我曾經(jīng)在《市盈率和分紅率如何影響投資收益率》一文中做了個模型，推導了分紅再投資的收益率，總結(jié)出了公式，但當時沒給計算過程。
今天特地把推導的步驟還原，然后解讀下公式的含義。順便引用下兩個銀行股的案例。以及算一算最佳分紅率。
眾所周知，股價=PE*EPS=PE*每股凈資產(chǎn)*ROE。（如果不知道PE、EPS、ROE是什么的，就自己先去補一下基礎知識吧……）
我們在計算投資收益率時，先不考慮市場估值的波動情況，也就是假設PE不變；為簡化模型，也暫不考慮公司經(jīng)營的變化，也就是假定ROE不變。（無需多講，如果PE提升，或者ROE提升，對股價影響顯然是正向的。）
另外我們也不考慮送股、轉(zhuǎn)股那些花哨的不增加價值的操作。
第一年持股市值=股價1*持股數(shù)1=PE*每股凈資產(chǎn)1*ROE*持股數(shù)1
第二年持股市值=股價2*持股數(shù)2=PE*每股凈資產(chǎn)2*ROE*持股數(shù)2
于是我們得出：
投資收益率=（股價2*持股數(shù)2）/（股價1*持股數(shù)1）-1
=（每股凈資產(chǎn)2*持股數(shù)2）/（每股凈資產(chǎn)1*持股數(shù)1）-1
稍微變換下順序：
投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1
也就是說，在PE和ROE不變的情況下，股票投資收益率就來源于兩塊：一是公司凈資產(chǎn)增長，二是你的持股數(shù)增加。
先來算公司的凈資產(chǎn)增長：
第二年的每股凈資產(chǎn)，相比第一年的變化，簡單說主要有兩部分，一是通過經(jīng)營產(chǎn)生的利潤流入，二是將利潤分紅導致的流出。
所以，每股凈資產(chǎn)2=每股凈資產(chǎn)1*（1+ROE）-每股凈資產(chǎn)1*ROE*分紅率
也就是說：每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE-ROE*分紅率
整理一下我們得到投資收益率第一部分的來源：
每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE*（1-分紅率）
再來算第二部分來源，你的持股數(shù)增加：
第二年的持股數(shù)增加，就來源于第一年分紅的再投資。
那么分紅是多少呢？
第一年分紅=每股分紅1*持股數(shù)1
=EPS1*分紅率*持股數(shù)1
增加多少持股呢？（簡單起見，我們假設第一年分紅后直接以第一年的股價買入。）
第一年增加持股數(shù)=第一年分紅/股價1
=EPS1*分紅率*持股數(shù)1/股價1
=分紅率*持股數(shù)1/PE
所以，持股數(shù)2=持股數(shù)1+分紅率*持股數(shù)1/PE
也就是說，持股數(shù)2/持股數(shù)1=1+分紅率/PE
我們把兩部分收益綜合起來，可以得到：
投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1
=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
這便是分紅再投資的收益率公式了。
舉個例子：$招商銀行(SH600036)$
招行的ROE，過去5年平均值是16.7%，過去10年平均19.3%，2002年上市16年以來ROE平均17.5%，我們姑且按16.7%來算。
招行的PE，我們按“年終收盤價/當年EPS”來統(tǒng)計，過去5年平均值是7.6倍，過去10年平均9.0倍，2002年上市16年以來平均15.9倍，我們姑且按9.0倍來算（說實話我個人認為是偏低的）。
招行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于30%，我們姑且按30%來算。
那么投資招行的收益率大致為：
收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
=[1+16.7%*（1-30%）]*（1+30%/9）-1
=（1+11.69%）*（1+3.33%）-1
=15.4%
也就是說，假如未來招行維持16.7%的ROE水平，市場對它維持9倍PE的估值水平，它的分紅率維持30%水平，那么你長期持股、分紅再投資的收益率是15.4%。
我個人認為這里的9倍PE假設是相當?shù)凸赖摹?
再舉個例子：$興業(yè)銀行(SH601166)$
興行的ROE，過去5年平均值是17.7%，過去10年平均19.7%，說實話17.7%可能還略微偏高，我們按16%來算吧。
興行的PE，我們按“年終收盤價/當年EPS”來統(tǒng)計，過去5年平均值是5.9倍，過去10年平均7.0倍，說實話7.0倍實在是過低了，更不用說5.9倍，我們姑且保守一點按6倍來算，看看會如何。
興行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于20%，我們姑且按20%來算。
那么投資興行的收益率大致為：
收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
=[1+16%*（1-20%）]*（1+20%/6）-1
=（1+12.8%）*（1+3.33%）-1
=16.6%
也就是說，假如未來興行維持16%的ROE水平，市場對它維持6倍PE的估值水平，它的分紅率維持20%水平，那么你長期持股、分紅再投資的收益率是16.6%。
你看，我們給興行的ROE假設比招行低，給興行的PE假設也比招行低，但為什么收益率卻反而會更高呢？差別就在分紅率和PE上。
解釋是這樣的：一方面，雖然給招行假設的ROE更高，但它分紅多，留存的少，ROE高的優(yōu)勢反而被消除了。另一方面，雖然興業(yè)的分紅少，但因為PE低，再投資買入增加的持股數(shù)卻不見得更少。
我們稍微總結(jié)下，對這個分紅再投資公式做簡單解讀。
1、分紅再投資的收益率來源兩部分，一是每股凈資產(chǎn)的增長，二是持股數(shù)增加。
2、每股凈資產(chǎn)的增長約等于ROE*（1-分紅率），ROE越高越好，分紅率越低越好。
道理也很簡單，ROE越高代表公司經(jīng)營效率越高；這種情況下，少分紅、將利潤留存給公司增厚凈資產(chǎn)越多越好。
3、持股數(shù)的增加約等于分紅率/PE，分紅率越高越好，PE越低越好。
同樣道理也很簡單，分紅錢越多可以買的股份數(shù)越多；PE越低說明估值越便宜，同等金額可以買入的股份數(shù)越多。
4、所以我們買股票，假設公司經(jīng)營和市場估值都穩(wěn)定的話，當然ROE越高越好，PE越低越好。
5、至于分紅率，則沒有絕對，它則同時每股凈資產(chǎn)的增長和持股數(shù)的增長，但對二者的影響方向正好相反，互相制約。
從直觀上來分析，分紅率的最佳值受限于兩個因素：一個是ROE，ROE越高，說明錢留在公司內(nèi)部運營效率高，則分紅率越低為好；另一個是PE，PE越低，說明分紅買入股票機會越好，則分紅率也應該越高為好。
矛盾當然是存在的。那么有沒有最佳分紅率呢？顯然是有的。
我們現(xiàn)在就來算一下分紅的最佳值是多少。這部分稍微難一點點，算附加部分吧。
目前為止，上面用到的都是小學數(shù)學知識。下面需要用到一點點微積分的基礎，也就是導數(shù)的知識。如果沒記錯的話，現(xiàn)在高中也都有教了。
方便起見，我將收益率用字母d表示（代表英文Dividend的意思）。
ROE和PE仍然看作常數(shù)。
則收益率可以看作分紅率d的一個函數(shù)：
f（d）=[1+ROE*（1-d）]*（1+d/PE）-1
認真看一下，這其實是一個一元二次的函數(shù)，我們把它展開：
f（d）=1+ROE*（1-d）+d/PE+ROE*（1-d）*d/PE-1
=ROE-ROE*d+（1/PE）*d+（ROE/PE）*d-（ROE/PE）*d^2
整理成一元二次方程的標準形式：
f（d）=（-ROE/PE）*d^2+（1+ROE-ROE*PE）/PE*d+ROE
然后我們求導：
f'（d）=（-2*ROE/PE）*d+（1+ROE-ROE*PE）/PE
因為f（d）是一條拋物線，開口向下，存在最大值。
最大值時斜率f'（d）=0。
我們令f'（d）=0，可以求解出：
d=（1+ROE-ROE*PE）/PE/（2*ROE/PE）
=（1+ROE-ROE*PE）/（2*ROE）
簡化一下可以得到：
d=（1+1/ROE-PE）/2
也就是說，當d<（1+1/ROE-PE）/2時，隨著d增大，收益率f（d）也增大；當d>（1+1/ROE-PE）/2時，隨著d增大，收益率f（d）減小。
剛好d=（1+1/ROE-PE）/2時，f'（d）剛好為0，f（d）為最大值。
引用上面招行的例子，算下最佳分紅率d是多少。
ROE=16.7%；PE=9.0倍。
則d=（1+1/ROE-PE）/2=（1+1/0.167-9）/2=-1.0
你沒看錯，結(jié)果是負值。這并不代表最佳分紅率應該是負的。我們都知道d的取值是0到100%。
它的正確解讀是：當d>0時（這時候當然也就d>-1.0），隨著d的增大，投資收益率會降低。
意思是這種情況下，越分紅你的投資收益率就會越低。
那么什么時候提高分紅率對投資收益率才是有幫助（正貢獻）的呢？我們前面也說了，條件是d<（1+1/ROE-PE）/2。
我們再推演下，因為d隱含取值范圍是0到100%，所以我們知道肯定有d≥0。
也就是說，如果提高分紅率對投資收益率有幫助（正貢獻），那么至少要滿足的條件是：
（1+1/ROE-PE）/2>d≥0
即：PE≤1+1/ROE
這就是值得提高分紅的前提。
比如ROE如果是10%，那么PE必須11倍以下，否則提高分紅率就不能提高我們的投資收益率。
招行的ROE如果高達16.7%，那它的PE需要在7.0倍以下，否則提高分紅率就不可能提高投資者的收益率。
但分紅并不是簡單的算數(shù)，而是還有其他層面的意義，我在《分紅的意義》一文中有論述。大家還是要綜合評估
