π 的美麗
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06-23 18:23
作者：Ali Kayaspor
編譯：方的饅頭 | 公眾號(hào)翻譯部
正文
終于到周末了！在家看了我最喜歡的電視節(jié)目《有趣的人》來解壓。令人驚訝的是，這一集是關(guān)于最著名的數(shù)學(xué)常數(shù)pi（π），它等于圓周長(zhǎng)與直徑之比，通常約為3.14159。芬奇先生（主人公）擔(dān)任代課老師，在黑板上寫下了3.1415926535。然后他問學(xué)生：“這是什么意思？”我想了想在心里回答了這個(gè)問題：“如果我有一個(gè)直徑為1的自行車輪胎，那么自行車輪胎完整轉(zhuǎn)一圈可以行使的距離就是pi。”然而，在電影中，沒有人回答。然后芬奇先生自己回答了這個(gè)問題，說道：
《有趣的人》第二季第十一集“2 Pi R”
“Pi，圓周長(zhǎng)與直徑的比值，3.1415926535僅僅只是個(gè)開始。它永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，這意味著包含在這串小數(shù)中的是每一個(gè)其他的數(shù)字；你的出生日期，你的抽屜密碼，你的社保賬號(hào)等等。這些都在那里的某個(gè)地方。如果你把這些小數(shù)轉(zhuǎn)換成字母，你就會(huì)在每一個(gè)可能的組合中找到每一個(gè)單詞；你小時(shí)候講的第一個(gè)音節(jié)，你最近迷戀對(duì)象的名字，你從頭到尾的整個(gè)人生故事，以及我們?cè)?jīng)說過或做過的一切。世界上所有的無限可能都在這個(gè)簡(jiǎn)單的圓中。那么你將如何處理這些信息；它有什么好處？呃，這取決于你……”
雖然那個(gè)場(chǎng)景實(shí)際上不準(zhǔn)確，但我喜歡它。這個(gè)場(chǎng)景很美，因?yàn)槭澜缟洗蠖鄶?shù)老師都像這里的芬奇先生一樣努力成為一個(gè)好老師和一個(gè)有趣的老師。他對(duì)這門課的認(rèn)知使討論延伸到課本之外，并使學(xué)生在課堂上保持注意力集中。
偉大的曼德爾布羅特 | Pi的歷史 | 如何烘焙Pi
Pi是圓周長(zhǎng)與直徑的比值。直徑正好與邊界的π倍相吻合。Pi展開
不幸的是，這是錯(cuò)誤的，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們還沒有證明pi具有“常態(tài)”的特征。換句話說，數(shù)學(xué)家們不確定pi是否包含從0到9的所有有限長(zhǎng)的數(shù)字排列。他們不確定如果每一個(gè)數(shù)字在pi的十進(jìn)制表示中是一個(gè)確定次數(shù)還是一個(gè)無限次數(shù)。
π中的數(shù)字是無窮盡的
如果我們持續(xù)下去，沒人知道我們會(huì)在Pi的數(shù)字中找到什么。例如，當(dāng)我們檢查pi的前十億位數(shù)字時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)字7出現(xiàn)了近1億次。這使得pi成為一個(gè)很好的隨機(jī)數(shù)生成器。然而，在某些點(diǎn)后，pi可能不包含數(shù)字7，而是可能有一個(gè)僅有兩個(gè)或三個(gè)數(shù)字的非重復(fù)號(hào)碼，就像010203112233000011122233……
例如，在pi的前761位數(shù)字之后，有一個(gè)著名的數(shù)學(xué)巧合，一行中連續(xù)出現(xiàn)6個(gè)9，稱為費(fèi)曼點(diǎn)（“費(fèi)曼點(diǎn)”）。
推特，費(fèi)曼圖書館，“Pi中的費(fèi)曼點(diǎn)”
但我們確信pi的數(shù)字會(huì)一直以隨機(jī)的順序持續(xù)下去。這使得pi很有趣，因?yàn)閜i的值是有限的，然而，它的十進(jìn)制值是無限長(zhǎng)的。這不矛盾。Pi是一個(gè)常數(shù)，因?yàn)樗且粋€(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，這是有限值。不過，我們?nèi)匀恍枰粋€(gè)pi的近似值。
1768年，約翰·蘭伯特證明了pi是一個(gè)無理數(shù)，它不能寫成有理簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)。22/7是一個(gè)常用的近似值，但不包含pi的所有數(shù)字。這是因?yàn)闊o理數(shù)不能寫成兩個(gè)數(shù)字的比值，例如ab，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)字持續(xù)到無窮大且不遵循一個(gè)模式。1882年，費(fèi)迪南德·林德曼證明了pi是一個(gè)超越數(shù)，因?yàn)樗皇谴鷶?shù)；它不是一個(gè)具有有理系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式方程（“超越數(shù)”）。
我們很有把握的說pi是超驗(yàn)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)家金田康正發(fā)現(xiàn)pi的前萬億位數(shù)字在統(tǒng)計(jì)上是隨機(jī)的。如果查看下表，你會(huì)看到每個(gè)數(shù)字發(fā)生的時(shí)間都是獨(dú)立的，并且發(fā)生的概率是十分之一（“金田康正實(shí)驗(yàn)室”）。
多年后的2019年，愛瑪·治子·巖發(fā)現(xiàn)34.1萬億位數(shù)的pi。治子和他的計(jì)算機(jī)花了121天的時(shí)間，因?yàn)橛?jì)算pi需要很大的能量，即便對(duì)于一臺(tái)計(jì)算機(jī)也是如此。你可以像這樣在你的腦海里想象它：如果你用正常大小的普通字體打印十億個(gè)十進(jìn)制Pi值，它會(huì)從紐約排到堪薩斯。
然而，34.1萬億位數(shù)字仍然不足以證明pi是常態(tài)與否（“天空中的Pi”）。超級(jí)計(jì)算機(jī)仍在處理這些數(shù)字。如果你查看以下圖表，你將會(huì)看到自公元前250年以來每年已知的pi的數(shù)字。
“甚至在31萬億位數(shù)后，我們?nèi)晕措xPi更近一點(diǎn)”
回到芬奇先生，我們看到他并非百分之百錯(cuò)誤。我們可以很容易地在pi中找到我們的生日。如果你去mypiday.com輸入你的生日，它會(huì)給你在pi中的小數(shù)位。例如，我的生日出現(xiàn)在小數(shù)點(diǎn)后的第675097位。
如果pi是正常數(shù)，那么我們可以說我們的整個(gè)命運(yùn)都是用pi編碼的。我們將來會(huì)拍攝的照片將會(huì)是pi，因?yàn)閳D像背后有二進(jìn)制數(shù)字。所有數(shù)碼產(chǎn)品都是pi。甚至這篇文章已經(jīng)在pi中存在了數(shù)千年。此外，每個(gè)生物的DNA都是pi。芬奇先生其實(shí)是對(duì)的。
有一種有趣且藝術(shù)的方式來展示pi的隨機(jī)性。一些科學(xué)家可能對(duì)他們繁瑣的散點(diǎn)圖很滿意，但也有一些藝術(shù)家通過使用顏色進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化與公眾交流。馬丁·克茲溫斯基就是這樣一個(gè)藝術(shù)家，他在Pi的隨機(jī)性中發(fā)現(xiàn)了美和藝術(shù)性。他給pi的每一個(gè)數(shù)字加上不同的顏色。例如，他給3用橘色，1用紅色，4用黃色等等。隨后他做了一張很漂亮的海報(bào)。如果你仔細(xì)觀察，你看不到顏色的任何特定圖案。
具體畫法，查看這篇文章：
3.14特別紀(jì)念 | π 的第100000000000000···
除了很多有關(guān)pi的有趣事實(shí)外，它也是迄今為止數(shù)學(xué)史上研究最多的數(shù)。許多人想要記住pi的數(shù)字，而不是其他無理數(shù)的數(shù)字（優(yōu)兔，美國公共電視臺(tái)新聞時(shí)間）。它使人們陷入瘋狂和混亂。幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們一直在努力精確計(jì)算pi。
那么，我們是應(yīng)該停止研究pi還是應(yīng)該繼續(xù)尋找一個(gè)更好的近似值呢？假設(shè)pi等于3.14就足夠了嗎？或者使用pi的40位數(shù)字就足以計(jì)算銀河系的周長(zhǎng)，其誤差是否小于質(zhì)子的大小呢（美國國家航空航天局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室）？Pi的前152位是否足以找到可觀測(cè)宇宙的周長(zhǎng)為930億光年呢（《連線》）？多年來有數(shù)百名數(shù)學(xué)家一直試圖找出pi的更多數(shù)字。這就像是試圖登月，然后到下一個(gè)星球等等。但是為什么呢？為什么數(shù)學(xué)家們會(huì)費(fèi)心計(jì)算更多的數(shù)字？為什么pi的34.1萬億位數(shù)還不夠呢？是因?yàn)閜i潛伏于每一個(gè)圓中嗎？
邏輯上的原因似乎很隱晦；這是因?yàn)閜i是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一個(gè)很好的來源。然而，真正的原因似乎是各國可以向其他國家展示他們的技術(shù)，因?yàn)橛?jì)算萬億位數(shù)的pi需要一臺(tái)非常強(qiáng)有力的計(jì)算機(jī)。例如，《星際迷航》中的一集“狼在折疊”，斯波克命令邪惡的計(jì)算機(jī)“計(jì)算Pi的最后一位值”。所以讓計(jì)算機(jī)計(jì)算Pi被稱為“壓力測(cè)試”，并且可能會(huì)讓它崩潰。
1962年9月12日，約翰·肯尼迪發(fā)表了一篇關(guān)于太空計(jì)劃的演講。他說：
“迄今為止，外層空間沒有爭(zhēng)論，沒有偏見，也沒有國家沖突。它的危害對(duì)我們所有人都是敵對(duì)的。征服它是全人類最值得的，以及很多關(guān)于和平合作的機(jī)會(huì)再也沒有了。但是有人說，為什么是月亮呢？為什么選擇這個(gè)作為我們的目標(biāo)呢？以及他們可能會(huì)問為什么要爬最高的山？我們選擇去登月。我們選擇在這十年內(nèi)登月并做其他事情，不是因?yàn)樗鼈兒苋菀?，而是因?yàn)樗鼈兒茈y，因?yàn)檫@個(gè)目標(biāo)將有助于組織和衡量我們最好的能量和技能，因?yàn)檫@個(gè)挑戰(zhàn)是我們?cè)敢饨邮艿?，一個(gè)是我們不愿意推遲，一個(gè)是我們打算贏得的，以及其他也一樣?！?/p>
我們不可避免地將過去聯(lián)系在一起，而pi是一條貫穿人類歷史的線索。這就是為什么我們可以說，只要有人，總會(huì)有人想知道接下去會(huì)發(fā)生什么。我向你們保證，在世界的某個(gè)地方，有一位數(shù)學(xué)家或科學(xué)家正在使用pi來獲取對(duì)我們宇宙來說重要的東西，因?yàn)閜i仍然是大自然神秘的常數(shù)。
尋找Pi
之前的陳述是完全正確的，因?yàn)橐恢庇腥嗽谧鯬i的工作。數(shù)學(xué)和文明一樣古老。Pi已經(jīng)被人類研究了將近4000年。當(dāng)最后一只猛犸滅絕時(shí)，人們就在研究Pi。據(jù)我們所知，古希臘的阿基米德是最早計(jì)算pi的人之一。他最有可能幫助車輪制造商。但他如何估計(jì)pi的值呢？
首先，他把所有多邊形看成一個(gè)圓。根據(jù)阿基米德，如果你不斷增加多邊形的邊數(shù)，你會(huì)更接近完美的圓。換句話說，一個(gè)五邊形比一個(gè)正方形更圓，但是一個(gè)六邊形比一個(gè)五邊形更圓等等。因此，富有傳奇色彩的阿基米德在兩千多年前將一個(gè)圓定義為一個(gè)有著非常多條邊的正多邊形。
他的定義很有用，因?yàn)楹茈y精確測(cè)量一個(gè)曲面。他找到了求圓周長(zhǎng)的方法。首先，他畫了一個(gè)正方形，它的角接觸到圓周，并找到了內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)。其次。他畫了另一個(gè)正方形，它的邊也接觸到圓周，并找到外接正方形的周長(zhǎng)。他得出的結(jié)論是，圓周長(zhǎng)必須介于這兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之間。
然而，使用這種方法，當(dāng)他使用正方形時(shí)，這兩個(gè)值之間的差異非常大。所以，他畫了五邊形來觀察圓周長(zhǎng)的上下限。他當(dāng)時(shí)得到一個(gè)小區(qū)間。之后，他不斷增加他在圓內(nèi)外繪制的多邊形的數(shù)量。每次他這樣做，他的估值就會(huì)變得更準(zhǔn)確。阿基米德直到筋疲力盡才得到了一個(gè)96條邊的正多邊形[稱為“正六邊形”]。他發(fā)現(xiàn)那時(shí)的上下限分別是3.1408和3.1429。因此，他將π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后兩位。
阿基米德的方法需要改進(jìn)，因?yàn)樗膲勖蛔阋蚤L(zhǎng)到親自找到pi的其他數(shù)字。數(shù)學(xué)家們需要發(fā)現(xiàn)更有效的公式和新技術(shù)。
在他們做到這一點(diǎn)之前，他們需要發(fā)現(xiàn)代數(shù)。起初，人們用符號(hào)來表示數(shù)字。例如，假設(shè)你和你的鄰居共有75匹馬，而你有35匹。沒有代數(shù)，解答需要很長(zhǎng)時(shí)間。但在發(fā)現(xiàn)代數(shù)之后，我們只用方程式就能解決問題。這個(gè)特定的例子中，我們可以寫75 = x + 35，其中x是你鄰居的馬。寫這樣的方程式并使用變量代替數(shù)字，對(duì)于古典世界來說是革命性的。允許代數(shù)在所有數(shù)學(xué)中更容易計(jì)算。
偉大的數(shù)學(xué)家們對(duì)代數(shù)的采用激發(fā)了一種看待世界的全新方式。計(jì)算pi的下一個(gè)大飛躍是微積分的發(fā)明。在那之后，數(shù)學(xué)家們開始研究無窮級(jí)數(shù)。無窮級(jí)數(shù)是一個(gè)表達(dá)式，數(shù)字一個(gè)接一個(gè)地加在一起直到無窮大，有時(shí)這些無窮級(jí)數(shù)收斂到一個(gè)特定的值。
現(xiàn)在有很多方法可用來計(jì)算Pi。戈特弗里德·萊布尼茲在無窮遠(yuǎn)處找到pi。詹姆斯·格雷戈里發(fā)現(xiàn)pi的以下方程式。他正在為下面的反正切函數(shù)研究一個(gè)令人驚訝的無窮級(jí)數(shù)。他將無限多的數(shù)字加在了一起，并發(fā)現(xiàn)了pi。
他把x=1放入反正切級(jí)數(shù)中。他向我們展示了我們走的越遠(yuǎn)，我們得到的pi估值越接近。然而，為了得到10位數(shù)的pi，我們需要寫大約50億個(gè)分?jǐn)?shù)來相加。
在那之后，另一位偉大的數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉正式采用希臘字母“π”作為代表數(shù)值的符號(hào)，在他28歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更有效的方程式。這個(gè)符號(hào)就有標(biāo)志性。歐拉的Pi方程式計(jì)算出來一個(gè)無窮和。巴塞爾問題以他的名字命名。
歐拉還用Pi寫出了另一個(gè)美麗的方程式，歐拉恒等式。
多虧了印度數(shù)學(xué)家拉馬努金對(duì)pi的癡迷，我們才有了很多新的公式來找到pi。當(dāng)從印度到劍橋后，他帶來了一本筆記本，里面用了400頁的公式來找到pi。
在機(jī)械計(jì)算機(jī)發(fā)明之后，數(shù)學(xué)家使用萊布尼茲、歐拉和拉馬努金的無窮級(jí)數(shù)來計(jì)算pi的萬億位小數(shù)（斯坦福密碼學(xué)組）。如果沒有超級(jí)計(jì)算機(jī)，要找到pi的數(shù)字將是困難的。舉個(gè)例子，數(shù)學(xué)家威廉·尚克斯設(shè)法徒手計(jì)算pi的前707位數(shù)，但不幸的是，他在第527位之后犯了一個(gè)錯(cuò)誤。
Pi無處不在
螺旋描記器是數(shù)學(xué)模式，其中不同的旋轉(zhuǎn)變量產(chǎn)生不同的結(jié)果
孩子們?cè)谄吣昙?jí)時(shí)開始學(xué)習(xí)pi，并且使用pi直到他們從大學(xué)畢業(yè)。甚至在那之后，大多數(shù)人在他們的孩子上學(xué)時(shí)重新使用起pi。Pi出現(xiàn)在宇宙的每一個(gè)地方以及我們生活的每一個(gè)時(shí)間。它完全融入我們的宇宙；行星的軌道，電磁波，河流，極光的顏色，DNA的結(jié)構(gòu)，吉薩大金字塔……
如果一個(gè)科學(xué)家想要描述宇宙的結(jié)構(gòu)或者發(fā)現(xiàn)行星之間的關(guān)系，他/她肯定需要使用Pi。因?yàn)槿魏紊婕皥A或球體的東西都是關(guān)于Pi的。出現(xiàn)在自然界的圓，無論是肥皂泡，還是夜空中的月亮。這就解釋了為什么數(shù)學(xué)在所有科學(xué)領(lǐng)域中都很重要。Pi幫助我們看到各種物理過程背后的數(shù)學(xué)思想。
在字母“Pi”上顯示出巧妙的玩法的GIF
Pi與地球上的河流有直接關(guān)系。但是如何呢？為了找到這個(gè)，我們需要用兩種不同的方法來測(cè)量河流的長(zhǎng)度。假設(shè)我們知道河流的起點(diǎn)和終點(diǎn)。首先，我們需要實(shí)際長(zhǎng)度來看看這條河有多彎曲。換句話說，你需要從起點(diǎn)游到終點(diǎn)。整個(gè)長(zhǎng)度將為“L”。其次，我們需要找到一個(gè)直的長(zhǎng)度。換句話說，這次我們需要從起點(diǎn)飛到終點(diǎn)。而這條直線路徑將是一個(gè)小寫的“l(fā)”?，F(xiàn)在我們可以用L除以l來寫出彎曲度的公式。彎曲度是一個(gè)比值，用來衡量河流有多彎曲。
這里最重要的是沒有限制彎曲度有多高。這條河可能非常彎曲。然而，漢斯·亨利克·圣盧姆證明了世界各地河流的平均彎曲度是pi。如果你找到所有河流的彎曲度并取其平均彎曲度，你應(yīng)該得到Pi（曲流河）。
關(guān)于彎曲度還有一個(gè)有趣的事實(shí)。河流在某些地方會(huì)非常彎曲。我們希望有很高的彎曲度。但突然間，那些河流變得筆直，使得彎曲度等于Pi。所以，由于流體動(dòng)力學(xué)的原因，很難找到彎曲度等于7的河流。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)最高的彎曲度約為3.5，最低的彎曲度約為2.7。
一段時(shí)間后，河流會(huì)變得非?；靵y。然后他們突然恢復(fù)正常。在極度彎曲的地方，河流在彎曲點(diǎn)之后切短，并形成一條再次變直的捷徑。這種現(xiàn)象被稱為牛軛湖，它控制著河流的彎曲度。這使得河流的彎曲度近似Pi。
空間中的Pi
我們的宇宙中存在著一種固有的數(shù)學(xué)秩序。例如，為了了解我們的太陽系，我們需要Pi。我們知道我們的星球在它的主恒星前面移動(dòng)。光來自于主恒星。談到在這個(gè)光，我們需要知道這個(gè)主恒星有多大。換句話說，我們需要主恒星的表面積。球體表面積的公式是4πr2，r是恒星的半徑。行星的大小也有助于科學(xué)家們猜測(cè)它是否適合居住。
每8個(gè)地球軌道，金星繞太陽運(yùn)行13次
顯示pi和宇宙之間關(guān)系的另一個(gè)不錯(cuò)的例子是靜電力，它是兩個(gè)電荷之間的力。電子向各個(gè)方向施加力并形成球場(chǎng)。電子也在電場(chǎng)中相互作用。為了計(jì)算這種相互作用，我們需要找到球體的表面積，這里再次出現(xiàn)=pi。
Pi和重力也有聯(lián)系。如果你有機(jī)會(huì)去看看愛因斯坦的場(chǎng)方程，你會(huì)注意到那兒也有Pi。
上面的公式計(jì)算具有大質(zhì)量的物體，例如恒星和星系，如何通過它們的重力來彎曲空間和時(shí)間。愛因斯坦說，就像坐在床單上的球一樣，任何形式的動(dòng)量和能量也可以圍繞它彎曲時(shí)空?？偠灾绞牵?/p>
Gravity = 8 x π x Energy & Momentum
因此Pi是宇宙的重力、能量和動(dòng)量以及其中包含的所有物體的一部分。不是任何其他無理數(shù)。如果你對(duì)地球重力開平方根，你得到的值近似Pi。
在自然界中尋找Pi
無窮級(jí)數(shù)不是尋找Pi的唯一途徑。你可以通過一些酷炫且有趣的活動(dòng)來自行估算pi值。其中之一被稱為蒙特卡羅方法。假設(shè)你正在使用1×1的網(wǎng)格。你正在生成0和1之間的用來繪制坐標(biāo)平面上的點(diǎn)。如果你繼續(xù)繪制點(diǎn)，你將會(huì)看到一些點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于1.其中一些點(diǎn)將大于1。在某些點(diǎn)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你得到了一個(gè)四分之一圓。如果你找到該四分之一圓的面積，它近似π/ 4。下面有一個(gè)1000點(diǎn)的例子。你可以從這里開始試試。
如果你不想處理計(jì)算機(jī)編程，那么你只需使用一只鉛筆和一張紙來完成。你只需畫一個(gè)半徑為1的圓，然后圍繞圓畫一個(gè)正方形。正方形的面積必須是4，因?yàn)閳A的直徑是2?，F(xiàn)在，如果你拿著鉛筆閉上眼睛，在紙上多次畫上隨機(jī)點(diǎn)，最終你的點(diǎn)落在圓內(nèi)的的百分比將接近π/4。所以你可以在這里感覺像是阿基米德。
布馮針
在還沒有網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，孩子們常常在地板上玩硬幣，看硬幣是否穿過一條線。法國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家喬治·路易斯·勒克萊爾決定計(jì)算出硬幣穿過一條線的概率。好主意！
他首先將一根針落在一張附有內(nèi)襯的紙上，并確定針穿過紙上一條線的概率。然后他用很多針做了多次實(shí)驗(yàn)。他取得了顯著的結(jié)果。概率與無窮盡的pi值直接相關(guān)，因?yàn)樗袈涞尼様?shù)除以穿過一條線的針數(shù)幾乎等于2倍的pi。所以他做了一個(gè)公式：
P：概率 | n:針數(shù) | c:針穿過一條線的數(shù)量。然后：
P = 2n/c
在勒克萊爾之后，一位意大利數(shù)學(xué)家拉扎里尼投擲了將近4000次針頭來完成這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。他精確地得到了pi。他得到了pi的前六位小數(shù)。
你可以查看以下的蒙特卡羅模擬。動(dòng)圖顯示了使用不同牙簽數(shù)量對(duì)pi的估計(jì)。
投擲1000次針頭來估計(jì)pi
Pi日
經(jīng)過長(zhǎng)期的pi學(xué)習(xí)歷史，人們決定在3月14日組織一個(gè)pi的官方慶?；顒?dòng)。自1988年起，人們?cè)?月14日慶祝這個(gè)神奇的常數(shù)。有一個(gè)有趣的巧合，阿爾伯特·愛因斯坦出生于1879年3月14日的Pi日。愛因斯坦也在Pi日發(fā)表了他的廣義相對(duì)論。
Pi日的谷歌徽標(biāo)
總而言之，數(shù)學(xué)是一種被印刻在全人類大腦中的語言。Pi只是那種語言中的一個(gè)詞。約翰·肯尼迪知道月亮并不是無限遙遠(yuǎn)，并且他到了那里。我相信總有一天偉大的數(shù)學(xué)家們會(huì)揭示pi的所有數(shù)字。
我希望在我還是學(xué)生的時(shí)候，芬奇是我的老師。
有趣的人曼德爾布羅特費(fèi)曼點(diǎn)費(fèi)曼圖書館約翰·蘭伯特
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