jìn)了奇妙的數(shù)學(xué)殿堂。

羅博深在外灘教育錄課時(shí)與學(xué)生合影

“為什么，無(wú)法直接參與互動(dòng)的錄播課程，也能受到孩子們的喜愛(ài)？”外灘君向羅博深拋出了這一疑問(wèn)。羅博深表示，他的秘訣就是，站在學(xué)生的角度。

繁忙工作之余，羅博深把閑暇時(shí)間的日程表排得滿滿當(dāng)當(dāng)，占據(jù)大部分的是針對(duì)中小學(xué)生的公益講座、公開(kāi)課。因此，他很了解，學(xué)生在面對(duì)一道難題時(shí)，他們的疑惑是什么，能夠想到的方法是什么。

在面對(duì)任何問(wèn)題時(shí)，他都會(huì)假設(shè)自己是一名普通學(xué)生，先順著學(xué)生的思路，嘗試用他們能看懂的推理過(guò)程，一步步推導(dǎo)出背后的解題思路；而不是直接告訴學(xué)生，最高效、最漂亮的解題公式是什么。

正是因?yàn)檎驹诤⒆拥慕嵌?，哪怕是低年?jí)小學(xué)生，聽(tīng)他的課也能興致盎然，信心十足。在這里，他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并不是一堆枯燥乏味的公式，而是一種思維的魅力與樂(lè)趣。

家長(zhǎng)如何幫助孩子提升數(shù)學(xué)思維？

談及自己對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，羅博深表示，這要?dú)w功于參加美國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽期間，遇到的一位數(shù)學(xué)教練，是他引領(lǐng)自己，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力之處，也激發(fā)他成為一名數(shù)學(xué)教育者。

“在孩子的學(xué)習(xí)成長(zhǎng)過(guò)程中，如果能遇到一個(gè)熱愛(ài)數(shù)學(xué)、能激發(fā)孩子興趣的老師，那是幸運(yùn)的。如果沒(méi)有遇到這樣的老師，家庭環(huán)境也可以做一些彌補(bǔ)。”

羅博深給到家長(zhǎng)以下幾個(gè)小建議，在家庭中，也可以給到孩子正確的數(shù)學(xué)啟蒙和思維能力的培養(yǎng)。

 1. 數(shù)學(xué)和計(jì)算，不是一回事 

很多學(xué)齡前兒童和小學(xué)生的家長(zhǎng)，往往會(huì)將數(shù)學(xué)能力，等同于計(jì)算能力。在孩子開(kāi)始學(xué)“加減乘除”時(shí)，他們會(huì)太過(guò)計(jì)較孩子的計(jì)算速度，或者準(zhǔn)確率。

羅博深強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)能力，不等于計(jì)算能力，這是兩回事?！?/strong>不能因?yàn)楹⒆拥挠?jì)算能力薄弱，就斷定為孩子不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這會(huì)讓孩子產(chǎn)生“挫敗感”，從小對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼，甚至?xí)K身形成“我不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的心理暗示。

 2. 多問(wèn)孩子“為什么”

在家庭生活中，家長(zhǎng)完全可以多問(wèn)孩子幾個(gè)“為什么”，來(lái)鍛煉他的數(shù)學(xué)思維。

羅博深舉例說(shuō)，哪怕是簡(jiǎn)單的乘除法學(xué)習(xí)，也可以通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)孩子思考背后的數(shù)學(xué)原理。因此，自己的女兒4歲時(shí)，就學(xué)會(huì)了乘法，她可以回答出4×6是24，當(dāng)然她并不是通過(guò)死記硬背，而是通過(guò)已經(jīng)掌握的加法運(yùn)算，完成推導(dǎo)。

也許，死記硬背的方法，能讓孩子脫口而出，更快掌握；但是數(shù)學(xué)并不等于記憶，多一些對(duì)背后原理的思考，才能達(dá)到思維訓(xùn)練的效果。

 3. 鼓勵(lì)孩子去挑戰(zhàn)難題 

一個(gè)真正能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的家庭環(huán)境，會(huì)鼓勵(lì)孩子去挑戰(zhàn)那些富有挑戰(zhàn)性的難題。

羅博深談及，女兒在10歲左右，就開(kāi)始嘗試美國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，那些沒(méi)有超出她能力范疇的題目。無(wú)論是一個(gè)小時(shí)，還是一整天，只要孩子愿意把時(shí)間花在思考上面，這本身就是一件值得鼓勵(lì)的事情。

此外，當(dāng)孩子思考遇到困難時(shí)，家長(zhǎng)也不要直接給出答案，而是一步一步地提示和引導(dǎo)，永遠(yuǎn)不要?jiǎng)儕Z讓他們思考的機(jī)會(huì)。

 4. 在興趣的基礎(chǔ)上，每天花1-2個(gè)小時(shí) 

很多家長(zhǎng)困惑，在現(xiàn)有的學(xué)業(yè)壓力下，一名普通學(xué)生究竟每天應(yīng)該花多長(zhǎng)時(shí)間，來(lái)鍛煉他的數(shù)學(xué)思維？

羅博深表示，“應(yīng)該讓孩子花他們想花的時(shí)間，大概在1-2個(gè)小時(shí)?！彼貏e強(qiáng)調(diào)說(shuō)，孩子是否對(duì)數(shù)學(xué)感興趣很重要，這是前提。否則，被逼著每天學(xué)習(xí)1-2個(gè)小時(shí)，只會(huì)讓孩子更討厭數(shù)學(xué)。

家長(zhǎng)首先要做的，是激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣。比如，尋找有趣的數(shù)學(xué)書(shū)、思維挑戰(zhàn)類的繪本、思維訓(xùn)練課程，通過(guò)這種碎片化的積累，讓孩子萌發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

當(dāng)然，也可以幫孩子找一些小伙伴，組建一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組。比如美國(guó)的AoPSOnline網(wǎng)站，匯集了全美國(guó)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者。

羅博深的女兒每天放學(xué)后，都會(huì)花1-2個(gè)小時(shí)，在這里跟數(shù)學(xué)愛(ài)好者一起在線做題，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成一種游戲。

AoPSOnline網(wǎng)站 (點(diǎn)此前往)

不可否認(rèn)，在中國(guó)現(xiàn)有的教學(xué)環(huán)境中，基礎(chǔ)的重復(fù)性練習(xí)比較多，學(xué)生需要參加各種各樣的考試。很多課外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)都是“灌輸式”的，要強(qiáng)記很多公式。

這種學(xué)習(xí)方法，也許能在短期內(nèi)提高數(shù)學(xué)成績(jī)。但是，沒(méi)有數(shù)學(xué)思維支撐，是無(wú)法長(zhǎng)久的，它會(huì)消磨掉孩子的熱情和新鮮感，甚至難以應(yīng)付高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

羅教授希望，學(xué)生在這些“基礎(chǔ)學(xué)習(xí)”之余，抽出一小部分時(shí)間，去真正磨練數(shù)學(xué)思維，“哪怕只是每天、甚至一周挑戰(zhàn)一道難題，深度思考，也能獲得數(shù)學(xué)能力的提升！”

部分圖片來(lái)源：cmu.edu.