我們的數(shù)學游戲
在Suki和Sula 1-4歲之間，我們的數(shù)學啟蒙，多是圍繞在數(shù)字和形狀的認知上。
比如在認數(shù)字方面，我們用彈珠數(shù)數(shù)，和數(shù)字板對應：
用數(shù)字排序來拼出圣誕樹：
做成圓點數(shù)字盤，Suki用數(shù)字夾子去匹配對應的圓點。
我們也用珠子穿小棍的方式，去對應數(shù)字，來玩數(shù)數(shù)的游戲。
學習形狀時，我們使用形狀模板來描畫，比較形狀的大小。
我在紙面畫出規(guī)則的線條和形狀，Suki用硬豆子去描繪形狀、記憶線條規(guī)律。
我們還自制了幾何板，用皮筋來探索點線面構(gòu)成的形狀。
我用不織布剪成各種形狀，Suki玩形狀拼圖粘貼的游戲，一邊貼我們一邊記憶形狀名稱。
這一類的游戲我們還做了很多，基本上都是圍繞能夠數(shù)出1～20個物體，20以上的唱數(shù)，和認知所有基本形狀。
這個階段完成以后，我們似乎進入一個瓶頸：數(shù)學啟蒙還要如何進階呢？加減法似乎還有點早。還有哪些數(shù)學概念是孩子需要在學齡前接觸和了解的呢？
皮亞杰的認知實驗
近期我回到倫敦大學進修“發(fā)展心理學”。課程很有挑戰(zhàn)，也接觸到了很多非常有趣的心理學內(nèi)容。
其中我最感興趣的就是皮亞杰（Jean Piaget, 1896-1980）的兒童認知發(fā)生理論。皮亞杰是兒童心理學的開創(chuàng)者，被譽為心理學史上除了弗洛伊德以外的另一位“巨人”，他的認知發(fā)生理論對當代西方心理學的發(fā)展和教育改革具有重要影響。
皮亞杰對兒童思維或智力發(fā)展進行了規(guī)模龐大和系統(tǒng)完整的研究，用大量的時間觀察孩子和進行實驗。他尤其感興趣于孩子在特定年齡段所犯的那些“相似的錯誤”。他意識到兒童在特定的年齡階段有特定的認知結(jié)構(gòu)水平，會通過自己的“理論”和“臆想”解釋身邊的世界，認知水平是像臺階一樣按照年齡段遞進，階段出現(xiàn)的先后次序是恒定不變的。
很多兒童心理學工作者對皮亞杰理論進行了研究，并對他的實驗進行了重復性的檢驗。據(jù)估計，僅僅關于“守恒”一項內(nèi)容的重復，驗證實驗就達3000次以上。
我們在課堂上溫習了皮亞杰和孩子們所做的許多認知實驗，過程讓人忍俊不禁又極有啟示性。尤其是在數(shù)學認知的范疇，孩子們在相似的年紀，幾乎都會犯同樣的數(shù)學認知錯誤。
尤其對于2-7歲“前運算階段”的孩子，皮亞杰的實驗顯示出這個年齡段的孩子最容易掉入一些特定的數(shù)學認知“陷阱”中，因而也啟示給我們，孩子可以前往進階理解的下一步的數(shù)學概念都是哪些。
如果你有興趣，也可以和自己的孩子試一試，看看皮亞杰挖的那些認知陷阱，你的孩子是不是中招了？看看孩子的數(shù)學認知處在哪個位置？我和Suki也嘗試了皮亞杰的一些實驗。除了數(shù)數(shù)和認知形狀，以下這些數(shù)學概念和特性，都是孩子們需要時間去進階理解的。
1. 液體的體積不變原則
這是皮亞杰最經(jīng)典的認知實驗，幾乎所有3-5歲的孩子都會“中招”。
實驗過程：成人在孩子面前放兩只矮胖的玻璃杯，里面放入等量的水。問孩子，哪個杯子的水更多？通常孩子能夠答對：“是一樣的！”
但如果成人把其中一個杯子里的水倒入一個細高的杯子，再問孩子哪個杯子里的水更多，大部分孩子都會回答細高的杯子里的水更多，因為水線更高！這個認知的誤差，通常要到6-7歲才能逾越。
Suki在這個實驗前面也掉入了陷阱，怎么也不理解為什么不是細高杯子里的水更多。
這個實驗給孩子的認知啟示是：液體的體積不根據(jù)容器的改變而改變。
2. 固體的體積不變原則
實驗過程：成人捏出一樣大小的兩個橡皮泥的球體，問孩子，它倆誰更大？孩子通常會回答：“一樣大。”
成人把其中一個球體壓成扁平狀，再問孩子哪個更大，幾乎所有3-5歲的孩子都會指出：球體的橡皮泥比壓扁的橡皮泥體積更大。
這個實驗給孩子的認知啟示是：物體的體積大小不根據(jù)形狀改變而改變。
3. 長度的守恒問題
實驗過程：兩根筷子對齊排列，成人問孩子，它倆誰更長？孩子通?；鼗卮穑?span>“一樣長。”
成人把其中一根筷子水平移動，再問孩子哪個更長，很多孩子就會認為被移動的那根筷子更長了：因為盡端突顯了出來。
這個實驗給孩子的認知啟示是：物體的長度不根據(jù)位置改變而改變。
4. 數(shù)量的守恒問題
實驗過程：在孩子面前放5枚一樣的硬幣（我們用了小立方體模具），在成人面前也放5枚同樣的硬幣，等距擺好，問孩子誰的硬幣多。大部分3-5歲的孩子都會說一樣多。
成人面前的硬幣不動，但是孩子面前的硬幣間距拉長了，再問孩子，誰的硬幣多？
這時大多數(shù)3-5歲的孩子都會落入陷阱，認為自己面前的硬幣更多，因為排列起來更長了。這個誤區(qū)通常要等到孩子6歲左右才能“闖關成功”。
這個實驗給孩子的認知啟示是：數(shù)量守恒，數(shù)量的多少是不受物體的擺放方式影響的。
5. 公平原則
實驗過程：成人給孩子一個餅干，給自己兩個餅干，問孩子“這樣公平嗎”？
孩子們都會回答：“不公平，因為你有2個我只有1個。”
當成人把孩子的那一個餅干掰成了兩半，再問孩子“現(xiàn)在公平嗎？”
很多3-5歲的孩子都會說：“公平！因為我們都有2塊餅干了。”
這個實驗給孩子的認知啟示是：物體的總量多少應該是由它的數(shù)量和每個個體的體量共同決定的。
6. 順序無關原則
實驗過程：成人在孩子面前擺出7個硬幣（或7個物體），擺成一個圓，讓孩子從特定的某個硬幣開始數(shù)，孩子數(shù)出7個。
問孩子如果他從另一個硬幣開始，一共是幾個硬幣？大部分孩子遇到這個問題，都是要再數(shù)一遍，心里才敢確定還是7個，他們不敢直接喊出來：從哪里開始數(shù)都是同樣數(shù)量的7個硬幣！
這個實驗給孩子的認知啟示是：我們可以用任何順序數(shù)數(shù)，無論從哪里開始數(shù)，都能得到一樣的數(shù)。
7. 數(shù)軸
在學習加減法之前，一個對孩子很重要并且很直觀的概念是“數(shù)軸”。在數(shù)軸上，每一個數(shù)都是一個等距的單位?？梢越o3-6歲的孩子試試下面這個實驗。
實驗過程：將硬幣（或者相同物品）分成3個、5個、7個三組，問孩子哪一組最多，哪一組最少，大部分3-6歲的孩子都可以回答正確，但是要問“哪一組位于中間”，對很多孩子來說就有點困難了。
在學習加減法之前，不僅要能數(shù)出物體的數(shù)量，也可以通過學習數(shù)軸，知道3比5少，7比5多，5處在3和7之間，且距離相等。到了這個時候，孩子才能真正理解“加”和“減”這兩個動作都依據(jù)同一原理——數(shù)軸。
進行數(shù)軸的引導，最好的游戲就是桌游，比如“蛇梯棋”。
蛇梯棋盤上每一格都是一個數(shù)字，數(shù)字之間是等距的，這個設計和數(shù)軸很相似的。骰子丟出哪個數(shù)，棋子就往前走幾步，這樣就等同于做“加法”。當碰到蛇頭，棋子就要退后幾步，這里就是做“減法”了。
皮亞杰的這些數(shù)學認知實驗是不是很有趣？除了數(shù)學以外，這位心理學巨人還給孩子進行了很多其他類別的認知實驗，比如他發(fā)現(xiàn)2～7歲的孩子一次只能用一種系統(tǒng)來分類（比如色彩或者形狀），而無法在其中自由切換；還有兒童的“我向思維”，也就是兒童無法意識到別人可以有與自己完全不同的思考方式和視角，傾向于從自己的角度出發(fā)看待事物。
大家有興趣的話我以后可以繼續(xù)分享。
安瀟 2017年11月 于 倫敦
