為什么沒有皮亞諾公理或其他自然數(shù)公理的基礎(chǔ)，小學(xué)老師教你什么是自然數(shù)呢。
為什么沒有抽代或者實(shí)分析的知識(shí)基礎(chǔ)，他們確又教你加法是可以交換的。
高數(shù)連什么是劃分和微元和的極限為什么總存在（上下黎曼積分的迫斂性）都不講明確就說完了黎曼積分的定義，并讓絕大多數(shù)的工科生隨意使用。
數(shù)分的確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列收斂定理，閉區(qū)間套定理，博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理，柯西收斂原理之間可以互證，但它們的公理基礎(chǔ)呢？
從數(shù)學(xué)史的角度說就是數(shù)學(xué)公理化，其是在十九世紀(jì)開始的，那么十九世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)家們幾乎全都是在不明確什么是自然數(shù)的情況下定義并發(fā)展了各個(gè)數(shù)學(xué)分科，歐拉也是在未證明級(jí)數(shù)是否可以進(jìn)行交換的情況下“證明”了歐拉恒等式。
說到現(xiàn)在，我該說說你提問的問題了。
首先，這些初等的證明不算嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，確實(shí)缺少公理基礎(chǔ)。但是學(xué)校教給學(xué)生的東西都是根據(jù)學(xué)生能力水平適當(dāng)刪減的，已經(jīng)證明過其正確性的東西。一提自然數(shù)，就想起來幼兒園的蘋果數(shù)量，一提有理數(shù)，絕大多數(shù)人腦子里就是倆整數(shù)比p/q，q不得0，有的初等數(shù)學(xué)也會(huì)要求q是正整數(shù)，這與公理體系下的定義無異，比如這道題的初等證明大多都是根據(jù)互素、奇偶來證明，但是互素、奇偶的來源就如同自然數(shù)的來源一樣，直觀感覺而已，缺乏其對(duì)根源的思考。
其次，對(duì)于大多數(shù)人來說不需要向根源方向去考慮，會(huì)使用就足夠了。比如我需要一臺(tái)電腦，那我需不需要了解主板的加工工藝，CPU的工作原理，甚至機(jī)箱材料的冶煉方法。這些往根源的思考是另外一些人的工作領(lǐng)域。這么說數(shù)學(xué)很多人可能不太懂，物理學(xué)的人類正是如此，人類所能觀測(cè)的僅僅是不大不小的東西，而物理學(xué)家們正在努力向兩側(cè)不斷延伸，相對(duì)論說明了經(jīng)典力學(xué)的局限性，但是并不影響經(jīng)典力學(xué)出現(xiàn)在學(xué)生課本里啊。
再次，如果以皮亞諾公理作為基礎(chǔ)，應(yīng)如何證明根號(hào)2不是有理數(shù)呢？皮亞諾公理到定義加法、乘法并證明其交換律、結(jié)合律、分配律和序的概念，定義整數(shù)、減法、負(fù)數(shù)、交換環(huán)、序，定義有理數(shù)、除法、域、序、自然數(shù)次冪的指數(shù)運(yùn)算。基礎(chǔ)的定義已經(jīng)做完了，但是沒有n次根，畢竟n次根是在實(shí)數(shù)中定義的。不過可以做個(gè)等價(jià)命題，即不存在有理數(shù)x使得x^2=2。為了方便證明，定義奇數(shù)偶數(shù)。先假設(shè)存在x使上式成立，則x=0，不妨設(shè)x為正，則存在正整數(shù)p、q使得x=p/q。由命題可知p^2=2q^2。由奇偶可知，p為偶數(shù)，設(shè)p=2k，也q^2=2k^2，且q＜p。p':=q和q':=k，則由方程p^2=2q^2的解（p，q）過渡到新解（p'，q'）且新解的值更小，重復(fù)上述可得一組無窮遞減的自然數(shù)解，這與無限減小原理矛盾，因此不存在。無限減小原理:不可能有無限減小的自然序列。當(dāng)然這個(gè)也得證明，可以利用數(shù)學(xué)歸納法。
以上證明出自《陶哲軒實(shí)分析》，思路清晰，證明嚴(yán)謹(jǐn)，沒有用到素?cái)?shù)相關(guān)的知識(shí)，很多初等證明直接假設(shè)p、q互素，但是互素也需要證明，而且那是數(shù)論的范疇。
最后我想說的是，學(xué)習(xí)需要循序漸進(jìn)和有所取舍，正如聞道有先后，術(shù)業(yè)有專攻，對(duì)于初等數(shù)學(xué)階段的證明我們就按照直觀感覺去思考，不必深究。否則最應(yīng)該笑得是哲學(xué)家。
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