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關于四點共圓

任何三角形有唯一的外接圓和唯一的內(nèi)切圓,但是作為一個四邊形,就不一定具有外接圓或內(nèi)切圓了,四邊形具有外接圓,內(nèi)切圓時,它自身一定會具有一定的特殊條件.

這里我們主要就談談四點共圓的判斷問題.

命題:

1、對角互補的四邊形內(nèi)接于圓(如圖1);

2、四邊形的一個角外角等于它的對角,這個四邊形內(nèi)接于圓;

3、如果兩個直角三角形共有斜邊,那么這兩個直角三角形有相同的外接圓;

4、如果兩個點在線段的同側(cè),且與線段兩個端點連線所得的兩個角相等(也叫同旁視角相等),那么這兩個點與已知線段的兩個端點共圓(如圖2);

5、相交的兩條線段,每條線段被交點分得的兩條線段的乘積相等,那么線段的四個端點在同一個圓上(如圖3);

6、如果四邊形的兩條邊的延長線交于一點,這點到這兩邊的兩個端點的兩條線段的乘積相等,那么這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形(如圖4);

其實上面的命題都是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理的逆命題.

下面用反證法證明命題2.

已知:如圖5,在四邊形ABCD中,∠A+∠C=∠B+∠D=180°,

證明:設A,B,C所在的圓是以O為圓心的圓

    ①假設D在圓O內(nèi),那么連接AD并延長交圓O與Dˊ,那么四邊形ABCDˊ內(nèi)接于圓       O,因為圓內(nèi)接四邊形的對角互補,所以∠B+∠Dˊ=180°,所以∠Dˊ=∠D,在圖5       中,∠D=∠Dˊ+∠DCD>∠Dˊ,這與∠Dˊ=∠D矛盾,所以D不再圓內(nèi)。

    ②假設D在圓O外面,如圖6.

設AD交圓O為Dˊ,那么根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),∠B+∠Dˊ=180°,所以∠Dˊ=∠D,在圖6中,∠Dˊ=∠D+∠DˊCD>∠D,這與∠Dˊ=∠D矛盾,所以D不在圓O外面.

綜上所述,D在由A,B,C三點所確定的圓上,可以用同樣的方法證明命題4,然后命題5與命題6都能夠轉(zhuǎn)換成滿足命題4的條件,從而證明這些結(jié)論都正確.

例1,如圖7,已知H是三角形A,B,C的垂心.

(1)試確定圖中有多少組在同一圓上的四點,把每一組寫出來

(2)試確定圖中有多少組相似的直角三角形,把每一組學出來

解:

(1)根據(jù)垂心的意義我們知道,以三角形ABC的邊為直徑的四點共圓有三組,比如A,B,D,E........

以原三角形的頂點與垂心H的連線為直徑的四點共圓也有三組,B,D,H,F.........

(2)根據(jù)垂心的意義和相似三角形的判斷定理,圖中相似三角形有三組,每一組有四個,如△BCE~△ACD~△BHD~△AHD,........

其實下面的兩個結(jié)論顯然是正確的:

(3)AH·HD=BH·HE=CH·HF

(4)AD·BC=BE·AC=CF·AB.

作為內(nèi)接圓四邊形的一條有趣的性質(zhì),作為例2.

例2,圓內(nèi)接四邊形兩條對角線的積等于兩組對邊的積的和

已知:如圖8,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ,AC,BD是兩條對角線.

求證:AC·BD=AB·CD+AD·BC.

證明:在AC上取點M,使∠ABM=∠CBD,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)有:∠BAM=∠BDC,所以△ABM~△CBD,于是AB/BD=AM/CD,即AB·CD=BD·AM,同樣的,△ABD~△CMD,所以,AD/MC=BD/BC,即AD·BC=BD·MC.所以,AC·BD=AB·CD+AD·BC.

初中教材對于四點共圓這一塊涉及的不是特別深入,無論你是即將的初三同學還是高中同學或準高中同學,你對這篇小文章的關注,一定會給你帶來益處.

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