任何三角形有唯一的外接圓和唯一的內(nèi)切圓，但是作為一個四邊形，就不一定具有外接圓或內(nèi)切圓了，四邊形具有外接圓，內(nèi)切圓時，它自身一定會具有一定的特殊條件.
這里我們主要就談談四點共圓的判斷問題.
命題：
1、對角互補的四邊形內(nèi)接于圓（如圖1）；
2、四邊形的一個角外角等于它的對角，這個四邊形內(nèi)接于圓；
3、如果兩個直角三角形共有斜邊，那么這兩個直角三角形有相同的外接圓；
4、如果兩個點在線段的同側(cè)，且與線段兩個端點連線所得的兩個角相等（也叫同旁視角相等），那么這兩個點與已知線段的兩個端點共圓（如圖2）；
5、相交的兩條線段，每條線段被交點分得的兩條線段的乘積相等，那么線段的四個端點在同一個圓上（如圖3）；
6、如果四邊形的兩條邊的延長線交于一點，這點到這兩邊的兩個端點的兩條線段的乘積相等，那么這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形（如圖4）；
其實上面的命題都是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理的逆命題.
下面用反證法證明命題2.
已知：如圖5，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
證明：設A,B,C所在的圓是以O為圓心的圓
①假設D在圓O內(nèi)，那么連接AD并延長交圓O與Dˊ，那么四邊形ABCDˊ內(nèi)接于圓 O，因為圓內(nèi)接四邊形的對角互補，所以∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在圖5 中，∠D=∠Dˊ+∠DCD>∠Dˊ，這與∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不再圓內(nèi)。
②假設D在圓O外面，如圖6.
設AD交圓O為Dˊ，那么根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在圖6中，∠Dˊ=∠D+∠DˊCD>∠D，這與∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不在圓O外面.
綜上所述，D在由A,B,C三點所確定的圓上，可以用同樣的方法證明命題4，然后命題5與命題6都能夠轉(zhuǎn)換成滿足命題4的條件，從而證明這些結(jié)論都正確.
例1，如圖7，已知H是三角形A,B,C的垂心.
（1）試確定圖中有多少組在同一圓上的四點，把每一組寫出來
（2）試確定圖中有多少組相似的直角三角形，把每一組學出來
解：
（1）根據(jù)垂心的意義我們知道，以三角形ABC的邊為直徑的四點共圓有三組，比如A,B,D,E........
以原三角形的頂點與垂心H的連線為直徑的四點共圓也有三組，B,D,H,F.........
（2）根據(jù)垂心的意義和相似三角形的判斷定理，圖中相似三角形有三組，每一組有四個，如△BCE～△ACD～△BHD～△AHD，........
其實下面的兩個結(jié)論顯然是正確的：
（3）AH·HD=BH·HE=CH·HF
（4）AD·BC=BE·AC=CF·AB.
作為內(nèi)接圓四邊形的一條有趣的性質(zhì)，作為例2.
例2，圓內(nèi)接四邊形兩條對角線的積等于兩組對邊的積的和
已知：如圖8，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ，AC,BD是兩條對角線.
求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC.
證明：在AC上取點M，使∠ABM=∠CBD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)有：∠BAM=∠BDC,所以△ABM～△CBD，于是AB/BD=AM/CD，即AB·CD=BD·AM,同樣的，△ABD～△CMD，所以，AD/MC=BD/BC，即AD·BC=BD·MC.所以，AC·BD=AB·CD+AD·BC.
初中教材對于四點共圓這一塊涉及的不是特別深入，無論你是即將的初三同學還是高中同學或準高中同學，你對這篇小文章的關注，一定會給你帶來益處.
