1.雞兔同籠。今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只腳。雞兔各幾只？
想：假設(shè)把35只全看作雞，每只雞2只腳，共有70只腳。比已知的總腳數(shù)94只少了24只，少的原因是把每只兔的腳少算了2只?？纯?4只里面少算了多少個2只，便可求出兔的只數(shù)，進(jìn)而求出雞的只數(shù)。
解決這樣的問題，我國古代有人想出更特殊的假設(shè)方法。假設(shè)一聲令下，籠子里的雞都表演“金雞獨立”，兔子都表演“雙腿拱月”。那么雞和兔著地的腳數(shù)就是總腳數(shù)的一半，而頭數(shù)仍是35。這時雞著地的腳數(shù)與頭數(shù)相等，每只兔著地的腳數(shù)比頭數(shù)多1，那么雞兔著地的腳數(shù)與總頭數(shù)的差等于兔的頭數(shù)。我國古代名著《孫子算經(jīng)》對這種解法就有記載：“上署頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得?！本唧w解法：兔的只數(shù)是94÷2-35=12（只），雞的只數(shù)是35-12= 23（只）。
2.物不知數(shù)。
今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何。
這是我國古代名著《孫子算經(jīng)》中的一道題。意思是：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小自然數(shù)。
想：此題可用枚舉法進(jìn)行推算。先順序排出適合其中兩個條件的數(shù)，再在其中選擇適合另一個條件的數(shù)。
3.三階幻方。把1—9這九個自然數(shù)填在九空格里，使橫、豎和對角在線三個數(shù)的和都等于15。
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對數(shù)的和再加上5都等于15，可確定中心格應(yīng)填5，這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角，若填兩對奇數(shù)，那么因三個奇數(shù)的和才可能得奇數(shù)，四邊上的格里已不可再填奇數(shù)，不行。若四個角分別填一對偶數(shù)，一對奇數(shù)，也行不通。因此，判定四個角上必須填兩對偶數(shù)。對角在線的數(shù)填好后，其余格里再填奇數(shù)就很容易了。
4.兔子問題。十三世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對大兔每月生一對小兔，而每對小兔生長一個月就成為大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人養(yǎng)了初生的一對小兔，一年后共有多少對兔子？ 想：第一個月初，有1對兔子；第二個月初，仍有一對兔子；第三個月初，有2對兔子；第四個月初，有3對兔子；第五個月初，有5對兔子；第六個月初，有8對兔子……。把這此對數(shù)順序排列起來，可得到下面的數(shù)列： 觀察這一數(shù)列，可以看出：從第三個月起，每月兔子的對數(shù)都等于前兩個月對數(shù)的和。根據(jù)這個規(guī)律，推算出第十三個月初的兔子對數(shù)，也就是一年后養(yǎng)兔人有兔子的總對數(shù)。 5.求碗問題。我國古代《孫子算經(jīng)》中有一道著名的“河上蕩杯”題（注：蕩杯即洗碗）。題目意思是：一位農(nóng)婦在河邊洗碗。鄰居問：“你家里來了多少客人，要用這么多碗？”她答道：“客人每兩位合用一只飯碗，每三位合用一只湯碗，每四位合用一只菜碗，共享65只碗?！彼依锞烤箒砹硕嗌傥豢腿?？ 想：若設(shè)客人是x人，可用各種碗的個數(shù)合起來等于碗的總數(shù)的關(guān)系列方程解答。 此題《孫子算經(jīng)》中的解法是這樣記載的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得?！笨梢姟秾O子算經(jīng)》的作者就是用求方程解的方法解這道題的。 |
6.三女歸家。今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸。問三女何日相會？這道題也是我國古代名著《孫子算經(jīng)》中為計算最小公倍數(shù)而設(shè)計的題目。意思是：一家有三個女兒都已出嫁。大女兒五天回一次娘家，二女兒四天回一次娘家，小女兒三天回一次娘家。三個女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相會？
想：從剛相會到最近的再一次相會的天數(shù)，是三個女兒間隔回家天數(shù)的最小公倍數(shù)。
7.有女善織。有一位善于織布的婦女，每天織的布都比上一天翻一番。五天共織了5丈（50尺）布，她每天各織布多少尺？
想：若把第一天織的布看作1份，可知她第二、三、四、五織的布分別是2、4、8、16份。根據(jù)織布的總尺數(shù)和總份數(shù)，能先求出第一天織的尺數(shù)，再求出以后幾天織布的尺數(shù)。
8.蝸牛爬井問題。德國數(shù)學(xué)家里斯曾出過這樣一道數(shù)學(xué)題：井深20尺，蝸牛在井底，白天爬7尺，夜里降2尺，幾天可以到達(dá)井頂？
想：解這道題的關(guān)鍵是把最后一天爬行的情況與前面幾天爬行的情況區(qū)別考慮。
9.巧分銀子。10個兄弟分100兩銀子，從小到大，每兩人相差的數(shù)量都一樣。又知第八個兄弟分到6兩銀子，每兩個人相差的銀子是多少？
想：因為每兩個人相差的數(shù)量相等，第一與第十、第二與第九、第三與第八，……每兩個兄弟分到銀子的數(shù)量和都是20兩，這樣可求出第三個兄弟分到銀子的數(shù)量。又可推想出，從第三個兄弟到第八個兄弟包含5個兩人的差。由此便可求出兩人相差的銀子是多少。
10.泊松問題。法國數(shù)學(xué)家泊松少年時被一道數(shù)學(xué)題深深地吸引住了，從此便迷上了數(shù)學(xué)。這道題是：某人有8公升酒，想把一半贈給別人，但沒有4公升的容器，只有一個3公升和一個5公升的容器。利用這兩個容器，怎樣才能用最少的次數(shù)把8公升酒分成相等的兩份？
想：利用兩次小容器盛酒比大容器多1公升，和本身盛3公升的關(guān)系，可以湊出4公升的酒。
11.牛頓問題。英國大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？
想：這片草地天天以同樣的速度生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個條件，把25頭牛分成兩部分來研究，用5頭吃掉新長出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。
12.托爾斯泰問題。俄國大文學(xué)家托爾斯泰對數(shù)學(xué)很感興趣，曾經(jīng)編過這樣一道題：“一些割草人在兩塊草地上割草，大草地的面積比小草地大一倍，上午，全體割草人都在大草地上割草，下午他們對半分開，一半人留在大草地上，到傍晚時把剩下的草割完，另一半人到小草地上割草，到傍晚還剩下一小塊沒割完，這一小塊第二天由一個割草人割完，假定每半天勞動時間相等，每個割草人工作效率相等，問共有多少割草人”？ 托爾斯泰年輕時發(fā)現(xiàn)的算術(shù)解法： “大草地上，因為全體割了一上午，一半人又割了一下午才割完，所以把大草地面積看作1，一半人半天時間割草面積為1/3，在小草地上另一半人曾工作了一個下午，這樣他們在半天時間的割草面積也是1/3，則第一天割草總面積為4/3，剩下面積應(yīng)為小草地面積1/2減去1/3，剩1/6，這一小塊第二天由1人割完，說明每人每天割草1/6，則（4/3）÷（1/6）=8（人）”
代數(shù)學(xué)之父的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上刻著一首詩，既代表他的生平，又是對他最好的紀(jì)念。墓中長眠著一個偉大的人物----丟番圖 他一生的六分之一時光，是童年時代 （14） 又度過了十二分一歲月后，他滿臉長出了胡須（21） 再過了七分之一年月時，舉行了花燭盛典 （33） 婚后五年得一貴子 （38） 可是不幸的孩子 他僅僅活了父親的半生時光 就離開了人間 （80） 從此作為父親的丟番圖 在悲傷中度過了四年后，結(jié)束了自己的一生 （84） X=1/6X+1/12X+1/7X+5+1/2X+4 X=84 |
14，國王賞麥
印度傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人—本國宰相，宰相就對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格里賞給我一粒麥子，第二個小格里兩粒麥子，第三個格里四粒麥子，以后每小格賞給的比前一格多一倍，六十四格放滿了，也就是我要的獎賞了”。國王以為很簡單，可結(jié)果發(fā)現(xiàn)把全印度，甚至全世界的麥子拿來也供應(yīng)不了宰相的要求。
20+21+22+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）
15奇怪的遺囑
相傳一位老人臨終立下遺囑，規(guī)定3個兒子可分掉他17頭牛，但規(guī)定老大得總數(shù)的1/2，老二得總數(shù)的1/3，老三得總數(shù)的1/9，大家想半天仍未解決。
一天有個老農(nóng)牽頭牛經(jīng)過，聽說后，想了一會，說道：“我把這頭牛借給你們，分完后再把這頭牛還給我就行了”。
結(jié)果，老大分到9頭牛，老二分到6頭牛，老三分到2頭牛，還剩一頭牛正好歸還。
16，民間有這樣一道題：三十六塊磚，三十六人搬，男搬四，女搬三，兩個小孩抬一塊磚。問男人、女人、小孩各有幾人？
17百羊問題”
一牧羊人趕羊，又一過路人牽一肥羊從后面跟了上來，問道：“你趕來的這群羊大概有一百只吧”！牧羊人答：“如果這群羊加上一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊的四分之一，連你牽的這只肥羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿一百只”。問這群羊共幾只？
X+X+1/2X+1/4X+1=100
X=36
18勾股定理
勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘、并，而開方除之，即弦”。
即c=√a2+b2，又有a = √c2-b2、b=√c2-a2
19,余米推數(shù)”
“問：有米鋪訴被盜，去米一般三籮，皆適滿，不記細(xì)數(shù)。今左壁籮剩一合，中間籮剩一升四合，右壁籮剩一合。后獲賊，系甲、乙、丙三人，甲稱當(dāng)夜摸得馬勺，在左壁籮滿舀入布袋；乙稱踢得木履，在中籮舀入袋；丙稱摸得漆碗，在右壁籮舀入袋，將歸食用，日久不知數(shù)。索到三器，馬勺滿容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米數(shù)，計贓結(jié)斷，三盜各幾何？”
列不定方程：
2X+Y=M
3Y+Z=M
4Z+W=M
5W+U=M
6U+X=M
20韓 信 點 兵
我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數(shù)，第一次按1～3報數(shù)，第二次按1～5報數(shù)，第三次按1～7報數(shù)，每次報數(shù)后都要求最后一個人報告他報的數(shù)是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為“鬼谷算”、“隔墻算”、“秦王暗點兵”等。
這種問題在《孫子算經(jīng)》中也有記載：“今有物不知其數(shù)：三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數(shù)，最后剩2個；如果5個5個的數(shù)，最后剩3個；如果7個7個的數(shù)，最后剩2個；求這些物品一共有多少？這個問題人們通常把它叫作“孫子問題”， 西方數(shù)學(xué)家把它稱為“中國剩余定理”。到現(xiàn)在，這個問題已成為世界數(shù)學(xué)史上聞名的問題。
到了明代，數(shù)學(xué)家程大位把這個問題的算法編成了四句歌訣：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；七子團圓正半月，除百零五便得知。
用現(xiàn)在的話來說就是：一個數(shù)用3除，除得的余數(shù)乘70；用5除，除得的余數(shù)乘21；用7除，除得的余數(shù)乘15。最后把這些乘積加起來再減去105的倍數(shù)，就知道這個數(shù)是多少。
《孫子算經(jīng)》中這個問題的算法是：
70×2＋21×3＋15×2＝233
233－105－105＝23
所以這些物品最少有23個。
根據(jù)上面的算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數(shù)，否則他也是無法準(zhǔn)確算出人數(shù)的。你知道這是怎么回事嗎？
這是因為，被5、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70。
被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；
被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15；
所以，這三個數(shù)的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。
以上解法的道理在于：
被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15；
被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；
被5、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70。
因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數(shù)是 15×2＝30；
被3、7整除，而被5除余3的最小正整數(shù)是 21×3＝63；
被5、7整除，而被3除余2的最小正整數(shù)是 70×2＝140。
于是和數(shù)15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。但所得結(jié)果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質(zhì)的最小正整數(shù)，故從它中減去3、5、7的最小公倍數(shù)105的若干倍，直至差小于105為止，即 233－1o5－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數(shù)。
我國古算書中給出的上述四句歌訣，實際上是特殊情況下給出了一次同余式組解的定理。在1247年，秦九韶著《數(shù)書九章》，首創(chuàng)“大衍求一術(shù)”，給出了一次同余式組的一般求解方法。在歐洲，直到18世紀(jì)，歐拉、拉格朗日（lagrange，1736～1813，法國數(shù)學(xué)家）等，都曾對一次同余式問題進(jìn)行過研究；德國數(shù)學(xué)家高斯，在1801年出版的《算術(shù)探究》中，才明確地寫出了一次同余式組的求解定理。當(dāng)《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題解法于1852年經(jīng)英國傳教士偉烈亞力（wylie alexander，1815～1887）傳到歐洲后，1874年德國人馬提生（matthiessen，1830～1906）指出孫子的解法符合高斯的求解定理。從而在西方數(shù)學(xué)著作中就將一次同余式組的求解定理稱譽為“中國剩余定理”。
