《數(shù)據(jù)的離散程度》（第一課時）教學設(shè)計
? 數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的基本要點
學生數(shù)學核心素養(yǎng)在本節(jié)課發(fā)展的基本要點主要有：科學精神中的批判質(zhì)疑、勇于探究和實踐創(chuàng)新中的問題解決等。 ? 《課標》要求
體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差。 ? 學情分析
知識基礎(chǔ)：學生已經(jīng)初步感受了抽樣調(diào)查的必要性，學習了描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，具有一定的統(tǒng)計學知識基礎(chǔ)。
認知分析：八年級上期的學生具有一定的觀察問題、分析問題的能力，能夠通過觀察散點圖直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)在離散程度上的差異，提出問題質(zhì)疑，具有進行小組合作探究的經(jīng)驗。 ? 學習目標
1.知識與技能：
了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量——極差、方差和標準差，能借助計算器求出一組數(shù)據(jù)的標準差。
2.過程與方法：
經(jīng)歷探索表示數(shù)據(jù)離散程度的過程，體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義；經(jīng)歷用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。
3.情感、態(tài)度與價值觀：
在探究過程中體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，感受探究的樂趣，在創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)中獲得良好的情感體驗。
? 重點及突出方法
重點：經(jīng)歷用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程，了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量——極差、方差和標準差。
重點突出方法：在分析三名同學射擊成績的具體情境中，借助直觀觀察、計算和小組探究交流突出學習重點。 ? 難點及突破方法
難點：抽象出刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量——方差。
難點突破方法：經(jīng)歷“極差、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的和、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”的探究過程，深刻理解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義和方差的概念。 ? 學法指導
觀察分析和小組合作探究 ? 教學過程架構(gòu)
? 教學過程 一、問題質(zhì)疑
舊知再現(xiàn)：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量。
創(chuàng)設(shè)情境：射擊是深受青少年歡迎的體育運動。某中學射擊愛好者社團甲、乙兩名同學在相同條件下各射擊8次，每次命中的環(huán)數(shù)如下： 甲同學：6，4，8，10，4，10，5，9 乙同學：6，8， 7，9，7，5， 8，6
（1）你能從圖中估計出甲、乙兩同學射擊的平均成績嗎？
（2）請計算甲、乙兩同學射擊的平均成績，并在圖中畫出縱坐標等于平均成績的直線。 問題質(zhì)疑：通過實際情境及其圖示，讓學生直觀觀察甲、乙兩同學射擊成績的差異（離散程度不同）。因為甲、乙兩同學射擊成績的平均值相同，所以得出判斷：僅依靠集中趨勢還難以準確刻畫一組數(shù)據(jù)。
引出問題質(zhì)疑：如何刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度？
本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：使學生回顧相關(guān)知識，為進一步進行數(shù)據(jù)分析做好鋪墊；同時，通過直觀觀察和平均數(shù)計算，使學生產(chǎn)生思維碰撞：相同的平均值與不同的離散程度，產(chǎn)生問題質(zhì)疑，激發(fā)探究熱情。
效果評測：原有知識無法解決當前問題，這是學生自主探究的起點，進一步培養(yǎng)了學生的問題意識和勇于質(zhì)疑的精神。課堂上借助地質(zhì)學家李四光的話：“不懷疑不能見真理”，使學生信心百倍地走進下一環(huán)節(jié)——自主探究。 二、自主探究
（1）探究1：極差
分別計算甲、乙兩同學射擊成績最大值與最小值的差。 甲：10-4=6，乙：9-5=4。
一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫極差，極差就是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量。 （2）探究2：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和
如果學校射擊社團中丙同學也參加了測試，乙、丙兩同學的射擊成績?nèi)鐖D所示。
易知乙、丙兩同學的平均成績相等（均為7環(huán)），極差相等（均為4環(huán)），但從統(tǒng)計圖上看，兩人成績的離散程度還是有區(qū)別的（乙同學的成績更穩(wěn)定一些）。采用什么方式來刻畫這種差別呢？
經(jīng)小組討論，有同學嘗試計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和：
乙：（6-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（7-7）+（5-7）+（8-7）+（6-7）=0 丙：（7-7）+（6-7）+（9-7）+（5-7）+（9-7）+（5-7）+（8-7）+（7-7）=0 兩組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的總和都等于0.
為什么會出現(xiàn)這種情況呢？差有正值，有負值，出現(xiàn)正負抵消的情況。
由此，同學們得出：“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和”不一定能夠刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。 “探究2”失??！
（3）探究3：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和
如何避免正負抵消呢？
經(jīng)過小組討論，借助計算，有小組提出：運用“絕對值”可以避免正負抵消，因為任何實數(shù)的絕對值都是非負的。
乙：|6-7|+|8-7|+|7-7|+|9-7|+|7-7|+|5-7|+|8-7|+|6-7|=8 丙：|7-7|+|6-7|+|9-7|+|5-7|+|9-7|+|5-7|+|8-7|+|7-7|=10
乙的計算結(jié)果小于丙的計算結(jié)果，與直觀觀察得到的“乙同學射擊成績的離散程度小”是相符的。因此，同學們一致得出結(jié)論：“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和”可以刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，為下一個探究中推翻此結(jié)論做鋪墊。 （4）探究4：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)
這里有兩組數(shù)據(jù)，A組：11,13,7,9,12,8；B組：10,13,7,13,7,10
大家來共同研究A、B兩組數(shù)據(jù)的離散程度，直觀觀察那一組數(shù)據(jù)離散程度小一些？A組。 A、B兩組數(shù)據(jù)的平均值都是10，我們來計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和： A:|11-10|+|13-10|+|7-10|+|9-10|+|12-10|+|8-10|=12 B:|10-10|+|13-10|+|7-10|+|13-10|+|7-10|+|10-10|=12
兩組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和均為12，在這個問題中，“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和”無法刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。
從而推翻了探究3的結(jié)論！
A B
探究再次陷入困境，引導學生一步步分析： 為什么取絕對值？避免正負抵消。 避免正負抵消的辦法只有一種嗎？
有小組提出采用平方的方法，即計算“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”：
因為
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，所以A組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，離散程度更小。 從而探究出“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”可以刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。 本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：通過具體的問題情境設(shè)計，環(huán)環(huán)相扣，步步探索，在矛盾中前進，在質(zhì)疑中求真。既提升了學生勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，又進一步培養(yǎng)了積極探索、敢于創(chuàng)新的科學精神。
效果評測：先是通過極差，然后計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的總和，出現(xiàn)正負抵消，又計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值總和，最后我們想到了平方，完美解決了問題。在經(jīng)歷探究方差概念的過程中，學生不僅感受了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，同時學生體會了探究數(shù)學問題的一般思路。 三、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)
請大家將我們自主探究出來的解決方案總結(jié)一下。
為了描述數(shù)據(jù)的離散程度，我們經(jīng)過自主探究，找到了屬于我們自己的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)：通過“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)，即方差”來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。
標準差s是方差的算術(shù)平方根。
一般而言，一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。
本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：創(chuàng)新精神是學生核心素養(yǎng)發(fā)展的重要元素，本環(huán)節(jié)引導學生及時總結(jié)自己的探究成果，使學生進一步領(lǐng)悟探究的意義，感受創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的良好情感體驗。
效果評測：學生經(jīng)過問題質(zhì)疑、自主探究，創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)了“如何刻畫數(shù)據(jù)離散程度”的方法，體會到創(chuàng)新并不困難，提升學好數(shù)學的信心。 四、問題解決
