數(shù)學(xué)新基礎(chǔ) 第一卷
幾何學(xué)新基礎(chǔ)（書稿1）
潘永城 潘昊楠 著
寫 在 前 面
這是一本講解幾何學(xué)基礎(chǔ)的書．這本書和歷史上那些關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的書籍和文獻(xiàn)完全不同．歷史上所有關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的書籍和文獻(xiàn)，都是從平面上的圖形開始討論，建立完整的幾何體系，最后再過渡到空間圖形上去，討論空間和空間圖形的性質(zhì)．本書從定義了的“點(diǎn)”開始討論，首先定義空間中的單線和閉線（單線和閉線并不是規(guī)則的圖形）．接下來我們定義了距離相等（不是距離，僅僅是距離相等）．隨后關(guān)鍵的一步就是我們定義了球和圓，進(jìn)而定義了直線和平面，并依據(jù)定義了的直線和平面證明了希爾伯特(Hilbert)給出的5組20個(gè)公理中的絕大多數(shù)的命題．這些已經(jīng)證明了的命題就包括歐幾里得(Euclid)的第五公設(shè)．就是我們已經(jīng)成功地證明了“平面上，過直線外一點(diǎn)可以引一條直線和已知直線平行，并且僅可以引一條”．也就是我們已經(jīng)成功地將歐式幾何的平行公理轉(zhuǎn)變成了一個(gè)定理，證明了在現(xiàn)在并存的三種幾何中，僅有歐幾里得(Euclid)幾何這一種幾何學(xué)是正確的，是能夠正確描述空間性質(zhì)的．而羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)幾何和黎曼(Riemann)幾何都是和空間沒有什么關(guān)系的邏輯自洽系統(tǒng)．為了和舊有的幾何學(xué)相區(qū)別，稱我們討論的幾何學(xué)為建立在新基礎(chǔ)之上的幾何學(xué)．
由于本書是一本開創(chuàng)性的著作，因此在公理設(shè)置，概念定義，定理證明，結(jié)構(gòu)組織，語(yǔ)法修辭等方面都一定存在著諸多疏漏．誠(chéng)心地希望各位讀者，能將你們的意見及時(shí)地反饋給我們。在這里我們誠(chéng)心地向你們表示感謝．
本書的第一作者：潘永城 是已經(jīng)退休的化工高級(jí)工程師．
聯(lián)系郵箱： panyongcheng@163.com．
本書第二作者：潘昊楠 是吉林大學(xué)物理學(xué)院三年級(jí)學(xué)生．
作 者
2018.4.2
目 錄
第一章 相關(guān)基礎(chǔ)………………………………………1
§1 概念無歧義原則…………………………………… 1
§2 關(guān)于公理…………………………………………… 14
第二章 幾何學(xué)新基礎(chǔ)………………………………… 21
§1 新基礎(chǔ)幾何學(xué)……………………………………… 21
§2 基礎(chǔ)概念……………………………………………30
§3 假設(shè)、工具和公理…………………………………48
§4 基礎(chǔ)定理……………………………………………54
§5 直線和直線段………………………………………85
§6 射線、平面、角和三角形…………………………105
§7 基礎(chǔ)作圖 …………………………………………140
§8 希爾伯特公理的命運(yùn) ……………………………152
參考文獻(xiàn)…………………………………………………161
潘永城郵箱：panyongcheng@163.com
第 一 章 相 關(guān) 基 礎(chǔ)
§1 概念無歧義原則
人是一種智慧生物，他是通過概念進(jìn)行思維的，因此概念是我們進(jìn)行思維判斷和邏輯推理的基礎(chǔ)．
本書是一部系統(tǒng)的討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的書．?dāng)?shù)學(xué)理論是建立在概念、公理和形式邏輯基礎(chǔ)之上的．即數(shù)學(xué)理論是以概念和公理（不容懷疑的真理）為基礎(chǔ)，由通過邏輯推演獲得的各個(gè)數(shù)學(xué)命題構(gòu)成的無矛盾的體系．如果公理是正確的判斷，使用的形式邏輯也是正確的推理方法，那么通過推理得到新判斷（定理）是否正確就完全依賴于概念的內(nèi)涵是否清晰，是否存在歧義或別解．從某種意義上講，基本概念的內(nèi)涵是否清晰，對(duì)于數(shù)學(xué)體系的建立和完善是至關(guān)重要的．因此，對(duì)于數(shù)學(xué)的概念，尤其是討論的最基本對(duì)象（需要用名詞定義的對(duì)象）這些概念的內(nèi)涵必須清晰明了，既不可存在歧義，也不應(yīng)存在別解，該項(xiàng)要求是建立任何一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系（當(dāng)然也包括數(shù)學(xué)體系）都必須遵循的原則．我們稱該原則為概念無歧義原則．
要想讓概念的內(nèi)涵清晰明了，就應(yīng)當(dāng)給概念下一個(gè)定義，即用一個(gè)陳述句“a是×××”來圈定概念a的內(nèi)涵．由于，對(duì)概念進(jìn)行定義本質(zhì)上是使用已經(jīng)定義好了的概念來圈定未定義概念內(nèi)涵的過程．亞里士多德(Aristotle)指出：在不出現(xiàn)循環(huán)定義的前提下，我們就不可能對(duì)所有的概念都給出定義．因此，任何一個(gè)理論體系，都要選定一些概念作為不定義的基本概念．必須清楚，不定義的概念，不等于內(nèi)含不清楚的概念．一切概念都必須內(nèi)涵清楚，既不可存在歧義，也不能存在別解．這就是概念無歧義原則，對(duì)于概念內(nèi)涵提出的要求．為了保證我們選定的不定義概念內(nèi)涵的清晰，我們會(huì)通過通俗的說明或形象的解釋來圈定這些概念的內(nèi)涵．
通過說明和解釋來圈定概念的內(nèi)涵和給概念下定義是不同的．它們的區(qū)別有以下兩點(diǎn)．
１. 給概念下定義，必須使用已經(jīng)定義好了的概念，不允許循環(huán)定義．對(duì)概念進(jìn)行說明和解釋，允許使用尚未定義但大家都能正確理解的概念，也允許出現(xiàn)不造成歧義的概念循環(huán)．
２. 給概念下定義，必須使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶I(yè)語(yǔ)言，必須是肯定的陳述語(yǔ)句．對(duì)概念進(jìn)行說明和解釋，允許使用非專業(yè)語(yǔ)言，允許借助于圖形進(jìn)行描述，也允許通過舉例的方式進(jìn)行講解．
例如，現(xiàn)在中學(xué)教科書中仍然用“一條拉緊了的線，可以向兩邊無限延長(zhǎng)”來形象地解釋直線．
不論是給概念下定義，還是對(duì)概念進(jìn)行解釋，目的只有一個(gè)，就是將概念的內(nèi)涵圈定清楚．什么是概念的內(nèi)涵清楚呢？就是對(duì)于給出的任何一個(gè)滿足概念大前提要求的對(duì)象，都可以得出該對(duì)象屬于這個(gè)概念（屬于這個(gè)概念所圈定的集合），還是不屬于這個(gè)概念（不屬于這個(gè)概念所圈定的集合）．例如，“3”是自然數(shù)（屬于自然數(shù)集合），“圓周率
”不是自然數(shù)（不屬于自然數(shù)集合）．概念的內(nèi)涵清楚（概念的無歧義原則）是對(duì)概念的最基本要求．大家在一起討論問題，如果使用的概念或者討論對(duì)象的內(nèi)涵不清晰，就沒有辦法進(jìn)行討論，即使勉強(qiáng)地進(jìn)行討論也不能得出大家都認(rèn)同的結(jié)論．
讓我們看一看，下面討論對(duì)象內(nèi)涵不清的對(duì)話．
甲：“人不是飯會(huì)餓死的”（此句話中“飯”指的是“食物”）．
乙：“我不吃飯餓不死，我吃餃子”（此句話中“飯”專指“米飯”）．
讓我們看一看，下面討論中使用概念內(nèi)涵不清的對(duì)話．
甲：“到某處遠(yuǎn)嗎？”
乙：“不遠(yuǎn)，向前跑10分鐘就到了”（南方人，此句話中“跑”指的是“走路”）．
甲：“需要跑10分鐘還不遠(yuǎn)？”（北方人，此句話中“跑”專指“奔跑”）．
生活中這樣的例子很多，我們舉這些例子的目的，是想讓大家牢牢地記住，概念無歧義原則的重要性．很多讀者會(huì)說，生活上，特別是喜劇小品中有這種概念混淆的現(xiàn)象，在科學(xué)上，尤其是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)上絕對(duì)不會(huì)有這種概念不清的情況．很遺憾，你們想錯(cuò)了，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)上，也存在這種概念不清的現(xiàn)象．本書是專門研究幾何學(xué)基礎(chǔ)的，那么就讓我們來看一看關(guān)于幾何學(xué)的現(xiàn)狀吧．
古希臘最偉大的學(xué)者歐幾里得(Euclid)顯然深知對(duì)于建立幾何學(xué)的那些最關(guān)鍵的基本概念，內(nèi)涵必須清晰明了，絕不可以存在別解和歧義．因此，他在建立幾何學(xué)的時(shí)候，給“點(diǎn)”、“線”、“直線”、“面”、“平面”等23個(gè)概念都下了定義．雖然對(duì)某些概念所下的定義并不嚴(yán)謹(jǐn)，很多還算不上是定義，頂多只能算作是對(duì)概念的通俗解釋．盡管如此，當(dāng)我們看到《幾何原本》中給出的定義：1.點(diǎn)是沒有部分的；2.線只有長(zhǎng)度沒有寬度；3.一線的兩端是點(diǎn)；4.直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線；5.面只有長(zhǎng)度和寬度；6.面的邊緣是線；7.平面是它上面的線一樣地平放著的面[1]．通常就不會(huì)再對(duì)這些概念的內(nèi)涵產(chǎn)生歧義．
既然任何人都不能給所有的概念下定義，那么歐幾里得就也不能給所有的概念下定義．看“部分”、“長(zhǎng)度”、“寬度”、“端點(diǎn)”、“一樣地平放著”、“邊緣”這些概念都既沒有給出定義也沒有作出說明，是作為不定義概念處理的．如果歐幾里得認(rèn)為，和他同時(shí)代的人能夠理解這些概念的含義，這種做法就是正確的．不管怎么說歐幾里得確實(shí)是努力地要把那些最基本的概念，尤其是直接討論的對(duì)象的內(nèi)涵圈定清楚．特別應(yīng)當(dāng)指出的是，他給點(diǎn)下的定義（或解釋）是那樣的精辟．
《幾何基礎(chǔ)》問世以后，問題發(fā)生了改變．在希爾伯特(Hilbert)這部著作里一些對(duì)象（“點(diǎn)”、“直線”、“平面”）被取為基本元素，一些關(guān)系（“結(jié)合關(guān)系”、“順序關(guān)系”、“合同關(guān)系”）被取為基本關(guān)系，統(tǒng)稱為基本概念．而基本概念是脫離直覺形象的．唯一的要求是他們必須滿足系統(tǒng)內(nèi)諸公理的要求[2]．他所提出的體系，據(jù)說克服了歐幾里得《幾何原本》中存在的邏輯缺點(diǎn)，使歐幾里得幾何牢固地建立在基本概念和公理的基礎(chǔ)之上．但是由于他放棄了歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)“點(diǎn)”、“直線”、“平面”這些基本概念的定義或解釋，致使這些概念失去了唯一性．希爾伯特的想法可能是好的，他看到了歐幾里得給所有概念都下定義的作法中存在的邏輯缺陷，想通過一整套復(fù)雜的公理體系（5組20個(gè)）來彌補(bǔ)這些缺陷．可能認(rèn)為他所提出的這個(gè)龐大的公理體系，可以準(zhǔn)確的圈定這些不定義的基本概念的內(nèi)涵吧．但是不知為什么，當(dāng)后來發(fā)現(xiàn)這些公理并不能準(zhǔn)確地圈定這些概念的內(nèi)涵時(shí)，他并沒有通過對(duì)這些概念作出說明和解釋來進(jìn)行彌補(bǔ)，而是放任地使這些概念變成了與空間性質(zhì)無關(guān)的，可以隨意解釋的概念．應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，也許希爾伯特(Hilbert)這樣做的初衷是好的，但是好的初衷，并不一定有好的效果，希爾伯特真的使歐幾里得幾何牢固地建立在基本概念和公理的基礎(chǔ)之上了嗎？恐怕我們不能這么說．由于“點(diǎn)”、“直線”、“平面”、“關(guān)聯(lián)”、“合同”這些基本概念的內(nèi)涵存在著別解，致使很多論斷喪失了確指性，變得可以隨意解釋，完全喪失了內(nèi)涵的唯一性，當(dāng)然也就喪失了結(jié)論真理性．更為嚴(yán)重的是，由于放棄了使用現(xiàn)實(shí)物理世界中物質(zhì)的性質(zhì)和現(xiàn)象來解釋這些基本概念的作法，就將幾何學(xué)這門研究空間（幾何）性質(zhì)的學(xué)科，變成了一個(gè)僅僅是概念之間自洽的邏輯體系．形象一點(diǎn)的說，他修好了歐幾里得幾何學(xué)這座大廈破損的地面，卻挖空了大廈的基礎(chǔ)，使這座屹立于堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上的雄偉建筑變成了虛無縹緲的空中樓閣．
徐利治教授在《數(shù)學(xué)方法論選講》（第三版）第四講中寫到：最后，值得說明一下，正因?yàn)橄柌貛缀喂硐到y(tǒng)中的點(diǎn)、線、面、位于、通過等名詞都無非是一批抽象元素及其關(guān)系的代名詞，因此對(duì)它們可以賦予各種各樣的具體解釋．如果把它們解釋作古典歐氏幾何（平面幾何與立體幾何）中的對(duì)象，則得到二維及三維歐氏幾何．特別，如果我們把公理中的點(diǎn)與直線分別反過來解釋成普通歐氏幾何中的直線與點(diǎn)，便可得出原定理的對(duì)偶定理．正因?yàn)楣碇械狞c(diǎn)與線皆為抽象元素，故在名詞上互易其位也無不可．所以，就有一般形式的對(duì)偶原理：在任何一條涉及點(diǎn)、線關(guān)系的平面幾何定理里，如將點(diǎn)、線位置互換，則所得命題仍成立（后一命題即稱為前一定理的對(duì)偶命題）[3]．
再看П．К．拉舍夫斯基在《希爾伯特的<幾何基礎(chǔ)>和它在本問題發(fā)展的歷史中的地位》中是怎么說的：在希爾伯特的系統(tǒng)里討論了三種對(duì)象：“點(diǎn)”、“直線”、和“平面”，以及對(duì)象之間的三種關(guān)系，他們用話來說是：“屬于”、“介于”、“合同于”．這些就是基本的概念，而且嚴(yán)格說來，在希爾伯特系統(tǒng)里研究的只是所說的對(duì)象和它們之間所說的關(guān)系．所有其余的概念都可以在列舉的六個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上給予直接的定義．
然而這些基本概念是什么呢？我們已經(jīng)說過，作為數(shù)學(xué)的幾何學(xué)所關(guān)心的只是幾何命題如何純邏輯地從其中的有限幾個(gè)來推得．這些特別挑出來的命題就是所謂公理．而如果從公理推得的結(jié)論完全是按照形式邏輯的法則作出的，則只要認(rèn)為公理成立，所謂對(duì)象（“點(diǎn)”、“直線”、“平面”）和這些對(duì)象的所謂關(guān)系（“屬于”、“介于”、“合同于”）究竟指的是什么就完全不起作用了．事實(shí)上，形式邏輯之所以叫做“形式的”，正是它的結(jié)論就形式說是正確的，不管我們討論的對(duì)象在實(shí)質(zhì)上指的是什么．所以在幾何的公理結(jié)構(gòu)下，不論我們?nèi)绾蔚膩砝斫狻包c(diǎn)”、“直線”、“點(diǎn)屬于直線”等，只要我們?cè)谧鲎C明時(shí)所用的公理是正確的，則嚴(yán)密邏輯地證明了的定理也是正確的．特別地，可以不必與通常直覺概念下的點(diǎn)、直線等發(fā)生任何關(guān)系[4]．
我很尊敬大數(shù)學(xué)家希爾伯特，他對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)．但是我不贊成他對(duì)公理體系中最關(guān)鍵的基本概念的處理方法．希爾伯特對(duì)幾何學(xué)最關(guān)鍵的基本概念的處理太隨便了，既不給出定義，又不做出解釋，還要聲明它們可以不必與通常直覺概念下的點(diǎn)、直線等發(fā)生任何關(guān)系．其實(shí)，如果希爾伯特通過定義或解釋，說明作為基本概念的“點(diǎn)”、“直線”和“平面”就是對(duì)通常直覺概念中的點(diǎn)、直線和平面抽象的結(jié)果，在進(jìn)行形象思維時(shí)可以借用直覺概念代替相應(yīng)的基本概念．這樣做不會(huì)影響體系的完整性，同時(shí)也可以夯實(shí)幾何學(xué)的基礎(chǔ)．可惜他沒有這樣做，他太重視數(shù)學(xué)體系的邏輯自洽性了．
正如徐利治教授所指出的，根據(jù)希爾伯特的體系，我們無法區(qū)別幾何命題中的“點(diǎn)”和“直線”，尤其在射影幾何學(xué)中就更是如此．當(dāng)談到“點(diǎn)”時(shí)可能指的是通常直覺概念下的“點(diǎn)”，也可能是通常直覺概念下的“直線”，當(dāng)我們提到直線時(shí)亦是如此．那么“兩點(diǎn)確定一條直線”就既可以理解成“兩個(gè)‘直覺點(diǎn)’確定一條‘直覺直線’”，也可以理解為“兩條‘直覺直線’確定一個(gè)‘直覺點(diǎn)’”．如果我們不是已經(jīng)將歐幾里得在《幾何原本》中給出的“點(diǎn)”和“直線”的定義接受了下來，我們就根本看不懂關(guān)于“點(diǎn)”和“直線”僅涉及“關(guān)聯(lián)”的任何一個(gè)定理，也就無法區(qū)分帕斯卡定理和布利安桑定理．一定會(huì)有人說，用公理隱含地定義基本概念還是有積極效果的，它導(dǎo)出了對(duì)偶原理．必須清楚，對(duì)偶定理是客觀存在的，即使我們按照歐幾里得給出的定義弄清楚了這些概念的內(nèi)涵，仍可以根據(jù)公理推導(dǎo)出對(duì)偶原理．
希爾伯特這種將體系最關(guān)鍵的概念，尤其是我們直接討論的對(duì)象當(dāng)成既不定義又不解釋的概念，僅靠公理約束其內(nèi)涵的作法，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)界造成了巨大的影響，阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展，甚至將其引向了歧途．由于，幾何最關(guān)鍵的基本概念的內(nèi)涵不確定，致使某些數(shù)學(xué)概念乃至某些數(shù)學(xué)命題失掉了確指性，甚至使一些重要的物理學(xué)結(jié)論也變成了不知所云的廢話．
由于這些不定義的基本概念僅靠公理來界內(nèi)涵，就出現(xiàn)了一種推理中的大忌——循環(huán)定義（由A定義B，由B定義A）或循環(huán)論證（由A推出B，由B推出A）．請(qǐng)看下面的例子，
一個(gè)老師問學(xué)生：“你家住在哪兒？”，
學(xué)生回答：“和王嬸家相鄰”．
老師又問：“王嬸家在哪兒？”
學(xué)生又回答：“在我家隔壁”．
根據(jù)上面的對(duì)話，我們僅可以知道這個(gè)學(xué)生的家和他的王嬸家相關(guān)聯(lián)，根本無法確定這個(gè)學(xué)生家的具體位置．
我們討論平行公理時(shí)就墜入了這種循環(huán)定義的漩渦．
現(xiàn)在當(dāng)問及什么是點(diǎn)的時(shí)候，學(xué)者們會(huì)說：“點(diǎn)是兩個(gè)可以確定一條，并且僅可以確定一條直線的元素”．
當(dāng)問及什么是直線的時(shí)候，學(xué)者們又說：“直線就是由兩個(gè)點(diǎn)唯一確定的元素”．
根據(jù)上面的回答，我們既不能明確什么是“點(diǎn)”，也不能確定什么是“線”．像這樣循環(huán)定義的概念，是可以賦予不同內(nèi)涵的．最簡(jiǎn)單的例子，我們把歐幾里得所說的點(diǎn)稱為“直線”，把歐幾里得所說的直線稱為“點(diǎn)”并沒有什么不妥之處（其實(shí)就連“點(diǎn)”和“平面”之間也是如此）．必須明確，這種將“點(diǎn)”，“直線”和“平面”這些概念混淆的情況，在歐幾里得那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家那里，是絕對(duì)不不會(huì)出現(xiàn)的．因?yàn)椋跉W幾里得看來，“點(diǎn)”沒有長(zhǎng)度不能稱為“直線”，沒有寬度也不能稱為“平面”；“直線”有部分不能稱為“點(diǎn)”，沒有寬度也不能稱為“平面”；“平面”有長(zhǎng)度和寬度，既不能稱為“點(diǎn)”也不能稱為“直線”．顯然，就知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性而言，希爾伯特(Hilbert)及以后數(shù)學(xué)家的做法較之2000多年前的先哲，不是進(jìn)步了，而是倒退了．
多年來，學(xué)術(shù)界一直在討論歐幾里得(Euclid)幾何，羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)幾何和黎曼(Riemann)幾何這三種幾何學(xué)究竟哪一種是正確的．對(duì)這個(gè)問題的討論，歸根到底就是對(duì)平行公理的討論，本質(zhì)上就是要回答“過直線l 外的一點(diǎn)K，在直線l 和點(diǎn)K，所在的平面M上，究竟能引幾條直線和直線l 沒有合同點(diǎn)（永不相交）”的問題．從邏輯上來講，要想這個(gè)問題本身有意義，就要求參加討論者對(duì)于“點(diǎn)”、“直線”、“平面”，乃至“合同”都要有統(tǒng)一的（大家一致認(rèn)可的）、明確的（內(nèi)涵清楚的）認(rèn)識(shí)．即都使用“（歐氏）直線”和“（歐氏）平面”來討論，在這樣的前提下能證明，如果歐氏幾何是無矛盾的，那么非歐幾何也是無矛盾的，那才能讓人信服．
現(xiàn)在讓我們來看一看這個(gè)進(jìn)行了100多年的討論．代表各學(xué)派的學(xué)者（包括為其建立模型的代表人）對(duì)這些概念的內(nèi)涵有清楚的認(rèn)識(shí)嗎？首先歐幾里得幾何的代表人歐幾里得(Euclid)對(duì)這些概念的內(nèi)涵是清楚的，除了“直線相交”作為不定義的概念（這一般不會(huì)造成混淆）之外，其余概念在《幾何原本》中均給出了定義（雖然有些定義并不嚴(yán)密）．必須聲明的是，歐幾里得時(shí)代僅有歐式幾何，因此歐幾里得沒能參加這個(gè)問題的討論，但他的觀點(diǎn)是明確的：“平面上過直線外一點(diǎn)僅可以引一條直線和已知直線平行”（雖然他的第5公設(shè)對(duì)這個(gè)問題的表述略有不同）．但是他的后繼者——以希爾伯特(Hilbert)為代表的學(xué)者們，打著“糾正”歐幾里得的 “邏輯錯(cuò)誤”，“彌補(bǔ)”歐幾里得的“邏輯缺憾”的旗號(hào)．徹底地否定了歐幾里得一定要弄清“點(diǎn)”、“直線”和“平面”這些概念內(nèi)涵，以確保幾何學(xué)建立在牢固基礎(chǔ)之上的正確做法．把“點(diǎn)”、“直線”和“平面”乃至“關(guān)聯(lián)”都規(guī)定為不定義的基本概念．并在用公理來約束這些概念內(nèi)涵的幌子下，放棄了對(duì)這些概念內(nèi)涵的約束，使這些概念變成了可以隨意解釋的“符號(hào)”（希爾伯特會(huì)說，不是隨意解釋，要受到公理的約束）．
代表羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)進(jìn)行討論的龐加萊(Poincare)在建立的模型中（圖1.1-1），將歐式平面α上被水平直線u分開的上半平面C（不包括直線u）稱為羅氏平面．再把圓心在u上且位于C上的半圓周（圖中的b）和垂直于u而位于C上的半直線（圖中的a，可認(rèn)為是半徑為∞的半圓周）統(tǒng)稱為羅氏直線．并稱反形變換的像和原圖形合同[5]．在這個(gè)模型中，過“羅氏直線”外一點(diǎn)可以引兩條以上的“羅氏直線”和已知“羅氏直線”沒有交點(diǎn)（圖中過P點(diǎn)，有點(diǎn)落在陰影區(qū)域的歐式半圓），且其它公理均成立．
另一個(gè)代表羅氏建立模型的克萊因(Klein)，他的模型是這樣建立的．將歐式平面上圓的區(qū)域（丟棄圓周和圓外區(qū)域）稱為“羅氏平面”，將圓內(nèi)的歐式弦稱為“羅氏直線”（圖1.1-2）．將使得平面上一給定圓和它的內(nèi)部變成它自身的射影變換，稱為“非歐幾里得平移”．兩個(gè)圖形，如果存在一個(gè)非歐幾里得平移把其中一個(gè)變成另一個(gè)，就說它們是迭合的[6]．過“羅氏直線”外一點(diǎn)可以引兩條以上的“羅氏直線”和已知“羅氏直線”沒有交點(diǎn)（圖中過P點(diǎn)，有點(diǎn)落在陰影區(qū)域的歐式弦），且其它公理均成立．
另外，還常把歐氏球面M 看成黎曼(Riemann)幾何的平面，將球面M上的大圓當(dāng)成黎曼幾何的直線來說明黎曼幾何．
眾所周知，辯論中改變討論對(duì)象的內(nèi)涵，稱作“偷換概念”．“偷換概念”是大家公認(rèn)的詭辯．但是在最嚴(yán)密的數(shù)學(xué)中這種概念內(nèi)涵不清的討論，沒有人稱之為詭辯，反而被披上了一套華麗的外衣，稱之為嚴(yán)密的證明，何其怪也．讓我們稍微詳細(xì)一點(diǎn)討論一下，這其中的邏輯矛盾：
(1)概念內(nèi)涵不統(tǒng)一．
① 歐式平面是它上面的線一樣地平放著的有長(zhǎng)度和寬度的圖形，它向各個(gè)方向都可無限地延伸（即大家熟悉的平面）．歐式直線是它上面的點(diǎn)一樣的平放著的線，它可以向兩端無限延伸．合同是圖形經(jīng)剛性移動(dòng)后重合．對(duì)這些觀點(diǎn)大家認(rèn)識(shí)一致．
② 龐加萊(Poincare)模型認(rèn)為“羅氏平面”是一條歐式直線u在歐式平面上分割出來的半張歐式平面C（不包含線u）．直線是圓心在u上且位于C上的半圓周和垂直于u而位于C上的半直線．并稱反形變換的像和原圖形合同．
③ 克萊因(Klein)模型認(rèn)為“羅氏平面”是一個(gè)歐式圓在歐式平面上圈定出來的圓內(nèi)區(qū)域（不包含圓周），將圓內(nèi)的歐式弦稱為“羅氏直線”．稱使得平面上一給定圓和它的內(nèi)部變成它自身的射影變換中的像和原圖形為平移迭合的，并說平移迭合的圖形合同．
④ 黎曼(Riemann)建立了一套具有封閉的有限直線的幾何．他將球S（當(dāng)然應(yīng)當(dāng)是歐式球）的表面看成黎氏平面，把球面的大圓當(dāng)成直線，將過兩點(diǎn)大圓弧的短弧當(dāng)作這兩點(diǎn)間的距離[6]．
看吧,大家在討論什么，在討論平面上的直線，討論的平面是什么呢？一個(gè)說“平面可以向各個(gè)方向無限地延伸”．另一個(gè)對(duì)第一個(gè)人說“用不著將平面考慮成那么大，僅考慮它的一半就可以了”．第三個(gè)人對(duì)第二個(gè)人說“連一半都用不著，它只是在歐式平面上被歐式圓圈定的那么一小塊”．還有一個(gè)人卻說，平面是一個(gè)自封閉的歐式球面．什么是討論的直線呢？一個(gè)說“直線可以向兩端無限地延伸”．另一個(gè)說“有些直線可以向一端無限延伸，有些直線就是半個(gè)歐式圓”．第三個(gè)人對(duì)第二個(gè)人說“用不著把直線分成兩種討論，可以都將它們看成平面圓內(nèi)的歐式弦”．第四個(gè)人大聲喊道，你們說的都不對(duì)，直線就是球上的大圓．如果在馬路上你遇到四個(gè)為此而爭(zhēng)吵不休的人，你會(huì)有何感想．如果你發(fā)現(xiàn)他們居然是偉大的數(shù)學(xué)家，我想你一定會(huì)驚訝萬(wàn)分．但是當(dāng)你知道他們中間有兩個(gè)人還不承認(rèn)將一個(gè)圖形不變樣的移過來可以和另一個(gè)圖形重疊，那么這兩個(gè)圖形合同（重合）．其中一個(gè)認(rèn)為兩個(gè)圖形合同是互為原圖和反形變換的像，和它們外觀是否一樣沒有關(guān)系．其中的另一個(gè)卻說，合同的圖形外觀不一定一樣是對(duì)的，但它們不是互為反形變換的像重疊，而是給定圓和它的內(nèi)部變成它自身的射影變換中的像和原圖形平移后重疊，你大概會(huì)以為他們瘋了吧．不要生氣，這就是現(xiàn)今幾何學(xué)的現(xiàn)狀．一切基本概念都不定義，都可以隨意地解釋，既可以說方是圓，也可以指鹿為馬．
(2)建立的非歐幾何模型邏輯混亂．
① 龐加萊(Poincare)模型，定義的“羅氏平面”的邊緣是一條歐式直線．在羅氏平面上作羅氏直線，卻要以羅氏平面之外的歐式直線上的點(diǎn)為圓心作歐式半圓或作垂直于該歐式直線的歐式半直線．在討論平行公理的時(shí)候，平面、直線的內(nèi)涵應(yīng)當(dāng)是統(tǒng)一的．談不上歐式或羅氏，只有這些概念統(tǒng)一，我們才有討論該問題的基礎(chǔ)．現(xiàn)在在羅氏平面上作羅氏直線，卻要以歐式直線上的點(diǎn)為圓心作歐式半圓或作垂直歐式直線的歐式半直線，實(shí)屬怪事．
② 克萊因(Klein)模型，建立了一種度量，硬是將歐式圓內(nèi)的有限長(zhǎng)的弦，度量成無限的長(zhǎng)度，連“有限”和“無限”這種天壤之別的概念都能隨意地給出，這還是幾何空間中的度量嗎？．
③ 黎曼(Riemann)幾何將可以向各個(gè)方向都無限延展的平面，變成了一個(gè)面積有限的球面，將向兩端可以無限延長(zhǎng)的直線變成了球面上的一個(gè)閉合的圓圈．
像這樣隨意改變“直線”、“平面”這些概念內(nèi)涵，大家討論的還是“直線”和“平面”嗎？希爾伯特(Hilbert)說“直線”和“平面”不需要定義，僅用公理約束其內(nèi)涵就可以了，公理約束的結(jié)果就是如此．歐幾里得(Euclid)，明確的給“直線”和“平面”下了定義（或曰給出了“解釋”），但定義或解釋的過于含糊其辭（一樣平放著的點(diǎn)或直線），根本沒有辦法對(duì)概念的內(nèi)涵作出有效地約束．存在著沒有嚴(yán)格約束內(nèi)涵的概念，是造成這種混亂的根本原因．
還好建立這些非歐幾何模型的目的，僅僅是要證明非歐幾何是無矛盾的，是符合邏輯的．
這種無矛盾性的證明，是依據(jù)非歐幾何模型進(jìn)行的證明．如果羅氏系統(tǒng)在今后的展開中出現(xiàn)正反兩個(gè)互相矛盾的命題的話，則只要?jiǎng)t只要按如上規(guī)定之元素之間的對(duì)應(yīng)名稱進(jìn)行翻譯，立刻成為互相矛盾的兩個(gè)歐式幾何定理．從而歐式系統(tǒng)就矛盾了．因此只要承認(rèn)歐式系統(tǒng)是無矛盾的．那么羅氏系統(tǒng)一定也是相容的[7]．必須清楚的是，羅氏幾何的無矛盾性，是在“直線”、“平面”和“合同”都按模型中定義的意義上才成立．
歐幾里得(Euclid)建立的幾何學(xué)各基本概念的內(nèi)涵是清晰的，也確實(shí)是協(xié)調(diào)的、無矛盾的．但是經(jīng)過希爾伯特(Hilbert)改造以后的歐式幾何學(xué)就無所謂協(xié)調(diào)不協(xié)調(diào)了．因?yàn)樽罨A(chǔ)的基本概念都是可以隨意解釋的，因此，在一般情況下我們都可以通過修改基本概念內(nèi)涵將一套不太協(xié)調(diào)的體系變得協(xié)調(diào)．對(duì)于非歐幾何也是如此，對(duì)于歐幾里得定義的直線、平面、度量和合同，平面上過直線外一點(diǎn)僅可以引一條直線和已知直線平行，這一判斷顯然和羅巴切夫斯基的平行公理不協(xié)調(diào)，但是如果把“平面”理解成歐式圓內(nèi)的平面部分，將“直線”理解為該圓內(nèi)無端點(diǎn)的弦，再重新規(guī)定“測(cè)量”和“合同”的內(nèi)涵，那么羅巴切夫斯基的平行公理和其它判斷就是和“實(shí)際”協(xié)調(diào)的．因此，對(duì)于基本概念不加定義的體系，討論協(xié)調(diào)性和無矛盾性并沒有什么實(shí)際意義．
問題還不止如此，有的模型還和平行公理之外的其它公理不協(xié)調(diào)．例如，在黎曼幾何的解釋中，兩條黎氏直線（歐式球的大圓）有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上違反了希爾伯特給出的關(guān)聯(lián)公理（因?yàn)樗`反了由關(guān)聯(lián)公理Ⅰ1～8推出的定理“一平面上的兩直線或有一個(gè)公共點(diǎn)，或無公共點(diǎn)）”．不知為什么，學(xué)者們對(duì)這點(diǎn)并沒有予以關(guān)注[8]．
說明：兩條黎氏直線有兩個(gè)交點(diǎn)，并不是像投影幾何中的平行線那樣在無窮遠(yuǎn)處有另一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槔杪鼛缀握J(rèn)為直線長(zhǎng)度是有限的，因此另一個(gè)交點(diǎn)不能在無窮遠(yuǎn)處．
抄錄羅氏幾何的一個(gè)定理，請(qǐng)問他談的是直線還是曲線．
定理4.46 在羅氏空間中，有且僅有橢圓、拋物、雙曲三種類型的直線族[9]．
再如，幾何光學(xué)中有下列結(jié)論：
(1) 在同一種均勻介質(zhì)中光直線傳播．
(2) 在沒有引力場(chǎng)的真空中光直線傳播．
(3) 一道光線穿過引力場(chǎng)時(shí)其路程發(fā)生彎曲[10]
如果將結(jié)論(1)和結(jié)論(2)中的一個(gè)作為對(duì)于直線的定義，那么這三個(gè)判斷都有意義,否則這些判斷就沒有意義．令人遺憾的是，物理學(xué)上并沒有重新定義直線，而是直接使用幾何學(xué)中有關(guān)直線的定義、公理和定理．由于在數(shù)學(xué)上直線是一個(gè)不定義的概念，可以作出各種解釋，這樣，上述那些物理學(xué)中的判斷就都成了毫無意義的廢話．
又如，愛因斯坦(Einstein)在討論用許多長(zhǎng)度相等的小桿來驗(yàn)證一個(gè)巨大的桌面是不是一個(gè)歐幾里得(Euclid)連續(xù)區(qū)域（即是否是歐氏平面）的問題時(shí)指出，只要這些小桿可以正交地鋪滿整個(gè)面，它就是一個(gè)歐氏平面，否則它就不是歐氏平面[11]．對(duì)于這種驗(yàn)證只有選擇的小桿是直線段時(shí)才是正確的（使用半徑為R的圓周的一段當(dāng)小桿，也能正交地鋪滿半徑為R的球面），由于直線本身是一個(gè)沒有定義的概念，對(duì)它的解釋存在很大的隨意性，我們可以將任何可以重合的小桿看成直線的一段，因此這種檢驗(yàn)就沒有意義．
英國(guó)著名學(xué)者霍金(Stephen W．Hawking)在《時(shí)間簡(jiǎn)史》第二章中寫道：愛因斯坦提出了革命性的思想，即引力不像其他種類的力，而只不過是空間——時(shí)間不是平坦的這一事實(shí)的后果．正如早先他假定的那樣，空間——時(shí)間是由于在它中間的質(zhì)量和能量的分布而變彎曲或“翹曲”的．像地球這樣的物體并非由于稱為引力的力使之沿著彎曲軌道運(yùn)動(dòng)，而是它沿著彎曲空間中最接近于直線的稱之為測(cè)地線的軌跡運(yùn)動(dòng)．……
光線也必須沿著空間——時(shí)間的測(cè)地線走．空間是彎曲的事實(shí)又一次意味著，在空間中光線看起來不是沿著直線走．這樣，廣義相對(duì)論預(yù)言光線必須被引力場(chǎng)所折彎[12]．
必須明確的是：由于引力場(chǎng)的存在導(dǎo)致空間中所有物質(zhì)都具有的相同性質(zhì)（物質(zhì)沿歐式測(cè)地線運(yùn)動(dòng)）是客觀事實(shí)．我們可以把這些性質(zhì)當(dāng)成物質(zhì)本身的物理性質(zhì)，而認(rèn)為空間依舊是平坦的，物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)軌跡是彎曲的；也可以認(rèn)為這些性質(zhì)是空間的性質(zhì)，即認(rèn)為引力場(chǎng)導(dǎo)致了空間的彎曲，而物質(zhì)仍然按照直線（當(dāng)然是非歐幾何的直線）運(yùn)動(dòng)．愛因斯坦采取的是第二種解釋，但所有人對(duì)這種解釋敘述的都非?；靵y．既然認(rèn)為空間是彎曲的（非歐空間），那么光線軌跡就是一條直線（非歐直線），不能再說光線不沿著直線走，只有認(rèn)為空間仍是沒有彎曲的歐式空間，才能說光線的軌跡是彎曲的（在非歐空間中，不能再稱歐式直線為“直線”，必須使用時(shí)應(yīng)當(dāng)予以標(biāo)注）．決不能既說空間是彎曲的，又說光線不走直線（或說光線在引力場(chǎng)中發(fā)生彎曲）．然而現(xiàn)在幾乎所有的文獻(xiàn)中都是這樣自相矛盾地論述．本書將采用第一種解釋，即認(rèn)為引力場(chǎng)的存在導(dǎo)致空間中所有物質(zhì)都具有的相同性質(zhì)是物質(zhì)本身的物理性質(zhì)，而不是空間的性質(zhì)，即引力場(chǎng)的存在并不改變空間的性質(zhì)，空間仍然是平直的，只是物質(zhì)在引力場(chǎng)內(nèi)將沿曲線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)概念進(jìn)行定義是使用已經(jīng)定義了的概念來圈定未定義概念內(nèi)涵的過程．因此，在不出現(xiàn)循環(huán)定義的前提下，我們就不可能對(duì)所有的概念都給出定義．因此，任何一個(gè)理論體系，都要選定一些概念作為不定義的基本概念．只要可能，就不要選取對(duì)理論體系最重要的對(duì)象作為不定義的概念．而應(yīng)當(dāng)將那些不重要的，大家都熟悉其內(nèi)涵的概念規(guī)定為基本概念，再用這些概念來定義那些最基本的對(duì)象和其它概念．而對(duì)那些規(guī)定成基本概念的概念，一定要通過說明或解釋將其內(nèi)涵圈定的清晰明了，務(wù)必應(yīng)確保參與討論的所有人都對(duì)這些概念的內(nèi)涵理解一致．絕不可以將不定義的概念變成不界定其內(nèi)涵的概念．
對(duì)理論體系至關(guān)重要的概念，尤其是討論的對(duì)象，其內(nèi)涵必須清晰，不得存在歧義和別解，即必須徹底地貫徹概念無歧義原則．概念無歧義原則是建立任何一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系都必須嚴(yán)格遵循的基本原則之一，當(dāng)前幾何學(xué)中的混亂就是由于沒有認(rèn)真地貫徹該原則造成的．
對(duì)于圈定概念內(nèi)涵的語(yǔ)句究竟是屬于“定義”還是僅僅是一種“解釋”有時(shí)并不好辨別．為了敘述的簡(jiǎn)潔，對(duì)于那些不太好區(qū)分的判斷語(yǔ)句本書一律稱之為“定義”，就像大師歐幾里得(Euclid)那樣．
§2 關(guān)于公理
自歐幾里得（Euclid）《幾何原本》一書問世以來，公理體系作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已被廣泛的接受，但公理究竟是一種什么樣的命題，也就是公理的內(nèi)涵究竟應(yīng)當(dāng)是什么，大家的意見卻并不統(tǒng)一．
歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》中并沒有給出公設(shè)和公理的定義，希爾伯特（Hilbert）在《幾何基礎(chǔ)》中也沒有給出公理的定義．究竟什么是公理呢?
因特網(wǎng)百度百科“公理”詞條給出的解釋是：
基本解釋：經(jīng)過人類長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不需要再加證明的命題．
詳細(xì)解釋：在一個(gè)系統(tǒng)中已為實(shí)踐所反復(fù)證明而被認(rèn)為無須再證明的基本事實(shí)，如“等量加等量其和相等”，就是公理[13]．
一位署名為“
白色香雪蘭”的網(wǎng)友，不同意上述觀點(diǎn)，他給出的解釋是．
公理：是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的基本數(shù)學(xué)知識(shí)并作為判定其它命題真假的根據(jù)．
公理是一些前提假設(shè)，這些前提假設(shè)規(guī)定了整個(gè)理論的最基本概念之間的關(guān)系，它們并不需要任何事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持，只要它們本身在邏輯上沒有矛盾就可以了．它們不能被推出，因?yàn)樗鼈兪亲罨镜臇|西．所有的定理都是由公理推出來的．
一個(gè)典型的例子是非歐幾何的基本公理（指平行公理），它們提出時(shí)并沒有任何事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持，而且是違反直觀的，盡管后來發(fā)現(xiàn)確實(shí)有事實(shí)支持這樣一種幾何的存在，但這并不能說明公理一定是需要經(jīng)驗(yàn)的[14]．
朱梧槚教授寫到：首先從認(rèn)識(shí)論的角度來看，我們主張對(duì)任何系統(tǒng)的基本概念和公理的選取，必須客觀地反映現(xiàn)實(shí)對(duì)象的本質(zhì)和關(guān)系，也就是說，有其實(shí)際的直觀背景或現(xiàn)實(shí)模型，這就是說，不能單憑主觀臆造[15]．在這里朱老并沒有提及非歐幾何公理的選取是否符合他所提出的要求．
徐利治教授則認(rèn)為：關(guān)鍵在于基本概念和公理的選?。畬?duì)它們雖然不加定義和不加證明，但其選取并不是人為的，任意的．因?yàn)閹缀螌W(xué)的對(duì)象實(shí)體畢竟來源于現(xiàn)實(shí)世界，所以幾何學(xué)的基本概念和公理必須符合客觀實(shí)際．否則任憑主觀隨意創(chuàng)造，搞出來的“幾何”就沒有意義了（當(dāng)然，非歐幾何的意義不同，又當(dāng)別論）[16]．顯然徐老在括號(hào)內(nèi)的補(bǔ)充說明，否定了自己前面的觀點(diǎn)．
那么究竟哪一種觀點(diǎn)是正確的呢?其實(shí)，這兩種觀點(diǎn)都過于偏激了，都過分地強(qiáng)調(diào)了公理的某一方面的特征．前者強(qiáng)調(diào)公理的可證實(shí)性，認(rèn)為公理必須是被證實(shí)的；后者又強(qiáng)調(diào)公理的邏輯自洽性（無矛盾性），并聲稱公理不需要有任何事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持．誠(chéng)然，羅巴切夫斯基幾何的平行公理“平面上過已知直線外的一點(diǎn)至少可以引兩條直線和已知直線平行（永不相交）”沒有事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持，因?yàn)槲覀儾荒馨阎本€無限地延長(zhǎng)．難道歐氏幾何的平行公理 “平面上過已知直線外的一點(diǎn)可以引一條直線，并且只能引一條直線和已知直線平行（永不相交）”就有事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持嗎？不，在“直線”和“平面”的內(nèi)涵沒有清晰圈定的前提下，該公理同樣也沒有事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的支持．歐幾里得（Euclid）看到了這一點(diǎn)，為了避免討論直線無限延長(zhǎng)后的性質(zhì)，他在《幾何原本》中將第五公設(shè)描述為“平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交”[17]．看到了吧，絕頂聰明的歐幾里得并沒有談當(dāng)平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和等于二直角和的時(shí)候這兩條直線無限延長(zhǎng)后永不相交．
因?yàn)闅W幾里得很清楚兩條直線無限延長(zhǎng)的狀態(tài)是無法證實(shí)的．既然說不清直線無限延長(zhǎng)是什么樣子，那么這兩條直線無限延長(zhǎng)的狀態(tài)就只能是無法直接驗(yàn)證的假說．歐幾里得（Euclid）幾何如此，非歐幾里得（Euclid）幾何也是如此．歐幾里得（Euclid）是高明的，它巧妙地避開了討論直線無限延長(zhǎng)的狀態(tài)．我這里沒有貶低蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·普萊費(fèi)爾給出的被現(xiàn)代數(shù)學(xué)界廣泛使用的“歐幾里得幾何平行公理的描述”的意思．對(duì)于歐氏平行公理（或公設(shè)）約翰·普萊費(fèi)爾的描述方法和歐幾里得（Euclid）采取的描述方法，僅僅是側(cè)重點(diǎn)不同．歐幾里得（Euclid）的描述方法側(cè)重的是可證實(shí)性，約翰·普萊費(fèi)爾的描述方法側(cè)重的是簡(jiǎn)潔性，其實(shí)，兩種描述方法完全是等價(jià)的．
定義1.2.1給出一個(gè)（肯定或否定）結(jié)論的陳述句稱為判斷．通過考察客觀存在，綜合整理而得出判斷（包括邏輯推理規(guī)則），稱為歸納判斷，以歸納判斷的結(jié)論為基礎(chǔ)經(jīng)邏輯推理而得出的判斷稱為推出判斷．
歸納判斷正確與否需要由經(jīng)驗(yàn)（實(shí)踐）加以驗(yàn)證，推出判斷正確與否是由依據(jù)的歸納判斷和用于推理的邏輯規(guī)則是否正確來決定的．
顯然歸納判斷（包括推理中使用的推理規(guī)則）屬于基礎(chǔ)判斷，而推出判斷屬于依附歸納判斷（包括邏輯規(guī)則）進(jìn)行的二次判斷或再判斷．在一門學(xué)科中我們將必須承認(rèn)其正確的基本歸納判斷稱為“公理”或“定律”，如數(shù)學(xué)中的“a= a”，物理學(xué)中的“萬(wàn)有引力定律”，化學(xué)中的“定組成定律”．推出判斷則稱為“定理”，如各學(xué)科中從公理或定律出發(fā)推導(dǎo)出的結(jié)論都屬于定理，如幾何學(xué)中的“勾股定理”，代數(shù)學(xué)中的“二項(xiàng)式定理”等．
有一點(diǎn)必需清楚，我們定義的平行線是平面上永不相交的直線，而不是在無窮遠(yuǎn)處沒有交點(diǎn)的直線．“永不相交”和“無窮遠(yuǎn)處沒有交點(diǎn)”是絕然不同的兩個(gè)概念．兩條直線永不相交，是說兩條直線無論如何延長(zhǎng)都不會(huì)有交點(diǎn)，這個(gè)延長(zhǎng)是一個(gè)過程，永遠(yuǎn)也達(dá)不到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有交點(diǎn)是肯定兩線延長(zhǎng)到了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也沒有交點(diǎn)．前面我們已經(jīng)說了，無限遠(yuǎn)處究竟是什么狀態(tài)是我們無法認(rèn)知的，那么關(guān)于無限遠(yuǎn)處是什么狀態(tài)的判斷，如果是需要驗(yàn)證的歸納判斷，那它就只能是一個(gè)“假說”．根據(jù)我們的論述兩條直線永不相交的歸納判斷是假說，兩條直線在無窮遠(yuǎn)處有一個(gè)交點(diǎn)的歸納判斷也是假說．既然是假說，問“這個(gè)結(jié)論是否正確”就沒有意義．我們不能問這些假說的結(jié)論是否正確（因?yàn)闊o法驗(yàn)證），我們僅可以問假說的結(jié)論和我們已經(jīng)確認(rèn)了的結(jié)論是否協(xié)調(diào)，是否可以得到有益的結(jié)果．當(dāng)這些假說的結(jié)論不與我們已經(jīng)確認(rèn)的其它結(jié)論矛盾時(shí)，我們認(rèn)為這個(gè)假說是可以接受的，如果這個(gè)假說還能導(dǎo)出有益的結(jié)果，它們就是一定會(huì)被我們接受的．例如射影幾何給出的平面上平行的直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，平面上所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)匯聚成一條無限遠(yuǎn)直線，就是一定會(huì)被我們接受的假說．這里我們講的是對(duì)于歸納判斷給出的不可以直接驗(yàn)證的結(jié)論是假說．對(duì)于結(jié)論不能直接驗(yàn)證的推出判斷，則并不屬于假說，這是因?yàn)?，這些結(jié)論是依據(jù)公理證明了的結(jié)論，理論上不需要對(duì)這個(gè)結(jié)論直接驗(yàn)證，但需要對(duì)公理進(jìn)行驗(yàn)證（如果公理是已經(jīng)驗(yàn)證過的歸納判斷，就不需要再驗(yàn)證）．
公理是符合客觀存在的正確判斷，是已經(jīng)被實(shí)踐（經(jīng)驗(yàn)）證明了的真理．歷來學(xué)者都是這樣認(rèn)識(shí)的，也都是這樣論述的．由于有幾何學(xué)中的平行公理這個(gè)例外，這種論述顯然與實(shí)際不符．為了克服這種認(rèn)識(shí)上的缺陷，有些學(xué)者在這樣論述后又指出幾何學(xué)中的平行公理屬于例外（如上面徐利治老先生）．另一些學(xué)者則直接否定了公理的客觀真理性，認(rèn)為只要公理滿足“自洽性”就可以了，羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)，希爾伯特(Hilbert)等學(xué)者都持有這種觀點(diǎn)．
[美]約翰·霍根指出“波普爾否認(rèn)邏輯實(shí)證主義者的這樣一種主張，即科學(xué)家能通過歸納、反復(fù)的經(jīng)驗(yàn)、檢驗(yàn)或觀察，來證明一個(gè)理論．即使已往的觀察都證明某一理論是有效的，也無法保證下一個(gè)觀察會(huì)給出同樣的證明．觀察永遠(yuǎn)不能證明一個(gè)理論，而只能否證或證偽它”．波普爾常自詡是他用這一論述‘坦葬’了邏輯實(shí)證主義[18]．
英國(guó)的著名學(xué)者史蒂芬·霍金(Stephen W．Hawking)也指出：在它只是假設(shè)的意義上來講，任何物理理論總是臨時(shí)性的：你永遠(yuǎn)不可能將它證明，不管多少回實(shí)驗(yàn)的結(jié)果和某一理論相一致，你永遠(yuǎn)不可能斷定下一次結(jié)果不會(huì)和它矛盾．另一方面，哪怕你只要找到一個(gè)和理論預(yù)言不一致的觀測(cè)事實(shí)，即可證偽之[19]．
前面我們已經(jīng)講過，判斷分為歸納判斷和推出判斷兩類．上面兩位學(xué)者談?wù)摰牟荒茏C實(shí)僅能證偽的理論，顯然是屬于歸納判斷．對(duì)于某一理論的某些結(jié)論（推出判斷，即定理）我們可以通過邏輯推理把它正確與否與該學(xué)科的公理等價(jià)，即只要推出判斷所依據(jù)的公理為真，該定理就一定是真的（這就是自然科學(xué)尤其是數(shù)學(xué)定理的證明）．對(duì)于上述推理基礎(chǔ)的邏輯原理和判斷依據(jù)的公理這些歸納判斷，我們只能通過經(jīng)驗(yàn)（亦稱實(shí)踐）來驗(yàn)證其是否正確．由于實(shí)踐的局限性，對(duì)于歸納判斷，我們不能通過有限的經(jīng)驗(yàn)就證明它的結(jié)論和客觀存在永遠(yuǎn)相符．即我們有限的經(jīng)驗(yàn)不能證明歸納判斷永遠(yuǎn)是真的，但是如果發(fā)現(xiàn)了反例，我們卻能證明它是假的（證偽）．
例如，有一個(gè)巨大的口袋，里面裝有很多很多的物品，我們不能透過袋子看到它們，只能由服務(wù)生一個(gè)一個(gè)的取出來給你看．讓你判斷袋子里裝的都是什么？一開始服務(wù)生拿出來的都是小的紅色玻璃球，而且一直取出了數(shù)萬(wàn)個(gè)，通過這些實(shí)踐你作出了判斷（建立了自己的理論），“該袋子里裝的都是小的紅色玻璃球”．這樣建立的理論是以經(jīng)驗(yàn)（或曰實(shí)踐）為依據(jù)的，并不是沒有根據(jù)的．隨后服務(wù)生又從袋子中取出了數(shù)萬(wàn)個(gè)小的紅色玻璃球，那么是否就證明了你的判斷正確呢？應(yīng)當(dāng)承認(rèn)階段性地證明了該判斷的正確性，但并不是最終證實(shí)了該結(jié)論的正確性（嚴(yán)格地講，這種“最終”是不存在的）．因?yàn)闊o論從袋子里已經(jīng)取出了多少個(gè)小的紅色玻璃球都不能保證以后再取出的物體還都是小的紅色玻璃球．當(dāng)服務(wù)生從袋子里取出了一個(gè)大的紅色玻璃球時(shí)，則證明你的判斷錯(cuò)了（即你已建立的理論被證偽了）．接下來你修改了自己的理論，認(rèn)為袋子里裝的都是紅色的玻璃球，可是當(dāng)服務(wù)生從袋子里取出了一個(gè)綠色的玻璃球時(shí)，后建立的理論又被證偽了．此時(shí)你將理論修改為，袋子里裝的都是玻璃球，當(dāng)服務(wù)生從袋子里取出一個(gè)鐵球時(shí)，這個(gè)理論也被證偽了．這時(shí)你將理論變成袋子里裝的都是球，當(dāng)服務(wù)生從袋子里取出一個(gè)正六面體木塊時(shí)，你的理論再一次被證偽了．于是乎你大聲的對(duì)服務(wù)生說，“我敢斷定，袋子中裝的都是無生命的固態(tài)物體”，當(dāng)服務(wù)生從袋子中取出了一只活青蛙時(shí)我想你可能會(huì)被氣瘋的．
上面的例子雖然生動(dòng)，但是它屬于日常生活中的所遇問題的歸納判斷，和我們數(shù)學(xué)上的歸納判斷可比性較少．下面我們舉一個(gè)數(shù)學(xué)方面的例子．在古希臘的畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)時(shí)代，所引進(jìn)的數(shù)僅有自然數(shù)和正的分?jǐn)?shù)（統(tǒng)稱為正有理數(shù)），當(dāng)時(shí)的理論認(rèn)為，世界的本質(zhì)是數(shù)（正有理數(shù)），世界上的一切事物都可以用正有理數(shù)描述．這是經(jīng)過實(shí)踐證實(shí)了的理論．后來發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能表示成正有理數(shù)，這時(shí)他們的理論被證偽了，于是他們又修改了理論，提出“用線段的長(zhǎng)度可以表示一切量（包括可公度的有理數(shù)和不可公度的無理數(shù)）”．
上面的例子說明，對(duì)于歸納形成的理論（包括反映邏輯基本規(guī)律的推理原則），一定是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，斷定是正確的那些判斷．對(duì)于不符合我們經(jīng)驗(yàn)（已經(jīng)被證偽）的那些判斷不能當(dāng)作我們認(rèn)可的理論．但是，由于實(shí)踐的局限性，我們依據(jù)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)認(rèn)定為正確的那些判斷，在后來的實(shí)踐中還有可能發(fā)現(xiàn)其不符合客觀實(shí)在．在實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)與該判斷相悖的反例（哪怕只有一個(gè)）時(shí)，即可以證偽它．
定義1.2.2 已經(jīng)被以往的經(jīng)驗(yàn)證明是正確的，且至今為止尚沒有發(fā)現(xiàn)反例的歸納判斷，稱為歸納真理．
公理必須是歸納真理，即已經(jīng)被以往的經(jīng)驗(yàn)證明是正確的，且至今為止尚沒有發(fā)現(xiàn)反例的歸納判斷，在非歐幾何出現(xiàn)之前，這是學(xué)術(shù)界公認(rèn)的．非歐幾何的出現(xiàn)動(dòng)搖了學(xué)術(shù)界關(guān)于公理的認(rèn)識(shí)．人們開始思考，公理究竟是什么．一定是已經(jīng)被以往的經(jīng)驗(yàn)證明了是正確的判斷，即是對(duì)客觀物理世界的正確認(rèn)知，還是僅僅是一個(gè)并不需要在客觀物質(zhì)世界得到證實(shí)的，不會(huì)導(dǎo)致邏輯矛盾的判斷．
在此種情況下，學(xué)術(shù)界不能再頑固地堅(jiān)持“公理必須是歸納真理”了，因?yàn)槌霈F(xiàn)了反例（平行公理）．反例有多少呢？?jī)H有一個(gè)．但僅有一個(gè)也就夠了，一個(gè)反例就足以證偽一條“真理”，只要這個(gè)反例是真的．從統(tǒng)計(jì)歸納規(guī)律上講，當(dāng)獲得的結(jié)果中出現(xiàn)極個(gè)別與眾不同的證據(jù)（以下簡(jiǎn)稱“孤證”）時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)首先懷疑這些證據(jù)的真實(shí)性．也就是說，首先要考慮的就是：“這個(gè)孤證是真的嗎？”能否剔除這個(gè)“孤證”，以保持“公理必須是歸納真理”的結(jié)論．
如果不能剔除這個(gè)孤證，公理的定義是：在一門學(xué)科中，必須承認(rèn)它們?yōu)檎娴模切┎荒軐?dǎo)致矛盾的最基本的判斷．
本書，已經(jīng)證明了歐幾里得(Euclid)的第五公設(shè)是三個(gè)平行公理中唯一正確的判斷，成功地剔除了這個(gè)反例，使公理保持了如下的定義：
定義1.2.3在一門學(xué)科中，必須承認(rèn)它們?yōu)檎娴哪切┳罨镜臍w納真理稱為公理．
說明：這個(gè)定義中所說的公理是一個(gè)已經(jīng)被經(jīng)驗(yàn)證實(shí)了的歸納真理．
請(qǐng)大家注意，當(dāng)把“在平面內(nèi)過直線外一點(diǎn)可以引幾條直線和已知直線平行”的判斷作為公理時(shí)，它是結(jié)論無法直接驗(yàn)證的歸納判斷屬于假說，需要用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)．我們建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)，成功地將歐幾里得(Euclid)第五公設(shè)轉(zhuǎn)變成了一個(gè)定理．對(duì)于定理并不需要直接用實(shí)踐驗(yàn)證，僅需要通過證明將其正確與否和公理是否正確等價(jià)．現(xiàn)在我們證明了平行定理，那么需要驗(yàn)證的就是我們證明該結(jié)論時(shí)所使用的公理，而不再是平行定理了．由于我們選定的公理都是經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)獲得的，那么就沒有理由再稱平行定理的結(jié)論是“假說”了．
第 二 章 幾何學(xué)新基礎(chǔ)
§1 新基礎(chǔ)幾何學(xué)
在本書中，我們重新選擇了必要的“公理”，給出了最基本的概念“點(diǎn)”、“直線”和“平面”的嚴(yán)格的定義或嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忉專瑴?zhǔn)確地圈定了“點(diǎn)”、“直線”和“平面”的這些基本概念的內(nèi)涵，避免了對(duì)這些概念解釋的隨意性．重新構(gòu)筑了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，使得整個(gè)幾何學(xué)體系建立在完整的公理、嚴(yán)謹(jǐn)圈定了內(nèi)涵的概念和縝密的邏輯推理的基礎(chǔ)之上．使幾何學(xué)又恢復(fù)了古希臘時(shí)代的樸實(shí)狀態(tài)，真的成為了一套描述空間性質(zhì)的科學(xué)．
愛因斯坦(Einstein)在《狹義與廣義相對(duì)論淺說》第一部分§1中寫道：通過位于一個(gè)在實(shí)踐上可視為剛性的物體上的兩個(gè)有記號(hào)的位置來查看“距離”的方法，在我們的思想習(xí)慣中是根深蒂固的．……按照我們的思想習(xí)慣，我們現(xiàn)在在歐幾里得幾何學(xué)的命題中補(bǔ)充一個(gè)這樣的命題，即在一個(gè)在實(shí)踐上可視為剛性的物體上兩個(gè)點(diǎn)永遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)距離（直線間隔），而與我們可能使該物體的位置發(fā)生的任何變化無關(guān)，那么，歐幾里得幾何學(xué)的命題就歸結(jié)為關(guān)于各個(gè)在實(shí)踐上可以視為剛性物體的所有相對(duì)位置的命題．作了這樣補(bǔ)充的幾何學(xué)可以看作物理學(xué)的一個(gè)分支[20]．
愛因斯坦這個(gè)觀點(diǎn)很重要，我們按照愛因斯坦的提議，將幾何學(xué)構(gòu)建成了一個(gè)描述不論剛體位于何處，其上的任意兩個(gè)點(diǎn)永遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)空間距離的學(xué)科．之所以這樣地構(gòu)造幾何學(xué)，是因?yàn)榭臻g本來就應(yīng)當(dāng)是如此的．根據(jù)我們的討論，空間是物質(zhì)存在的場(chǎng)所，它并不是依靠物質(zhì)而存在的一種物質(zhì)的屬性．空間是客觀存在的，它只有一個(gè)，它是三維的、連續(xù)的、無限的和各項(xiàng)同性的．空間的性質(zhì)可以用剛性物體來檢驗(yàn)．由于，絕對(duì)剛性的物質(zhì)在客觀世界中并不存在（任何物體都會(huì)發(fā)生彈性形變，也會(huì)隨溫度、應(yīng)力的變化改變體積和形狀），這給我們建立和檢驗(yàn)幾何學(xué)帶來了困難．為了順利地建立幾何學(xué)，我們需要給出下面的假設(shè)（這是唯一的假設(shè)）：假設(shè)我們的圓規(guī)、直尺和膜平面（表層附有膜的平面）以及空間中的圖形都是不因環(huán)境變化而改變其上任意兩點(diǎn)距離的絕對(duì)剛體．有了這樣的假設(shè)，我們就可以使用圓規(guī)、直尺和膜平面這些工具來繪制空間圖形和驗(yàn)證空間的性質(zhì)．但是需要說明的是，我們這樣建立的幾何學(xué)，所討論的是空間的性質(zhì)，而不是像愛因斯坦(Einstein)所說的那樣：是物理學(xué)的一個(gè)分支．由于我們只能通過物質(zhì)來認(rèn)識(shí)空間，因此，建立的任何關(guān)于空間的科學(xué)（幾何學(xué)）都離不開物質(zhì)．如果建立在絕對(duì)剛體概念上的幾何學(xué)都不是關(guān)于空間的科學(xué)，而是物理學(xué)，那么認(rèn)為物質(zhì)上的任何兩點(diǎn)間的距離隨物理環(huán)境的變化而改變的理論就更不能是關(guān)于空間的科學(xué)，一定還是物理學(xué)．如此看來我們能建立的一切涉及空間的科學(xué)就都是物理學(xué)，這就從根本上否定了我們可以建立研究空間性質(zhì)（空間圖形）的幾何學(xué)的可能性．顯然，任何一個(gè)學(xué)者也不會(huì)同意愛因斯坦這種極端的觀點(diǎn)．我們認(rèn)為建立在剛性圖形和這些“絕對(duì)剛體”的工具基礎(chǔ)上的幾何學(xué)，是關(guān)于空間的科學(xué)，圖形和這些工具上兩點(diǎn)間的距離不變是由空間的屬性決定的，和空間中物理參數(shù)的變化沒有關(guān)系．
近代學(xué)術(shù)界是將幾何學(xué)，分成物理幾何學(xué)和數(shù)學(xué)幾何學(xué)兩個(gè)分支，分別進(jìn)行研究和討論的．П．К．拉舍夫斯基在《希爾伯特的<幾何基礎(chǔ)>和它在本問題發(fā)展的歷史中的地位》[21]中寫道：狹義相對(duì)論（1905）把空間和時(shí)間的延伸性結(jié)合成一個(gè)不可分割的整體，而廣義相對(duì)論（1916）更把幾何學(xué)和關(guān)于物質(zhì)的分布和運(yùn)動(dòng)的普遍學(xué)說統(tǒng)一在一個(gè)學(xué)科之中．因此，從到現(xiàn)在為止我們關(guān)于幾何學(xué)所說的那種觀點(diǎn)看來，它是物理學(xué)的一部分，因而應(yīng)該與在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的物理學(xué)一起生長(zhǎng)和發(fā)展．
作為物理學(xué)的幾何學(xué)是研究物體的延展性質(zhì)的，他的命題可以而且應(yīng)該用實(shí)驗(yàn)的方法來檢驗(yàn)；像物理學(xué)的所有命題一樣，他們只是抽象地體現(xiàn)了物質(zhì)世界，因而只是近似地真實(shí)的．
作為數(shù)學(xué)的幾何學(xué)，所關(guān)心的只是其命題之間的邏輯相關(guān)性，更精確地說，它所研究的是從若干個(gè)命題（公理）邏輯地推導(dǎo)出所有其余的命題．因此，作為數(shù)學(xué)的幾何學(xué)的命題的真實(shí)性只能說是有條件的，即在該命題實(shí)際上是從公理推導(dǎo)出來的這種意義下．……
作為物理學(xué)的幾何學(xué)和作為數(shù)學(xué)的幾何學(xué)的明白的劃分——自然不在于提出他們的先后上，而在于實(shí)際研究的意義上——是19世紀(jì)末葉到20世紀(jì)開端時(shí)科學(xué)上的巨大而有原則性的成就．這成就是對(duì)這樣的事實(shí)而言的，實(shí)質(zhì)上背道而馳的兩種觀點(diǎn)的共存阻礙了彼此的發(fā)展．
幾何學(xué)是研究空間性質(zhì)的學(xué)科，或者說是研究空間中圖形性質(zhì)的學(xué)科．物理學(xué)是研究物質(zhì)及物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律的學(xué)科．“物理學(xué)的幾何學(xué)”，多么奇怪學(xué)科，它究竟是物理學(xué)還是幾何學(xué)．幾何學(xué)本來就是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，卻要表示成“數(shù)學(xué)的幾何學(xué)”，多么的不可思議．之所以會(huì)出現(xiàn)這種怪事，是因?yàn)橛懻撐锢硎录r(shí)需要涉及事件發(fā)生的空間，研究發(fā)現(xiàn)由于引力場(chǎng)的存在，使得空間的所有物質(zhì)都具有一些相同的性質(zhì)，為了簡(jiǎn)潔，就把這些性質(zhì)定義成空間的性質(zhì)．這種處理的結(jié)果就使空間成為了物質(zhì)的附屬品，使幾何學(xué)變成了所謂“物理學(xué)的幾何學(xué)”．另外，由于希爾伯特(Hilbert)給出的近代幾何學(xué)，將“點(diǎn)”、“直線”、“平面”變成了可以隨意解釋的，不定義的概念，使得幾何學(xué)實(shí)質(zhì)上已經(jīng)變成了與空間沒有什么關(guān)系的邏輯自洽系統(tǒng)，而人們創(chuàng)造出的非歐幾何學(xué)又能滿足物理學(xué)的需要，才弄出了“數(shù)學(xué)的幾何學(xué)”．
近代數(shù)學(xué)再也沒有哪一個(gè)分支比幾何學(xué)更加混亂了．同是討論空間性質(zhì)的幾何學(xué)，一共建立了三套，而且這三套理論完全不同，相互之間具有本質(zhì)的差別．歐幾里得(Euclid)幾何平行公理（第5公設(shè)）現(xiàn)代流行的由蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·普萊費(fèi)爾給出的描述是：平面上，過直線外一點(diǎn)可以引一條直線和已知直線平行（永不相交），并且只可以引一條．羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)幾何給出的平行公理是：平面上過直線外一點(diǎn)至少可以引兩條直線和已知直線平行（永不相交）．黎曼(Riemann)幾何給出的平行公理是：平面上的直線是有限且自封閉的，所有的直線都相交．顯然，這三條公理是相互矛盾的．關(guān)于平面上過直線外一點(diǎn)究竟能引幾條平行線的問題．一個(gè)說可以引一條，并且只能引一條；另一個(gè)說至少能引兩條（實(shí)際是無限多條）；第三個(gè)說一條也引不了．但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)界卻硬說它們沒有矛盾，只是看問題的角度不同．
這三條平行公理之間真的沒有矛盾嗎？顯然不是．如果我們認(rèn)為空間的性質(zhì)（所謂空間的性質(zhì)，就是空間中內(nèi)涵唯一確定了的圖形的性質(zhì)）是唯一的客觀存在，那么上述三個(gè)公理中就最多有一個(gè)是正確的．有人會(huì)說，如果空間的性質(zhì)不是唯一的客觀存在呢？如果空間的性質(zhì)不是唯一的客觀存在，那么我們?yōu)槭裁催€要研究空間的性質(zhì)，我們研究空間的性質(zhì)還有什么意義．我們建立幾何學(xué)的基礎(chǔ)就是空間和它的性質(zhì)是客觀存在的，并且是我們可以認(rèn)知的，脫離了這個(gè)基礎(chǔ)就沒有必要研究幾何學(xué)了．顯然，這三條平行公理中至多有一條是正確的．現(xiàn)在形成了三套幾何學(xué)，我們卻不能斷定那一套理論和客觀存在的空間相符合．難道這還不是矛盾嗎？這顯然是矛盾，而且是根本性的，無法回避的矛盾．
關(guān)于這三套幾何學(xué)，究竟哪一套正確的問題，100多年以前有過爭(zhēng)論．R·柯朗和 H·羅賓在《什么是數(shù)學(xué)》第4章，§9節(jié)中寫道：于是產(chǎn)生了這樣的問題：這兩者（指歐幾里得幾何和羅巴切夫斯基幾何）中哪一個(gè)才是物理世界的幾何描述呢？正如我們已經(jīng)看到的，靠經(jīng)驗(yàn)不能決定過一點(diǎn)究竟只有一條還是有無窮多條直線平行于一給定直線．但在歐幾里得幾何中，任意三角形內(nèi)角的和是180°，而在雙曲幾何（即羅巴切夫斯基幾何）中可以證明這個(gè)和小于180°．高斯于是作了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來解決這個(gè)問題．他準(zhǔn)確地測(cè)量了由三個(gè)相當(dāng)遠(yuǎn)的山頂形成的三角形的內(nèi)角，結(jié)果在試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)這些角的和仍是180°．如果這結(jié)果是小于180°的話，那么雙曲幾何將更適合描述物理的現(xiàn)實(shí)．但是實(shí)驗(yàn)過后什么也沒解決．因?yàn)樵陔p曲幾何中對(duì)于邊長(zhǎng)只有幾英里長(zhǎng)的小三角形來說它的內(nèi)角和與180°的偏差很小，用高斯的儀器是測(cè)不出來的．雖然實(shí)驗(yàn)沒有作出結(jié)論，但它表明了歐幾里得幾何和雙曲幾何只有在大范圍內(nèi)才有所不同，而對(duì)于相對(duì)小的圖形來說是如此緊密地吻合，以至于和實(shí)驗(yàn)是一致的[22]
上一段的討論說明，當(dāng)非歐幾何剛剛確立之后不久，人們所關(guān)心和討論的是，究竟哪種幾何學(xué)才是正確的，“哪一個(gè)才是物理世界的幾何描述”這個(gè)問題．對(duì)于這個(gè)問題，高斯的努力沒有得到某些人想要的結(jié)果．我為什么說是沒有得到有些人想要的結(jié)果呢？讓我們來看一看《什么是數(shù)學(xué)》作者的評(píng)論吧．評(píng)論中說：“如果這結(jié)果是小于180°的話，那么雙曲幾何將更適合描述物理的現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)在結(jié)果等于180°就應(yīng)當(dāng)?shù)贸鰵W幾里得幾何更適合描述物理的現(xiàn)實(shí)，但評(píng)論者并沒有給出該結(jié)論，而是給出了“因?yàn)樵陔p曲幾何中對(duì)于邊長(zhǎng)只有幾英里長(zhǎng)的小三角形來說它的內(nèi)角和與180°的偏差很小，用高斯的儀器是測(cè)不出來的”，就是評(píng)論者已經(jīng)斷定了在大范圍只有羅巴切夫斯基幾何才更適合描述物理的現(xiàn)實(shí)，只是所選三角形太小測(cè)不出來而已．其實(shí)，高斯的測(cè)量在某種程度上表明了歐幾里得幾何適合于描述物理的現(xiàn)實(shí)．后來由于數(shù)學(xué)界普遍地接受了希爾伯特(Hilbert)關(guān)于最基礎(chǔ)的基本概念“點(diǎn)”、“直線”、“平面”、“關(guān)聯(lián)”、“合同”（甚至包括“度量”）只能作為不定義的概念，由公理約束它們內(nèi)涵的思想．將這些概念實(shí)質(zhì)上變成了內(nèi)涵并不固定的，可以在某個(gè)范圍內(nèi)隨意解釋的概念．使得再討論哪種幾何正確變得毫無意義，因而將問題的討論轉(zhuǎn)變成了討論各套幾何體系是否存在矛盾．由于基本概念的內(nèi)涵可以隨意的改變，最終得出了這三套幾何學(xué)都沒有邏輯矛盾，因此它們都正確．但是由于各概念僅由公理約束其內(nèi)涵，完全與空間特性沒有關(guān)系，就將各種幾何學(xué)都變成了和空間無關(guān)的邏輯自洽系統(tǒng)．
其實(shí)，解析幾何建立之后，如果承認(rèn)解析幾何是能夠正確地描述空間性質(zhì)的，那么歐幾里得(Euclid)第5公設(shè)就是一條可以直接證明的定理，大家就沒有必要再為平行公理孰是孰非而爭(zhēng)吵了．現(xiàn)將用解析幾何來證明歐幾里得第5公設(shè)成立的過程簡(jiǎn)述如下：
由點(diǎn)斜率公式給出的直線l 的方程為：
…… ①．
有點(diǎn)(0,
),其中
．由于
，那么點(diǎn)(0,
)不在直線l上，
設(shè)過點(diǎn)(0,
)的直線l1的方程為
…… ②．
l和l1兩直線有交點(diǎn)，就是①、②組成的方程組存在實(shí)數(shù)解，
解由①、②組成的方程組，②-①有
，有
，即僅當(dāng)
時(shí)，
的值不存在，
的值也不存在，過點(diǎn)(0,
)的直線l1和直線l 沒有交點(diǎn)．由于
為常數(shù)，那么僅當(dāng)
為常數(shù)
時(shí)，直線l1才和直線l 沒有交點(diǎn)，由于
時(shí)，過點(diǎn)(0,
)的直線l1為唯一的一條，故過直線l 外的一點(diǎn)(0,
)僅可以引一條直線和直線l平行（沒有交點(diǎn)）．由于不論直線外的一點(diǎn)在何處，我們都可以移動(dòng)坐標(biāo)軸使y軸通過該點(diǎn)，就都可以得出過該點(diǎn)僅有一條直線和已知直線不相交（平行）的結(jié)論．也就是說，依據(jù)解析幾何我們直接證明了歐幾里得的第5公設(shè)．也許因?yàn)榇蠹掖蠹沂煜さ慕馕鰩缀伪旧砭褪且罁?jù)歐式幾何學(xué)建立起來的，因此它的直線方程所依據(jù)的就是歐幾里得第五公設(shè)，才使得可以得出，過直線外的一點(diǎn)所作直線的平行線只能有一條．總之，這是一個(gè)可以深入探討的問題，不知道為什么卻沒有引起數(shù)學(xué)界的重視．
П.К.拉舍夫斯基在《希爾伯特的<幾何基礎(chǔ)>和他在本問題發(fā)展的歷史中的地位》中寫道：歐幾里得最后的第五公設(shè)說：“每當(dāng)一條直線和另外兩條直線相交，在它們一側(cè)作成的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角的和小于2
時(shí)，這另外兩條直線就在同側(cè)內(nèi)角的和小于2
的那一側(cè)相交”．這個(gè)公設(shè)在歐幾里得的系統(tǒng)里占有特殊的地位：它比較晚地顯示出它的作用．歐幾里得的前28個(gè)命題的證明并未用到它．這事實(shí)自然地引起了一種想法，以為一般地說這公設(shè)或許是多余的，可以作為定理來證明的．以致在實(shí)際上，歐幾里得著作的許多評(píng)論者，在超過2000年的長(zhǎng)時(shí)期中，曾想給出這種證明，還常常自認(rèn)為達(dá)到了目的（而某些孤陋寡聞的癖好者到現(xiàn)在還在繼續(xù)著這種嘗試）．
所有這些證明，從我們今天的觀點(diǎn)來看都是不對(duì)的，都是由于不假證明地假定了某個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的命題．這種命題的例子如下：在銳角一邊上的垂直線和斜線永遠(yuǎn)相交；通過角內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)至少可以作一條直線與兩邊相交；平面上不相交的直線不能無限制地彼此遠(yuǎn)離；不存在長(zhǎng)度的絕對(duì)單位，即這樣的線段，它能依據(jù)其特殊的幾何性質(zhì)與其它長(zhǎng)度的線段有所區(qū)別（如同在各種各樣的角之中的直角一樣）；至少存在著兩個(gè)相似的三角形．等等[22]．
在本書中，我們沿襲了歐幾里得關(guān)于“點(diǎn)”的定義，并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囟x了“直線”、“平面”和“合同”這些基本概念，避免了對(duì)這些概念解釋的隨意性，成功地將歐幾里得的第五公設(shè)（平行公理）轉(zhuǎn)變成了平行定理，重新構(gòu)筑了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，使得整個(gè)幾何學(xué)的體系煥然一新地屹立在精心挑選的公理，內(nèi)含清晰的概念和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匦问竭壿嫽A(chǔ)之上，即我們?cè)诙x的“直線”和“平面”的基礎(chǔ)上，證明了僅有一套幾何學(xué)——?dú)W幾里得幾何學(xué)成立．我們并不是拉舍夫斯基所說的那種“孤陋寡聞的癖好者”，因?yàn)槲覀兯⒌膸缀螌W(xué)的基礎(chǔ)是牢固的，是經(jīng)得起推敲的，是不包含邏輯矛盾的．因?yàn)閮H有歐幾里得幾何這一套幾何學(xué)是正確的，今后，我們也就沒有必要再稱其為歐幾里得幾何學(xué)了，為了區(qū)分我們討論的幾何學(xué)和歷史上由的歐幾里得(Euclid)建立的幾何學(xué)，我們將我們討論的幾何學(xué)稱為建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)．
這是一本講解幾何學(xué)基礎(chǔ)的書．這本書和歷史上那些關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的書籍和文獻(xiàn)完全不同．歷史上所有關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的書籍和文獻(xiàn)，都是從平面上的圖形開始討論，建立完整的幾何體系，最后再過渡到空間圖形上去，討論空間和空間圖形的性質(zhì)．本書則是從空間的圖形和空間的性質(zhì)開始討論，建立幾何體系，然后再討論平面圖形的性質(zhì)．
面對(duì)飄渺的空間，沒有任何概念可以使用，開始討論是困難的．我們按照下面的順序建立并完善了幾何學(xué)的新基礎(chǔ)．
1. 我們定義了“空間”，和空間不可分的部分“位置”．并給出了空間公理：空間是3維的、連續(xù)的、無限的和各向同性的，并且空間的任何一部分都至少有一個(gè)位置．
2. 我們定義了“點(diǎn)”，給出了置點(diǎn)公理：任何一個(gè)位置均可以用假想的物體標(biāo)為一個(gè)幾何點(diǎn)．
3. 我們定義了“運(yùn)動(dòng)”，“運(yùn)動(dòng)的軌跡（包括點(diǎn)的軌跡‘線’，線的軌跡‘面’，面的軌跡‘體’）”，“圖形（包括‘點(diǎn)’、‘線’、‘面’、‘體’）”．給出了運(yùn)動(dòng)公理：空間不能運(yùn)動(dòng)，能在空間運(yùn)動(dòng)的是物質(zhì)，能在幾何空間運(yùn)動(dòng)的是點(diǎn)或由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的圖形．
4. 我們用運(yùn)動(dòng)公理明確了圖形存在的三種運(yùn)動(dòng)形式，① 移動(dòng)，② 以一個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)（不動(dòng)點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)，③ 以兩個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)（不動(dòng)點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)，但如果點(diǎn)C是繞A、B兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么任何圖形都不能以A、B、C三點(diǎn)為基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而保持自身形狀不變．
5. 給出了圖形公理：圖形是連續(xù)的、完整的和剛性的（任何兩點(diǎn)間的距離不變）．
6. 定義了圖形的合同：如果兩個(gè)圖形占據(jù)相同的空間位置，那么這兩個(gè)圖形合同．給出了合同公理：如果兩個(gè)圖形能合同（重合）那么這兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)元素相等．
7. 定義了此兩點(diǎn)和彼兩點(diǎn)之間的距離相等（沒有定義距離，僅定義了距離相等），并給出了距離相等的驗(yàn)證方法．
8. 定義了“球”和“圓”，并指出了圓是平面圖形．
9. 討論了球和球之間的關(guān)系，相離、內(nèi)含、相交、相切（內(nèi)切和外球）．
10. 證明了兩個(gè)球相交于一個(gè)圓．
11. 證明了兩球的切點(diǎn)是以兩球心為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)．
12. 證明了以兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)空間中的不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成一條無端單線，稱之為不動(dòng)點(diǎn)線．
13. 證明了不動(dòng)點(diǎn)線，滑動(dòng)位置不變，翻轉(zhuǎn)位置不變，旋轉(zhuǎn)位置不變．
14. 將以兩個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)線定義為直線，證明過兩點(diǎn)可以確定一條直線，并且僅可以確定一條．
15. 證明了兩條直線相交于一個(gè)點(diǎn)．
16. 將一條直線上的兩點(diǎn)始終在同一個(gè)圓上的運(yùn)動(dòng)，所得的軌跡整體構(gòu)成的圖形，定義成一個(gè)平面．
17. 證明了一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面上，那么整條直線都在該平面上．
18. 證明了過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定唯一的一個(gè)圓，進(jìn)而可以確定唯一的一個(gè)平面．
19. 證明了一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
20. 證明了兩條相交的直線可以確定一個(gè)平面
21. 證明了一個(gè)圓的三個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面上，那么整個(gè)圓都在該平面上．
22. 證明了過不在同一個(gè)平面上的四點(diǎn)，可以唯一的確定一個(gè)球．
23 證明了不重合的兩個(gè)平面如果有公共點(diǎn)，那么它們相交于一條直線．
24. 證明了平行平面（永不相交的平面）存在．
25. 證明了兩個(gè)平行平面被第三個(gè)平面所截，截得的兩條交線是平行線，即平行線存在．
26. 證明了如果直線l 平行于平面M 上的一條直線，那么直線l 平行于平面M．
27. 證明了平行于同一直線的兩條直線相平行．
29. 證明了垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相平行．
30. 證明了平面上，過直線外一點(diǎn)，可以引一條直線和已知直線平行（永不相交），并且僅可以引一條．
本書從定義了的“點(diǎn)”開始討論，首先定義空間中的單線和閉線（單線和閉線并不是規(guī)則的圖形）．接下來我們定義了距離相等（不是距離，僅僅是距離相等）．隨后關(guān)鍵的一步就是我們定義了球和圓，進(jìn)而定義了直線和平面，并依據(jù)定義了的直線和平面證明了希爾伯特(Hilbert)給出的5組20個(gè)公理中的絕大多數(shù)的命題．這些已經(jīng)證明了的命題就包括歐幾里得(Euclid)的第五公設(shè)．就是我們已經(jīng)成功地證明了“平面上，過直線外一點(diǎn)可以引一條直線和已知直線平行，并且僅可以引一條”．也就是我們已經(jīng)成功地將歐式幾何的平行公理轉(zhuǎn)變成了一個(gè)定理，證明了在現(xiàn)在并存的三種幾何中，僅有歐幾里得(Euclid)幾何這一種幾何是正確的．
讀者們一定會(huì)問，建立了幾何學(xué)的新基礎(chǔ)之后（或曰根據(jù)幾何學(xué)的新基礎(chǔ)），非歐幾何學(xué)（包括羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)幾何和黎曼(Riemann)幾何）還成立嗎，還正確嗎？
應(yīng)當(dāng)說明，這是一個(gè)很難回答的問題．因?yàn)?，要想確定一個(gè)理論是否成立．首先應(yīng)當(dāng)明確什么樣的理論才算“成立”，要想確定一個(gè)理論是否正確．首先應(yīng)當(dāng)明確什么樣的理論才算“正確”．如果對(duì)于“成立”和“正確”這兩個(gè)概念的內(nèi)涵沒有一個(gè)清晰的界定，那就沒有辦法回答“非歐幾何學(xué)是否還成立，是否還正確”的問題．如果認(rèn)為一個(gè)理論只有和客觀實(shí)際相符它才是正確的，那么在承認(rèn)本書給出的公理的前提下，非歐幾何學(xué)是不正確的．如果認(rèn)為一個(gè)理論只要自身沒有矛盾它就是成立的，那么在將“點(diǎn)”、“直線”、“平面”、“合同”乃至“度量”都當(dāng)作不定義概念的前提下，非歐幾何學(xué)還是成立的．也就是說當(dāng)我們建立完善了幾何學(xué)的新基礎(chǔ)之后，非歐幾何就變成了和空間毫無關(guān)系的邏輯自洽體系，仍然可以作為一種和空間性質(zhì)沒有多大關(guān)系的邏輯自洽體系，被近代物理學(xué)（特別是廣義相對(duì)論）作為強(qiáng)有力數(shù)學(xué)工具廣泛地使用．其實(shí)這并沒有改變非歐幾何的學(xué)術(shù)地位，因?yàn)楫?dāng)今的數(shù)學(xué)界主流觀點(diǎn)，早已經(jīng)將所有的幾何學(xué)都看成了和空間性質(zhì)無關(guān)的邏輯自洽體系．唯一發(fā)生的改變則是，建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)將再也不是與空間性質(zhì)無關(guān)的邏輯自洽體系了，而使其重新變成了一門真正描述空間性質(zhì)的科學(xué)．
§2 基礎(chǔ)概念
不定義的概念
意識(shí)、場(chǎng)所（區(qū)域）、部分、實(shí)在、過程、變化、填滿、混淆等．
為了保證概念的清晰和不被曲解，我們需要對(duì)不定義的幾何概念，給出解釋和說明（解釋和定義不同，它可以使用大家清楚其內(nèi)涵的尚未精確定義的概念來描述引進(jìn)的新概念，即它能容忍循環(huán)定義）．對(duì)于這里不定義的其它概念，大家可按其它文獻(xiàn)中的定義（不必考慮是否存在循環(huán)定義的問題）或通常意義理解都不會(huì)造成概念混淆，這里就不給出解釋了．
基礎(chǔ)概念
定義 2.2.1 不依賴于意識(shí)的客觀物質(zhì)存在的前提稱為空間．圖形存在的前提稱為幾何空間，幾何空間是圖形存在的場(chǎng)所．
定義 2.2.2 空間的部分稱為區(qū)域，空間不能再分割的最小部分稱為空間位置，簡(jiǎn)稱為位置，顯然位置就再也沒有部分了．
定義 2.2.3 用假想物體標(biāo)注出的位置稱為幾何點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)，位于位置A的點(diǎn)記為點(diǎn)A（或?qū)憺锳點(diǎn)）．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)并不固定于位置A，而是即將離開或者已經(jīng)離開了位置A時(shí)，則記為點(diǎn)A（或A點(diǎn)）．
定義 2.2.4
(1)能占據(jù)空間位置的幾何元素，改變所占據(jù)的空間位置稱為運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中停頓下來能占據(jù)的所有位置稱為點(diǎn)經(jīng)過的位置，經(jīng)過位置的總體稱為路徑．
(2)如果從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的任何位置都有一個(gè)點(diǎn)，我們說運(yùn)動(dòng)的路徑上填滿（或充滿）了點(diǎn)．
(3) 填滿了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑稱為軌跡．點(diǎn)以及幾何元素運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為連續(xù)圖形，簡(jiǎn)稱為圖形．
(4)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為線，線運(yùn)動(dòng)的非線軌跡稱為面，面運(yùn)動(dòng)的非面軌跡稱為體．顯然，點(diǎn)、線、面、體都是連續(xù)圖形．
說明：1.此處之所以規(guī)定運(yùn)動(dòng)停頓下來所占據(jù)的位置，而不直接使用圖形F 運(yùn)動(dòng)過程所經(jīng)過的位置，是為了避免圖形沿運(yùn)動(dòng)方向擴(kuò)散造成的影響．
2. 依定義孤立點(diǎn)也是圖形，歸根到底“線”、“面”和“體”都是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，都是由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的圖形．
定義 2.2.5 圖形上各點(diǎn)占據(jù)空間位置的相互關(guān)系稱為圖形的形狀．
定義 2.2.6 如果空間中的兩個(gè)靜止的點(diǎn)占據(jù)同一個(gè)位置，我們說這兩個(gè)點(diǎn)重合或合同．空間中的兩個(gè)圖形占據(jù)完全相同的空間位置，我們說這兩個(gè)圖形重合或合同．
定義 2.2.7 空間有互不重合的A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，調(diào)整圓規(guī)兩腳張開的程度使針尖和筆尖分別和點(diǎn)A、B重合，移動(dòng)圓規(guī)并保持圓規(guī)兩腳張開程度不變，使針尖和點(diǎn)C重合，如果旋轉(zhuǎn)圓規(guī)能使筆尖和點(diǎn)D重合，我們說點(diǎn)A、B之間的距離和點(diǎn)C、D間的距離相等，否則說點(diǎn)A、B之間的距離和點(diǎn)C、D間的距離不相等．
說明： 該定義表明，A、B兩點(diǎn)的距離和C、D兩點(diǎn)的距離是否相等，需用剛性物體上的兩點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)．
定義 2.2.8 如果圖形上任意兩點(diǎn)間的距離都沒有變化，我們說該圖形的形狀沒有改變，如果圖形上有任何兩點(diǎn)的距離發(fā)生了改變，我們說該圖形改變了形狀．
定義 2.2.9 改變圖形形狀的過程稱為圖形變化，不改變圖形形狀僅改變圖形空間位置的過程稱為圖形剛性運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱為圖形運(yùn)動(dòng)．
說明：1.一個(gè)孤立點(diǎn)僅能有運(yùn)動(dòng)，不能有變化．
2. 圖形的變化一定會(huì)改變它所占據(jù)的某些空間位置，因此圖形的變化一定有圖形上某些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)．
定義 2.2.10 運(yùn)動(dòng)到空間任何地方都不改變形狀的圖形（放置到空間任何地方形狀都不變的圖形）稱為剛性圖形，剛性圖形的運(yùn)動(dòng)稱為剛性運(yùn)動(dòng)．
說明：1.只有剛性圖形在均勻空間（幾何空間是均勻的【空間公理】）中才能進(jìn)行剛性運(yùn)動(dòng)．
2.本書所討論的幾乎都是剛性圖形的剛性運(yùn)動(dòng)，為了敘述的簡(jiǎn)潔我們通常將剛性圖形和剛性運(yùn)動(dòng)中的“剛性”省略．對(duì)于非剛性圖形和非剛性運(yùn)動(dòng)我們將特殊標(biāo)注．
3.我們規(guī)定圓規(guī)、直尺都是剛體，否則就不能檢驗(yàn)?zāi)骋粓D形是否是剛性圖形，也無法檢驗(yàn)空間是否各向同性．
定義 2.2.11 如果一個(gè)點(diǎn)從圖形F 上的點(diǎn)A處開始運(yùn)動(dòng)，在始終和圖形F 上的點(diǎn)重合的情況下可以運(yùn)動(dòng)到圖形上F 的點(diǎn)B處，我們說圖形F 上點(diǎn)A和點(diǎn)B是連通的．如果一個(gè)圖形的任意兩點(diǎn)都是連通的，則稱該圖形是連通的，連通的圖形稱為一個(gè)圖形．
說明：1. 前面我們定義了連續(xù)圖形【定義2.2.4】，這里我們又定義了連通圖形．這是兩個(gè)不同的概念，所謂連續(xù)圖形是指：圖形的任何兩點(diǎn)之間的任何一條路徑線經(jīng)過的所有位置都充滿了點(diǎn)，而連通是說兩點(diǎn)之間至少有一條路徑線經(jīng)過的所有位置都充滿了點(diǎn)．
2. 連續(xù)圖形一定是連通圖形，連通圖形卻不一定是連續(xù)圖形，本書討論的圖形，如不特殊說明就是連續(xù)圖形．
定義 2.2.12 如果孤立點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中兩次（或兩次以上）經(jīng)過了同一個(gè)位置我們說它的軌跡自相交．否則稱其軌跡不自相交．
定義 2.2.13 線和網(wǎng)絡(luò)
(1)孤立點(diǎn)由起始位置A軌跡不自相交地運(yùn)動(dòng)到終止位置B（A、B不同位）的軌跡稱為單線AB，簡(jiǎn)稱為線AB，點(diǎn)A和點(diǎn)B稱為單線的端點(diǎn)（圖2.2-1a）．沒有端點(diǎn)的單線稱為無端單線（無端單線可以視為一個(gè)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)到有限處再運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處的軌跡），無端單線上有A、B兩點(diǎn)，記為無端單線AB（圖2.2-1b），軌跡上異于端點(diǎn)的點(diǎn)都稱為線上的點(diǎn)（圖2.2-1a，點(diǎn)C）．單線（或無端單線）也可以用一個(gè)花寫的小寫字母表示．
(2)單線AB上有異于端點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，我們說點(diǎn)C位于點(diǎn)A、B之間，也位于點(diǎn)B、A之間（圖2.2-1a）．
(3)單線AC除了點(diǎn)C之外的其它點(diǎn)保持不動(dòng)，點(diǎn)C由位置C運(yùn)動(dòng)到線AC之外的位置B得到線AB，我們說延長(zhǎng)線AC成AB，也可以說成把線AC延長(zhǎng)成AB（圖2.2-1a）．
(4)孤立點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過位置C再運(yùn)動(dòng)回位置A（A、C不同位），如果除了點(diǎn)A之外軌跡再無交點(diǎn)，則該軌跡稱為閉線（圖2.2-1c）．閉線可以用線上的多個(gè)不同的點(diǎn)表示也可以用一個(gè)小寫的花體字母表示．
(5) 單線、閉線統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單線．簡(jiǎn)單線以及它們由有限個(gè)公共點(diǎn)連接成的圖形稱為復(fù)合線（也稱作網(wǎng)絡(luò)）．簡(jiǎn)單線和復(fù)合線統(tǒng)稱為線．連通的復(fù)合線（網(wǎng)絡(luò)），稱為一條線或一個(gè)網(wǎng)絡(luò)．
(6)由一條線上兩點(diǎn)截下的單線（含此兩點(diǎn)）稱為線段．
說明：1.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的空間位置沒有填滿點(diǎn)的圖形不是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，這些位置沒有填滿點(diǎn)的斷續(xù)線 [如康托爾(Cantor)三分集構(gòu)成的圖形][23]不是我們定義的線．
2.線段是對(duì)截下該線段的整條線或整個(gè)網(wǎng)絡(luò)而言的，只有需要區(qū)分整條線或整個(gè)網(wǎng)絡(luò)l 和截得的線段AB時(shí)，我們才稱截得的單線AB為線段．
定義 2.2.14 點(diǎn)和線依拓?fù)湫再|(zhì)分類：
孤立點(diǎn)運(yùn)動(dòng)稱為點(diǎn)1階運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)1階運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)P和圖形上其它點(diǎn)相連的軌跡數(shù)稱為點(diǎn)P的軌跡出路數(shù)，軌跡出路數(shù)用Y表示．如圖2.2-2所示，圖中 (a) P點(diǎn)的軌跡出路數(shù) Y=0，(b) P點(diǎn)的軌跡出路數(shù) Y=1，(c) P點(diǎn)的軌跡出路數(shù) Y=2，(d) P點(diǎn)的軌跡出路數(shù)Y=3．
(1)Y=0的點(diǎn)為0維點(diǎn)，0維點(diǎn)構(gòu)成的0維圖形是孤立點(diǎn)，孤立點(diǎn)不能互相連通，單獨(dú)一個(gè)0維點(diǎn)稱為一個(gè)孤立點(diǎn)．
(2) Y為正整數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是1維圖形，即是線或網(wǎng)絡(luò)，連通的1維圖形稱為一條線或一個(gè)網(wǎng)絡(luò)．
(3) 網(wǎng)絡(luò)中Y=1的點(diǎn)稱為端點(diǎn)，Y=2的點(diǎn)稱為中間點(diǎn)，Y≥3的點(diǎn)稱為歧點(diǎn)．
(4) 由兩個(gè)端點(diǎn)（Y=1）和中間點(diǎn)（Y=2）構(gòu)成的圖形是單線．
(5) 完全由中間點(diǎn)（Y=2）構(gòu)成的圖形是閉線（閉線也可以看成是起點(diǎn)和終點(diǎn)重合在一起的單線）或者是閉合單線．沒有端點(diǎn)的簡(jiǎn)單線，當(dāng)圖形為有限圖形時(shí)它是閉線，當(dāng)圖形是無限圖形時(shí)它是一條無端單線．
說明：這里按圖形拓?fù)湫再|(zhì)給出的線的定義和定義2.2.13 完全等價(jià)．
定義 2.2.15 在圖形運(yùn)動(dòng)中，圖形上改變位置的點(diǎn)稱為運(yùn)動(dòng)點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）．
定義 2.2.16 如果空間位置A處有一個(gè)點(diǎn)，則稱點(diǎn)A為實(shí)點(diǎn)，如果位置A處沒有點(diǎn)，假想A處有一個(gè)點(diǎn)存在，則稱點(diǎn)A為虛點(diǎn)．
定義 2.2.17 如果運(yùn)動(dòng)中P點(diǎn)和位置Q（或點(diǎn)Q）的距離始終相等，我們說P點(diǎn)和位置Q（或點(diǎn)Q）的距離保持不變．
說明：在沒有定義距離之前，我們先定義了距離相等和距離保持不變．
定義 2.2.18 在圖形F 運(yùn)動(dòng)過程中，如果空間位置A到圖形F上任何一點(diǎn)的距離都保持不變，則稱位置A為不動(dòng)位置，不動(dòng)位置A處有圖形F 的點(diǎn)A，則稱A為實(shí)不動(dòng)點(diǎn)．不動(dòng)位置A處沒有圖形F 的點(diǎn)時(shí)，則稱為虛不動(dòng)點(diǎn)A．實(shí)不動(dòng)點(diǎn)和虛不動(dòng)點(diǎn)統(tǒng)稱為不動(dòng)點(diǎn)．
定義 2.2.19 圖形以選出的點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）為不動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，所選出的點(diǎn)稱為基點(diǎn)．
定義 2.2.20 空間沒有不動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)稱為圖形的移動(dòng)．僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)A（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)稱為繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)．以兩個(gè)不重合的點(diǎn)A、B（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）為不動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
定義 2.2.21 圖形F 以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，F(xiàn) 上的任何一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在和初始位置重合之前不和該點(diǎn)的軌跡相重合，我們稱該過程為同向旋轉(zhuǎn)．同向旋轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)P從起始位置運(yùn)動(dòng)到第一次和起始位置重合的過程稱為同向旋轉(zhuǎn)一周．
定義 2.2.22 點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱為圓．
定義 2.2.23 圓上不重合的兩點(diǎn)把圓周分割成的兩條單線，每一條單線（包括端點(diǎn)）稱為圓弧，簡(jiǎn)稱為?。绻它c(diǎn)為C、D的弧的中間有一點(diǎn)E，表示為弧CED或(CED，當(dāng)不至于混淆時(shí)可記為弧CD或(CD．圓?。òǘ它c(diǎn)）占據(jù)的所有位置稱為閉弧域．
定義 2.2.24 線l 運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果線l上的所有點(diǎn)或除了一點(diǎn)P之外的所有點(diǎn)都始終位于l 之前所占據(jù)的位置上運(yùn)動(dòng)，則稱線l為沿線移動(dòng)或沿線運(yùn)動(dòng)，線l作沿線運(yùn)動(dòng)時(shí)，不在線l上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P稱為引導(dǎo)點(diǎn)，如果引導(dǎo)點(diǎn)P始終在線m上運(yùn)動(dòng)，我們就說線l沿線m 移動(dòng)或沿線m運(yùn)動(dòng)，線沿線運(yùn)動(dòng)得到的圖形還是線．
定義 2.2.25 以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所形成的圓l 上的弧CD和弧EF．讓弧EF以A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，那么弧EF將沿弧CD運(yùn)動(dòng)，設(shè)弧EF的引導(dǎo)點(diǎn)為F，且點(diǎn)F由點(diǎn)C進(jìn)入CD弧，當(dāng)點(diǎn)F重合于點(diǎn)D時(shí)，(1)如果點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，我們就說弧CD和弧EF相等； (2)如果E點(diǎn)落在弧CD上，我們說弧CD大于弧EF；(3)如果E點(diǎn)還在弧CD之外，我們說弧CD小于弧EF．
定義 2.2.26 以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所形成的圓l 上不重合的兩點(diǎn)C、D把圓周分割成兩段弧，其中一段弧上有點(diǎn)E，另一段弧上有點(diǎn)F，如果弧CED和弧CFD相等，則稱每個(gè)弧為圓l 的半圓，并稱點(diǎn)C、D為圓l 的對(duì)徑點(diǎn)；如果兩弧不等，大弧大于半圓稱為優(yōu)弧，小弧小于半圓稱為劣?。?div style="height:15px;">
定義 2.2.27
(1) 線l的軌跡如果不包括線的部分（不能僅斷開軌跡上的兩點(diǎn)就得到一條和圖形其他部分不相交的一條線段），我們就稱線l的軌跡為面，并稱線l 為面的成面線．
(2) 線l剛性運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)中不改變形狀）形成的面F 稱為標(biāo)準(zhǔn)面F ，形成標(biāo)準(zhǔn)面的成面線l 稱為面F 的母線．非剛性運(yùn)動(dòng)形成的面稱為非標(biāo)準(zhǔn)面（如螺殼曲面、自然界的山川表面等）．
說明：本書提到的面，如沒有特殊說明都是標(biāo)準(zhǔn)面．
定義 2.2.28
a. 空間中到點(diǎn)K（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為球面，簡(jiǎn)稱為球，點(diǎn)K稱為球心，這個(gè)相等的距離稱為半徑，球心為K的球記為球K（也可以用球面上的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注或用一個(gè)花寫的大寫字母表示）．
b. 以半圓的端點(diǎn)為基點(diǎn)將該半圓同向旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形稱為球面，簡(jiǎn)稱為球．
球面將空間分為三部分，1.球面上的點(diǎn)所占據(jù)的空間位置，稱為球面．2. 球面內(nèi)包含球心的空間區(qū)域，稱為球內(nèi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱球內(nèi)．3.球面外不包含球心的空間區(qū)域，稱為球外區(qū)域，簡(jiǎn)稱球外．球面區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域整體稱為閉球區(qū)域，簡(jiǎn)稱為閉球域．
說明：1.上述關(guān)于球的兩個(gè)定義是等價(jià)的【定理2.4.24】．
2. 根據(jù)定義b，以半圓的端點(diǎn)為基點(diǎn)將該半圓同向旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形稱為球面，但半圓上的每一點(diǎn)的軌跡都是圓，根據(jù)定義a，球面可以繞球心轉(zhuǎn)動(dòng)，可推出球面上存在閉線圓（對(duì)此不再另行證明）．
3.為了避免混淆，球面可以簡(jiǎn)稱為球，球體不能簡(jiǎn)稱為球．
定義 2.2.29 以圖形F 上的每一點(diǎn)為球心作相等的球Q這些球的閉球域的并集所覆蓋的空間∑[Q]和圖形F 所占據(jù)的空間[F]的差集（∑[Q]-[F]）稱為圖形F 的鄰域，記為F [Q]．當(dāng)球Q為很小的球時(shí)（但并不趨向于0）形成的鄰域稱為圖形F 的小鄰域．
定義 2.2.30 球面F 上一個(gè)圓l將球面分成兩部分，每一部分球面（包括圓l）叫作球冠，圓l叫作球冠的邊緣．如果以圓l為邊緣的球冠上有一點(diǎn)E，那么該球冠表示為球冠l(E）．
定義 2.2.31 球面上有甲、乙兩個(gè)球冠，以球心為基點(diǎn)使甲球冠在球面上轉(zhuǎn)動(dòng)，如果兩球冠可以重合，那么這兩個(gè)球冠相等，如果甲球冠的邊緣能全部落在乙球冠之內(nèi)，我們說乙球冠大于甲球冠，也說甲球冠小于乙球冠．
定義 2.2.32 球面上一個(gè)圓l 將球面分成甲、乙兩個(gè)球冠，如果兩球冠相等，稱每個(gè)球冠為半球面，簡(jiǎn)稱半球，半球的邊緣線稱為球的大圓．如果兩球冠不等，大于半球的球冠稱為優(yōu)球冠，小于半球的球冠稱為劣球冠．
定義 2.2.33 如果球面F 和球面N的每一個(gè)點(diǎn)都能相互重合（通過移動(dòng)可以使球面F 上的任何一點(diǎn)都有球面N上的一個(gè)點(diǎn)與之重合且球面N 上的任何一點(diǎn)都有球面F上的一個(gè)點(diǎn)與之重合），我們就說球面F 和球面N相等．
定義 2.2.34 如果球面F 能夠放置于球面N的內(nèi)部，且兩球無公共點(diǎn)，我們說球F小于球N（球F＜ 球N），也說球N大于球F（球N＞ 球F）．
定義 2.2.35 球面F 的球心為點(diǎn)A，點(diǎn)B在球面F 上，點(diǎn)C在球面F 的內(nèi)部，點(diǎn)D在球面F 的外部，那么點(diǎn)A、B之間的距離大于點(diǎn)A、C之間的距離小于點(diǎn)A、D之間的距離．
定義 2.2.36 如果將球F 以球心O球和球F 上的一點(diǎn)A為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，球F 上另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為B，就稱點(diǎn)A、B是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)．
定義 2.2.37 如果兩個(gè)圓對(duì)徑點(diǎn)的距離相等我們稱這兩個(gè)圓相等，當(dāng)兩個(gè)圓對(duì)徑點(diǎn)的距離不相等時(shí)，我們稱對(duì)徑點(diǎn)間距離大的圓大于對(duì)徑點(diǎn)距離小的圓．
定義 2.2.38 如果兩球沒有公共點(diǎn)，當(dāng)一個(gè)球在另一個(gè)球的內(nèi)部的時(shí)候，我們說兩球內(nèi)含，當(dāng)任何一個(gè)球都在另一個(gè)球外部的時(shí)候，我們說兩球外離．
定義 2.2.39 如果兩球僅有一個(gè)公共點(diǎn)K，且一個(gè)球除了公共點(diǎn)K之外的所有點(diǎn)都在另一個(gè)球的內(nèi)部，我們說兩球內(nèi)切，如果兩球僅有一個(gè)公共點(diǎn)K，且每個(gè)球除了公共點(diǎn)K之外的所有點(diǎn)都在另一個(gè)球的外部，我們說兩球外切，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切．K點(diǎn)稱為兩球的切點(diǎn)．兩個(gè)相等的球，球A（球心為A）和球B（球心為B）兩球外切于K，則稱點(diǎn)K為A、B兩點(diǎn)的等球中切點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為中切點(diǎn)．
定義 2.2.40 兩個(gè)不重合球的公共點(diǎn)多于一個(gè)，我們說這兩球相交．相交兩球的公共部分稱為兩球的交線．兩個(gè)相等的球，球A（球心為A）和球B（球心為B）兩球的交線，則稱為A、B兩點(diǎn)的等球交線．
現(xiàn)在來總結(jié)一下，兩個(gè)球的位置關(guān)系．
(1) 兩個(gè)球沒有交點(diǎn)稱為兩球分離．
① 有一個(gè)球位于另一個(gè)球的內(nèi)部，我們說這兩個(gè)球內(nèi)含．
② 每一個(gè)球都位于另一個(gè)球的外部，我們說這兩個(gè)球外離．
(2) 兩個(gè)球多于一個(gè)交點(diǎn)稱為相交，兩球公共部分稱為交線．
① 所有點(diǎn)都合同，我們說這兩個(gè)球重合．
② 部分點(diǎn)合同，但合同的點(diǎn)多于一個(gè)，我們說兩個(gè)球相交，相交兩球的合同部分稱為兩球的交線．
③ 兩個(gè)相等球的交線稱為兩球心的等球交線．
(3) 兩個(gè)球僅有一個(gè)交點(diǎn)稱為相切，兩球的公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．
① 有一個(gè)球除切點(diǎn)之外的所有點(diǎn)都位于另一個(gè)球的內(nèi)部，我們說這兩個(gè)球內(nèi)切．
② 每一個(gè)球除切點(diǎn)之外的所有點(diǎn)都位于另一個(gè)球的外部，我們說這兩個(gè)球外切．
③ 兩個(gè)相等球的切點(diǎn)稱為兩球心的等球中切點(diǎn)．
定義 2.2.41
a. 能包括在一個(gè)球內(nèi)的空間部分稱為有限區(qū)域，否則稱為無限區(qū)域．
b. 能包括在一個(gè)球內(nèi)的圖形稱為有限圖形，否則稱為無限圖形．
定義 2.2.42
(1)一條單線移動(dòng)得到的面或一條單線繞其一端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)得到的起始線和終止線重合的面，稱為單面（圖2.2-3 a、b）[習(xí)慣上將圖2.2-3 b所示的面稱為錐側(cè)面]．
(2)一條無端單線從無窮遠(yuǎn)處非沿線運(yùn)動(dòng)到我們這里再運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處形成的面或由無端單線上的一點(diǎn)A分出的半條線（包括點(diǎn)A）繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)得到的起始線和終止線重合的面，稱為無邊單面，也叫無限單面．習(xí)慣上稱半條無端單線繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)得到的無邊單面為無限錐側(cè)面（圖中未標(biāo)出）．
說明：對(duì)于由無端單線運(yùn)動(dòng)而成的其它各種面我們不再討論．
(3)一條單線移動(dòng)得到的起始位置和終止位置重合但沒有其它交點(diǎn)的面或者一條閉線移動(dòng)得到的沒有交點(diǎn)的面稱為管狀面或柱側(cè)面（圖2.2-4a）[包括單面上有一個(gè)孔洞的面（圖2.2-4b）]，無端單線形成的柱面稱為無端柱面．
(4)一條閉線移動(dòng)得到的起始位置和終止位置重合，且沒有其它交點(diǎn)的面稱為環(huán)面（圖2.2-5）．
(5) 一條單線繞兩個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周得到的除端點(diǎn)之外軌跡再無交點(diǎn)的面，稱為球形面（圖略），球形面也稱球形腔．球形腔將空間分成腔內(nèi)（有限區(qū)域），腔體和腔外（無限區(qū)域）三部分．
(6) 單面、柱側(cè)面和球形面稱為簡(jiǎn)單面．
(7) 幾個(gè)簡(jiǎn)單面由公共點(diǎn)或公共線連接而形成的面，稱為復(fù)雜面，也稱作網(wǎng)面．例如，一條單線繞線上的兩基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，軌跡除基點(diǎn)之外另有交點(diǎn)的圖形就是復(fù)雜面或者網(wǎng)面（圖2.2-6）]．
定義 2.2.43 簡(jiǎn)單面F運(yùn)動(dòng)，如果，面F上除了邊線的一部分線段l外的所有的點(diǎn)都在已有面（原F面和線l畫出的新面）上移動(dòng)，則稱面F為沿面移動(dòng)或沿面運(yùn)動(dòng)，面作沿面運(yùn)動(dòng)得到的圖形仍然是面．
說明：1. 有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸【定義 2.6.18】的曲面（平面、球面、橢球面、正圓柱側(cè)面、正圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面、環(huán)面等）上的任何一條閉線所圈出的曲面部分，繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)都是沿面移動(dòng)．
2. 平面部分、球面部分，正螺旋面部分還可以進(jìn)行非繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的沿面運(yùn)動(dòng)．
定義 2.2.44 面F 運(yùn)動(dòng)的軌跡如果不包含面的部分（不能僅斷開一條閉線得到一個(gè)單面），我們則稱面F 運(yùn)動(dòng)的軌跡為體，并稱面F為該體的成體面．
定義 2.2.45 JK 是包含圖形F上點(diǎn)K的小球（通常JK是以K點(diǎn)為球心的小球），如果球JK內(nèi)部任何包含點(diǎn)K的球與圖形F的公共部分的性質(zhì)和數(shù)量（無圖形、有點(diǎn)、線或面）都和球JK與圖形F 公共部分的性質(zhì)和數(shù)量相同，我們稱該小球JK 為K點(diǎn)的定維球．
定義 2.2.46 圖形的拓?fù)浞诸惡蛨D形的維數(shù).
(1)如果圖形F 上任何一點(diǎn)在定維球上都無截點(diǎn)（無截點(diǎn)，定義為截點(diǎn)為-1維圖形），我們就稱圖形F 為0維圖形．顯然圖形F 是由點(diǎn)構(gòu)成的離散圖形．圖形中的單個(gè)點(diǎn)稱為孤立點(diǎn)．
(2)如果圖形F 上任何一點(diǎn)在定維球上的截圖都是有限個(gè)0維圖形（有限個(gè)點(diǎn)），我們就稱圖形F 為1維圖形．1維圖形是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，稱為線或網(wǎng)絡(luò)．
線上在定維球上的截圖為1個(gè)點(diǎn)（Y=1）的點(diǎn)是端點(diǎn)，截圖為2個(gè)點(diǎn)（Y=2）的點(diǎn)是中間點(diǎn)，截圖為≥3個(gè)點(diǎn)（Y≥3）的點(diǎn)是歧點(diǎn)（定義2.2.14）．
說明：這里定義的1維線，是連續(xù)的線，不包括維數(shù)不為1（維數(shù)為分?jǐn)?shù)）的斷續(xù)線（如康托爾三分集[23]所對(duì)應(yīng)的線段）．
(3)如果圖形F 上任意一點(diǎn)K定維球上的截圖都是1維圖形（有限條線），我們稱該圖形為2維圖形，也稱為面或網(wǎng)面，簡(jiǎn)稱為面．它是線運(yùn)動(dòng)形成的不再含“線”的軌跡，
① 在定維球上的截圖為1條閉線的點(diǎn)
是面的內(nèi)點(diǎn)，截圖為1條單線的點(diǎn)是面的邊點(diǎn)．截圖是兩條或兩條以上沒有交點(diǎn)的閉線的點(diǎn)是面的對(duì)頂點(diǎn)（圖2.2-7中的A點(diǎn)），截圖上是含有歧點(diǎn)線的點(diǎn)是面的歧點(diǎn)（圖2.2-8中的A點(diǎn)、B點(diǎn)）．由面的歧點(diǎn)連成的線稱為歧線（圖2.2-8中的線m）．
② 完全由面的內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的面稱為封閉腔，無端柱面或無邊單面（無限單面）．有限的圖形是封閉腔，無限的圖形是無限單面或無端柱面．封閉腔將空間分割成腔內(nèi)（有限區(qū)域）、腔壁（封閉腔本身）和腔外（無限區(qū)域）三個(gè)部分．如果腔壁上的任何一條閉線都能把封閉腔分割成不相連（除了該閉線之外再無連接）的兩部分，我們稱其為球形腔，否則稱其為復(fù)雜腔（例如環(huán)形腔）．
③ 面上的所有邊點(diǎn)組成一條閉線的面稱單面（如平面的一部分、截圓錐的側(cè)面、球冠等），能得到兩條閉線的面稱為管狀面（如圓柱面、中間帶有一個(gè)孔洞的單面）．單面、管狀面和球形面稱為簡(jiǎn)單面，除此之外的面，稱為復(fù)雜面或網(wǎng)面．
④ 面M 將每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)定維球分成兩個(gè)腔．
ⅰ.任意選出一個(gè)定維球，并選定一個(gè)腔，將該腔內(nèi)的M表面涂上第1種顏色，并把所有內(nèi)點(diǎn)定維球和涂上第1種顏色區(qū)域相連的面M的部分都涂上第1種顏色．如果M的表面都涂上了第1種顏色，那么M為單側(cè)面．
ⅱ.如果M 的表面沒有都涂上了第1種顏色，那么一定能找到有腔體內(nèi)M 的表面沒有涂顏色的定維球，將該腔體內(nèi)的M 表面涂上第2種顏色，并將與之相連的M 表面都涂上第2種顏色．如果M的表面都涂上了第1種和第2種顏色，那么M為雙側(cè)面．
ⅲ．如果尚有M的表面沒有涂上顏色，那么M是多側(cè)面的復(fù)雜面．
簡(jiǎn)單曲面（單面、圓錐側(cè)面、球形面）、圓柱側(cè)面、環(huán)面等都是雙側(cè)面，莫比烏斯帶是單側(cè)曲面，其它復(fù)雜曲面為多側(cè)面．
⑤ 面上由非內(nèi)點(diǎn)組成的連通圖形稱為面的邊棱，隔開兩個(gè)側(cè)的邊棱稱為面的邊緣線，邊緣線是由邊點(diǎn)和孤立的歧點(diǎn)構(gòu)成的連通圖形，但并不是所有由邊點(diǎn)構(gòu)成的連通圖形都是邊緣線，例如，莫比烏斯帶的邊棱完全由邊點(diǎn)構(gòu)成，但卻不是邊緣線，因?yàn)樵撉鏇]有邊緣線（證明略）．
說明：這里定義的2維面，既包括標(biāo)準(zhǔn)面也包括非標(biāo)準(zhǔn)面，但不包括維數(shù)不是正整數(shù)2（維數(shù)為分?jǐn)?shù)）的篩網(wǎng)面（如謝爾賓斯基“地毯”[24]）．
(4)圖形F 上任何一點(diǎn)在定維球上的截圖都是2維圖形（有限塊面），我們稱其為3維圖形，3維圖形稱為體（體也可以定義為封閉腔內(nèi)充滿點(diǎn)的圖形）．體是由面運(yùn)動(dòng)形成的，不再包含“面”的軌跡．
① 在定維球上的截圖為整個(gè)球面的點(diǎn)是體的內(nèi)點(diǎn)，截圖為一個(gè)閉區(qū)域的點(diǎn)是體的邊界點(diǎn)．截圖為兩個(gè)或兩個(gè)以上無交點(diǎn)閉區(qū)域的點(diǎn)是體的對(duì)頂點(diǎn)（圖2.2-9中的A點(diǎn)），截圖為兩個(gè)或兩個(gè)以上由點(diǎn)連接閉區(qū)域的點(diǎn)是體的歧點(diǎn)（圖2.2-10中的A點(diǎn)、B點(diǎn)）．
② 連通的歧點(diǎn)組成的圖形部分稱為歧點(diǎn)線，簡(jiǎn)稱為歧線（圖2.2-10中的線AB），連通的邊界點(diǎn)獨(dú)自構(gòu)成的面或連通的邊界點(diǎn)與單條線構(gòu)成的面稱為體的邊界．
③ 由體的內(nèi)點(diǎn)充滿（占據(jù)全部）一個(gè)封閉腔內(nèi)全部空間的體稱為實(shí)心體．
④將實(shí)心體內(nèi)一個(gè)封閉腔中的所有點(diǎn)都清空后剩余點(diǎn)形成的體（一定是體，不得退化成面）稱為空心體．
說明：這里定義的3維體，是由點(diǎn)充滿封閉腔構(gòu)成的圖形，不包括維數(shù)不是正整數(shù)3（維數(shù)為分?jǐn)?shù)）的海綿體（如謝爾賓斯基“海綿”[24]）．
(5)如果連通圖形A上的所有點(diǎn)在定維球上的截圖都同時(shí)是（n-1）維圖形（n=0、1、2或3），則稱圖形A為n維圖形（如0維點(diǎn)，1維線，2維面，3維體），含有定維球截圖為非（n-1）維圖形的點(diǎn)（或包含變維點(diǎn)）的圖形稱其為混維圖形或拼合圖形．拼合圖形中一定存在變維點(diǎn)（圖2.2-11中打斜線的部分為椎體）．
① 定維球截圖上有有限條線同時(shí)又有有限個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)（圖2.2-11a，A、B點(diǎn)）稱為(1、2)變維點(diǎn)，此點(diǎn)1維一側(cè)的圖形為線，2維一側(cè)的圖形為面．
② 定維球截圖上含有有限個(gè)面又含有限個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)（圖2.2-11b，C點(diǎn)）稱為(1、3)變維點(diǎn)，此點(diǎn)1維一側(cè)的圖形為線，3維一側(cè)的圖形為體．
③ 定維球截圖上含有有限個(gè)面，又含有限條線和有限個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)（圖2.2-11b，B點(diǎn)）稱為(1、2、3)變維點(diǎn)，此點(diǎn)1維一側(cè)的圖形為線，2維一側(cè)的圖形為面，3維一側(cè)的圖形為體．
④ 定維球截圖上含有限個(gè)面又含有限條線的點(diǎn)（圖2.2-11b，A點(diǎn)）稱為(2、3)變維點(diǎn)，此點(diǎn)2維一側(cè)的圖形為面，3維一側(cè)的圖形為體．
含有變維點(diǎn)的圖形，不是我們定義的線、面或體，而是拼合圖形．本書基本不討論拼合圖形．
(6)組成圖形的點(diǎn)中如果包括沒有定維球的點(diǎn)，該圖形是分維圖形（維數(shù)不為正整數(shù)的圖形，如斷續(xù)線、篩網(wǎng)面、海綿體），分維圖形是分形幾何的研究對(duì)象，不在本書研究范圍．
說明：本定義給出的是孤立點(diǎn)、線、面和體的具有微觀特征的普適定義，它和前面給出的點(diǎn)、線和面的定義并不矛盾．
定義 2.2.47 面F 被面上的線分割開的兩部分稱為面的區(qū)域，分割兩個(gè)區(qū)域的線稱為界限．空間中被面分隔開的兩部分稱為空間區(qū)域，分割兩個(gè)空間區(qū)域的面稱為界面．當(dāng)不至于混淆時(shí)面的區(qū)域和空間區(qū)域都可以簡(jiǎn)稱為區(qū)域．
定義 2.2.48
(1) 將n維（n=1，2，3）圖形上選定的低于n維的部分取走，在原處仍復(fù)制出這部分稱為拷貝這部分；
(2) 將n維（n=1，2，3）圖形上選定的n維的部分取走，卻復(fù)制出該部分和殘留圖形交界處的低維圖形（以保證兩個(gè)圖形的完整性），稱為分離出這部分．
定義 2.2.49 (1) 線的端頭如果能拷貝一個(gè)點(diǎn)，則說線的該端頭是點(diǎn)．(2) 面的邊緣如果能拷貝一條線，則說面的該邊緣是線．(3) 體的邊界如果能拷貝一塊面，則說體的該邊界是面．
說明：歐幾里得(Euclid)在《幾何原本》給出的定義中，指出的“一線的兩端是點(diǎn)”，“面的邊緣是線”，“邊界是物體的邊緣”和“圖形是被一個(gè)邊界或幾個(gè)邊界所圍成的”[25]．就是說明，歐幾里得(Euclid)幾何學(xué)中圖形是完整的．
定義 2.2.50 (1) 有限的（在有限區(qū)域內(nèi)的）單線是最簡(jiǎn)單的1維圖形．(2) 端頭是點(diǎn)的連通單線是完整的線．(3) 用點(diǎn)將完整的單線連接在一起得到的圖形仍是完整的線．
定義 2.2.51 (1) 有限的（在有限區(qū)域內(nèi)的）單面是最簡(jiǎn)單的2維圖形．(2) 以完整單線為成面線（母線）運(yùn)動(dòng)得到的開始和終止位置都是線的單面是完整的面．(3) 用點(diǎn)或完整的線將完整的單面連接在一起得到的面仍是完整的面．
定義 2.2.52 (1)有限的（在有限區(qū)域內(nèi)的）實(shí)心體是最簡(jiǎn)單的3維圖形．(2) 以完整單面為成體面（母面）運(yùn)動(dòng)得到的開始和終止位置都是面的實(shí)心體是完整的體．(3) 用點(diǎn)、完整的線或完整的面將完整的體連接在一起得到的體仍是完整的體．
定義 2.2.53 如果圖形L 的任何一個(gè)點(diǎn)都是圖形M 的點(diǎn)，而圖形M 的任何一個(gè)點(diǎn)也都是圖形L 的點(diǎn)（圖形L 和圖形M 占據(jù)完全相同的空間位置），我們則說圖形L 和圖形M 重合．重合的圖形實(shí)際上就是同一個(gè)圖形．
定義 2.2.54 如果通過運(yùn)動(dòng)能使圖形F1和圖形F2的所有點(diǎn)都重合（即F1上的任意一點(diǎn)都有F2上的一點(diǎn)與之合同，F(xiàn)2上的任意一點(diǎn)也都有F1上的一點(diǎn)與之合同），我們說圖形F1和圖形F2可以重合（或可合同）．可以重合的圖形相等．可合同圖形上的可重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
例如，移動(dòng)圖形F2 使之與圖形F1合同，圖形F2移動(dòng)前位于位置A2的點(diǎn)移動(dòng)后和圖形F1的A1點(diǎn)合同，我們則說圖形F1 上的點(diǎn)A1（位置為A1的點(diǎn)）和圖形F2上的點(diǎn)A2（原位置為A2的點(diǎn)）是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
定義 2.2.55 (1) 圖形A 和圖形B 是同維圖形，如果圖形A 的點(diǎn)都是圖形B 的點(diǎn)，但圖形B 的點(diǎn)并不全是圖形A 的點(diǎn)，則說圖形A 是圖形B 的一部分，即圖形B 為整體圖形A 為部分，記為 B ?A 或 A?B．當(dāng)圖形A 既可以是圖形B 的一部分又可以等于圖形B 時(shí)，則記為B ?A 或 A?B．
(2) 圖形A 和圖形B 是同維圖形．如果通過運(yùn)動(dòng)，圖形A 能完全和圖形B 重合，但圖形B 不能完全和圖形A 重合，我們說圖形A 等于圖形B 的一部分．
說明：圖形A是圖形B的一部分或等于圖形B的一部分的前提是圖形A和圖形B是同維圖形，低維圖形不是高維圖形的一部分．
定義 2.2.56 (1) 如果圖形S 的所有點(diǎn)都在閉球域[
]之內(nèi)，我們說閉球域[
]覆蓋了圖形S，記為“[
]◎{S}”，否則說閉球域[
]不覆蓋圖形S，記為“[
]◎{S}”
(2) 如果通過剛性移動(dòng)閉球域[
]（或圖形S）能使圖形S 的所有點(diǎn)都在閉球域[
]之內(nèi)，我們說閉球域[
]可以移動(dòng)覆蓋圖形S，記為“[
]◎{S}”，否則，我們就說閉球域[
]不能移動(dòng)覆蓋圖形S，記為“[
]◎{S}”．
定義 2.2.57 無限多個(gè)具有整體和部分關(guān)系的圖形列
S1，S2，S3，…，Sn，…… (Sn+1?Sn，且Sn≠?) (1*)
稱為無限遞減圖形列，表示為{?Sn↘}
．如果不論事先給定的一個(gè)閉球
怎么小，都可以找到一個(gè)自然數(shù)N，使得移動(dòng)閉球
能覆蓋圖列(1*)中,n＞N時(shí)的任意一個(gè)圖形Sn，即有 [
]◎{Sn}．我們說，當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→0，稱(1*)為無限趨0圖形列，記為 {?Sn↘0}
．
定義 2.2.58 球F 的閉球域【定義2.2.28】包括的所有位置表示為[F ]，如果閉球域[FK]包括閉球域[FJ]的所有位置，則說閉球域[FK]覆蓋了[FJ]，表示為[FK]?[FJ]或[FJ]?[FK]．如果閉球域[FJ]的所有位置都在閉球域[FK]的內(nèi)部，則說閉球域[FK]包蓋了[FJ]，表示為[FK]?[FJ]或[FJ]?[FK]．
定義 2.2.59 我們將以圖形F 上各點(diǎn)為球心所作的等球Q構(gòu)成的鄰域【定義2.2.29】F[Q]，無限個(gè)這樣的鄰域排成一列
F[Q1]，F(xiàn) [Q2]，F(xiàn) [Q3]，…，F(xiàn) [Qn]，……（Q n+1＜Qn） (1*)
稱為無限遞減鄰域列，表示為{F[Qn]↘}
．如果不論事先給定的一個(gè)閉球[
]多么小，都可以找到一個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，[Qn]＜[
]恒成立（也就是閉球[
]可以移動(dòng)覆蓋當(dāng)n＞N時(shí)的所有閉球[Qn]），那么，就稱(1*)為圖F 的無限趨0鄰域列，記為{F[Qn]↘0}
．
定義 2.2.60 閉球域[F1]內(nèi)的圖形Sn拓?fù)渥儞Q成閉球域[F1]內(nèi)的圖形Sn+1，若Sn+1上任意兩點(diǎn)的距離小于Sn對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的距離，稱圖形Sn收縮（拓?fù)渥儞Q是點(diǎn)的連接情況不變的變換），收縮圖列，
S1，S2，S3，…，Sn，……（Sn＞Sn+1） (2*)，
“Sn＞Sn+1”表示圖形在逐步縮?。@然變化是非剛性的）．若存在一個(gè)閉球域列，
[F1]，[F2]，[F3]，…，[Fn]，……（[Fn]?[Fn+1]） (2**)，且閉球Fn+1可以覆蓋圖形Sn+1，但不能覆蓋圖形Sn（[Fn+1]◎{Sn+1}且[Fn+1]◎{Sn}），我們則稱(2**)為(2*)的收縮包蓋閉球域列，如果不論事先給定的一個(gè)閉球[
]多么小，都可以找到一個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，[Fn]＜[
]恒成立（也就是閉球[
]可以移動(dòng)覆蓋當(dāng)n＞N時(shí)的所有圖形Sn），那么當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→0．我們說圖形列(2*)是收縮趨0圖形列，表示為{→Sn↘0}
．即
S1，S2，S3，…，Sn，……（Sn＞Sn+1，Sn↘0） (2)．
定義 2.2.61 兩個(gè)不重合的圖形有公共點(diǎn)稱為相交，它們的公共點(diǎn)稱為交（包括線與線（或面）的交點(diǎn)，面和面的交線，面和面（或體）的交面，體和體的交體），當(dāng)兩個(gè)圖形各自的一個(gè)區(qū)域僅有一個(gè)接觸交點(diǎn)（所謂接觸交點(diǎn)是說，兩圖形再稍微移動(dòng)一下相對(duì)位置，這個(gè)交點(diǎn)處交點(diǎn)的數(shù)量就會(huì)改變的交點(diǎn)）時(shí)，我們習(xí)慣上稱這兩個(gè)圖形（在此區(qū)域）相切．相切也屬于相交，只不過是相交的特殊情況．例如，兩球內(nèi)切，球和圓外切，兩環(huán)外切等．
定義 2.2.62
(1)空間中圖形的最高維數(shù)【定義 2.2.46】稱為空間的維數(shù)，空間中可以存在的圖形最高維數(shù)維3維，所有空間是3維的．
(2)可以使連續(xù)圖形【定義 2.2.4】存在的空間稱為連續(xù)空間．
(3)如果空間不能圈定在某個(gè)球面之內(nèi)，我們說空間是無限的．
(4)存在剛性圖形和剛性運(yùn)動(dòng)【定義2.2.9】的空間，稱為各向同性的空間．
§3 假設(shè)、工具和公理
基本假設(shè)
我們認(rèn)定直尺棱的直線特性、圓規(guī)兩腳張開程度決定的兩腳尖端的距離以及膜平面的平面屬性不因所處空間位置的不同而改變，也不因外界環(huán)境（如溫度、壓力、光照、輻射和各類場(chǎng)）的不同或內(nèi)部應(yīng)力改變而變化．即認(rèn)為直尺、固定兩腳張開程度后的圓規(guī)以及膜平面都是絕對(duì)剛體．
使用的工具
1.筆：帶有可以留下痕跡尖頭的物體，通常制成桿狀．
2.圓規(guī)：將一根一端裝有針尖的剛性桿和一根一端裝有筆尖的剛性桿的另一端鉸接，使裝有針尖、筆尖的一端（稱為腳）可以開合也可以保持開啟程度不變．使用時(shí)可以認(rèn)為它的兩個(gè)剛性桿有所需的有限長(zhǎng)度．
3.直尺：一條邊棱為直線的條狀物體，使用時(shí)可以認(rèn)為它有所需的有限長(zhǎng)度．直尺在定義直線段之后方可使用．
4.膜平面：一個(gè)物質(zhì)的平面，它上面鋪有一層可以保留畫痕的薄膜（例如紙），使用時(shí)可以認(rèn)為它有所需的有限大的面積．膜平面在定義平面之后方可使用．
工具的用途
1.筆的用途：
(1)在任何一個(gè)空間位置標(biāo)注一個(gè)點(diǎn)．
(2)描繪并保留點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．
(3)描繪并保留圖形運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)或線．
(4)描繪并保留線和其它圖形的交點(diǎn)，描繪并保留面和面（或體）的交線或線上的點(diǎn)，描繪并保留體和體交面上的線或點(diǎn)．
(5)和直尺配合使用，過空間的兩點(diǎn)作一條直線．
2.圓規(guī)的用途：
(1)檢驗(yàn)A、B兩點(diǎn)的距離和C、D兩點(diǎn)的距離是否相等．
檢驗(yàn)方法：調(diào)整圓規(guī)兩腳張開的程度使針尖與點(diǎn)A重合，筆尖與點(diǎn)B重合，固定圓規(guī)兩腳的張開程度；移動(dòng)圓規(guī)并保持圓規(guī)兩腳張開程度不變，使針尖和點(diǎn)C重合，旋轉(zhuǎn)圓規(guī)看筆尖是否能和點(diǎn)D重合．
結(jié)果判定：如果圓規(guī)筆尖能和點(diǎn)D重合，我們說點(diǎn)A、B之間的距離和點(diǎn)C、D間的距離相等，否則說點(diǎn)A、B之間的距離和點(diǎn)C、D間的距離不相等．如果點(diǎn)D位于旋轉(zhuǎn)圓規(guī)筆尖形成的球面的內(nèi)部，我們說點(diǎn)A、B之間的距離大于點(diǎn)C、D間的距離，如果點(diǎn)D位于旋轉(zhuǎn)圓規(guī)筆尖形成的球面的外部，我們說點(diǎn)A、B之間的距離小于點(diǎn)C、D間的距離．
(2) 空間有A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作一條各點(diǎn)到A點(diǎn)距離相等的單線．
具體作法：調(diào)整圓規(guī)兩腳張開的程度使針尖與點(diǎn)A重合，筆尖與點(diǎn)B重合，固定圓規(guī)兩腳的張開程度，移動(dòng)圓規(guī)并保持圓規(guī)兩腳張開程度不變，保留筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到一條經(jīng)過B點(diǎn)的單線．
(3) 以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)B作一個(gè)球．
具體作法：
① 按照2中規(guī)定的方法做一條各點(diǎn)到A點(diǎn)距離相等的單線l ；
② 使圓規(guī)的針尖和A點(diǎn)重合，在保持(1)中圓規(guī)兩腳的張開程度不變的條件下，使筆尖帶動(dòng)線l 在空間中轉(zhuǎn)動(dòng)，保留線l 運(yùn)動(dòng)的軌跡，并使該軌跡充滿它所能到達(dá)的所有位置，得到一個(gè)球面．
(4) 給出以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)P的球A 和以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)P的球B 兩個(gè)球的交線或切點(diǎn)．
具體作法：按(3)規(guī)定的方法，以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)P作球A，以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)P作球B，球A 和球B 如果相交于一個(gè)圓，該圓即為所求的交線，球A 和球B 如果相交于一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)即為所求的切點(diǎn)．
(5) 作出點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)，同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡圓（給出以A點(diǎn)為球心過P點(diǎn)的球A 和以B點(diǎn)為球心過P點(diǎn)的球B 的交線）．
具體作法：
作法一：按(4)規(guī)定的方法，得出球A 和球B 的交線．
作法二：取甲、乙兩個(gè)圓規(guī)，使甲圓規(guī)的針尖和點(diǎn)A重合，調(diào)整甲圓規(guī)兩腳張開程度使筆尖和點(diǎn)P重合，使乙圓規(guī)的針尖和點(diǎn)B重合，調(diào)整乙圓規(guī)兩腳張開程度使筆尖和點(diǎn)P重合，將甲乙兩圓規(guī)的筆尖粘合在一起，保證甲圓規(guī)針尖和A點(diǎn)重合且乙圓規(guī)針尖和B點(diǎn)重合的條件下，使粘合在一起的筆尖同向旋轉(zhuǎn)一周，保留筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到所求過P點(diǎn)的圓周．
(6) 給出以點(diǎn)A為球心過膜平面M 上的一點(diǎn)B的球F 和膜平面M 的交線或切點(diǎn)．
具體作法：
① 使圓規(guī)的針尖和A點(diǎn)重合，調(diào)整圓規(guī)兩腳張開程度使筆尖和點(diǎn)B重合，
② 如果筆尖和膜平面M 只有一個(gè)交點(diǎn)B，點(diǎn)B即為所求的切點(diǎn)．
③ 保持圓規(guī)兩腳的張開程度不變的條件下，使筆尖在膜平面M 上轉(zhuǎn)動(dòng)一周，保留筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到所求的交線（圓周l ）．
(7)以膜平面M上A點(diǎn)為圓心，過膜平面M上B點(diǎn)劃一個(gè)圓．
具體作法：
① 使圓規(guī)的針尖和A點(diǎn)重合，調(diào)整圓規(guī)兩腳張開程度使筆尖和點(diǎn)B重合．
② 在保持圓規(guī)兩腳張開程度不變的條件下，使筆尖在膜平面M 上轉(zhuǎn)動(dòng)一周，保留筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到所求的交線（圓周l ）．
(8) 膜平面M上有A、B、C、D四點(diǎn)，求出以A點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)B的圓a和以C點(diǎn)為圓心過點(diǎn)D的圓c的交點(diǎn)或切點(diǎn)．
具體作法：
按(7)中規(guī)定的作法，在膜平面M上分別劃出圓a和圓c，即可獲得所求的交點(diǎn)或交線．
(9) 膜平面M上有A、B、C、D四點(diǎn)，求出膜平面M上以A點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)B的圓a和過C、D兩點(diǎn)的直線l 的交點(diǎn)或切點(diǎn)（和直尺配合）．
具體作法：
① 按(7)中規(guī)定的作法，在膜平面M上劃出圓a．
② 借用直尺在膜平面M上，過C、D兩點(diǎn)劃直線l．
圓a和直線l的交點(diǎn)即為所求．
3.直尺的用途：
(1) 過空間的兩點(diǎn)，使用筆（筆尖）繪制一條直線．
(2) 使用筆（筆尖）延長(zhǎng)一條直線段．
(3) 確定（用筆尖標(biāo)出）兩條相交直線（直線段）的交點(diǎn)．
(4) 確定（用筆尖標(biāo)出）膜平面上直線（直線段）和圓的交點(diǎn)（配合圓規(guī)）．
4.膜平面的用途：
(1) 在它的表面上繪制并保留平面圖形．
(2) 在它的表面上繪制并保留三維圖形的軸測(cè)圖．
(2) 在它的表面上繪制并保留三維圖形在平面上的投影．
公理
公理 2.3.1（空間公理）
1.幾何空間是3維的、連續(xù)的、無限的和各向同性的【定義2.2.62】．
2.空間中有無限多個(gè)位置．任何一個(gè)區(qū)域都至少有一個(gè)位置【定義 2.2.2】．
公理 2.3.2（置點(diǎn)公理）
1.任何一個(gè)位置均可以用假想的物體標(biāo)為一個(gè)幾何點(diǎn)【定義2.2.3】（簡(jiǎn)稱為點(diǎn)）．幾何點(diǎn)具有下列特征:
(1) 點(diǎn)的位置信息可以被感官直接認(rèn)知，即是可以用確切實(shí)數(shù)描述（標(biāo)注）的；
(2) 點(diǎn)僅占據(jù)一個(gè)空間位置，它沒有部分，是不能再分割的，它占據(jù)的空間的度量值為0，即對(duì)于圖形的任何度量，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度量值都是0；
(3) 點(diǎn)不再具有位置信息之外，物質(zhì)的任何特性，也不能排它性地占據(jù)空間．
說明：如果點(diǎn)a占據(jù)了某個(gè)空間位置之后，其它點(diǎn)就無法再占據(jù)該空間位置，稱為點(diǎn)a 排它性的占據(jù)空間．
公理 2.3.3（運(yùn)動(dòng)公理）
1.空間【定義 2.2.1】不能運(yùn)動(dòng)（即空間位置不能運(yùn)動(dòng)），能在空間運(yùn)動(dòng)的是物質(zhì)，能在幾何空間運(yùn)動(dòng)的是點(diǎn)或由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的圖形【定義 2.2.5】．
(1) 運(yùn)動(dòng)中圖形的形狀【定義 2.2.8】不變，能經(jīng)過途中的所有位置，并可以得到運(yùn)動(dòng)的軌跡【定義2.2.4】．
(2) 運(yùn)動(dòng)中基點(diǎn)【定義 2.2.19】的位置不變，且圖形上任何一點(diǎn)到基點(diǎn)的距離也不變【定義2.2.17】．
(3) 圖形可以移動(dòng)，可以繞一個(gè)基點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)【定義2.2.16】）轉(zhuǎn)動(dòng)，也可以繞兩個(gè)基點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)．但如果點(diǎn)C是繞A、B兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么任何圖形都不能以A、B、C三點(diǎn)為基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而保持自身形狀【定義 2.2.8】不變．
2.在一個(gè)封閉腔【定義 2.2.46】Q 內(nèi)有一個(gè)位置A，腔壁上有一個(gè)位置B，可以使P點(diǎn)從位置A運(yùn)動(dòng)至位置B，劃出一條端點(diǎn)為A、B的單線【定義 2.2.13】，并可使該單線AB和封閉腔Q 沒有B點(diǎn)之外的交點(diǎn)．
公理 2.3.4（圖形公理）
1.（圖形連續(xù)公理） 幾何圖形是連續(xù)的．連續(xù)的n維圖形被（n-1）維圖形分離出來的n維子圖形也是連續(xù)的．
2.（圖形完整性公理）幾何圖形是完整的．任何一個(gè)圖形都至少有一個(gè)點(diǎn)，最簡(jiǎn)單圖形【定義 2.2.50～52】是完整的，由完整圖形組成的圖形也是完整的．
說明：1.該公理是說，孤立點(diǎn)（0維最簡(jiǎn)單圖形）只能整體產(chǎn)生，整體消失；單線（1維最簡(jiǎn)單圖形）的端頭是點(diǎn)，不存在端頭不是點(diǎn)的有限單線【定義2.2.50】；單面（2維最簡(jiǎn)單圖形）的邊緣是線，不存在邊緣不是線的有限單面【定義2.2.51】；實(shí)心體（3維最簡(jiǎn)單圖形）的邊界是面，不存在邊界不是面的有限實(shí)心體【定義2.2.52】．
2.和該公理等價(jià)的結(jié)論歐幾里得(Euclid)在《幾何原本》中以定義的形式給出，它們分別是：一線的兩端是點(diǎn)．面的邊緣是線．邊界是物體的邊緣，圖形是被一個(gè)邊界或幾個(gè)邊界所圍成的[1]．
3.（剛性圖形公理）如果不特殊聲明，我們討論的所有圖形都是剛性圖形．剛性圖形在空間運(yùn)動(dòng)過程中并不改變本身的形狀．
公理 2.3.5（合同公理）
1.圖形M上有A、B兩點(diǎn)，圖形N上有C、D兩點(diǎn)，調(diào)整圓規(guī)開啟程度使圓規(guī)的針尖和筆尖分別和A、B兩點(diǎn)重合，保持圓規(guī)開啟程度不變，移動(dòng)圓規(guī)使針尖和點(diǎn)C重合，轉(zhuǎn)動(dòng)圓規(guī)如果筆尖能和D點(diǎn)重合，則A、B兩點(diǎn)間的距離和C、D兩點(diǎn)間的距離相等【定義2.2.7】．
2.如果A、B兩點(diǎn)間的距離和C、D兩點(diǎn)間的距離相等，那么移動(dòng)圖形可以使點(diǎn)A、點(diǎn)B分別和點(diǎn)C、點(diǎn)D重合（合同），否則不能分別重合．
3.如果圖形F 能和圖形和L 重合，圖形L 能和圖形和W 重合，那么圖形F 一定能和圖形和W 重合．
4.可以重合的兩個(gè)圖形F 和L 任何對(duì)應(yīng)的部分都能重合，就是除了占據(jù)的空間位置可能不同之外，其它任何屬性都相等．
關(guān)于公理的說明：
1．在幾何學(xué)的新基礎(chǔ)中，沒有將阿基米德(Archimedes)準(zhǔn)則列為公理，這并不是說在本體系中阿基米德準(zhǔn)則不成立，恰恰相反，對(duì)于建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)阿基米德準(zhǔn)則是成立的．但是由于阿基米德準(zhǔn)則和列出的置點(diǎn)公理1(1)“點(diǎn)的位置信息可以被感官直接認(rèn)知，即是可以用確切實(shí)數(shù)描述的”是等價(jià)的．既然我們已經(jīng)將點(diǎn)位置是可以用確切實(shí)數(shù)描述的列為了公理，就沒有必要再將阿基米德準(zhǔn)則列為公理了，因此我們將阿基米德準(zhǔn)則當(dāng)成了一個(gè)定理，在后面的章節(jié)給出．
2. 由于直尺和圓規(guī)是最容易得到的繪圖工具，在古希臘，歐幾里得完成《幾何原本》的時(shí)候（約公元前300年），整個(gè)幾何學(xué)基本是建立在尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)之上的．其實(shí)在那個(gè)時(shí)期著名的學(xué)者阿波羅尼奧斯(Apollonius)（約公元前262-前190年）就完成了一部巨著《圓錐曲線論》．在該部著作中詳細(xì)地討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，顯然有繪制圓錐曲線的具體要求，后來隨著射影幾何學(xué)的建立和發(fā)展這種需求就更加迫切了．由于沒有人設(shè)計(jì)出這種工具，致使這一愿望一直沒能實(shí)現(xiàn)．現(xiàn)在本書的第二作者潘昊楠先生設(shè)計(jì)出了一套二次曲線規(guī)，該二次曲線規(guī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以很方便地劃出給定焦點(diǎn)和其它附加條件的二次曲線（包括圓、橢圓、拋物線和雙曲線），該二次曲線規(guī)已經(jīng)獲得了中國(guó)發(fā)明專利，專利號(hào)為：ZL 20131 0601490.6．詳見本書附錄．
§4 基礎(chǔ)定理
定理 2.4.1 一個(gè)n 維圖形上不能缺少有限個(gè)小于n維的子圖形．即，(1) 線上不能缺少有限個(gè)點(diǎn)；(2) 面上不能缺少有限個(gè)點(diǎn)或有限條線；(3) 體上不能缺少有限個(gè)點(diǎn)、有限條線或有限塊面．
證明 孤立點(diǎn)（0維圖形）是維數(shù)最低的圖形，只能整體產(chǎn)生，整體消失，沒有比它維數(shù)更低的圖形了．
(1)假設(shè)線l 上某位置P處缺少一個(gè)點(diǎn)，在線l 上與位置P相距不遠(yuǎn)處選一點(diǎn)Q，那么由位置P到點(diǎn)Q僅有一條單線，也就是僅可以分離【定義2.2.48】出一條缺少端點(diǎn)的單線PQ．根據(jù)圖形完整性公理，缺少端點(diǎn)的單線不存在，那么單線上就不能缺少一個(gè)點(diǎn)．由于任何一條線都可以分離出一條單線，即任何一條線（網(wǎng)絡(luò)）上都不能缺少一個(gè)點(diǎn)．重復(fù)上述過程就可以得到線上不能缺少有限個(gè)點(diǎn)．
(2)① 假設(shè)面M上在位置P處缺少一個(gè)點(diǎn)，在面M上位置P的附近一定能找到一點(diǎn)Q，由于面M是連通的，那么在面M 上一定能從位置P到點(diǎn)Q引一條線l ，即在面M上可以拷貝【定義2.2.48】出一條缺少一點(diǎn)的線l ．根據(jù)結(jié)論(1)缺少一個(gè)點(diǎn)的線不存在，那么面上就不能缺少一個(gè)點(diǎn)．重復(fù)上述過程就可以得到面上不能缺少有限個(gè)點(diǎn)．② 假設(shè)面M上缺少一條單線AB，在面M上劃一條不經(jīng)過AB所占據(jù)位置的單線CD，在面M上連接位置A和點(diǎn)C，連接位置B和點(diǎn)D，得到一個(gè)邊緣AB不是線的單面ABDC（如果AC和BD相交，則將C點(diǎn)改為D點(diǎn)，將D點(diǎn)改為C點(diǎn)），即在面M上可以分離出一塊邊緣不是線的單面．根據(jù)圖形完整性公理，缺少邊緣線的單面不存在，那么面上就不能缺少一條單線．又由于任何一條線都可以分離出一段單線，所以面上就不能缺少一條線．重復(fù)上述過程就可以得到面上不能缺少有限條線．
(3)① 假設(shè)體W 在位置P處缺少一個(gè)點(diǎn)，在體W 位置P的附近一定能找到一點(diǎn)Q，由于體W 是連通的，那么在體W 上一定能從位置P到點(diǎn)Q引一條線l ，即在體W 上可以拷貝出一條缺少一點(diǎn)的線l ．根據(jù)結(jié)論(1)缺少一個(gè)點(diǎn)的線不存在，那么體就不能缺少一個(gè)點(diǎn)．重復(fù)上述過程就可以得到體不能缺少有限個(gè)點(diǎn)．②假設(shè)體W 缺少一條單線AB，在體W 上劃一條不經(jīng)過AB所占據(jù)位置的單線CD，在體W 內(nèi)連接位置A和點(diǎn)C，連位置B和點(diǎn)D，得到一個(gè)邊緣AB不是線的單面ABDC（如果AC和BD相交，則將C點(diǎn)改為D點(diǎn)，將D點(diǎn)改為C點(diǎn)），即在體W 內(nèi)可以拷貝出一塊邊緣不是線的單面．根據(jù)圖形完整性公理，缺少邊緣線的單面不存在，那么體就不能缺少一條單線．又由于任何一條線都可以分離出一段單線，那么體就不能缺少一條線．重復(fù)上述過程就可以得到體不能缺少有限條線．③假設(shè)體W 缺少一塊單面N ，那么讓單面N 所占據(jù)的位置上的虛點(diǎn)【定義2.2.16】，不沿面N 在體W 內(nèi)運(yùn)動(dòng)到N1處．現(xiàn)在讓單面N1沿上述路線逆向運(yùn)動(dòng)至位置N ，N1的軌跡就是一個(gè)部分邊緣不是面的實(shí)心體，即在體W 內(nèi)可以分離出一個(gè)邊緣不是面的實(shí)心體．根據(jù)圖形完整性公理，缺少邊緣面的實(shí)心體不存在，那么體就不能缺少一塊單面．又由于任何一個(gè)面都可以分離出一塊單面，那么體就不能缺少一塊面．重復(fù)上述過程就可以得到體不能缺少有限塊面． □
定理 2.4.2 對(duì)于連續(xù)的有限圖形F 和連續(xù)的有限圖形W ．
(1) 如果有公共點(diǎn)P，那么以點(diǎn)P為球心所作的球中一定既包含圖形F 的點(diǎn)又包含圖形W 的點(diǎn)．進(jìn)而圖形F 任何一個(gè)鄰域中都含圖形W 的點(diǎn)．
(2) 如果圖形F 的任何一個(gè)鄰域內(nèi)都包含圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 和圖形W 一定有公共點(diǎn)（一定相交）．如果圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）的任何一個(gè)鄰域內(nèi)都包含圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）和圖形W 一定有公共點(diǎn)．
(3) 如果一個(gè)圖形F 的一個(gè)鄰域中沒有圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 和圖形W 沒有公共點(diǎn)（不相交）．如果圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）的一個(gè)鄰域內(nèi)都沒有圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）和圖形W 一定沒有公共點(diǎn)．
(4) 如果圖形F 和圖形W 沒有公共點(diǎn)（不相交），那么圖形F一定有無限多個(gè)不含圖形W 點(diǎn)的鄰域．
證明：
(1) 假設(shè)圖形F 和圖形W 有交點(diǎn)，那么圖形F 和圖形W 就連在了一起，按照我們的定義它們構(gòu)成了一個(gè)圖形（可能是拼合圖形【定義2.2.46(5)】），為了討論方便我們要嚴(yán)格地區(qū)分圖形上的哪些點(diǎn)屬于圖形F ，哪些點(diǎn)屬于圖形W ，并確定兩圖形的一個(gè)公共點(diǎn)P．① 認(rèn)定點(diǎn)P屬于圖形W ，在圖形F 上任選一點(diǎn)A1，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A1作一個(gè)球Q ，由于點(diǎn)P是圖形F 及圖形W 的公共點(diǎn)，那么閉球域[Q]中就既有圖形F 的點(diǎn)也有圖形W 的點(diǎn)．進(jìn)而有 圖形W 的任何一個(gè)鄰域【定義2.2.29】中一定有屬于圖形F 的點(diǎn)（閉球域[Q1]內(nèi)有屬于圖形F 的點(diǎn)）．② 認(rèn)定點(diǎn)P屬于圖形F ，點(diǎn)A1在圖形W 上，我們也可以得出圖形F 的每個(gè)鄰域內(nèi)一定有屬于圖形W 的點(diǎn)．
(2) 設(shè)有限圖形F 的一個(gè)鄰域F[Q1]內(nèi)有圖形W 的一個(gè)點(diǎn)A1，那么一定能找到一個(gè)其內(nèi)部既包含點(diǎn)A1，也包含屬于圖形F 的一點(diǎn)B1的球Q1*．對(duì)于F 的一個(gè)鄰域F[Q2]（Q 2＜Q1）至少有圖形W 的一個(gè)點(diǎn)A2在鄰域F[Q2]內(nèi)，那么一定能找到一個(gè)其內(nèi)部既包含點(diǎn)A2，也包含圖形F 的一點(diǎn)B2的球Q2*．這樣不休止地進(jìn)行下去，就得到一個(gè)球列，
Q1*，Q 2*，…，Qn*，……（Q n+1*＜Qn*，且n→∞時(shí)，Qn*→0）．
并且當(dāng)n為確切自然數(shù)時(shí)，每一個(gè)球Qn*中都至少有一個(gè)屬于圖形F 的點(diǎn)和一個(gè)屬于圖形W 的點(diǎn)．由于圖形F 是有限的，那么所有的球Qn*都在有限區(qū)域內(nèi)．根據(jù)空間公理和置點(diǎn)公理，當(dāng)n→∞時(shí)，球Qn*內(nèi)至少有一個(gè)具有的位置信息的實(shí)點(diǎn)Q．假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，球Qn*中并不只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)Q，那么，至少還有異于點(diǎn)Q的一點(diǎn)P，即有P、Q兩點(diǎn)的距離大于0（以P點(diǎn)為球心，過Q點(diǎn)的球大于0），這顯然和當(dāng)n→∞時(shí)，球Qn*→0相矛盾，該矛盾表明，當(dāng)n→∞時(shí)，球Qn*內(nèi)并不只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)Q的假設(shè)不真，故一定有唯一的一個(gè)既屬于圖形F 又屬于圖形W 的實(shí)點(diǎn)Q屬于球Qn*．即有限圖形F 和連續(xù)圖形W 一定有交點(diǎn)．同理可證，圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）的任何一個(gè)鄰域內(nèi)都包含圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）和圖形W 一定有公共點(diǎn)．
(3) 假設(shè)圖形F 和圖形W 有公共點(diǎn)（相交），那么圖形F 的任何一個(gè)鄰域都有屬于圖形W 的點(diǎn)【本定理(1)】，現(xiàn)在圖形F 有一個(gè)鄰域沒有屬于圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 和圖形W 沒有公共點(diǎn)（不相交），同理圖形W 的一個(gè)鄰域沒有屬于圖形F 的點(diǎn)，圖形F 和圖形W 也沒有公共點(diǎn)（不相交）．同理可證，圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）的一個(gè)鄰域內(nèi)都沒有圖形W 的點(diǎn)，那么圖形F 的外側(cè)或左側(cè)（內(nèi)側(cè)或右側(cè)）和圖形W 一定沒有公共點(diǎn)．
(4) 假設(shè)圖形F 沒有不包括圖形W 的點(diǎn)的鄰域，那么圖形F 的每一個(gè)鄰域都一定包括圖形W 的點(diǎn)，即圖形F 和圖形W 相交【本定理(1)】．現(xiàn)在圖形F 和圖形W 不相交，那么就一定有圖形F 球Q為常量的鄰域不包括圖形W 的點(diǎn)．由于Qn+1＜Qn時(shí)，F(xiàn)[Qn+1]?F[Qn]，那么當(dāng)鄰域F[Qn]內(nèi)不包含圖形W 的點(diǎn)時(shí)，鄰域F[Qn+1]內(nèi)不包含圖形W 的點(diǎn)，這樣的鄰域一定有無限多個(gè)． □
定理 2.4.3 (1) 只有簡(jiǎn)單線l 【定義 2.2.13】才能作沿線運(yùn)動(dòng)【定義 2.2.24】，如果作沿線運(yùn)動(dòng)的線l 是一條單線，那么引導(dǎo)點(diǎn)P【定義 2.2.24】為單線l 的端點(diǎn)．
(2) 線l 沿線運(yùn)動(dòng)得到的軌跡仍然是簡(jiǎn)單線．
證明 (1) 如果線l 能作沿線運(yùn)動(dòng)，那么線l 上一定沒有歧點(diǎn)，假設(shè)線l 上有一個(gè)歧點(diǎn)A，那么在歧點(diǎn)A處無論選那兩條出路作為進(jìn)出方向都至少存在一個(gè)枝杈，那么無論點(diǎn)A沿那一條路線移動(dòng)枝杈上的點(diǎn)都將運(yùn)動(dòng)至線l 之外，即線l 不能作沿線運(yùn)動(dòng)．那么能作沿線運(yùn)動(dòng)的線一定是簡(jiǎn)單線．作沿線運(yùn)動(dòng)的線l 上的點(diǎn)的軌跡出路數(shù)Y僅可以等于1或2．假設(shè)引導(dǎo)點(diǎn)P是中間點(diǎn)（Y=2），現(xiàn)在讓點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)著離開線l 那么點(diǎn)P不能沿P點(diǎn)的任何一條軌跡出路運(yùn)動(dòng)，它一定要另辟新路，P點(diǎn)離開線l 時(shí)其身后就有兩條分杈，那么運(yùn)動(dòng)中總有一個(gè)分杈上的點(diǎn)會(huì)運(yùn)動(dòng)至線l 之外，即線l 不能作沿線動(dòng)．這說明引導(dǎo)點(diǎn)P為中間點(diǎn)的假設(shè)不真，即引導(dǎo)點(diǎn)P為單線l 的端點(diǎn)．網(wǎng)絡(luò)線至少有一個(gè)歧點(diǎn)（Y≥3），因此網(wǎng)絡(luò)線不能作沿線運(yùn)動(dòng)．
(2) 由于線l 可以作沿線運(yùn)動(dòng)，那么l 是簡(jiǎn)單線【定理2.4.3】．
假如線l 沿線運(yùn)動(dòng)中沒有引導(dǎo)點(diǎn)，那么線l 上的各點(diǎn)都在原線所占據(jù)的位置運(yùn)動(dòng)，即運(yùn)動(dòng)過程各點(diǎn)不會(huì)占據(jù)新位置，其運(yùn)動(dòng)的軌跡仍然是原線l ，即是簡(jiǎn)單線．當(dāng)線l 上有一個(gè)引導(dǎo)點(diǎn)引領(lǐng)其余各點(diǎn)沿線運(yùn)動(dòng)時(shí)，線l 為單線．假設(shè)單線l 的原線為單線AB, A、B為端點(diǎn)，點(diǎn)C為線AB上一個(gè)非端點(diǎn)，點(diǎn)B為引導(dǎo)點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)時(shí)B點(diǎn)在前，A點(diǎn)在后），帶領(lǐng)線l 在線AB上沿線運(yùn)動(dòng)，
① 點(diǎn)C可以沿線移動(dòng)至位置B（此時(shí)B點(diǎn)移至原線AB之外）．
② 當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)至位置B′，點(diǎn)A移動(dòng)至位置A′時(shí)，點(diǎn)C移動(dòng)至位置C′．由于線A′B′就是線AB移動(dòng)過來的，且線AB為剛性圖形，那么線A′B′的形狀并沒改變?nèi)院途€AB相同，根據(jù)結(jié)論①點(diǎn)C′可以沿線移動(dòng)至位置B′．
③ 將線AB′（端點(diǎn)分別在位置A和位置B′的單線）當(dāng)作一條原線，讓點(diǎn)B′帶著線AB′按②的運(yùn)動(dòng)重新運(yùn)動(dòng)一次，（此時(shí)B點(diǎn)移至位置B′處，B′點(diǎn)移至線原線AB′之外B″的位置），點(diǎn)C可以沿線AB′移動(dòng)至位置B′，并且還可以沿線運(yùn)動(dòng)至位置B″，由于點(diǎn)C是任選的，且點(diǎn)A一直在點(diǎn)C后面跟隨點(diǎn)C作沿線運(yùn)動(dòng)，因此原線AB′仍然是一條可以沿線運(yùn)動(dòng)的線．
④ 假設(shè)原線AB沿線運(yùn)動(dòng)過程軌跡上的一點(diǎn)和原線或軌跡的其它點(diǎn)相交成一個(gè)歧點(diǎn)，得到一條有歧點(diǎn)的線m ，根據(jù)結(jié)論③線m仍然是可以沿線運(yùn)動(dòng)的線，根據(jù)結(jié)論(1) 線m應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單線．這和原線AB沿線運(yùn)動(dòng)軌跡有一個(gè)歧點(diǎn)的假設(shè)相矛盾．那么原假設(shè)不真，即線沿線運(yùn)動(dòng)的軌跡仍然是簡(jiǎn)單線． □
說明：能作沿線運(yùn)動(dòng)的線是很少的，沒有引導(dǎo)點(diǎn)的閉線是圓周，有引導(dǎo)點(diǎn)的單線有直線段（直線的定義后面給出）、空間正圓柱螺旋線和圓?。皟烧哐鼐€運(yùn)動(dòng)的軌跡不和原線相交，后者引導(dǎo)點(diǎn)和原弧線的另一端相交成圓周．
定理 2.4.4 (1) 球F 和球F1相等，移動(dòng)球F1球使兩球心重合，那么這兩個(gè)球重合．(2) 一個(gè)球有一個(gè)球心且僅有一個(gè)球心．
證明 (1) 移動(dòng)球F1使球F1的球心重合于球F 的球心點(diǎn)O，由于兩球相等，那么兩球至少有一個(gè)公共點(diǎn)P（合同公理1）,即點(diǎn)P既在球F 上又在球F1上，因而以點(diǎn)O為球心過點(diǎn)P所作的球就既是球F 又是球F1，因此球F 和球F1重合．
(2) 空間中到點(diǎn)K距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為球，點(diǎn)K稱為球心【定義 2.2.28】，因此球一定有一個(gè)球心．假設(shè)球F 的球心為點(diǎn)K，下面我們來證明和點(diǎn)K不重合的一點(diǎn)P不能也是球F 的球心．以點(diǎn)P為球心作和球F 相等的球F ′，使點(diǎn)P帶動(dòng)球F ′移動(dòng)（移動(dòng)時(shí)保持P點(diǎn)到球面的距離不變）直至點(diǎn)P和點(diǎn)K重合，此時(shí)球F ′和球F 重合．由于K點(diǎn)和P點(diǎn)原來不重合，運(yùn)動(dòng)了一段路程之后才重合，那么球F ′也是運(yùn)動(dòng)了同樣的路程后才與球F 重合，那么移動(dòng)前點(diǎn)P不是球F 的球心．即球F 僅有一個(gè)球心．□
定理 2.4.5 圖形W 是由球F 和球R 兩球構(gòu)成的圖形，圖形W1是由球F1和球R1兩球構(gòu)成的圖形，如果圖形W 和圖形W1的兩球分別相等，球心間的距離也相等，那么圖形W 和圖形W1可以重合，并且當(dāng)這兩圖形重合時(shí)每個(gè)圖形的兩球的公共部分也重合．
證明 設(shè)球F 的球心為點(diǎn)A，球F1的球心為A1,且球F 和球F1相等，設(shè)球R 的球心為點(diǎn)B,球R1的球心為B1,且球R 和球R1相等，如果點(diǎn)A、B之間的距離等于點(diǎn)A1、B1之間的距離．球F 和球R 構(gòu)成圖形W，球F1和球R1構(gòu)成圖形W1．移動(dòng)圖形W1，使點(diǎn)A1重合于點(diǎn)A，點(diǎn)B1重合于點(diǎn)B（圖2.4-1）．由于球F 和球F1相等，就有球F 和球F1重合【定理2.4.4】．同理，球R 和球R1重合．兩對(duì)球分別重合那么它們的公共部分（如圖中的交圓l 和l1）也重合． □
說明：該定理說明對(duì)于由球組成的圖形從它處移動(dòng)到本處（圖形W1）和在本處按定義直接繪制的圖形（圖形W）一定重合．
定理 2.4.6 (1)不相等的兩個(gè)球一定不能重合；
(2)球心不重合的兩個(gè)球，一定不能重合．
證明 (1) 假設(shè)球A 和球B重合，那么球A 和球B一定相等．現(xiàn)在球A 和球B不相等，那么這兩球不能重合．
(2)假設(shè)球A 和球B 兩個(gè)球相等，球心分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合），將球心A連同球面A 一同運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至位置B與點(diǎn)B重合．那么移動(dòng)后的球面A 和球B 重合．現(xiàn)在使球A 沿來時(shí)的路徑退回原處，那么球面A就一定有一點(diǎn)要移到球B的外部，也就是球心分別在不重合的兩點(diǎn)A、B的兩個(gè)相等的球，球A上至少有一點(diǎn)在球B之外，即這兩個(gè)球不重合．綜上所述兩個(gè)不相等的球不能重合，兩個(gè)相等的球球心不重合時(shí)也不重合，即任何兩個(gè)球心不重合的球都不能重合．□
定理 2.4.7 以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)將動(dòng)點(diǎn)P同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡是唯一的到基點(diǎn)距離相等的一條閉線——圓k．且圓k和點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)方向無關(guān)．
證明：設(shè)點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)從位置P開始同向旋轉(zhuǎn)（圖2.4-2），顯然動(dòng)點(diǎn)P在旋轉(zhuǎn)過程到點(diǎn)A（或點(diǎn)B）的距離保持不變，且途經(jīng)的每一個(gè)位置（例如P1）都有一條進(jìn)入的途徑，由于它并不停止在這個(gè)位置，也不回折和點(diǎn)P的軌跡相重合（點(diǎn)P同向旋轉(zhuǎn)，不能向回轉(zhuǎn)產(chǎn)生端點(diǎn)，也不能產(chǎn)生歧點(diǎn)），那么在此位置就一定有一個(gè)走出去的途徑，即該位置的點(diǎn)P1是Y=2的中間點(diǎn)．該點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周到達(dá)位置P時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．由于位置P是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的初始位置，那么位置P處軌跡點(diǎn)的軌跡出路數(shù)Y=2．故點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)軌跡上的每一點(diǎn)的軌跡出路數(shù)都是 2．即點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡是一條閉線．又因?yàn)辄c(diǎn)P軌跡上的各點(diǎn)均為中間點(diǎn)（Y=2），沒有一點(diǎn)是歧點(diǎn)（Y≥3），也沒有一個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)（Y=1），即軌跡上沒有分叉點(diǎn)，也不會(huì)斷成兩條線，因此P點(diǎn)以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡是唯一的到基點(diǎn)距離相等的一條閉線k，該閉線是一個(gè)圓【定義 2.2.22】．設(shè)點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)從位置P開始向前旋轉(zhuǎn)（先到P1點(diǎn)，再到P2點(diǎn)）一周（圖2.4-2），它途經(jīng)一個(gè)位置P1，那么A、P兩點(diǎn)的距離等于A、P1兩點(diǎn)的距離，B、P兩點(diǎn)的距離等于B、P1兩點(diǎn)的距離．當(dāng)P點(diǎn)向后旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，也有A、P兩點(diǎn)的距離等于A、P1兩點(diǎn)的距離，B、P兩點(diǎn)的距離等于B、P1兩點(diǎn)的距離．那么點(diǎn)P1也在P點(diǎn)向后旋轉(zhuǎn)的軌跡上．由于點(diǎn)P1是在軌跡上任選的，就有點(diǎn)P以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)向前旋轉(zhuǎn)一周的軌跡和向后旋轉(zhuǎn)一周的軌跡是同一條閉線k． □
定理 2.4.8 球A和球B不重合，且它們的公共點(diǎn)多于一個(gè)點(diǎn)K（圖2.4-3），那么，
(1) K點(diǎn)是以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)點(diǎn)．
(2) 點(diǎn)K以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡圓k是這兩個(gè)球的交線，且除圓k之外兩個(gè)球再無公共點(diǎn)，即交圓k是唯一的．
(3) 圓k 上的弧可以沿圓k 作沿線移動(dòng)．
證明：(1) 依題意，球心A和球心B不重合．點(diǎn)K為球A 和球B 的一個(gè)交點(diǎn)．由于兩球不止有一個(gè)交點(diǎn)，任選其另外的一個(gè)交點(diǎn)J．因?yàn)镵點(diǎn)和J點(diǎn)都在球A上，有A、K兩點(diǎn)之間的距離等于A、J兩點(diǎn)間的距離．又因K點(diǎn)和J點(diǎn)都在球B上，有B、K兩點(diǎn)之間的距離等于B、J兩點(diǎn)間的距離，那么K點(diǎn)以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的軌跡一定經(jīng)過J點(diǎn)，故點(diǎn)K為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)點(diǎn)（圖2.4-3）．
(2)因?yàn)辄c(diǎn)K是球A 和球B 的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)K以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周得到閉合曲線是圓周k【定理 2.4.7】，那么圓周k 上的任意一點(diǎn)F到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)K到點(diǎn)A的距離，且點(diǎn)F在球面A 上．同理點(diǎn)F在球面B 上．即點(diǎn)F位于兩球公共部分．由于點(diǎn)F是在圓周k上任選的，那么圓k 上的任意一點(diǎn)都位于兩球公共部分．即點(diǎn)K以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡圓k是這兩個(gè)球的公共部分．該公共部分稱為兩球的交線．假設(shè)空間中有一點(diǎn)E 不是球A 和球B 的交點(diǎn)，即不在圓k上，那么它要么不在球A 上，要么不在球B 上，即球A 和球B 的交線圓k 是唯一的．
(3) 由于弧JF是圓k 的一截段，弧JF上的各點(diǎn)都在圓k 上，故當(dāng)弧JF以A、B兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)弧JF各點(diǎn)都在圓k上運(yùn)動(dòng)，即圓k 上的弧可以在圓k 上沿線運(yùn)動(dòng) □
說明：該定理(3)表明圓周或它的截段(圓弧)可以沿線運(yùn)動(dòng)．
定理 2.4.9
(1) 如果以圓l上的一點(diǎn)P為球心所作的球F0和圓l 僅有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)Q，那么P、Q兩點(diǎn)是圓l 的對(duì)徑點(diǎn)【定義2.2.26】．
(2) 如果P、Q兩點(diǎn)是圓l 的對(duì)徑點(diǎn),那么以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)Q作球F0與圓l 僅有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)Q．
(3)以圓l 的劣弧AQB的端點(diǎn)B為球心，過端點(diǎn)A作球FB，那么劣弧AQB在閉球域FB之內(nèi)（[FB]◎{弧AQB}）．
證明 (1) 以點(diǎn)P為球心作球F1與圓l交于A、B兩點(diǎn)（圖2.4-4），則點(diǎn)P、A和點(diǎn)P、B之間距離相等，因?yàn)樽髠?cè)弧PA和右側(cè)弧PB均不為優(yōu)弧，故左側(cè)弧PA和右側(cè)弧PB相等【定義2.2.25】．如果以點(diǎn)P為球心的球F0僅與圓l有一個(gè)公共點(diǎn)，那么左側(cè)弧PAQ和右側(cè)弧PBQ相等．故左側(cè)弧PAQ和右側(cè)弧PBQ均為半圓，即P、Q兩點(diǎn)為圓l 的對(duì)徑點(diǎn)．
(2)假設(shè)以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)Q的球F0和圓l 還有另一個(gè)不是P的對(duì)徑點(diǎn)的交點(diǎn)Q′，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)Q′作球Q,那么弧PBQ和球Q 一點(diǎn)還有一個(gè)交點(diǎn)Q″，那么弧PAQ′ = 弧PBQ″，就有
弧PAQ′＜弧PBQ′，PAQ″＞弧PBQ″，即球不經(jīng)過點(diǎn)Q．球心相同的球F0和球Q 都過點(diǎn)Q′應(yīng)當(dāng)重合，不都過點(diǎn)Q不能重合，這顯然是矛盾的，那么以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)Q的球與圓l 僅有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)Q．
(3) 由于點(diǎn)B在圓l 上，弧AQB是劣弧，那么以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)A的球FB 一定和圓l 有另一個(gè)交點(diǎn)C，則有弧AQB等于弧BPC．那么，整條弧AQB和整條弧BPC都在球FB 的閉球域之內(nèi)，即劣弧線AQB在球FB 的閉球域之內(nèi)． □
說明：該定理是說，如果以點(diǎn)P為球心和圓l僅有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）的球存在的話，那么該公共點(diǎn)Q是點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)，并且如果點(diǎn)Q是點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)的話，那么以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)Q的球和圓l 僅有一個(gè)公共點(diǎn)（切點(diǎn)）．但該定理并不說明圓l 上的點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)一定存在，也沒有說明以點(diǎn)P為球心和圓l僅有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）的球一定存在，這兩點(diǎn)一定存在的證明將由定理2.4.11給出．
定理 2.4.10 無限趨0圖形列{?Sn↘0}
【定義 2.2.57】，和收縮趨0圖形列{→Sn↘0}
【定義 2.2.60】，都一定有唯一的一個(gè)具備各Sn都具有的位置信息的實(shí)點(diǎn)Q，屬于所有一切圖形Sn．
證明 根據(jù)圖形完整性公理1，當(dāng)n→∞時(shí)，圖形Sn上至少有一個(gè)具有的位置信息的實(shí)點(diǎn)Q．假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，圖形Sn上并不只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)Q，那么，至少還有異于點(diǎn)Q的一點(diǎn)P，即當(dāng)n→∞時(shí)，圖形Sn→0時(shí)，Q、P兩點(diǎn)同時(shí)位于圖形Sn上，這顯然和當(dāng)n→∞時(shí)，圖形Sn→0相矛盾，該矛盾表明，當(dāng)n→∞時(shí)，圖形Sn上并不只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)Q的假設(shè)不真，故一定有唯一的一個(gè)具備各Sn都具有的位置信息的實(shí)點(diǎn)Q，屬于所有一切圖形Sn． □
定理 2.4.11
(1) 圓l上的一點(diǎn)P 一定有唯一的一個(gè)對(duì)徑點(diǎn)Q．
(2) 以圓周l 上一點(diǎn)P為球心過其對(duì)徑點(diǎn)Q的球一定和圓l 相切于Q點(diǎn)．
證明 (1) ① 以點(diǎn)P為球心作球F1，交圓l 于A1、B1兩點(diǎn)，并使弧A1QB1為劣?。▓D2.4-5），以點(diǎn)B1為球心過點(diǎn)A1作球W1，那么球W1覆蓋劣弧A1QB1【定理 2.4.9】．
② 在劣弧A1QB1上取一點(diǎn)A2，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A2作球F2，若球F2和圓l 僅有一個(gè)交點(diǎn)，即弧PA1A2等于弧PB1A2【定理2.4.9(1)】，則點(diǎn)A2為點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)（點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)找到，僅需再證它是唯一的）．如果球F2和圓l 有A2、B2兩個(gè)公共點(diǎn)，則以點(diǎn)B2為球心過點(diǎn)A2作球W2，那么球W2覆蓋劣弧A2QB2．
③ 仿照②在劣弧A2B2上取一點(diǎn)A3，如果點(diǎn)A3是點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)，僅需證明它的唯一性．如果點(diǎn)A3不是點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)，可得球W3．……，這樣進(jìn)行下去，要么得到點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)，要么得到劣弧列
(A1B1，(A2B2，…，(AnBn，…… [(An+1Bn+1?(AnBn] (1*)．
有球列W3，W3，W3，…，W3，……（Wn+1＜Wn） (2*)．
根據(jù)球列(2*)作法可知，[Wn+1]◎{(An+1Bn+1}，[Wn+1]◎{(AnBn}（閉球域[Wn+1]可以覆蓋劣弧An+1Bn+1，不能覆蓋劣弧AnBn）．且不論事先給定的球Qε多么小，都能找到一個(gè)自然數(shù)N當(dāng)n＞N時(shí)，球Qε＞球Wn，即移動(dòng)球Qε能覆蓋任何一個(gè)弧AnBn，即圖形列(1*)是一個(gè)無限趨0圖形列【定義2.2.57】如果點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)Q存在的話任何一段弧AnBn中都將包含Q點(diǎn)，故當(dāng)n→∞時(shí)，弧AnBn趨向于點(diǎn)Q【定理2.4.10】，由于圓l 中間沒有空隙【定理2.4.1】，點(diǎn)Q就是圓l 上的實(shí)點(diǎn)，即圓l 上一定有點(diǎn)P的一個(gè)對(duì)徑點(diǎn)Q．
④ 如果Q是由弧列(1*)確定的，那么根據(jù)定理2.4.10對(duì)徑點(diǎn)Q是唯一的．如果Q是第m步選得的，那么對(duì)徑點(diǎn)Q是唯一的【定理 2.4.9】．因此P點(diǎn)的對(duì)徑點(diǎn)Q是唯一的，即是以P點(diǎn)為球心和圓l 相切球的切點(diǎn)．
(2) 本定理(1)證明了圓周l 上一點(diǎn)P的對(duì)徑點(diǎn)Q一定存在，那么根據(jù)根據(jù)定理2.4.9(2)以點(diǎn)P為球心過其對(duì)徑點(diǎn)Q的球F0和圓l 僅有唯一的一個(gè)交點(diǎn)Q，即球F0和圓l 相切于Q點(diǎn)． □
說明：該定理說明，對(duì)于給定圓l 上的一點(diǎn)P一定有唯一的一個(gè)對(duì)徑點(diǎn)Q，該對(duì)徑點(diǎn)Q我們可以通過以P點(diǎn)為球心和圓l 相切球的切點(diǎn)得到，且可以作出．我們可以利用可以獲得切點(diǎn)來證明有關(guān)的定理．等到我們定義了“直線段”和圓“直徑”之后，我們能很方便地，準(zhǔn)確地找出該對(duì)徑點(diǎn)．
定理 2.4.12 已知球F 的球心為O，空間有一點(diǎn)A．
(1) 如果點(diǎn)A不和球心O重合，那么以點(diǎn)A為球心包含球F 且和球F 內(nèi)切的球FK是球心為A與球F 有交點(diǎn)的最大球．
(2) 如果點(diǎn)A不在球F 上，那么以點(diǎn)A為球心不包含球F 且和球F 相切的球FQ是球心為A與球F 有交點(diǎn)的最小球．且當(dāng)點(diǎn)A在球F 內(nèi)時(shí)，球FQ和球F 內(nèi)切，當(dāng)點(diǎn)A在球F 外時(shí)，球FQ和球F 外切．
證明 (1) 以點(diǎn)A為球心作球F1與球F相交于圓l1．假設(shè)球
F1就是以點(diǎn)A為球心和球F有交點(diǎn)球中的最大者（大球）．由于球F1與球F相交于圓l1，那么球冠l 1(K)上除邊緣l1外的所有點(diǎn)都在球F1的外部．在球F1之外的球F上取一點(diǎn)C（圖2.4-6），以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)C作球F2，那么球F2 ＞球F1，這說明假設(shè)球F1是和球F有交點(diǎn)球中的最大者不真，即任何以點(diǎn)A為球心和球F相交于一個(gè)圓的球都不是以點(diǎn)A為球心和球F有交點(diǎn)球中的最大者（不是大球）．即如果最大球和球F不重合，最大球和球F的交點(diǎn)就不能多于一個(gè)（多于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)兩球相交于一個(gè)圓）【定理2.4.8】．由于點(diǎn)A不和點(diǎn)O重合，那么最大球和球F不能重合【定理 2.4.6】，所以以點(diǎn)A為球心和球F有交點(diǎn)球中的最大的一個(gè)球就一定和球F僅有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）．即最大球FK和球F相切于K點(diǎn)，并把球F包含于其中．
(2) 假設(shè)球F1就是以點(diǎn)A為球心和球F有交點(diǎn)球中的最小者（小球）．由于球F1與球F相交于圓l1，那么，球冠l 1(Q)上除邊緣l1外的所有點(diǎn)都在球F1的內(nèi)部．在球F1之內(nèi)的球F上取一點(diǎn)D（圖2.4-6），以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)D作球F3，那么球F3 ＜球F1，這說明假設(shè)球F1是和球F有交點(diǎn)球中的最小者不真，即任何以點(diǎn)A為球心和球F相交于一個(gè)圓的球都不是以點(diǎn)A為球心和球F有交點(diǎn)球中的最小者（不是小球）．即最小球和球F的交點(diǎn)不能多于一個(gè)（多于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)兩球相交于一個(gè)圓【定理2.4.8】）．由于點(diǎn)A不在球F上，那么最小的一個(gè)球就一定和球F僅有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）．即最小球FQ和球F相切于Q點(diǎn),且當(dāng)點(diǎn)A在球F 內(nèi)時(shí)，球FQ和球F 內(nèi)切，當(dāng)點(diǎn)A在球F 外時(shí)，球FQ和球F 外切． □
說明：該定理是說，如果以點(diǎn)A為球心的球和球心為O的球F有公共點(diǎn)的球中，有最大的一個(gè)（當(dāng)點(diǎn)A不和點(diǎn)O重合時(shí)），那么就有以點(diǎn)A為球心的球FK和球F 相切于K點(diǎn)，并將球F 包含在球FK內(nèi)．如果以點(diǎn)A為球心的球和球心為O的球F 有公共點(diǎn)的球中，有最小的一個(gè)（當(dāng)點(diǎn)A不在球F上時(shí)），那么就有以點(diǎn)A為球心的球FQ和球F 相切于Q，但并不將球F包含在球FQ內(nèi)．但該定理并不說明這個(gè)最大球和最小球存在，即也沒有證明以A點(diǎn)為球心和球F 相切的球一定存在，這兩點(diǎn)一定存在的證明將由定理2.4.14和定理 2.4.15給出．
定理 2.4.13 球F 上的一個(gè)圓l 分割出劣球冠l (Q)，以圓l 上的一點(diǎn)A為球心過點(diǎn)A圓l 的對(duì)徑點(diǎn)B作球W，那么劣球冠l (Q)在閉球域[W]內(nèi)（[W]◎{l (Q)}）．
證明 設(shè)球F 的球心為點(diǎn)O．由于點(diǎn)A在球F 上，又因?yàn)榍蚬趌 (Q)為劣球冠，以點(diǎn)A為球心過A點(diǎn)圓l 上的對(duì)徑點(diǎn)B的球?yàn)榍騑（圖2.4-7），那么點(diǎn)B是以球心A和球心O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)點(diǎn)，即球F 和球W相交于過B點(diǎn)的圓k，則球F 的球冠k (A)在閉球域[W]內(nèi)．對(duì)于球F 有 k(A)?l (Q)，那么球冠l (Q)在閉球域[W]內(nèi)，即[W]◎{l (Q)}．□
定理 2.4.14 已知球心為O的球F 和不和點(diǎn)O重合的一點(diǎn)P，那么以P點(diǎn)為球心和球F 有公共點(diǎn)的球中一定有唯一一個(gè)最大的球，即有唯一一個(gè)以P點(diǎn)為球心和球F 相切的大球．
證明 由于點(diǎn)P不和球F 的球心O重合，那么以下的論述成立：
(1) 以點(diǎn)P為球心作球F1，交球F 于圓l 1，并使球冠l 1(Q)為劣球冠（圖2.4-8），在圓l 1上任取一點(diǎn)A1那么在圓l 1上一定能找到點(diǎn)A1的對(duì)徑點(diǎn)B1【定理2.4.11】，以點(diǎn)A1為球心過點(diǎn)B1作球W1，那么球W1覆蓋劣球冠l 1(Q)【定理2.4.13】．
(2) 在劣球冠l 1(Q)上取一點(diǎn)A2，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A2作球F2，① 如果球F2和球F 僅有一個(gè)公共點(diǎn)A2（球F2和球F 相切于點(diǎn)A2，且包含球F ），那么球F2就是以點(diǎn)P為球心和球F 有交點(diǎn)的球中最大的一個(gè)【定理 2.4.12】（最大的球F2找到，僅需再證它是唯一的）．② 如果球F2和球F 相交于圓l 2，在圓l 2上一定能找到點(diǎn)A2的對(duì)徑點(diǎn)B2，以點(diǎn)A2為球心過點(diǎn)B2作球W2，那么球W2覆蓋劣球冠l 2(Q)．
(3)仿照(2)在劣球冠l2(Q)上取一點(diǎn)A3，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A3作球F3，如果球F3和球F 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么球F3為所求的最大球，僅需再證明它的唯一性．如果球F3不是所求的最大球，可得球W3，并有球W3覆蓋球冠l 3(Q)．…… 如此下去，要么得到所求的最大球，要么得到球冠列
l 1(Q)，l 2(Q)，…，l n(Q)，…… （l n+1(Q)?l n(Q)） (1*)．
有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)．
且不論事先給定的球Qε多么小，都能找到一個(gè)自然數(shù)N當(dāng)n＞N時(shí)，球Qε＞W(wǎng)n，即能覆蓋任何一個(gè)球冠l n(Q)，那么就有當(dāng)n→∞時(shí)，l n(Q)可以被→0的閉球域所覆蓋．即圖形列(1*)是一個(gè)無限趨0圖形列【定義 2.2.57】．因此，當(dāng)n→∞時(shí)，有唯一的一點(diǎn)Q屬于球冠列中的一切球冠l n(Q)【定理2.4.10】，那么以P點(diǎn)為球心過Q點(diǎn)的球FQ就是所求的最大球．由于球面中間沒有空隙，點(diǎn)Q就是球F 上的實(shí)點(diǎn)【定理2.4.1】，即當(dāng)點(diǎn)P不和球F 的球心O重合時(shí)，以點(diǎn)P為球心和球F 有交點(diǎn)的球中一定有最大的一個(gè)FQ．即以不和已知球球心重合的點(diǎn)為球心有一個(gè)球和已知球相切于Q點(diǎn)，并將已知球包括在其內(nèi)部（稱為已知球的含球內(nèi)切球）．
(4) 如果Q是由球冠列(1*)確定的，那么根據(jù)定理2.4.10點(diǎn)Q是唯一的．如果Q是第m步選得的，那么根據(jù)定理2.4.12點(diǎn)Q是唯一的．即是以P點(diǎn)為球心和球F 有交點(diǎn)的球中一定有唯一一個(gè)最大的球，該球就是球F 的含球內(nèi)切球． □
說明：該定理說明，以不和已知球F 的球心重合的一點(diǎn)P為球心有唯一的一個(gè)包含球F 并和球F 相切于Q點(diǎn)的球FQ．即我們可以依據(jù)球FQ能作出，切點(diǎn)Q能獲得，來證明有關(guān)定理．等我們定義了“直線段”和球“直徑”之后，我們能很方便地求出Q點(diǎn)．
定理 2.4.15 已知球心為O的球F 和不在球F 上的一點(diǎn)P，那么以P點(diǎn)為球心和球F 有公共點(diǎn)的球中一定有唯一一個(gè)最小的球，即有唯一一個(gè)以P點(diǎn)為球心和球F 相切的小球．
證明 由于點(diǎn)P不在球F 上，那么以下的論述成立：
(1) 以點(diǎn)P為球心作球F1，交球F 于圓l 1，并使球冠l 1(Q)為劣球冠（圖2.4-9），在圓l 1上任取一點(diǎn)A1那么在圓l 1上一定能找到點(diǎn)A1的對(duì)徑點(diǎn)B1【定理2.4.11】，以點(diǎn)A1為球心過點(diǎn)B1作球W1，球W1覆蓋球冠l 1(Q)【定理2.4.13】．
(2) 在劣球冠l 1(Q)上取一點(diǎn)A2，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A2作球F2，① 如果球F2和球F 僅有一個(gè)公共點(diǎn)A2（球F2和球F 相切于點(diǎn)A2，且不包含球F ），那么球F2就是以點(diǎn)P為球心和球F 有交點(diǎn)的球中最小的一個(gè)【定理2.4.12】（最小的球F2找到，僅需再證它是唯一的）．② 如果球F2和球F 相交于圓l 2，在圓l 2上一定能找到點(diǎn)A2的對(duì)徑點(diǎn)B2，以點(diǎn)A2為球心過點(diǎn)B2作球W2，球W2覆蓋球冠l 2(Q)．
(3)仿照(2)在劣球冠l2(Q)上取一點(diǎn)A3，以點(diǎn)P為球心過點(diǎn)A3作球F3，如果球F3和球F 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么球F3為所求的最小球，僅需再證明它的唯一性．如果球F3不是所求的最小球，可得球W3，并有球W3覆蓋球冠l 3(Q)．…… 如此下去，要么得到所求的最小球，要么得到球冠列
l 1(Q)，l 2(Q)，…，l n(Q)，…… （l n+1(Q)?l n(Q)） (1*)．
有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)．
且不論事先給定的球Qε多么小，都能找到一個(gè)自然數(shù)N當(dāng)n＞N時(shí)，球Qε＞W(wǎng)n，即能覆蓋任何一個(gè)球冠l n(Q)，那么就有當(dāng)n→∞時(shí)，l n(Q)可以被→0的閉球域所覆蓋．即圖形列(1*)就是無限趨0圖形列【定義 2.2.57】．因此，當(dāng)n→∞時(shí)，有唯一的一點(diǎn)Q屬于球冠列中的一切球冠l n(Q)【定理2.4.10】，那么以P點(diǎn)為球心過Q點(diǎn)的球FQ就是所求的最小球．由于球面中間沒有空隙，點(diǎn)Q就是球F 上的實(shí)點(diǎn)【定理2.4.1】，即當(dāng)點(diǎn)P不在球F 上時(shí)，以點(diǎn)P為球心和球F 有交點(diǎn)的球中一定有最小的一個(gè)FQ．即以不在已知球上的一點(diǎn)為球心有一個(gè)球和已知球相切于Q點(diǎn)，且不能將已知球包括在其內(nèi)部（稱為已知球的不含球相切球）．
(4) 如果Q是由球冠列(1*)確定的，那么根據(jù)定理2.4.10點(diǎn)Q是唯一的．如果Q是第m步選得的，那么根據(jù)定理2.4.12點(diǎn)Q是唯一的．即以不在球F 上的P點(diǎn)為球心和球F 有交點(diǎn)的球中一定有唯一一個(gè)最小的球，該球就是球F 的不含球的相切球．當(dāng)點(diǎn)P在球F 內(nèi)部時(shí)兩球相內(nèi)切，當(dāng)點(diǎn)P在球F 外部時(shí)兩球相外切．□
說明：請(qǐng)參閱定理 2.4.14后面所列的說明．
定理 2.4.16 空間有不重合的P1、P2兩點(diǎn)，存在兩個(gè)分別以點(diǎn)P1和點(diǎn)P2為球心的相等球相互外切，并且這對(duì)球和它們的切點(diǎn)（稱為等球中切點(diǎn)）都是唯一的．
證明 (1) ①以點(diǎn)P1為球心作球F1，使點(diǎn)P2為位于球F1的外部，以點(diǎn)P2為球心作和球F1相等的球F1′，設(shè)球F1和球F1′相交于圓l1（圖2.4-10）．顯然圓l1把球F1和球F1′都分成兩個(gè)球冠，并且位于另一個(gè)球內(nèi)部的球冠都是劣球冠，我們稱這兩個(gè)劣球冠形成的球形腔為鐵餅狀閉區(qū)域[餅l1]，簡(jiǎn)記為[l1]．在圓l 1上任取一點(diǎn)A1，那么在圓l 1上一定能找到點(diǎn)A1的對(duì)徑點(diǎn)B1【定理2.4.11】，以點(diǎn)A1為球心過點(diǎn)B1作球W1，那么球W1覆蓋以l1為邊緣的每一個(gè)劣球冠【定理 2.4.13】，因此也覆蓋[l1]．
(2) 以點(diǎn)P1為球心，過[l1]內(nèi)任意一點(diǎn)作球F2，以點(diǎn)P2為球心作和球F2相等的球F2′．那么有以下三種可能：
ⅰ 球F2和球F2′沒有交點(diǎn)．遇到此種情況重新作更大一點(diǎn)的球F2和球F2′，使它們?cè)赱l1]內(nèi)有公共點(diǎn)．
ⅱ 球F2和球F2′僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，即球F2和球F2′相切于Q點(diǎn)，這時(shí)我們找到了以點(diǎn)P1為球心和以點(diǎn)P2為球心的兩個(gè)相等、相切的球及其切點(diǎn)Q，剩下就僅需要證明這兩個(gè)球和它們切點(diǎn)的唯一性了．
ⅲ 球F2和球F2′相交于圓l2，這時(shí)我們得到鐵餅狀閉球域[l2]，那么[l1]＞[l2]．在圓l 2上任取一點(diǎn)A2，那么，在圓l 2上一定能找到點(diǎn)A2的對(duì)徑點(diǎn)B2【定理2.4.11】，以點(diǎn)A2為球心過點(diǎn)B2作球W2，那么球W2覆蓋[餅l2]不覆蓋[餅l1]，且有W2＜W1．
(3)按(2)的規(guī)則繼續(xù)做，要么得到以點(diǎn)點(diǎn)P1為球心和以點(diǎn)P2為球心的相等、相切的球和切點(diǎn)Q，要么得到餅狀閉區(qū)域[l3]和覆蓋[l3]的球W3．……，如此下去，要么得到所求的相等相切球和切點(diǎn)，要么得到閉鐵餅域列和覆蓋球列，
[l1]，[l2]，[l3]，…，[ln]，……（[ln+1]＜[ln]） (1*)．
并有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)．
且不論事先給定的球Qε多么小，都能找到一個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，球Qε＞W(wǎng)n恒成立，那么Wn縮小著趨向于0（Wn↘0）．由于Wn覆蓋[ln]，即圖形列(1*)為收縮趨0圖形列【定義 2.2.60】．因此，當(dāng)n→∞時(shí)，有唯一的一點(diǎn)Q屬于閉鐵餅域列中的一切閉鐵餅域【定理2.4.10】，即以P1點(diǎn)為球心過Q點(diǎn)的球F 和以P2點(diǎn)為球心過Q點(diǎn)的球F ′相切于Q點(diǎn)．由于球面中間沒有空隙，點(diǎn)Q就是球F 和球F ′上的實(shí)點(diǎn)【定理2.4.1】，即對(duì)于不重合的兩點(diǎn)P1和P2，一定有以P1點(diǎn)為球心和以P2點(diǎn)為球心的兩個(gè)相等并相切于Q點(diǎn)球．
(4) 如果Q是由球冠列(1*)確定的，那么根據(jù)定理 2.4.10點(diǎn)Q是唯一的，且以點(diǎn)P1或P2為球心過Q點(diǎn)的球也都是唯一的．如果Q是第m步選得的，那么根據(jù)定理2.4.12點(diǎn)Q是唯一的，那么以點(diǎn)P1或P2為球心過Q點(diǎn)的球也都是唯一的．□
說明：請(qǐng)參考定理 2.4.14后面所列的說明．
定理 2.4.17 如果點(diǎn)A1和點(diǎn)A2不重合，且以點(diǎn)A1為球心的1#球和以點(diǎn)A2為球心的2#球的公共點(diǎn)K是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)．那么，這兩個(gè)球僅有一個(gè)公共點(diǎn)K，即兩球相切于K點(diǎn)．
證明 由于點(diǎn)A1和點(diǎn)A2不重合，因此1#球和2#球不重合【定理 2.4.6】，又由于點(diǎn)K是不重合的1#球和2#球的公共點(diǎn)，如果兩球的交點(diǎn)多于一個(gè)點(diǎn)，那么點(diǎn)K為以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)點(diǎn)【定理 2.4.8】，現(xiàn)在點(diǎn)K是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，那么1#球和2#球的公共點(diǎn)就不能多于一個(gè)．即這兩個(gè)球僅有一個(gè)公共點(diǎn)K（相切于K點(diǎn)）．兩球的關(guān)系僅有一個(gè)球面除公共點(diǎn)K之外的點(diǎn)都在另一個(gè)球的內(nèi)部（相內(nèi)切，圖2.4-11）或每一個(gè)球面除公共點(diǎn)K之外的點(diǎn)都在另一個(gè)球的外部（相外切，圖2.4-12）這兩種情況． □
定理 2.4.18 如果點(diǎn)A1和點(diǎn)A2 不重合，且以點(diǎn)A1為球心的1#球和以點(diǎn)A2為球心的2#球相切于K點(diǎn)（僅有一個(gè)公共點(diǎn)K），那么點(diǎn)K是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)，不能成為1#球和2#球切點(diǎn)的點(diǎn)就是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)點(diǎn)．
證明 點(diǎn)K是以點(diǎn)A1為球心的1#球和以點(diǎn)A2為球心的2#球的切點(diǎn)（1#球和2#球僅有一個(gè)交點(diǎn)K），那么點(diǎn)K既在1#球上又在2#球上．假設(shè)點(diǎn)K是以點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)點(diǎn)，那么在點(diǎn)K以點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，K點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓【定理2.4.7】．現(xiàn)在1#球和2#球的交點(diǎn)僅是一個(gè)點(diǎn)，而不是一個(gè)圓，那么點(diǎn)K就不是以點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)K是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)．對(duì)于空間中的一個(gè)不能成為以點(diǎn)A1為球心的1#球和以點(diǎn)A2為球心的2#球切點(diǎn)的點(diǎn)P，假設(shè)點(diǎn)P為是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)，那么P點(diǎn)就一定是某一對(duì)1#球和2#球的切點(diǎn)【定理 2.4.17】，這顯然是矛盾的，故不能成為1#球和2#球切點(diǎn)的點(diǎn)就是以A1、A2兩點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)點(diǎn)． □
定理 2.4.19 以不重合兩點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)對(duì)圖形作旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形僅和基點(diǎn)A1、A2的位置有關(guān)，和選定的旋轉(zhuǎn)圖形無關(guān)．
證明 點(diǎn)A1、A2不重合．如果以點(diǎn)A1、A2為球心經(jīng)過位置P的兩球彼此相切于P點(diǎn)，那么位于位置P的點(diǎn)P為以點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)對(duì)某一個(gè)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）【定理2.4.18】．如果以點(diǎn)A1、A2為球心經(jīng)過位置P的兩球彼此不相切，那么位于位置P的點(diǎn)P為以點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)對(duì)某一個(gè)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)）【定理2.4.18】．顯然以基點(diǎn)A1、A2為球心過位于位置P的球是否彼此相切，僅僅和基點(diǎn)A1、A2所在的位置以及位置P有關(guān)，和選擇的旋轉(zhuǎn)圖形沒有關(guān)系，也和旋轉(zhuǎn)圖形是否經(jīng)過位置P，即點(diǎn)P是否是圖形上的點(diǎn)（點(diǎn)P是否是實(shí)點(diǎn)）也沒有關(guān)系．綜上所述，以不重合兩點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)對(duì)圖形作旋轉(zhuǎn)時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形僅和所選的基點(diǎn)有關(guān)，和選定的旋轉(zhuǎn)圖形無關(guān)． □
說明：根據(jù)本定理，今后我們?cè)谟懻撔D(zhuǎn)不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形時(shí)，可以僅指明它是由以那兩個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，而不必再指出具體的旋轉(zhuǎn)圖形，但需要時(shí)我們可以討論任何圖形的旋轉(zhuǎn)情況．
定理 2.4.20 用不動(dòng)點(diǎn)替換旋轉(zhuǎn)過程的基點(diǎn)，不改變圖形S 剛性旋轉(zhuǎn)的軌跡．
證明：
(1)設(shè)K是圖形S 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連單線A1K．以兩個(gè)不重合的點(diǎn)A1、A2為基點(diǎn)對(duì)單線A1K（K表示原位于位置K的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）
作旋轉(zhuǎn)，那么K點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡圓b 是以點(diǎn)A1為球心過K點(diǎn)的球F1和以點(diǎn)A2為球心過K點(diǎn)的球F2的交線【定理 2.4.8】．設(shè)點(diǎn)C為上述旋轉(zhuǎn)過程的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)或虛點(diǎn)），那么旋轉(zhuǎn)中位置C到K點(diǎn)軌跡上的每一點(diǎn)的距離都相等【定義 2.2.18】，即點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)軌跡（圓b）就在以點(diǎn)C為球心過K點(diǎn)的球F3上，那么圓b 是球F1、球F2以及F3這3個(gè)球的共同交線（圖2.4-13）．當(dāng)用不動(dòng)點(diǎn)C替換基點(diǎn)A1再旋轉(zhuǎn)時(shí)，K點(diǎn)的軌跡是球F2和球F3的交線——圓b，當(dāng)用不動(dòng)點(diǎn)C替換基點(diǎn)A2再旋轉(zhuǎn)時(shí)，K點(diǎn)的軌跡是球F1和球F3的交線，也是圓b．即當(dāng)用一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)C代替一個(gè)基點(diǎn)后再旋轉(zhuǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)仍為動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)軌跡不改變所占據(jù)的空間位置．
（2）下面我們來證明在用一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)替換一個(gè)基點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)過程中不動(dòng)點(diǎn)的軌跡也不改變所占據(jù)的空間位置（仍然為不動(dòng)點(diǎn)）．假設(shè)在將旋轉(zhuǎn)基點(diǎn)由點(diǎn)A1、A2轉(zhuǎn)變成點(diǎn)A1、C后再旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D原為不動(dòng)點(diǎn)后轉(zhuǎn)換成了動(dòng)點(diǎn)．由于轉(zhuǎn)換過程是可逆的，那么當(dāng)我們?cè)賹⑿D(zhuǎn)基點(diǎn)由點(diǎn)A1、C轉(zhuǎn)變成點(diǎn)A1、A2時(shí)，點(diǎn)D將由動(dòng)點(diǎn)變成不動(dòng)點(diǎn)．這顯然和已經(jīng)證明了的結(jié)論（1）相矛盾， 因此用不動(dòng)點(diǎn)替換一個(gè)旋轉(zhuǎn)基點(diǎn)之后再旋轉(zhuǎn)，任何一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)都還是不動(dòng)點(diǎn)．
（3）由于用一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)替換一個(gè)基點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)圖形S ，空間中的動(dòng)點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)和虛點(diǎn)）的軌跡都不改變所在（或所經(jīng)過）的空間位置，那么整個(gè)圖形S 的運(yùn)動(dòng)軌跡也不改變所占據(jù)的空間位置．當(dāng)我們?cè)儆靡粋€(gè)不動(dòng)點(diǎn)替換另一個(gè)基點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)，圖形S的運(yùn)動(dòng)軌跡仍不改變所占據(jù)的空間位置．即當(dāng)我們將兩個(gè)基點(diǎn)都換成其它不動(dòng)點(diǎn)后再旋轉(zhuǎn)，圖形S 的軌跡和空間中的動(dòng)點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn)（實(shí)點(diǎn)和虛點(diǎn)）都不會(huì)改變它們所占據(jù)（或經(jīng)過）的空間位置． □
推論 如果點(diǎn)O是以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)A是以點(diǎn)O和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B也是以點(diǎn)O和點(diǎn)A為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)．
定理 2.4.21 已知球F，以球F 上的一點(diǎn)A為球心作球F1切球F 于B點(diǎn)（圖2.4-14），那么點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一組對(duì)極點(diǎn)．
證明 由于球F1和球F 相切于B點(diǎn)，那么點(diǎn)B為以點(diǎn)A和球F 的球心O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理 2.4.18】，即點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一組對(duì)極點(diǎn)【定義 2.2.36】．由于以點(diǎn)A為球心的球F1和球F 僅有一個(gè)公共點(diǎn)B（相切于B點(diǎn)），那么球F 上的一點(diǎn)A僅有一個(gè)對(duì)極點(diǎn)B． □
定理 2.4.22 已知點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，那么以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)B的球F1 和球F 相切于B點(diǎn)（圖2.4-14）．
證明 設(shè)球F 的球心為O，由于點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一組對(duì)極點(diǎn)，那么點(diǎn)B就是以點(diǎn)A和球心O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定義 2.2.36】．即以點(diǎn)A為球心過B點(diǎn)的球和球F 相切于B點(diǎn)【定理 2.4.17】． □
定理 2.4.23 點(diǎn)A、B是以點(diǎn)O為球心的球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，那么，(1)球心O為以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，(2)球面F 上兩端點(diǎn)均為對(duì)極點(diǎn)的單線AB，以A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡是球F .
證明 (1) 因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B是球心為O的球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，因此點(diǎn)B是以A點(diǎn)和O點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)O是以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.20 推論】．
(2)單線AB在球面F 上，那么單線AB上的任意一點(diǎn)到球心O的距離都相等（圖2.4-15）．讓單線AB以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，由于球心O為旋轉(zhuǎn)不動(dòng)點(diǎn)，那么單線AB上的任意一點(diǎn)到球心O的距離保持不變，即單線AB的軌跡在球面F 上．設(shè)點(diǎn)Q在球面F 上，讓點(diǎn)Q以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周，那么Q點(diǎn)的軌跡圓k 在球面F 上．由于點(diǎn)A、B為旋轉(zhuǎn)的基點(diǎn)，那么圓k 一定和單線AB有一個(gè)交點(diǎn)S．當(dāng)單線AB以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周時(shí)一定經(jīng)過點(diǎn)Q，因此球面F 上的任何一點(diǎn)都一定被單線AB的軌跡所覆蓋，那么單線AB以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周時(shí)覆蓋整個(gè)球面F □
定理 2.4.24
(1) 將圓l 以對(duì)徑點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半周,那么圓l 和原來的圓l 重合．
(2) 過球F 對(duì)極點(diǎn)A、B的大圓l 將球F 分成左右兩個(gè)半球，如果，球F 以對(duì)極點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)半周，那么，旋轉(zhuǎn)之后的左半球和原右半球相重合（合同），旋轉(zhuǎn)之后的右半球和原左半球相重合（合同）．
(3) 球F 上過對(duì)極點(diǎn)A、B的圓是球F 的大圓．
(4) 球F 的對(duì)極點(diǎn)A、B就是大圓l 的一組對(duì)徑點(diǎn)．
(5) 半圓l 以它的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋一周的軌跡是以圓l 為大圓的一個(gè)球．
證明 在球心為O的球F 上取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為球心作球F1和球F 相切于B點(diǎn)，那么點(diǎn)B為以點(diǎn)A和球F 的球心O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理 2.4.18】，即點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一組對(duì)極點(diǎn)【定義 2.2.36】．以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)A作球F2，那么球F2和球F 相切于A點(diǎn)【定理2.4.22】．設(shè)球F1和球F2相交于圓k，在圓k上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為球心作球F4切圓k 于D點(diǎn)，那么點(diǎn)C和點(diǎn)D是圓k 的對(duì)徑點(diǎn)【定理 2.4.11】，即有圓k 的虛線半圓CD等于實(shí)線半圓CD．以點(diǎn)C為球心過點(diǎn)A作球F3，由于B、C兩點(diǎn)間的距離等于B、A兩點(diǎn)間的距離，等于A、C兩點(diǎn)間的距離，那么點(diǎn)B在球F3上．以點(diǎn)D為球心過點(diǎn)A作球F5，那么F5經(jīng)過點(diǎn)B（圖2.4-16）．將圖2.4-16中的全部圖形以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)整體同向旋轉(zhuǎn)半周，那么，① 圓k 位置不變但實(shí)線半圓和虛線半圓位置互換，即點(diǎn)C和點(diǎn)D位置互換（圓k 是動(dòng)點(diǎn)C,以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的軌跡【定理2.4.8】，虛線半圓CD等于實(shí)線半圓CD）；② 點(diǎn)A、B位置不變，球F 位置不變（球心O為A、B兩點(diǎn)的等球中切點(diǎn)【定理2.4.27】，點(diǎn)O為以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)）；③ 球F3和F5位置互換，且球心位置互換；④ 圓l 位置不變，實(shí)線半圓和虛線半圓位置互換，球F 左右半球位置互換．
那么就有，
(1)圓l 以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半周后和原來的圓l 重合；
(2)過對(duì)極點(diǎn)A、B的大圓l 將球F 分成左右兩個(gè)半球，球F 繞其對(duì)極點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn)半周，左半球旋轉(zhuǎn)后和原球右半球重合，右半球旋轉(zhuǎn)后和原左半球重合．
(3) 由于球F 被圓l 分成的兩個(gè)半球可以重合，那么過對(duì)極點(diǎn)A、B的圓l 是球F 的大圓．
(4) 由于圓l 的實(shí)線弧AB和虛線弧可以重合（都是半圓），那么球F 的對(duì)極點(diǎn)A、B就是圓l 的一組對(duì)徑點(diǎn)．
(5) 由于圓l 的實(shí)線半圓的各點(diǎn)都在球面F 上，且它的端點(diǎn)A、B是球F 的對(duì)極點(diǎn)，那么圓l 的實(shí)線半圓以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)一周的軌跡就是以圓l 為大圓的球F 【定理 2.4.23】． □
說明：該定理表明，定義2.2.28中關(guān)于球定義的a、b兩種表述方法是等價(jià)的．
定理 2.4.25 大圓是球面上最大的圓．
證明 在球心為O的球F 上取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為球心作球F1和球F 相切于B點(diǎn)，那么點(diǎn)B為以點(diǎn)A和球F 的球心O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理 2.4.18】，即點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一組對(duì)極點(diǎn)【定
義 2.2.36】．以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)A作球F2，那么球F2和球F 相切于A點(diǎn)【定理2.4.22】．設(shè)球F1和球F2相交于圓k，在圓k上任取一點(diǎn)C（圖2.4-17），以點(diǎn)C為球心過點(diǎn)A作球F3，由于B、C兩點(diǎn)間的距離等于B、A兩點(diǎn)間的距離，等于A、C兩點(diǎn)間的距離，那么點(diǎn)B在球F3上．設(shè)球F 和球F3的交線為圓l ，由于圓l 過球F 的對(duì)極點(diǎn)A、B，那么圓l 是球F 的大圓．作球F 上過A點(diǎn)的任意一個(gè)異于圓l 的圓m，由于球F 和以點(diǎn)A為球心的球F1內(nèi)切于B點(diǎn)，即有B點(diǎn)在球F1的球面上，而圓m的各點(diǎn)都在球F1內(nèi)部，因此A、B兩點(diǎn)間的距離大于點(diǎn)A到圓m上任何一點(diǎn)的距離，即圓l 大于球F 上過A點(diǎn)異于圓l 的圓．對(duì)于球F 上不過點(diǎn)A的圓n，我們的可以將其移動(dòng)到過點(diǎn)A的位置，由于球F 和球F1內(nèi)切于點(diǎn)B，球面F 上除切點(diǎn)B之外的所有點(diǎn)都在球F1 的內(nèi)部，那么就有圓n≤圓l ．即大圓l 為球F 上的最大的圓． □
定理 2.4.26 空間有不重合的兩點(diǎn)A、B，那么一定存在一個(gè)以A、B為對(duì)極點(diǎn)的球F．
證明 對(duì)于空間不重合的兩點(diǎn)A、B，一定可以找到以點(diǎn)A為球心和以點(diǎn)B為球心的兩個(gè)相等且相切的球F1和F2，它們的等球中切點(diǎn)為O【定理2.4.16】．以點(diǎn)O為球心，過點(diǎn)A作球F（圖2.4-18），由于O、A兩點(diǎn)間的距離等于O、B兩點(diǎn)間的距離，那么點(diǎn)B在球F 上．由于以點(diǎn)A為球心的球F1和以點(diǎn)B為球心的球F2相切于O點(diǎn)，那么點(diǎn)O是以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.18】，用不動(dòng)點(diǎn)替換基點(diǎn)，那么點(diǎn)B是以點(diǎn)A和點(diǎn)O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.20】，即點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)【定義2.2.36】． □
定理 2.4.27 已知以O(shè)為球心的球F 上有一組對(duì)極點(diǎn)A、B（圖2.4-18），那么，
(1)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為球心作兩個(gè)相等的球F1和球F2相外切．那么，切點(diǎn)（等球中切點(diǎn)）為球F 的球心O點(diǎn)．
(2)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為球心過點(diǎn)O作球F1和球F2，那么，球F1和球F2兩球相等，且相切于O點(diǎn)．
證明 (1) 設(shè)球F 的球心為點(diǎn)O．假設(shè)球F1、F2和球F 不相等，那么僅有兩種情況，① 球F1、F2都大于球F ，由于球F1、F2的球心A、B都在球面F 上，那么，點(diǎn)O在球F1內(nèi)部，也在球F2的內(nèi)部，那么兩球多于一個(gè)公共點(diǎn)，兩球相交而不相切【定理2.4.8】．② 球F1、F2都小于球F ，由于球F1、F2的球心A、B都在球面F 上，那么，點(diǎn)O在球F1外面，也在球F2外面．以點(diǎn)A為球心過點(diǎn)O作球F1′，以點(diǎn)B為球心過點(diǎn)O作球F2′，那么，球F1′和球F2′外切于O（點(diǎn)O是以對(duì)極點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.23】），那么球F1′上除切點(diǎn)O之外的所有點(diǎn)都在球F2′之外，球F2′上除切點(diǎn)O之外的所有點(diǎn)都在球F1′之外．現(xiàn)在球F1在球F1′的內(nèi)部，球F2在球F2′的內(nèi)部，那么球F1和球F2沒有交點(diǎn)．由上可知，假設(shè)球F1、F2和球F 不相等不真，因此，球F1和球F2都等于球F ．即球F1和球F2都經(jīng)過球F 的球心O點(diǎn)，又因?yàn)榍騀1和球F2相外切（僅有一個(gè)交點(diǎn)），那么，球F1和球F2的切點(diǎn)就是球F 的球心O．
(2) 由于點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 上的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，那么點(diǎn)B是以點(diǎn)A和點(diǎn)O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定義2.2.36】，故有點(diǎn)O是以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.20】，就有球F1和球F2相切于O點(diǎn)．又由于點(diǎn)A到點(diǎn)O和點(diǎn)B到點(diǎn)O距離相等，那么球F1和球F2相等． □
定理 2.4.28 如果弧AB移動(dòng)后可以和弧A′B′重合，重合時(shí)可以A與A′重合，B與B′重合，也可以A與B′重合，B與A′重合．
證明 (1) 弧AB和弧A′B′可以重合，那么弧AB和弧A′B′所在的圓相等，即弧AB和弧A′B′要么在同一個(gè)圓上，要么在相等的圓上．當(dāng)兩弧在相等的圓上時(shí)，我們可以將它們移動(dòng)到同一個(gè)
圓上來討論．設(shè)圓周上有相等的兩弧AB和A′B′（圖2.4-19），使弧A′B′由點(diǎn)A′為引導(dǎo)點(diǎn)在圓周上逆時(shí)針沿線運(yùn)動(dòng)，由于弧AB和弧A′B′可以重合，那么當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)B′和點(diǎn)B重合．以圓上一組對(duì)徑點(diǎn)P、Q為基點(diǎn)將圓翻轉(zhuǎn)，將半圓PA′Q翻轉(zhuǎn)至和半圓PAQ重合，將半圓PAQ翻轉(zhuǎn)至半圓PA′Q重合【定理2.4.24】， 設(shè)點(diǎn)A′和點(diǎn)A″重合，點(diǎn)B′和點(diǎn)B″重合．那么弧A′B′和弧A″B″重合，讓弧A″B″以點(diǎn)B″為引導(dǎo)點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B″和點(diǎn)A重合時(shí)點(diǎn)A″和點(diǎn)B重合．即有弧AB和弧B″A″重合，和弧B′A′重合． □
定理2.4.29 如果兩個(gè)相等的球相交的交線是一個(gè)球的大圓，那么這兩個(gè)球重合．
證明 球FA和球FB相等且相交于圓k，圓k是球FA的大圓，假設(shè)圓k不是球FB的大圓，那么，F(xiàn)B的大圓l就一定和圓k不相等，以半圓l的端點(diǎn)（對(duì)徑點(diǎn)）為基點(diǎn)將該半圓同向旋轉(zhuǎn)一周得到的球FB一定不等于球FA，這顯然和球FA和球FB相等的已知條件矛盾，因此如果圓k是球FA的大圓就也是球FB的大圓．那么以半圓k的端點(diǎn)（對(duì)徑點(diǎn)）為基點(diǎn)將該半圓同向旋轉(zhuǎn)一周，既得到球FA也得到球FB，因此球FA和球FB重合． □
定理2.4.30 球面F上有兩個(gè)不重合的點(diǎn)A、B，那么一定有一個(gè)以A、B兩點(diǎn)為對(duì)極點(diǎn)的球W,并且球F和球W的交線是球W的大圓．
證明 由于點(diǎn)A、B是空間不重合的兩點(diǎn)，那么一定有一個(gè)以點(diǎn)A和點(diǎn)B為對(duì)極點(diǎn)的球W【定理2.4.26】，設(shè)球F 和球W 相交于圓l （圖2.4-20）．因圓l 過球W 的對(duì)極點(diǎn)A、B，則圓l 是球W 的大圓【定理2.4.25】． □
定理 2.4.31 如果以點(diǎn)為A為球心的球FA和以點(diǎn)B為球心的球FB相交于圓l．那么球上被圓l 分割出的任何一個(gè)球冠以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所占據(jù)的空間位置不變．
證明 如圖（圖2.4-21），球FB上的球冠l (C)，由于FA和FB兩球的交線是圓l ，那么圓l 上的任何一點(diǎn)以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它的軌跡始終在圓l 上，即圓l 以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)不改變它所占據(jù)的空間位置【定理 2.4.7】，另外球FB也不改變它所占據(jù)的空間位置，因此,在旋轉(zhuǎn)過程中球冠l (C)也始終不改變所占據(jù)的空間位置．同理可證被圓l 分割出的其它球冠以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所占據(jù)的空間位置不變． □
定理 2.4.32 球面F 上的一條閉線，圈定的球面的一部分（包括該閉線）可以在球面上作沿面運(yùn)動(dòng)．
證明 球面F 上的一條閉線l 圈定的球面的一部分W （包括閉線l ）,讓圖形W 以球面F 的球心O為基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，那么圖形W 上的任何一點(diǎn)到球心O的距離在運(yùn)動(dòng)中保持不變，即圖形W 上的所有點(diǎn)都始終在球面F 上運(yùn)動(dòng)，即圖形W 可以在球面F 上沿面運(yùn)動(dòng)． □
說明：該定理說明球面的任何一部分面都可以進(jìn)行沿面運(yùn)動(dòng)．
定理 2.4.33 同球或等球上被相等的交線圓分割出的小（大）球冠可以相互重合．
證明 (1)設(shè)FA和FB兩球的交線是圓l ，圓l 1在球FB上，圓l 等于圓l 1（圖2.4-22）．在球面FB 上旋轉(zhuǎn)球冠l 1(C1)，如果圓l 1和圓l 重合，那么球冠l 1(C1)和球冠l (C)重合．(2) 當(dāng)球冠l1(C1)不在球FB上，而是在和FB相等的球F 上時(shí)，移動(dòng)球F 使之和球FB重合，那么，球冠l 1(C1)就轉(zhuǎn)移到了球FB上，仿照(1)可以證明球冠l 1(C1)和球冠l (C)重合． □
定理 2.4.34 (1) 大圓相等的球相等（可以重合）．
(2) 同球或等球的大圓相等（可以重合）．
證明 (1) 設(shè)對(duì)徑點(diǎn)為A、B的圓l 和對(duì)徑點(diǎn)為C、D的圓k 相等【定義 2.2.37】．移動(dòng)圓k 使C點(diǎn)重合于點(diǎn)A，D點(diǎn)重合于點(diǎn)B（注意，因?yàn)檫€沒有定義平面，還沒有證明圓是平面圖形，因此并不能保證圓l 和圓k 重合）．以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半圓l 一周得到球F ，那么圓l 是球F 的大圓．以點(diǎn)A（C）、B（D）旋轉(zhuǎn)半圓k 一周得到球F ′，那么圓k 是球F ′的大圓【定理 2.4.24】．點(diǎn)A（C）和點(diǎn)B（D）的等球中切點(diǎn)為唯一的一點(diǎn)O，那么點(diǎn)O是球F 的球心，也是球F ′的球心，且球F 和球F ′都經(jīng)過A（C）點(diǎn)，那么球F 和球F ′重合．故大圓相等的球相等（可以重合）．
(2) ① 設(shè)球F 的球心為點(diǎn)O，點(diǎn)A和點(diǎn)B是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，圓l 1是球F 過點(diǎn)A和點(diǎn)B的大圓．那么點(diǎn)A和點(diǎn)B是圓l 1的一組對(duì)徑點(diǎn)【定理2.4.25】（圖2.4-23）．讓圓l 1以點(diǎn)A和點(diǎn)B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圓l 2處，那么圓l 2在球面F 上，且仍然是球F 的大圓【定理2.4.25】．由于圓l 1是剛性圖形，即有過同一對(duì)對(duì)極點(diǎn)的大圓相等．② 在球F 上另選一個(gè)對(duì)徑點(diǎn)為C、D的大圓l 3，以點(diǎn)C為球心過點(diǎn)O作球C ，以點(diǎn)D為球心過點(diǎn)O作球D , 由于C、D兩點(diǎn)為球F 的大圓l 3的一組對(duì)徑點(diǎn)，那么C、D兩點(diǎn)為球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)【定理 2.4.24】，故球C 和球D 相切于O點(diǎn)【定理 2.2.27】．使球C 、球D及圓l 3構(gòu)成的圖形整體繞基點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．使點(diǎn)C 移動(dòng)至和點(diǎn)A 重合，此時(shí)點(diǎn)D的位置為D仍然在球F 上．圓l 3移動(dòng)至圓l 3′處，球C 和球D 移動(dòng)至球C ′和球D ′處，并保持依然相切于O點(diǎn)．由于球C ′和球D ′相切于O點(diǎn)，那么點(diǎn)O為以點(diǎn)A(C)和點(diǎn)D為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.18】，就有點(diǎn)D為以點(diǎn)A(C)和點(diǎn)O為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.20 推論】，故點(diǎn)A(C)和點(diǎn)D為球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)，由于球F 點(diǎn)A的對(duì)極點(diǎn)是唯一的【定理 2.4.21】，那么點(diǎn)B和點(diǎn)D重合．也就是圓l ′3也是經(jīng)過對(duì)極點(diǎn)A和B的大圓，那么大圓l 3等于l ′3等于l 1．那么就有同一個(gè)球上所有大圓都相等．對(duì)于相等球上的大圓，我們可以將其轉(zhuǎn)移至同一個(gè)球上再仿此證明，亦有等球上的大圓都相等． □
定理 2.4.35 已知球F 的球心為點(diǎn)A，以點(diǎn)B為球心的球F1和球F 內(nèi)切于點(diǎn)P，若另一個(gè)球和球F 相切于Q點(diǎn)，且該球的球心是以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P、Q是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)．
證明 設(shè)球F2和球F 相外切于Q點(diǎn)，且球F2的球心點(diǎn)C是以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【已知】（圖2.4-24）．由于，以點(diǎn)B為球心的球F1和以點(diǎn)A為球心的球F 內(nèi)切于點(diǎn)P，那么，點(diǎn)P是以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.18】，表示為P — A,B．又因?yàn)?，以點(diǎn)C為球心的球F2和球F 相切于點(diǎn)Q，那么，點(diǎn)Q是以點(diǎn)A、C為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【定理2.4.18】，即有，Q — A,C．由于點(diǎn)C是點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)【已知】，即Q — A,B ．那么有P — A,B — Q（表示點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是以A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)），進(jìn)一步就有P — A,B — Q — C（表示點(diǎn)P、Q和點(diǎn)C都是以A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)）．那么用不動(dòng)點(diǎn)替換基點(diǎn)后就有Q點(diǎn)為以P、A兩點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)P、Q是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)【定義2.2.36】．同理可證，當(dāng)球F3和球F 相內(nèi)切于Q點(diǎn)，且球F3的球心點(diǎn)D是以點(diǎn)A、B為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P、Q是球F 的一對(duì)對(duì)極點(diǎn)． □
定理 2.4.36 任何一個(gè) n（n = 1，2，3）維圖形，都可以分離出一個(gè)n 維子圖形，分離時(shí)子圖形和原圖形交界部分將被拷貝，使子圖形和剩余的原圖形都是完整圖形．
證明 (1)任何線上都可以分離出一條單線，但斷開點(diǎn)將被拷貝．
任何一條線（網(wǎng)絡(luò)）上都可以找到非端點(diǎn)的一點(diǎn)A（Y≥2），當(dāng)A點(diǎn)直接與一個(gè)端點(diǎn)B相連時(shí)，在點(diǎn)A處斷開，將A點(diǎn)讓單線AB帶走，在剩余網(wǎng)絡(luò)的斷開處再拷貝出一個(gè)新點(diǎn)，使分離出的單線和剩余網(wǎng)絡(luò)都是完整圖形．另外選取A點(diǎn)后，還可以在線上再找有限個(gè)點(diǎn)，使這些點(diǎn)斷開后就有一條子網(wǎng)絡(luò)和原線分開（顯然，所選的點(diǎn)不包括端點(diǎn)）．將子網(wǎng)絡(luò)和原線分開，并帶走所有斷開點(diǎn)，但在原圖形斷開點(diǎn)處再拷貝出一個(gè)點(diǎn)【定義2.2.48】，使分離出的子網(wǎng)絡(luò)和剩余的原線都是完整圖形．這是網(wǎng)絡(luò)線分離出一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)唯一允許的分離方法．
(2) 任何一個(gè)有限的面上都可以分離出一塊面，但斷開線將被拷貝．
任何一個(gè)有限面上都可以找到一條由內(nèi)點(diǎn)和邊緣點(diǎn)組成的閉線，使得當(dāng)該線斷開時(shí)可以分離出一塊面．將所選線中所有需要斷開才能分離出一塊面的點(diǎn)斷開，將分離處的點(diǎn)讓分離出的子圖形帶走，在原圖形剩余部分再拷貝出新點(diǎn)【定義2.2.48】，使分離出的圖形和原圖形剩余部分都是完整的圖形．這是一個(gè)面上分離出一塊面唯一允許的分離方法．
(3) 任何有限的體上都可以分離出一塊體，但斷開面將被拷貝．
任何一個(gè)有限的體上都可以找到一個(gè)由內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)組成的閉區(qū)域，使得當(dāng)該區(qū)域斷開時(shí)可以分離出一個(gè)體．將所選體上所有需要斷開才能分離出一個(gè)體的點(diǎn)斷開，將分離處的點(diǎn)讓分離出的子圖形帶走，在原圖形剩余部分再拷貝出新點(diǎn)【定義2.2.48】，使分離出的圖形和原圖形剩余部分都是完整的圖形．這是一個(gè)體上分離出一部分體唯一允許的分離方法． □
說明：1 .顯然，n維圖形可以拷貝出任何低于n維的圖形，我們之所以僅討論從n維圖形中分離出n維圖形的情況，是為了證明，對(duì)于建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)，圖形的任何度量都有整體大于部分（本書定理2.4.37，歐幾里得《幾何原本》中的公理5）
2. 缺少孤點(diǎn)（包括端點(diǎn)）的線，缺少孤點(diǎn)或孤線（包括邊緣線）的面，缺少孤點(diǎn)、孤線或孤面（包括邊界面）的體以及斷續(xù)線、篩網(wǎng)面和海綿體都不是建立在新基礎(chǔ)上的幾何學(xué)的研究對(duì)象．
定理 2.4.37 對(duì)于完整幾何圖形所建立的測(cè)度而言，整體大于部分．
證明 完整幾何圖形是維數(shù)為0、1、2、3的圖形．由于0維圖形（孤立點(diǎn)）僅占據(jù)一個(gè)沒有部分的空間位置，所以對(duì)于孤立點(diǎn)所建立的任何測(cè)量的測(cè)度都是0．那么我們對(duì)其它完整幾何圖形所建立的測(cè)量就僅有1維測(cè)度m(1)（長(zhǎng)度）、2維測(cè)度m(2)（面積）、3維測(cè)度m(3)（體積），根據(jù)測(cè)度理論，測(cè)度m(n)具有下列性質(zhì)：① m(n)≥0；② 可重合的圖形具有相同的測(cè)度；③ 同維測(cè)度中開區(qū)域、半開區(qū)域、閉區(qū)域具有相同的測(cè)度；④用 k 測(cè)度度量低于k 維的圖形，測(cè)量結(jié)果（測(cè)度）為0，即點(diǎn)的所有測(cè)度均為0，線的2維測(cè)度m(2)為0、3維測(cè)度m(3)為0，面的3維測(cè)度m(3)為0；⑤ 任何一個(gè)k 維圖形，它的k 維測(cè)度m(k)不為0；⑥ 如果n維（n=1，2，3）圖形a1，a2，a3，…，an不相交，那么這些圖形和的測(cè)量m(k)∑an 等于這些圖形測(cè)量的和，即等于∑m(k)an [26]．
設(shè)k 維圖形a 分離出了一個(gè)k 維圖形b【定義2.2.48】后剩余圖形[a-b]．由于不能從a 中分離出一個(gè)m(k)為0的k維部分【定理 2.4.1】，那么，有m(k)[b]＞0，m(k)[a-b]＞0 (“[ ]”內(nèi)表示閉區(qū)域)，由于不允許有不完整的圖形，因此我們僅討論閉區(qū)間．那么，
m(k)[a-b]+ m(k)[b] = m(k)[a]
由于m(k)[a-b]＞0，就有，m(k)[a]＞m(k)[b]，（整體大于部分）． □
說明：將該定理用于幾何命題的證明，會(huì)給我們帶來很多的方便．
定理 2.4.38 球形腔內(nèi)部有一點(diǎn)A，外部有一點(diǎn)B，那么，以點(diǎn)A和點(diǎn)B為端點(diǎn)的單線至少和腔壁有一個(gè)交點(diǎn)．
證明 球形腔W 內(nèi)有一點(diǎn)A，腔W 外有一點(diǎn)B．要想使單線AB穿過球形腔W 的腔壁不和腔壁相交，也就是說單線和球形腔沒有交點(diǎn)，那么，就需要球形腔W 的小鄰域沒有屬于單線AB的點(diǎn)，而單線AB的小鄰域也沒有屬于球形腔W 的點(diǎn)【定理2.4.2】．此時(shí)，僅有如下三種情況：1，單線上有斷點(diǎn)，2，腔壁上有孔洞，3，單線上有斷點(diǎn)，且腔壁上有孔洞．由于單線AB中間沒有空隙，且球形腔上沒有孔洞【定理 2.4.1】．因此，球形腔內(nèi)部的A點(diǎn)，外部的B點(diǎn)之間鏈接的單線至少和腔壁有一個(gè)交點(diǎn)． □
定理 2.4.39 球面F 上有一條閉線l 將球面分成小片、大片和閉線l 三部分，那么球面F 上端點(diǎn)A在小片區(qū)域，端點(diǎn)B在大片區(qū)域的單線AB至少和閉線l 有一個(gè)交點(diǎn)．
證明 球面F 被其上的閉線l 分成小片、大片兩個(gè)區(qū)域，小片區(qū)域內(nèi)有一點(diǎn)A，大片區(qū)域內(nèi)有一點(diǎn)B．如果單線AB和閉線l 沒有交點(diǎn)，那么，閉線l 的小鄰域沒有屬于單線AB的點(diǎn)，而單線AB的小鄰域也沒有屬于閉線l 的點(diǎn)【定理2.4.2】．此時(shí)，僅有如下三種情況：1.單線AB有間斷點(diǎn)，2.閉線l 有間斷點(diǎn)，3.單線AB有間斷點(diǎn)且閉線l 也有間斷點(diǎn)．由于單線AB上沒有空隙，閉線l 上也沒有空隙【定理 2.4.1】．即單線AB至少和閉線l 有一個(gè)交點(diǎn)． □
定理 2.4.40 球面F 上有l(wèi) 、k 兩個(gè)圓周，如果在k 分成的兩個(gè)球冠的表面區(qū)域內(nèi)（不包括圓k）都有圓l 的點(diǎn)，那么圓l 和圓k 在球面F 上有兩個(gè)交點(diǎn)．
證明 設(shè)在球面F 上有l(wèi) 、k 兩個(gè)圓周，在圓k 分成的一個(gè)球冠的表面區(qū)域內(nèi)（不包括圓k）有圓l 的點(diǎn)A，另一個(gè)球冠的表面區(qū)域內(nèi)（不包括圓k）有圓l 的點(diǎn)B（圖2.4-25）．那么劣弧AB至少和圓k 有一個(gè)交點(diǎn)P【定理2.4.39】，又因?yàn)樵摿踊B經(jīng)過圓k 之后絕不會(huì)再返回來經(jīng)過一次圓k，因此劣弧AB和圓k 僅有一個(gè)交點(diǎn)P．同理，優(yōu)弧AB和圓k 僅有一個(gè)交點(diǎn)Q．那么圓l 和圓k 共有兩個(gè)交點(diǎn)．由于圓l 和圓k都在球面F 上，因此交點(diǎn)P、Q都在球面F 上． □
本文作者 潘永城
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潘昊楠
