一、知識(shí)要點(diǎn)：
比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有了它，我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。在這一講，我們探討稍復(fù)雜的比應(yīng)用題。
注：拔高奧數(shù)題適用于五六年級(jí)，培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)思維，鍛煉孩子解題能力
二、精講精練：
【例題1】
甲、乙兩個(gè)學(xué)生放學(xué)回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的時(shí)間比甲少1/11，求甲、乙兩人速度的比。
【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗俣龋铰烦獭聲r(shí)間，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/甲時(shí)間：乙路程/乙時(shí)間
（1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5
（2）甲、乙時(shí)間的比：1：（1－1/11）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11
答：甲、乙速度的比是12：11。
【練習(xí)1】
1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小芳用的時(shí)間比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。
2、甲走的路程比乙多1/3，乙用的時(shí)間比甲多1/4。求甲、乙的速度比。
3、一個(gè)人步行每小時(shí)走5千米，如果騎自行車每1千米比步行少用8分鐘。這個(gè)人騎自行車的速度和步行速度的比是多少？
【答案】
1.小明和小芳的速度之比是27:20
2.甲乙的速度之比是5:3
3.騎車與步行的速度之比是3:1
【例題2】
制造一個(gè)零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘?，F(xiàn)在有1590個(gè)零件的制造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€(gè)人，要求在相同的時(shí)間內(nèi)完成，每人應(yīng)該分配到多少個(gè)零件？
【思路導(dǎo)航】先求出工作效率的比，然后根據(jù)同一時(shí)間內(nèi)，工作總量的比等于工作效率的比進(jìn)行解答。
甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20
總份數(shù)：15+18+20＝53
甲：1590×15/53＝450（個(gè)）
乙：1590×18/53＝540（個(gè)）
丙：1590×20/53＝600（個(gè)）
答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個(gè)、540個(gè)、600個(gè)。
【練習(xí)2】
1、加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘。現(xiàn)在有1825個(gè)零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規(guī)定用同樣的時(shí)間完成任務(wù)，那么各應(yīng)加工多少個(gè)？
2、甲、乙、丙三人在同一時(shí)間里共制造940個(gè)零件。甲制造一個(gè)零件需5分鐘，比乙制造一個(gè)零件所用的時(shí)間多25％，丙制造一個(gè)零件所用的時(shí)間比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少個(gè)零件？
3、加工某種零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時(shí)分別能完成零件48個(gè)，32個(gè)，28個(gè)，現(xiàn)有118名工人，要使每天三道工序完成的零件個(gè)數(shù)相同，每道工序應(yīng)安排多少工人？
【答案】
1.甲應(yīng)加工零件700個(gè)，乙應(yīng)加工零件600個(gè)，丙應(yīng)加工零件525個(gè)。
2.甲制造了零件240個(gè)，乙制造零件300個(gè)，丙制造零件400個(gè)。
3.第一道工序28人，第二道工序42人，第三道工序48人。
【例題3】
兩個(gè)服裝廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)服裝的數(shù)量是6：5，兩廠西服價(jià)格的比是11：10。已知兩廠這個(gè)月內(nèi)總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少萬元？
【思路導(dǎo)航】
因?yàn)楫a(chǎn)值＝價(jià)格×產(chǎn)量，所以
甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值＝（甲價(jià)格×甲產(chǎn)量）：（乙價(jià)格×乙產(chǎn)量）
兩廠的產(chǎn)值比為：（11×6）：（10×5）＝66：50
甲廠產(chǎn)值為：6960×66/（66+50）＝3960（元）
乙廠產(chǎn)值為：6960×50（66+50）＝3000（元）
答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。
【練習(xí)3】
1、甲、乙兩個(gè)長方形長的比是4：5，寬的比是3：2，面積的和是242平方厘米。求甲、乙兩個(gè)長方形的面積分別是多少平方厘米？
2、蘋果和梨的單價(jià)的比是6：5，王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？
3、大、小兩種蘋果，其單價(jià)比是5：4，重量比是2：3。把兩種蘋果混合，成為100千克的混合蘋果，單價(jià)為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來每千克各是多少元？
【答案】
1.甲長方形面積是132平方厘米，乙長方形面積是110平方厘米。
2.王大媽買蘋果花了8元，買梨花了10元。
3.大蘋果每千克5元，小蘋果每千克4元。
【例題4】
A、B兩種商品的價(jià)格比是7：3。如果它們的價(jià)格分別上漲70元，它們的價(jià)格比就是7：4，這兩種商品原來的價(jià)格各是多少元？
【思路導(dǎo)航】
解法一：因?yàn)锳、B兩種商品漲價(jià)的數(shù)值相同，所以漲價(jià)后兩種商品價(jià)格差不變。由于價(jià)格差不變，所以價(jià)格差對(duì)應(yīng)的份數(shù)也應(yīng)該相同。
原價(jià)格比＝7：3＝21：9，現(xiàn)價(jià)格比＝7：4＝28：16
【這樣前后項(xiàng)的差都是12，價(jià)格漲了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于兩種商品的價(jià)格不變，選兩種商品的價(jià)格差做單位“1“進(jìn)行解答。
（1）原來A商品的幾個(gè)是價(jià)格差的幾倍7÷（7－3）＝7/4
（2）后來A商品的價(jià)格是價(jià)格差的幾倍7÷（7－4）＝7/3
（3）A、B兩種商品的價(jià)格差是70÷（7/3－7/4）＝120（元）
（4）原來A商品的價(jià)格是120÷（7－3）×7＝210（元）
（5）原來B商品的價(jià)格是120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B兩種商品原來的價(jià)格分別是210元和90元。
【練習(xí)4】
用兩種思路解答下列應(yīng)用題：
1、甲、乙兩個(gè)建筑隊(duì)原有水泥重量的比是4：3。甲隊(duì)給乙隊(duì)54噸水泥后，甲、乙兩隊(duì)水泥重量的比是3：4。原來甲隊(duì)有水泥多少噸？
2、甲書架上的書是乙書架上的4/7，兩書架上各增加154本后，甲書架上的書是乙書架上的，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？
3、兄弟兩人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。從年初到年底，他們都結(jié)余720元。他們每年的收入各是多少元？
【答案】
1.原來甲隊(duì)有水泥216噸。
2.甲書架原有書56本，乙書架原有書98本。
3.哥哥每年的收入是7200元，弟弟每年的收入是5400元。
【例題5】
如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程比是1：2。王剛以每小時(shí)4千米的速度從甲地步行到丙地，李華同時(shí)以每小時(shí)10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時(shí)到達(dá)丙地。甲、乙兩地相距多少千米？
【思路導(dǎo)航】
解法一：根據(jù)路程的比和速度的比求出時(shí)間的比，從而求出王剛和李華所用的時(shí)間，再求出各自所走的路程。
王剛和李華所用時(shí)間的比1/4：2/10＝5：4
王剛所用的時(shí)間1÷（5－4）×5＝5（小時(shí)）
甲地到丙地的路程4×5＝20（千米）
甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米）
解法二：如果李華每小時(shí)行4×2＝8千米，他將與王剛同時(shí)到達(dá)丙地。現(xiàn)在他每小時(shí)多行10－8＝2千米。在王剛從甲地到丙地的這段時(shí)間內(nèi)，李華比應(yīng)行的路程多行了10×1＝10千米。據(jù)此，可求出王剛從甲地到丙地的時(shí)間。
王剛從甲地到丙地的時(shí)間10×1÷（10－4×2）＝5（小時(shí)）
甲、乙兩地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）
解法三：如果王剛每小時(shí)行10÷3＝5千米，就能和李華同時(shí)到達(dá)。由此可見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時(shí)4千米的速度和每小時(shí)5千米的速度相比，所用的時(shí)間相差1小時(shí)。再根據(jù)1千米的路程，兩種速度所用的時(shí)間相差1/4－1/5＝1/20小時(shí)。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米）
甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙兩地相距60千米。
【練習(xí)5】
1、一輛汽車在甲、乙兩站間行駛，往返一次共用去4小時(shí)（停車時(shí)間不算在內(nèi)）。汽車去時(shí)每小時(shí)行45千米，返回時(shí)每小時(shí)行30千米。甲、乙兩地相距多少千米？
2、甲做3000個(gè)零件比乙做2400個(gè)零件多用1小時(shí)，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)？
3、下圖是甲、乙、丙三地的路線圖。已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程的比是2：3。一輛貨車以每小時(shí)40千米的速度從甲地開往丙地，一輛客車同時(shí)以每小時(shí)50千米的速度從乙地開往丙地，客車比火車遲1小時(shí)到達(dá)丙地。求甲、乙兩地的路程？
【答案】1.甲乙兩地相距72千米。
2.甲每小時(shí)做120個(gè)零件，乙每小時(shí)做100個(gè)零件。
3.甲乙兩地的路程是500千米。
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