芝諾悖論背后的數(shù)學(xué) |
| 張 蜀 |
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產(chǎn)生這個(gè)悖論的關(guān)鍵是，人們?cè)谡J(rèn)同阿喀琉斯的無(wú)限追逐過(guò)程同時(shí)，卻忽略了事情的另一方面：當(dāng)這個(gè)追逐過(guò)程次數(shù)趨向無(wú)限時(shí)，每一過(guò)程所用時(shí)間卻在趨向無(wú)限小，也就是零。無(wú)限個(gè)有限值相加，不論它多小，只要大于零，它的和當(dāng)然就是無(wú)窮大。但是，無(wú)限個(gè)零相加卻還是零，所以，無(wú)限個(gè)趨于零的數(shù)相加，它的結(jié)果需要計(jì)算，并不是人們直覺(jué)中的“無(wú)窮大”。
問(wèn)題出在哪里呢？人們?cè)谡f(shuō)“無(wú)限次”的時(shí)候，下意識(shí)地假設(shè)了每一次追逐的用時(shí)總會(huì)有一個(gè)數(shù)，即使它很小，也會(huì)大于零。而沒(méi)有意識(shí)到，這樣的假設(shè)必與“無(wú)限次”是矛盾的，它們不可能同時(shí)成立。這里有語(yǔ)言的錯(cuò)覺(jué)，也有數(shù)學(xué)的錯(cuò)覺(jué)?；蛟S這正是芝諾悖論的巧妙吧。
寫這篇文字的時(shí)候，筆者特地到網(wǎng)上搜了一下，看見(jiàn)在一個(gè)知識(shí)問(wèn)答網(wǎng)站中，居然有很多人以為芝諾悖論到現(xiàn)在仍未解決，其中還包括一位知名學(xué)者。他寫過(guò)一篇文章，為人們普及了芝諾悖論的知識(shí)，但他的看法卻是錯(cuò)的，特別是他的文章中，有一處要人注意的“這是接近”。筆者在這里反倒要特別強(qiáng)調(diào)：注意，這不是接近！0.999……不是接近1，而是準(zhǔn)確等于1，如果你說(shuō)是接近，那恰恰說(shuō)明對(duì)“極限”的概念還不太懂。很多仍迷惑于芝諾悖論的人，其實(shí)多因?yàn)榇?。至于有些人喜歡往時(shí)空連續(xù)性上扯，那是取消問(wèn)題，而不是解決問(wèn)題。我們非固執(zhí)于此，等于堅(jiān)持認(rèn)定世界上沒(méi)有真正的圓，那有意義嗎？
再說(shuō)一個(gè)故事，或許能將問(wèn)題看得更清楚一些。傳聞?dòng)幸晃慌笥褑?wèn)數(shù)學(xué)家馮·諾依曼：一對(duì)年輕男女相對(duì)而行，有一條小狗和他們倆關(guān)系都很好，在他們相對(duì)而行的時(shí)候，它從一個(gè)人身邊跑向另一人，然后再往回跑，這樣一直反復(fù)，問(wèn)這狗在兩人相遇時(shí)，總共會(huì)跑多遠(yuǎn)？諾依曼想了幾秒鐘，給出了答案。那人馬上說(shuō)，你真是聰明，其實(shí)只要算出兩人走的時(shí)間，再乘上狗的速度就行了。而諾伊曼卻非常不配合，他說(shuō)：“我計(jì)算的就是狗跑的距離，這是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)！”這兩種計(jì)算方式的結(jié)果當(dāng)然是相同的。誰(shuí)若是在這里強(qiáng)調(diào)時(shí)空連續(xù)性，或者那條狗的脖子的柔韌性問(wèn)題，顯然也是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>
芝諾之后的古希臘天才數(shù)學(xué)家歐多克索斯，利用與芝諾悖論相同的歸謬法證明了圓面積與它的半徑的平方成正比，這被認(rèn)為是微積分思想的起源，而微積分計(jì)算正是眾多現(xiàn)代科技文明——飛機(jī)、鐵路、橋梁、電力等，之所以成為可能的基礎(chǔ)。
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