7.由合數(shù)想
例1 能被十個(gè)最小自然數(shù)整除的最小四位數(shù)是( )。
這個(gè)合數(shù)，一定是三個(gè)合數(shù)和一個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。
例2 1989×20002000—2000×
19891989＝( )
合數(shù)的20002000和19891989，有相同的質(zhì)因數(shù)。
原式＝1989×(2000×10001)
－2000×(1989×10001)＝0。
例3 第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題第一試7題：在下面的算式中，所有分母都是四位數(shù)。請(qǐng)?jiān)诿總€(gè)方格里各填入一個(gè)數(shù)，使等式成立。
由式右的分子為1，知式左的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和可約分。若是同分母分?jǐn)?shù)相加約分后，式右的分母不可是四位數(shù)，只能是異分母。
從分析合數(shù)1988入手：
(1)1988＝4×7×71。1988是4的倍數(shù)，如果式左兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子之和為4，則可約成分子是1的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
(2)由4×7=28，28＋43＝71，知
例4 最大公約數(shù)是1，兩兩均不互質(zhì)，且大于50而小于100的三個(gè)數(shù)是( )、( )、( )。
解答此題，需綜合應(yīng)用合數(shù)、質(zhì)數(shù)、互質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公有質(zhì)因數(shù)、最大公約數(shù)等概念。取三個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)，且它們兩兩之積大于50、小于100，得五組解：
7、8、9得56、63、72；
7、8、11得56、77、88；
7、9、10得63、70、90；
7、9、11得63、77、99；
8、9、11得72、88、99。
所取三數(shù)之間相互互質(zhì)，其兩兩之積的三個(gè)數(shù)定無(wú)公有的質(zhì)因數(shù)，最大公約數(shù)是1；每組的三個(gè)數(shù)都是兩兩的積，其兩兩之間必有相同的質(zhì)因數(shù)。
8.由質(zhì)因數(shù)想
例1 649被某數(shù)除，所得的商與除數(shù)相同，余數(shù)比除數(shù)少1，余數(shù)是( )。
因?yàn)?649＋1=650=2×52×13=25×26，
而 649=25×26—1
=25×(25＋1)－1
=25×25+24，
即 649÷25＝25余數(shù)是24。
例2 三姐妹的年齡依次大3歲，其積是1620，其和是( )。
1620＝22×34×5
=32×(22×3)×(3×5)
＝9×12×15，
9＋12＋15＝36。
例3 A、B、C、D是四個(gè)由小到大的自然數(shù)，其積是585，要使其和最小各是( )。
由 585＝3×3×5×13，知
A＝1，B＝5，C＝9，D＝13。
例4 四個(gè)自然數(shù)的積是144，這四個(gè)數(shù)可組成比例式()。
144＝24×32＝(2×6)×(3×4)。
由比例的基本性質(zhì)，知
2∶3＝4∶6，2∶4＝3∶6，
6∶3＝4∶2，3∶2＝6∶4。
例5 把14、30、33、35、39、75、143、169分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，使它們的乘積相等( )，( )。
14＝2×7 39＝3×13
30＝2×3×5 75＝3×5×5
33＝3×11 143＝11×13
35＝5×7 169＝13×13
將相同質(zhì)因數(shù)分屬兩組，配平于兩個(gè)積中。
14×33×75×169＝2×32×52×7×11×132，
30×35×39×143＝2×32×52×7×11×132。
例6 從1到30的自然數(shù)中，能被2、3、5整除的各有( )、( )、( )個(gè)。不能被其中任意一個(gè)整除的有( )個(gè)。
30＝2×3×5。
前三個(gè)空應(yīng)依次填：3×5＝15，
2×5＝10，2×3＝6。
1～30中有十個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。去掉前三個(gè)加上1。最后空為8。
例7 715×972×975×( )，要使其積的最后四個(gè)數(shù)字都是0，括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？
乘積后面每含一個(gè)0，其乘數(shù)中必含質(zhì)因數(shù)2和5各一個(gè)。
715＝5×11×13， 972＝22×35，975＝3×52。
這些數(shù)中共含三個(gè)“5”、兩個(gè)“2”，構(gòu)成四對(duì)2和5，需補(bǔ)足兩個(gè)“2”和一個(gè)“5”。
應(yīng)填2×2×5＝20。
例8 四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是5040，這四個(gè)數(shù)是( )、( )、( )、( )。
5040＝24×32×5×7
?。?×23×32×(2×5)，
所求為 7、8、9、10。
105＝3×5×7，
512＝23×23×23。
例10 長(zhǎng)、寬、高之比是3∶2∶5的長(zhǎng)方體體積為1920cm3，長(zhǎng)寬高各是( )、( )、( )cm。
1920＝27×3×5
＝(22×3)×23×(22×5)。
應(yīng)填12、8、20。
9.巧用最大公約數(shù)
例1 224、292、377、496分別被( )除，余數(shù)都相同。
292－224＝68 377—224＝153 496—224＝272即后三個(gè)數(shù)，分別被第一個(gè)數(shù)除商為1，余數(shù)是68、153、272。
(68，153，272)＝17，
224÷17＝13……3。
四個(gè)數(shù)分別被17除，余數(shù)都是3。
例2 在一塊邊長(zhǎng)為104m、240m、152m的三角形地周?chē)詷?shù)，株距相等，各角栽1棵。最少可栽( )棵。
株距相等，是各邊長(zhǎng)的公約數(shù)。株數(shù)最少，株距必最大，應(yīng)為最大公約數(shù)。
(104，240，152)＝8
(104＋240＋152)÷8＝62(棵)
例3 把長(zhǎng)144cm、寬48cm、高32cm的長(zhǎng)方體，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體。正方體的棱長(zhǎng)( )cm，個(gè)數(shù)( )。
(144，48，32)＝16(cm)
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