一、概念剖析
完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
文字?jǐn)⑹?/span>：
兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍．
口訣：
首平方，尾平方，積的兩倍放中央，符號(hào)看前方．
解讀：
1、公式左邊為完全平方，右邊為二次三項(xiàng)式．
2、右邊有兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和，另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與左邊中間的符號(hào)相同．
3、公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式．
4、(首±尾)2＝首2±2·首·尾＋尾2．
二、基本計(jì)算
例1：(－3m＋2n)2
分析：
本題中，首項(xiàng)為負(fù)，我們計(jì)算時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為正，利用互為相反數(shù)的偶次冪相等來(lái)轉(zhuǎn)化，也可利用加法交換律．
解答：
原式＝(2n－3m)2
＝(3m－2n)2
＝(3m)2－2×3m·2n＋(2n)2
＝9m2－12mn＋4n2
變式：(－3m－2n)2
分析：
顯然，本題只能用互為相反數(shù)的偶次冪相等來(lái)轉(zhuǎn)化更快，且符號(hào)不易出錯(cuò)．
解答：
原式＝(3m＋2n)2
＝9m2＋12mn＋4n2
例2：(a＋b＋c)2
分析：
本題中是三項(xiàng)的和的平方，我們可以將其中兩項(xiàng)作為一個(gè)整體，比如a＋b看作公式中的a，c看作公式中的b；也可以a看作公式中的a，b＋c看作公式中的b．
解答：
法1：
原式＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
法2：
原式＝[a＋(b＋c)]2
＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2
變式：(2a－b＋3c)2
分析：
顯然，本題將2a－b看作整體更合適．
解答：
原式＝[(2a－b)＋3c]2
＝(2a－b) 2＋2(2a－b)·3c＋(3c)2
＝4a2－4ab＋b2＋12ac－6bc＋9c2
例3：1042
分析：
本題中，我們可以把104看成100＋4，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用完全平方公式解決．
解答：
原式＝(100＋4)2
＝1002＋2×100×4＋42
＝10000＋800＋16
＝10816
變式：9.92
分析：
本題中，我們可以把9.9看成10－0.1．
解答：
原式＝(10－0. 1)2
＝102－2×10×0.1＋0.12
＝100－2＋0.01
＝98.01
三、技能提升
例1：在下列多項(xiàng)式乘法中，能用完全平方公式計(jì)算的有，如能，寫(xiě)出化簡(jiǎn)的結(jié)果
(1) (－a＋2b)2 ( )
(2) (b＋2a)(b－2a) ( )
(3) (1＋a)(－a－1) ( )
(4) (－3ac＋b)(3ac－b) ( )
(5) (a2－b)(a＋b2) ( )
(6) ( 100－1)(100＋1) ( )
分析：
我們把(a＋b)2展開(kāi)，即可寫(xiě)成(a＋b) (a＋b)，其中，第一個(gè)括號(hào)中的a，與第二個(gè)括號(hào)中的a相同，b也相同，可以稱(chēng)其為“兩同”，是不是只有“兩同”的情況可以用完全平方公式呢？
不止，如(a＋b)(－a－b)，a與－a，b與－b互為相反數(shù)，可以稱(chēng)其為“兩反”，我們可以寫(xiě)成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)2，則“兩反”的情況也可以用完全平方公式．
解答：
(1)可以，兩同，轉(zhuǎn)為(a－2b)2
(2)不可以，一同一反
(3)可以，兩反，轉(zhuǎn)為－(1－a)2
(4)可以，兩反，轉(zhuǎn)為－(3ac－b)2
(5)不可以，
(6)不可以，一同一反
例2：(6m2－5n)(5n－6m2)
分析：
顯然，這是一個(gè)“兩反”形式，所以可以用完全平方公式，注意前面需添負(fù)號(hào)．
解答：
原式＝－(6m2－5n)2
＝－(36m4－60m2n＋25n2)
＝－36m4＋60m2n－25n2
變式：(－2n＋m－3p)(2n－m＋3p)
分析：
類(lèi)似例2，注意前面添負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)要變號(hào)．
解答：
原式＝－(2n－m＋3p)2
＝－[(2n－m)＋3p]2
＝－[(2n－m)2＋2(2n－m)·3p＋(3p)2]
＝－(4n2－4mn＋m2＋12np－6mp＋9p2)
＝－4n2＋4mn－m2－12np＋6mp－9p2
例3：
1022－204×2＋4
分析：
本題中，我們關(guān)注到整個(gè)多項(xiàng)式有3項(xiàng)，其中首項(xiàng)和尾項(xiàng)都是平方形式，可以想到是完全平方公式的展開(kāi)形式，那么，我們可以逆用完全平方公式簡(jiǎn)算．
解答：
原式＝1022－2×102×2＋22
＝(102－2)2
＝10000
變式：化簡(jiǎn)求值，(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)2，其中m＝2019，n＝－2
分析：
本題中，我們不難發(fā)現(xiàn)，如將m＋n看作整體，2(m－n)(m＋n)看作中間項(xiàng)的2×首×尾，則尾項(xiàng)的底數(shù)換成m－n為整體，則整個(gè)式子又可看作是完全平方公式的展開(kāi)形式，直接逆用完全平方公式簡(jiǎn)算．
解答：
原式＝(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(m－n)2
＝[(m＋n)－(m－n)]2
＝(2n)2＝4n2
當(dāng)n＝2時(shí)，原式＝4×22＝16
四、知二推二問(wèn)題
完全平方公式是初一階段的一個(gè)重點(diǎn)，它可以考查配方，可以考查簡(jiǎn)便運(yùn)算，而且又是與初三二次函數(shù)的基礎(chǔ)．我們將完全平方公式進(jìn)行解剖，可以得到四個(gè)重要的代數(shù)式，(a＋b)2，(a－b)2，ab，a2＋b2，而且，我們只要知道其中的兩個(gè)，就能推出另外兩個(gè)，即知二推二．值得一提的是，這些項(xiàng)的次數(shù)都是二次，如果給出的式子是(a＋b)，(a－b)，則需要先去平方，使之變?yōu)槎危?/span>
例1：已知(x－y)2＝3，(x＋y)2＝7，求xy，x2＋y2
分析：
本題可以直接運(yùn)用知二推二的公式，兩式相加÷2或兩式相減÷4．
解答：
例2：已知a－b＝7，ab＝3，求(a＋b)2的值．
分析：
我們所說(shuō)的“知二推二”，知道的都是二次項(xiàng)，而給出的a－b是一次項(xiàng)，因此，要想到先平方，變?yōu)槎危?/span>
解答：
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
＝72＋4×3＝61
變式：已知a－2b＝4，ab＝6，求a＋2b的值
分析：
與上例類(lèi)似，我們要平方，但需要注意的是，兩式子的結(jié)果相差了幾ab，最后計(jì)算時(shí)，別忘了把二次降為一次，注意兩解．
解答：
(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2
∴(a＋2b)2＝(a－2b)2＋8ab＝16＋48＝64
a＋2b＝±8
五、配方法綜合運(yùn)用
例1：若a、b滿(mǎn)足 a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，求代數(shù)式(a＋b)2019的值．
分析：
本題中，我們注意到等式左邊有五項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)可以看作首平方，則－4a，6b可以看作2×首×尾，那自然想到把13拆成兩個(gè)尾平方，這樣的方法叫配方法．通常將其中一項(xiàng)(一個(gè)數(shù))拆成兩個(gè)完全平方項(xiàng)(數(shù))，湊兩個(gè)完全平方式，使之變成0＋0型．
解答：
a2＋b2－4a＋6b＋13
＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9
＝(a－2)2＋(b＋3)2
∴(a－2)2＋(b＋3)2＝0，a＝2，b＝－3，∴原式＝－1．
變式：若x、y滿(mǎn)足x2＋4y2＝6x－16y－25，求代數(shù)式xy 的值．
分析：本題可以與例題一樣如法炮制，但需要先移項(xiàng)．
解答：
由題意得，x2－6x＋4y2＋16y＋25＝0
x2－6x＋9＋4y2－16y＋16＝0
(x－3)2＋(2y＋4)2＝0
例2：4x2－kx＋81是完全平方式，求k．
分析：
本題中，－kx作為中間項(xiàng)，要注意是2首尾的形式，同時(shí)，不要忘了兩解．
解答：
原式＝(2x±9)2
＝4x2±36x＋81
∴k＝±36
變式：16x2＋9添一項(xiàng)整式是共三項(xiàng)的完全平方式，求要添的項(xiàng)
分析：
要使多項(xiàng)式變?yōu)橥耆椒绞?，則必須為首2±2×首×尾＋尾2形式，那么，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三個(gè)位置上，但是，要注意，添加的代數(shù)式是否為整式．
解答：
思考題：
答案詳見(jiàn)下一講
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