今天上午我們在課標(biāo)中講到了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中，知道了此次課標(biāo)的最大改變是：
“雙基”變“四基”。
四基：
數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)
“六個(gè)核心詞”變“十個(gè)核心詞”
十個(gè)核心詞：
數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識
其中：幾何直觀、運(yùn)算能力、模型思想、創(chuàng)新意識是新加上去的。
下面我們一一對十個(gè)核心詞進(jìn)行講解：
一、數(shù)感
數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。
建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。
如同球員的球感，歌手的樂感一樣……
（姚明是大家都比較熟悉的，他在NBA賽場上，大家都看到他一個(gè)個(gè)漂亮的投球、一個(gè)個(gè)漂亮的動作，這都是跟他的球感分不開的；還有歌手，之所以成名，是因?yàn)樗麄兙哂休^好的音樂細(xì)胞，具有較強(qiáng)的音樂感分不開的，如果一個(gè)人，五音不全，也就是說他缺少音樂感，你想說他要成為一個(gè)歌手那就是做白日夢一樣，就是讓他唱一首普通的歌曲都很難的。）
簡單、通俗地說，數(shù)感就是數(shù)的感覺。
教學(xué)數(shù)數(shù)、數(shù)的基數(shù)意義與序數(shù)意義、數(shù)序與數(shù)的大小比較……都有助于形成數(shù)感。
數(shù)感培養(yǎng)實(shí)踐的誤區(qū)……
誤區(qū)之一：數(shù)感是與生俱來的，后天無法養(yǎng)成（龍生龍、鳳生鳳、老鼠生來挖地洞；貓生貓、狗生狗、小偷兒子三只手的思想）
不可否認(rèn)，某些數(shù)學(xué)家天生就有很強(qiáng)烈的數(shù)感，10歲的高斯毫不費(fèi)勁地完成了等差數(shù)列（比如由1到100的自然數(shù)）求和，得益于他對計(jì)算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨(dú)立完成了三角形內(nèi)角和定理的證明，一直為人們津津樂道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產(chǎn)生了八位數(shù)學(xué)家，我國南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孫的數(shù)學(xué)成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數(shù)。
數(shù)感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結(jié)果。解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒出身于法國貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國農(nóng)民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國農(nóng)民；費(fèi)馬則是法國皮革商的兒子。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒有一人是數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全靠后天養(yǎng)成。更何況數(shù)學(xué)新課程的培養(yǎng)目標(biāo)不是數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“獲得適應(yīng)未來社會生活和繼續(xù)學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基本知識和技能”，會“數(shù)學(xué)地”思考問題。
誤區(qū)之二：數(shù)感的培養(yǎng)必須通過數(shù)學(xué)情境
通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，這是新課程所提倡的，本身無可厚非。問題是有些教師過于追求教學(xué)的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學(xué)課脫離了情境，就不是新課程理念下的數(shù)學(xué)課。為了培養(yǎng)數(shù)感，今天是去商店“買東西”，明天要旅游點(diǎn)“買門票”，后天又是計(jì)算“存款利息”，或者呢今天喜洋洋、明天灰太狼、后天黑貓警長，一派糊涂，剛開始的新鮮勁一過，學(xué)生們漸漸習(xí)以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣。
誤區(qū)之三：脫離學(xué)生實(shí)際的“自編題”
為了貼近生活，老師常?！巴诳招乃肌本幵煲恍╊}目來幫助學(xué)生建立數(shù)感，由于忽視了學(xué)生的生活基礎(chǔ)往往顯得不倫不類。比如：“100張新版的100元人民幣捆在一起有多厚？1億張100元人民幣有多厚？”想想一下，有多少個(gè)孩子，特別是農(nóng)村孩子，有測量100張100元人民幣的機(jī)會。同樣的理由，在課堂上讓學(xué)生完成下面這道題也有點(diǎn)不切實(shí)際：“請你測量一張新版100元人民幣的長、寬及厚度是多少？假如這種人民幣有100萬元，請你為銀行設(shè)計(jì)一種長方體鐵箱來裝這100萬元，長方體鐵箱的長、寬、高最少是多少？你有哪幾種方案？”難道我們的小學(xué)生當(dāng)場都能摸出100元錢？其實(shí)，用學(xué)生身邊的東西也可以達(dá)到同樣的目的：“量一量你的數(shù)學(xué)課本，每頁紙的厚度大約是多少？這本書有多厚？100本這樣的書摞在一起有多高？1億本呢？”
過于依賴量，過于特殊的量
下面是一個(gè)很好的案例
利用千字文這個(gè)例子來讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)感是一個(gè)比較貼近生活的例子。（A學(xué)生有可能會一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)；B可以一行一行地?cái)?shù)，每行有20個(gè)，共有50行；C可以一列一列地?cái)?shù)，每列有50個(gè)，共有20列；D兩列共100個(gè)，兩列兩列地?cái)?shù)，有這樣的10組；E一行20個(gè)，5行就是100個(gè)，這樣每5行就是100，做個(gè)記號，最后一數(shù)共有10個(gè)100，就是1000。）
將千字文貫穿于教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)，絕非牽強(qiáng)附會、嘩眾取寵，用千字文遠(yuǎn)非教材中立方塊所能比擬，而且不但能激發(fā)興趣，更能讓孩子們在無形中受到文學(xué)熏陶，讓課堂彌漫著別樣的人文氣息。（學(xué)科滲透）
3000006000 三十億零六千
（我們平時(shí)在教學(xué)學(xué)生讀數(shù)的時(shí)候，都是要求學(xué)生按照每一級末尾的0不讀；每一級開頭的0或中間有0都要讀出來，但不管有多少個(gè)0只讀一個(gè)就行。）
在這里這個(gè)“零”能不能去掉
30600， 30060， 30006
三萬零六百 三萬零六十 三萬零六
接下來的這些“零”能不能去掉，去掉后會有什么變化？
6789讀作( )千 ( ) 百 ( ) 十 ( ) ；
6789由( )個(gè)千，( )個(gè)百，( )個(gè)十和( )個(gè)一組成.
6789=( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( )
這三道練習(xí)是讓學(xué)生通過讀數(shù)、數(shù)的組等來讓學(xué)生讀出數(shù)感來。
怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感：
1.在數(shù)概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)感
（1）圖形的展示讓學(xué)生從數(shù)的概念的認(rèn)識中，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，先從一到十到百到千到幾千的認(rèn)識，讓學(xué)生感知到數(shù)形成和大小。
（2）看圖寫數(shù)這個(gè)練習(xí)(數(shù)概念直觀化的練習(xí))是讓學(xué)生直觀的認(rèn)識，讓學(xué)生增強(qiáng)數(shù)感
（3）第2到練習(xí)是（數(shù)概念生活化的練習(xí)）是把數(shù)概念滲透到生活中去，讓學(xué)生從具體的情境中去感悟10000有多大，同時(shí)大家都知道；數(shù)學(xué)來源于生活，有服務(wù)于生活，所以在這，教師注意選材，讓學(xué)生能真正的體會出10000大概會有多大。
（4）前面的讀一讀、填一填的練習(xí)（數(shù)概念形式化的練習(xí)）
“多樣化”旨在“各取所需”，適應(yīng)不同學(xué)生！
這里的“多樣化”是指在取材方面要適合學(xué)生的需求、適應(yīng)不同的學(xué)生。
2.在計(jì)算教學(xué)中發(fā)展數(shù)感
小數(shù)乘法計(jì)算法則的推導(dǎo)通過形象直觀的圖表，讓學(xué)生先知道0.15×3可以看成是有3個(gè)0.15，也可以看做先有3個(gè)0.1，再加上3個(gè)0.05。
分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則的推導(dǎo)是結(jié)合直觀的演示，讓學(xué)生感知6除以三分之二，其實(shí)就是把1小時(shí)的路程看成一個(gè)整體，也就是3份中的2份是6 ，那1份就是6÷2,3份就是6÷2×3，從而有根據(jù)前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)就可以換成乘倒數(shù)，再結(jié)合結(jié)合律，計(jì)算法則自然就會推導(dǎo)出來。
小學(xué)數(shù)學(xué)歷來重視數(shù)感培養(yǎng)，從“自發(fā)”走向了“自覺”
3.在解決實(shí)際問題中展現(xiàn)數(shù)感
72×15＝1080（米）
1080稍大于1000；就應(yīng)該在少年宮的東面。
1080超過2000的一半多一點(diǎn)，從而就容易標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)。都是真正的數(shù)感，與量無關(guān)
二、符號意識
符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。
建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。
對于兒童來說，在幼兒園或一年級老師常常教幼兒讀兒歌：
1像鉛筆，會寫字。2像鴨子，水中游。
3像耳朵，聽聲音。4像小旗，迎風(fēng)飄
5像稱鉤，來買菜。6像哨子，吹聲音。
7像鐮刀，來割草。8像麻花，擰一道
9像蝌蚪，尾巴搖。10像鉛筆加雞蛋
（貫穿數(shù)形結(jié)合的思想）
其實(shí)數(shù)字也是一種數(shù)學(xué)符號。把數(shù)與形結(jié)合起來，這也是一種符號意識。
對于小學(xué)數(shù)學(xué)來說：
首先是讓學(xué)生親近符號，接受、理解符號！
怎樣讓學(xué)生親近符號，接受、理解符號呢？
先認(rèn)識運(yùn)算符號
“＋”從演示過程看，加號更直觀的表示合并；
“－”從演示過程看，減號更直觀的表示去掉一部分；
“×”從演示過程看，乘號是加號的特殊形式，因而乘法就是加法的特殊（簡便）的運(yùn)算；
“÷”從演示過程看，除號表示平均分，非常平均。（上下一樣）
關(guān)系符號
“＝”處處平衡（“再也沒有比平行而又等長的短線段更確切的相等符號了” ——列科爾德）
“＞”向左張開，不平衡，伸出右手兩指張開就形成一個(gè)“＞”。
“＜”向右張開，不平衡，伸出左手兩指張開就形成一個(gè)“＜”。
“≈”處處變彎，但間隔接近。
“≠”在等于號上打了一撇，表示不相等。
諸如此類，舉不勝舉。
可見：數(shù)學(xué)符號如同“象形文字”，
簡潔、生動、形象、傳神。
符號本身就具有促進(jìn)理解，幫助記憶的教學(xué)功能。
任何教學(xué)藝術(shù)、任何語言描繪，都相形見絀?。╟hu）
其次是讓學(xué)生感悟符號表達(dá)的優(yōu)勢與作用。
乘法分配律中，兩個(gè)數(shù)與它們、一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)是對應(yīng)的，但是數(shù)字符號至局限于本道題，而用字母表示它就可以隨意了。
（數(shù)學(xué)魔術(shù)）
你想一個(gè)整數(shù)，把它乘2加7，再把結(jié)果乘3減21。告訴我計(jì)算結(jié)果，我立即能判斷出你想的整數(shù)是多少？
設(shè)：所想的數(shù)為x，
則（2x＋7 )×3－21
＝6x＋21－21
＝6x
其實(shí)這里的密密就是6的倍數(shù)，（也就是說你要說出的整數(shù)必定是6的倍數(shù)才符合題意）就直接把這個(gè)數(shù)除以6就可以得到該數(shù)。
三、空間觀念
空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。
實(shí)際物體 幾何圖形
特征描述
在教學(xué)幾何圖形的時(shí)候，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教材的編排意圖，一般情況都是先于實(shí)際物體讓學(xué)生通過觀察、探索，從中抽象出幾何形體，然后再次根據(jù)實(shí)物和形體進(jìn)行特征描述。
空間觀念發(fā)展規(guī)律 例如：指認(rèn)圓柱高
空間知覺（表象的基礎(chǔ)） 實(shí)物指認(rèn)
↓
空間觀念（表象的形成） 圖形指認(rèn)
↓
空間想象（表象的改造） 剖面指認(rèn)
三種水平既遞進(jìn)發(fā)展，又交錯共存
小學(xué)生空間觀念發(fā)展的若干特點(diǎn)
(1)從感知強(qiáng)成分到感知弱成分
強(qiáng)弱具有相對性,特殊性
如：形狀；邊的長短是強(qiáng)成分；
關(guān)系；角的大小是弱成分。
（第一個(gè)圖的展示）在人的錯覺中，認(rèn)為角的邊越長，角就越大，第一個(gè)圖的展示是通過平移后，兩個(gè)角剛好完全重合，讓學(xué)生更加加深角大小不是由邊的長短有關(guān)，而是與角的張開的大小有關(guān)。
（第二個(gè)圖的展示）初看給人的感覺好像就是一個(gè)平行四邊形，但是通過直觀的演示后知道上下兩條邊不一樣長，它應(yīng)該是一個(gè)梯形。
(2)從認(rèn)識單一要素到認(rèn)識要素間關(guān)系
A第一個(gè)圖展示就是從單一變多樣，第一次顯示就是兩條直線互相垂直，單純表示垂直這個(gè)要素；（單一的要素）第二次演示又加了兩條斜線，形成了不同的角，既有直角的表示、又有銳角、鈍角、平角的要素；同時(shí)也很好地讓學(xué)生知道銳角、直角、鈍角、平角之間的關(guān)系。（要素間關(guān)系）
B第二道題是關(guān)于能不能裝下的問題，如果單從體積比較來說，盒子的體積比物體的體積大，就會出現(xiàn)能裝下的可能；（單一的要素）但是真正能裝得下，就是實(shí)物的每一條表都要比盒子的邊要小，這就是要求高的問題，這道題其實(shí)就是涉及到學(xué)生都對題目思路的要求的要素問題。（三種要素都要考慮）
(3)從熟悉標(biāo)準(zhǔn)圖形到熟悉變式圖形
第一個(gè)圖示要求從中能找出幾對相等的三角形，通過演示讓人更加容易知道（1）從等底等高的三角形面積相等的圖形有兩對；而從面積相等的兩個(gè)圖形中去掉同一個(gè)部分后面積相等的圖形有一對，共有三對。（標(biāo)準(zhǔn)圖形）
第二個(gè)圖形也是從相等圖形中去掉同一個(gè)三角形得到兩個(gè)面積相等的四邊形。（變式圖形）
(4)從直觀辨認(rèn)圖形到語言描述特征
如：識別梯形→說出梯形特征
(5)從使用日常語言到使用幾何語言
如：底面→橫截面
(6)從形成二維空間觀念到三維空間觀念
1、圖形A的展示是比較周長的大小，通過直觀演示，進(jìn)行平移代換感知周長的相等。
2、圖B的展示是比較表面積的大小，通過直觀演示，進(jìn)行移動代換感知表面積是一樣的。
怎樣發(fā)展學(xué)生的空間觀念？
（1）觀察：有序觀察，選擇對象，變換角度
（2）操作：學(xué)會畫圖，動手操作，自我釋疑
（3）變式：變化形狀，變化位置，變化大小
（4）辨析：同中見異，異中求同，精確分化
（5）結(jié)合：形象與語言結(jié)合，數(shù)與形結(jié)合
四、幾何直觀
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。
幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。
案例1：團(tuán)體操原來隊(duì)伍每行10人,有5行。現(xiàn)在調(diào)整成每行增加3人，增加2行，現(xiàn)在需要增加多少人？
案例1通過把數(shù)轉(zhuǎn)換成形體展示，借助幾何直觀把問題簡單化。
案例2比較兩種圖形的大小，大的圓形的面積等于四個(gè)小的圓形的面積總和，但是圖中重疊的部分共有八分，把其中四份換到空白部分就是形成整個(gè)圓，從而就可知兩種圖形的面積相等。
五、數(shù)據(jù)分析觀念
數(shù)據(jù)分析觀念包括：
了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；
了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；
通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。
注重學(xué)生理解數(shù)據(jù)分析是從了解到體會的過程，是按一定的認(rèn)知規(guī)律來的。
案例1：小學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)
案例2：兩幅條形圖蘊(yùn)涵的信息
研究性學(xué)習(xí)的緣起：父子爭論，看電視是否影響視力？
自行設(shè)計(jì)調(diào)查問卷：
1.你平均每天看多長時(shí)間的電視？
半小時(shí)以下 | 半小時(shí)～1小時(shí) | 1小時(shí)以上 |
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2.你的視力怎樣？
5.2～5.1 | 5.0～4.9 | 4.8～4.7 | 4.7以下 |
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在統(tǒng)計(jì)的過程中，該學(xué)生先通過調(diào)查收集相關(guān)數(shù)據(jù)，然后根據(jù)調(diào)查到的數(shù)據(jù)制成條形統(tǒng)計(jì)圖，從條形統(tǒng)計(jì)圖中明顯表示出：
視力是5.2 — 5.1的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；
視力是5.0 — 4.9的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；
視力是4.8 — 4.7的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；
視力是4.7以下的的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；
從中可以看出，在每個(gè)視力段里頭，都是顯示每天看半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)最多。
從而可以得知：每天看電視時(shí)間不要過長，時(shí)間在半小時(shí)至一小時(shí)為宜。
第二個(gè)圖是動畫片的投入和收益的信息?！拔覟楦杩瘛蓖顿Y大于收益；而“獅子王”卻是投入大，但收益卻是投資的16倍多，這就是國產(chǎn)動畫片和國外動畫片的制作差距的問題。
（現(xiàn)在國內(nèi)多數(shù)動畫產(chǎn)品，都達(dá)不到國際入門級水平，它們實(shí)際上不是動畫作品，更準(zhǔn)確地說只是動漫產(chǎn)品。動畫產(chǎn)品是完全靠繪畫表現(xiàn)力去吸引人的作品，而國內(nèi)動畫片制作因?yàn)槌杀締栴}，大多數(shù)僅是電腦FLASH軟件制作出來的無紙動畫產(chǎn)品，而非靠大量人力去手繪每一個(gè)動作與神態(tài)。按照國際市場標(biāo)準(zhǔn)制作一部動畫片的成本大概是我們目前行業(yè)內(nèi)動畫產(chǎn)品的十倍，由于成本太高，我們的市場對這種制作水準(zhǔn)的動畫片沒有消化能力。）
數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息
圖的直觀性可能產(chǎn)生“誤導(dǎo)”
一格表示的數(shù)量越小
條形的長短相差越大
初看這兩幅條形統(tǒng)計(jì)圖，給人的感覺就是第二幅圖的數(shù)據(jù)比第一幅大，但是仔細(xì)一看卻是第一幅圖的數(shù)據(jù)比第二幅圖的數(shù)據(jù)大，這是由于兩幅圖的起點(diǎn)不同，還有兩幅圖數(shù)據(jù)間隔不一樣，每個(gè)表示的數(shù)量不同。
條形圖與折線圖可以混用
條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖混用更直觀的知道變化的情況。
很難有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來衡量，用條形統(tǒng)計(jì)圖好還是折線統(tǒng)計(jì)圖好。
所以在教學(xué)中不要講得那么的絕對，這主要起決于圖形繪制者想表達(dá)怎樣的信息。條形與折線可以混用。
六、運(yùn)算能力
主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。
培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。
合理選擇算法正確運(yùn)算
（1）打破以往的小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘除法的計(jì)算方法，一般情況是要把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)、或把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)、或采取直接約分的方式來進(jìn)行計(jì)算，而這這里卻是把小數(shù)看成整數(shù)的方法來進(jìn)行計(jì)算，因而可見，合理地選擇計(jì)算方法是很重要的，不能強(qiáng)求同意的方法，這也是顯示出不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展這一理念。
（2）56×9=560-56=504
56×63=504×7=3528
這兩道題目的計(jì)算，其實(shí)就隱含著乘法分配律和結(jié)合律的運(yùn)用，只不過是在過程中省略一些步驟。
列豎式計(jì)算，第一步學(xué)生可以按照3和56相乘得到168，而第二部是應(yīng)該是再把6和56相乘，也可以這樣認(rèn)為，6是3的2倍，所以就直接寫出168的2倍就是336，把它對號入座。
估算過程中的合理判斷
第一種方法把18看成20，看大了，得到的積就會比實(shí)際結(jié)果大；
第二種方法是把22看成20，把18看成20，一個(gè)看大，一個(gè)看小，積就更加接近實(shí)際的結(jié)果；
第三種方法是把22看成20，得到的結(jié)果就會比實(shí)際結(jié)果小。
傳統(tǒng)的“簡便運(yùn)算”適度保留，發(fā)揮它的訓(xùn)練功能。
89×1.01=89.89 在計(jì)算時(shí)只要把1和89相乘得到89，再把1和89相乘寫在相應(yīng)的位置，其實(shí)這里也隱含著乘法分配律，但在這里更加簡便。
反例是學(xué)生忽略了運(yùn)算的順序，這是一種定勢的影響。
尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。
題目（1）按常規(guī)的想法一般都是把其中三個(gè)不同的數(shù)進(jìn)行組合相加算出相應(yīng)的和，而在這里卻是先算出四個(gè)數(shù)的總和，再把和分別去減掉最小的數(shù)和最大的數(shù)，方法更加簡便。
題目（2）一般的算法是把100分別減去48和47，或者把100減去48和47的和；但是在這里把100分成兩個(gè)50，再把兩個(gè)50分別減去48和47，再求出和。
七、推理能力
推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。
推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。
在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。
案例1：
因?yàn)?×6＝18
所以30×600＝18000 憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺—合情推理
（先把3和6相乘得18，再加上3個(gè)0）
因?yàn)?×6＝18
所以30×6＝18個(gè)十 憑借數(shù)的概念—演繹推理
（30表示有3個(gè)是十，3個(gè)十和6相乘就得18個(gè)十）
所以30×600＝180個(gè)百
（600表示有6個(gè)白百，30×600就是6個(gè)百和30相乘，就是180個(gè)百）
案例2：
因?yàn)殚L方形面積＝長×寬
所以長方體體積＝長×寬×高 類比—合情推理
案例3：
圖形體積是通過演示疊放小正方體來進(jìn)行推算 根據(jù)體積單位概念與計(jì)數(shù)—演繹計(jì)算
（一行排幾個(gè)（長），排幾行（寬），有幾層（高）要運(yùn)用幾個(gè)小方塊才能拼成這個(gè)大正方體，也就是要把幾個(gè)乘幾行再乘幾層，從而可推出長方體體積=長×寬×高）
八、模型思想
模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。
建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。
這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。
單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)
本金×利率＝利息
y:x＝k(一定)； xy＝k(一定)
以上幾道題目其實(shí)它是可以看成是一個(gè)a×b＋c×d＝s 一個(gè)模式的題目，也就是說這幾道題它具有這樣的數(shù)量關(guān)系。
圖1和圖2的展示圖也是一樣的具有a×b＋c×d＝s這樣的模式。
以小胖每分走40米，小巧每分走60米，他們從相距1500米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，幾分鐘后相遇？為例
設(shè)x分鐘后兩人相遇。
40x＋60x＝1500 1500＝40x＋60x (60＋40)＝1500
60x＝1500－40x 1500－40x＝60x 1500÷x＝60＋40
40x＝1500－60x 1500－60x＝40x 1500÷x－40＝60
1500÷x－60＝40
這樣的一題多解有意義嗎？你認(rèn)為怎樣列方程便于思考。
（崔永元在他的《不過如此》中寫道：“對我來說，數(shù)學(xué)是瘡疤，數(shù)學(xué)是淚痕，數(shù)學(xué)是老寒腿，數(shù)學(xué)是類風(fēng)濕，數(shù)學(xué)是股骨頭壞死，數(shù)學(xué)是心肌缺血，數(shù)學(xué)是中風(fēng)…….。當(dāng)數(shù)學(xué)是災(zāi)難時(shí)，它什么都是，就不是數(shù)學(xué)?！本谷挥腥巳绱送春迶?shù)學(xué)，象崔永元這樣的名人始終難以擺脫數(shù)學(xué)的恐怖陰影，值得我們數(shù)學(xué)教師深刻反省?。?/p>
九、應(yīng)用意識
應(yīng)用意識有兩個(gè)方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。
圖1
利用“左右的相對性”，解釋
左右是人教版一年級下冊第一單元中內(nèi)容，學(xué)生生下來父母就教會了學(xué)生認(rèn)識左右，這是作為父母最基本的職責(zé)，數(shù)學(xué)上的左右實(shí)際上是一種序的規(guī)定，所謂“左右的相對性”實(shí)際上是一種序的特征，左右的方向特征也是由此來確定的，也就是說左右確定了，順序也就建立起來了。
“上下樓梯靠右走”的合理性。
圖2
方巾邊長的最小公倍數(shù)數(shù)。
圖3
間隔時(shí)間的最小公倍數(shù)
圖4
一圈用時(shí)的最小公倍數(shù)
（應(yīng)用求最小公倍數(shù)的方法解決相關(guān)問題）
在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實(shí)踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。
突破應(yīng)用題單列的教材體系，應(yīng)用跟隨知識，
恢復(fù)了數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用的天然聯(lián)系。
第一個(gè)圖示看出是：是把數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活聯(lián)系起來，從實(shí)際情境中感悟數(shù)學(xué)的存在。
平行的有：
森林北路和森林南平行；森林西路和中山路平行；中山路和森林東路平行；
森林西路和森林東路平行；樟樹路和玉蘭路平行，共有五組平行線。
垂直的有：
森林北路和森林西路、中山路、森林東路分別垂直，共有3組；
森林南路和森林西路、中山路、森林東路分別垂直，共有3組；
大學(xué)路和樟樹路、玉蘭路分別垂直，共有2組。
第二個(gè)圖顯示是一個(gè)實(shí)踐活動，調(diào)查家庭一周的開支情況：
1、通過數(shù)據(jù)采集——制作相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖；
2、圖表的應(yīng)用——感知變化的規(guī)律
3、數(shù)據(jù)的分析——根據(jù)一周的開支來估算出本月的總開支。
4、根據(jù)“樣本”推斷“總體”——從一周的統(tǒng)計(jì)估算出一個(gè)月的總開支。
5、統(tǒng)計(jì)知識的綜合應(yīng)用。
十、創(chuàng)新意識
創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。
學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。
創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。
創(chuàng)新：最高階的思維，能培養(yǎng)嗎？
創(chuàng)設(shè)寬松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍
提供刺激，激活學(xué)生的潛能
……
什么樣的刺激有可能激活學(xué)生的潛能呢？
案例1
下面陰影部分占整個(gè)長方形的( )分之( )。
通過習(xí)題展示：先讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑，是老師把題目搞錯嗎？不按常規(guī)出題，讓學(xué)生大膽去進(jìn)行猜測、討論、推斷，通過度量來感知藍(lán)色部分占總體的八分之三。
案例2
主要是讓學(xué)生通過讓學(xué)生以不同的形式展示個(gè)人的學(xué)習(xí)成果，知道可以通過不同的形式設(shè)計(jì)畫圖都能達(dá)到對應(yīng)的效果，又是發(fā)揮個(gè)人所長，體現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展這一理念。
案例3
通過疊三角形的方法來推算三角形面積計(jì)算公式，先把三角形各個(gè)對應(yīng)的角疊放，最后形成一個(gè)長方形，由長方形的面積推導(dǎo)出三角形面積。
以上三個(gè)案例都能很好地展示了創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。
