邊策 蕭簫 發(fā)自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
當兩個看似“無關(guān)”的數(shù)學領(lǐng)域發(fā)生碰撞，會發(fā)生什么？
浙江大學研究員、中科大數(shù)學系2003級校友葉和溪，與來自劍橋大學、哈佛大學的兩位學者一起，將動力系統(tǒng)應(yīng)用到數(shù)論中，解開了困擾數(shù)學家長達數(shù)十年的難題。
研究成果發(fā)表在數(shù)學界頂級期刊《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）上，該學術(shù)期刊為雙月刊，近兩年每年僅發(fā)表三十多篇學術(shù)論文。
這也是浙大40多年來首次在該期刊上發(fā)表成果。
葉和溪結(jié)合動力系統(tǒng)方法，證明了數(shù)論中一個非常重要的問題。
動力系統(tǒng)，主要研究空間中所有點隨時間變化的情況。這門學科最著名的便是“蝴蝶效應(yīng)”中的洛倫茨吸引子。
△洛倫茨吸引子
然而數(shù)論，研究的卻是整數(shù)的性質(zhì)。
這兩個看起來風馬牛不相及的領(lǐng)域，被數(shù)學家們巧妙地被結(jié)合到一起。
它們是怎么聯(lián)系起來的，首先還得從兩個方程說起。
兩個方程
1、y2=x3 ax b
2、f(z)=z2 c
第一個方程表示橢圓曲線，當a和b不斷變化時，橢圓曲線形狀各不相同，就像是從曲線中擠出一個“氣泡”。
橢圓曲線是數(shù)論中的重要工具，數(shù)學家證明費馬大定理就用到了它。
在橢圓曲線上，你甚至可以對兩個點做加法。
假設(shè)有兩個點P、Q，那么PQ連線與曲線的第三個交點R對x軸的鏡像點，就是P Q。R的鏡像點記為-R，即-R=P Q。
因為橢圓曲線是上下對稱的，所以P Q也一定在橢圓曲線上。
那么P點和它自己相加（P P）怎么計算？
想象一下Q點越來越靠近P點，最后PQ兩點的連線就變成P點處的切線，所以P P就是這個切線與橢圓曲線交點的鏡像點。
如果P點反復加上自己，經(jīng)過有限次加法后（P P …… P）又回到P點，那么P就叫做“撓點”（torsion point）。
再看第二個方程數(shù)學公式: f(z)=z^2 c，它不是二次曲線，而是與另一門數(shù)學分支動力系統(tǒng)有關(guān)。
z在這里不是實數(shù)，而是實數(shù) 虛數(shù)。如果我們畫出一個平面坐標，橫坐標代表它的實數(shù)部分，縱坐標代表它的虛數(shù)部分，z就是一個點。
我們把z、f(z)兩個點畫在這個平面上，再把f(z)帶入方程得到f(f(z))，然后再得到f(f(f(z)))……
如此“無限套娃”操作，把所有的點都畫出來，可以得到以下圖形。
有些人可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這不就是分形嗎，怎么和橢圓曲線聯(lián)系起來了？
上面的圖形范圍有限，說明某些z值在經(jīng)過無限套娃后，還是有限的數(shù)值。
假設(shè)c=-1，z的初始值為2，那么得到的數(shù)字組合是2、3、8、63……，這組數(shù)會一直增大；如果z的初始值是0，那么接來下的數(shù)分別是-1、0、-1、0……，會一直循環(huán)下去。
對于第二種情況，無限次迭代后的每個點都在有限范圍內(nèi)，這些有限范圍內(nèi)的點組成的集合，就是“朱利亞集合”（Julia set）。
在動力系統(tǒng)中，像-1、0、-1、0……這樣，不僅范圍有限，還能夠回到起點的一組點，稱為“有限軌道點”（finite orbit point）。
這樣，橢圓曲線就和動力系統(tǒng)聯(lián)系起來了，有限軌道點便是橢圓曲線上撓點的模擬。
葉和溪的導師DeMarco說：“橢圓曲線上的撓點與某個動力系統(tǒng)的有限軌道點相同，這就是我們在論文中反復使用的內(nèi)容。”
證明數(shù)學猜想
但這三位數(shù)學家研究的問題——Manin-Mumford猜想——比上面復雜得多。
Manin-Mumford猜想是比橢圓曲線更復雜的曲線，例如y^2 = x^6 x^4 x^2 ?1，每個不同參數(shù)的曲線都與一個幾何體關(guān)聯(lián)。
Manin-Mumford猜想于1983年被Raynaud證明，即虧格（genus）大于1的任意光滑代數(shù)曲線上至多只有有限個撓點。
對于封閉的有向曲面而言，虧格就是曲面的“洞”數(shù)量。
橢圓曲線對應(yīng)的幾何體是虧格為1的“甜甜圈”。
葉和溪等人將Manin-Mumford猜想又推進了一步，他與Holly Krieger、Laura DeMarco一起，結(jié)合動力系統(tǒng)證明了，在虧格為2的情況下，光滑代數(shù)曲線撓點數(shù)量不僅有限，而且具有一致上界。
與橢圓曲線不同的是，Manin-Mumford猜想中的復雜曲線不具備允許做加法的結(jié)構(gòu)。
但是它們對應(yīng)的幾何體卻都可以做加法，而且像橢圓曲線一樣具有撓點。
他們給出了待求的特定曲線簇的解的形狀：像是兩個甜甜圈的表面（虧格為2）。
其中，每個“甜甜圈”代表一個橢圓曲線。
而要證明撓點數(shù)量的上限，就需要計算出橢圓曲線上撓點之間的相交點數(shù)量。
然而這兩條橢圓曲線上的撓點不可能直接比較，因為它們不一定重疊。
幾位學者想出了一種方法：比較它們是否在“甜甜圈”上各自處于相同的相對位置。
他們將兩條橢圓曲線的解各自繪制在一張平面圖上，以此來比較撓點的位置。
接下來，只需要計算這些點重疊的次數(shù)，就能給Manin-Mumford猜想一個明確的上界了。
這里，便是動力系統(tǒng)需要發(fā)揮作用的地方。
他們利用動力系統(tǒng)，證明了這些點只能重合特定的次數(shù)，而且這一次數(shù)確實存在——即Manin-Mumford猜想的上界確實存在。
對于他們的證明，來自加拿大約克大學的助理教授Patrick Ingram表示：
他們成功證明了一個特殊問題。此前，這個問題一直被歸類于數(shù)論中，沒人認為它與動力系統(tǒng)有關(guān)。這確實引起了極大的轟動。
與導師舊友一同解決重要猜想
事實上，猜想證明背后的三位學者，彼此也是導師與舊友的關(guān)系。
這其中，葉和溪與論文作者Holly Krieger，都曾經(jīng)是Laura DeMarco的學生。
△Holly Krieger
2013年，他們在后者的指導下，獲得了伊利諾伊大學芝加哥分校的博士學位。
在這之后，Laura DeMarco如今已是哈佛大學教授，而Holly Krieger也已經(jīng)成為一名劍橋大學的數(shù)學講師。
△Laura DeMarco
葉和溪則選擇了回國，成為浙江大學的數(shù)學系研究員。
但這期間，他們并未停止共同研究的步伐。
2017年，葉和溪就曾與Laura DeMarco、Holly Krieger一起，研究了動力系統(tǒng)中有界高度的問題，成果于2019年發(fā)表。
而在2019年，繼證明Manin-Mumford一致猜想之后，他們也對動力系統(tǒng)中的另一個問題進行了深入探討，并采用了類似的研究方法。
目前，這篇文章以預印本的形式發(fā)表。
2020年4月15日，他們證明的Manin-Mumford一致猜想，最終成功刊登在《數(shù)學年刊》上。
中科大03級數(shù)學人才“井噴”
在這次研究中做出不少貢獻、來自浙江大學的研究員葉和溪，高中曾就讀于福建省建甌第一中學。
2003年，葉和溪進入中國科學技術(shù)大學數(shù)學系學習。
△ 圖源：公眾號@中國科大本科招生
本科畢業(yè)后，葉和溪選擇出國深造，研究方向就是數(shù)學中的動力系統(tǒng)。
2013年，他在導師Laura DeMarco的指導下，完成了博士學位，畢業(yè)于伊利諾伊大學芝加哥分校。
在這之后，他曾經(jīng)先后在多倫多大學、英屬哥倫比亞大學從事博士后研究工作。
完成學術(shù)研究后，葉和溪于2016年回國任教。
與葉和溪一同入學的中科大數(shù)學系校友，也是人才輩出。
其中，至少5位學者的研究，再世界“四大數(shù)學頂刊”上發(fā)表過論文。
葉和溪同班同學郟浩、劉博、申述、張享文，也都已經(jīng)在《數(shù)學發(fā)明》上各發(fā)表一篇論文。
還有許多與葉和溪、劉博一樣學成歸來的學子，如魯汪濤、馬杰、熊濤、張振、仲杏惠等中科大校友，毅然決然地放棄了國外的條件，回到國內(nèi)繼續(xù)從事數(shù)學研究。
△ 圖源：公眾號@中國科大本科招生
對于2003級學子在數(shù)學上取得的成就，中國科學院院士、南開大學陳省身數(shù)學研究所張偉平由衷地表示自豪：
事實證明，科大的學生不管考第幾，到哪里都是一塊好料。在同一個班就有這么多杰出的人才涌現(xiàn)，殊為罕見。
