量子場論是量子力學(xué)和經(jīng)典場論相結(jié)合的物理理論，已被廣泛的應(yīng)用于
粒子物理學(xué)和凝聚態(tài)物理學(xué)中。量子場論為描述多粒子系統(tǒng)，尤其是包含粒子產(chǎn)生和湮滅過程的系統(tǒng)，提供了有效的描述框架。非相對論性的量子場論主要被應(yīng)用于凝聚態(tài)物理學(xué)，比如描述超導(dǎo)性的BCS理論。而相對論性的量子場論則是粒子物理學(xué)不可或缺的組成部分。自然界目前人類所知的有四種基本相互作用：強(qiáng)作用，電磁相互作用，弱作用，引力。除去引力，另三種相互作用都找到了合適滿足特定對稱性的量子場論來描述。強(qiáng)作用有量子色動(dòng)力學(xué)（QCD，Quantum Chromodynamics)；電磁相互作用有量子電動(dòng)力學(xué)（QED,Quantum Electrodynamics)，理論框架建立于1920到1950年間，主要的貢獻(xiàn)者為保羅·狄拉克，弗拉迪米爾·?？耍譅柗?qū)?#183;泡利，朝永振一郎，施溫格，理查德·費(fèi)曼和迪森等；弱作用有費(fèi)米點(diǎn)作用理論。后來弱作用和電磁相互作用實(shí)現(xiàn)了形式上的統(tǒng)一，通過希格斯機(jī)制（Higgs Mechanism）產(chǎn)生質(zhì)量，建立了弱電統(tǒng)一的量子規(guī)范理論，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子場論成為現(xiàn)代理論物理學(xué)的主流方法和工具。
所謂“量子場論”的學(xué)科是從狹義相對論和量子力學(xué)的觀念的結(jié)合而產(chǎn)生的。它和標(biāo)準(zhǔn)（亦即非相對論性）的量子力學(xué)的差別在于，任何特殊種類的粒子的數(shù)目不必是常數(shù)。每一種粒子都有其反粒子（有時(shí)，諸如光子，反粒子和原先粒子是一樣的）。一個(gè)有質(zhì)量的粒子和它的反粒子可以湮滅而形成能量，并且這樣的對子可由能量產(chǎn)生出來。的確，甚至粒子數(shù)也不必是確定的；因?yàn)椴煌Ｗ訑?shù)的態(tài)的線性疊加是允許的。最高級(jí)的量子場論是“量子電動(dòng)力學(xué)”--基本上是電子和光子的理論。該理論的預(yù)言具有令人印象深刻的精確性（例如，上一章已提到的電子的磁矩的精確值，參閱177頁）。然而，它是一個(gè)沒有整理好的理論--不是一個(gè)完全協(xié)調(diào)的理論--因?yàn)樗婚_始給出了沒有意義的“無限的”答案，必須用稱為“重正化”的步驟才能把這些無限消除。并不是所有量子場論都可以用重正化來補(bǔ)救的。即使是可行的話，其計(jì)算也是非常困難的。
使用“路徑積分”是量子場論的一個(gè)受歡迎的方法。它是不僅把不同粒子態(tài)（通常的波函數(shù)）而且把物理行為的整個(gè)空間--時(shí)間歷史的量子線性疊加而形成的（參閱費(fèi)因曼1985年的通俗介紹）。但是，這個(gè)方法自身也有附加的無窮大，人們只有引進(jìn)不同的“數(shù)學(xué)技巧”才能賦予意義。盡管量子場論勿庸置疑的威力和印象深刻的精確度（在那些理論能完全實(shí)現(xiàn)的很少情況），人們?nèi)匀挥X得，必須有深刻的理解，才能相信它似乎是導(dǎo)向“任何物理實(shí)在的圖像”。
根據(jù)量子力學(xué)原理建立的場的理論，是微觀現(xiàn)象的物理學(xué)基本理論。場是物質(zhì)存在的一種基本形式。這種形式的主要特征在于場是彌散于全空間的。場的物理性質(zhì)可以用一些定義在全空間的量描述〔例如電磁場的性質(zhì)可以用電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度或用一個(gè)三維矢量勢A(X,t)和一個(gè)標(biāo)量勢嗘(X,t)描述〕。這些場量是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù),它們隨時(shí)間的變化描述場的運(yùn)動(dòng)?？臻g不同點(diǎn)的場量可以看作是互相獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)變量，因此場是具有連續(xù)無窮維自由度的系統(tǒng)。場論是關(guān)于場的性質(zhì)、相互作用和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論。量子場論則是在量子物理學(xué)基礎(chǔ)上建立和發(fā)展的場論，即把量子力學(xué)原理應(yīng)用于場，把場看作無窮維自由度的力學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)其量子化而建立的理論。量子場論是粒子物理學(xué)的基礎(chǔ)理論并被廣泛地應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)物理、核理論和凝聚態(tài)理論等近代物理學(xué)的許多分支。
在經(jīng)典場論（例如J.C.麥克斯韋的電磁場論）中場量滿足對空間坐標(biāo)和時(shí)間的偏微分方程，因此經(jīng)典場是以連續(xù)性為其特征的。按照量子物理學(xué)的原理，微觀客體都具有粒子和波、離散和連續(xù)的二象性。在初等量子力學(xué)中對電子的描述是量子性的，通過引進(jìn)相應(yīng)于電子坐標(biāo)和動(dòng)量的算符和它們的對易關(guān)系實(shí)現(xiàn)了單個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的量子化，但是它對電磁場的描述仍然是經(jīng)典的。這樣的理論沒有反映電磁場的粒子性，不能容納光子，更不能描述光子的產(chǎn)生和湮沒。因此，初等量子力學(xué)雖然很好地說明了原子和分子的結(jié)構(gòu)，卻不能直接處理原子中光的自發(fā)輻射和吸收這類十分重要的現(xiàn)象。1927年P(guān).A.M.狄喇克首先提出將電磁場作為一個(gè)具有無窮維自由度的系統(tǒng)進(jìn)行量子化的方案。電磁場可以按本征振動(dòng)模式作傅里葉分解,每種模式具有一定的波矢k,頻率ωk和偏振方式s=1,2、ωk=|K|с。因此自由電磁場(不存在與其相互作用的電荷和電流)可以看作無窮多個(gè)沒有相互作用的諧振子的系統(tǒng)，每個(gè)諧振子對應(yīng)于一個(gè)本征振動(dòng)模式。根據(jù)量子力學(xué),這個(gè)系統(tǒng)具有離散的能級(jí)nk,s=0,1,2,…,是非負(fù)整數(shù)。對基態(tài),所有的 nk,s=0，激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為光子,nk,s是具有波矢k極化s的光子數(shù),啚ωk是每個(gè)光子的能量。還可以證明啚K是光子的動(dòng)量,極化s對應(yīng)于光子自旋的取向。按照普遍的粒子和波的二象性觀點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)可以在同樣的基礎(chǔ)上描述電子。這要求把原先用來描述單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)看作電子場并實(shí)現(xiàn)其量子化。與光子不同的是電子服從泡利不相容原理。1928年E.P.約旦和E.P.維格納提出了符合于這個(gè)要求的量子化方案。對于非相對論性多電子系統(tǒng)，他們的方案完全等價(jià)于通常的量子力學(xué)，在量子力學(xué)文獻(xiàn)中被稱為二次量子化。但是，這個(gè)方案可以直接推廣到描述相對論性電子的狄喇克場ψα，α＝1,2,3,4,量子化自由電子場的激發(fā)態(tài)相應(yīng)于一些具有不同動(dòng)量和自旋的電子和正電子，每個(gè)狀態(tài)最多只能有一個(gè)電子和一個(gè)正電子。下一步是考慮電磁場與電子場的相互作用并把理論推廣到其他的粒子，例如核子和介子。描述電子場和電磁場相互作用的量子場論稱為量子電動(dòng)力學(xué)，它是電磁作用的微觀理論。1929年W.K.海森伯和W.泡利建立了量子場論的普遍形式。按照量子場論，相應(yīng)于每種微觀粒子存在著一種場。設(shè)所研究的場的系統(tǒng)可以用N個(gè)互相獨(dú)立的場量嗘i(X,t)(i=1,2,…,N)描述，這里X是點(diǎn)的空間坐標(biāo),t是時(shí)間。各點(diǎn)的場量可以看作是力學(xué)系統(tǒng)的無窮多個(gè)廣義坐標(biāo)。在力學(xué)中可以定義與這些廣義坐標(biāo)對應(yīng)的正則動(dòng)量,記作πi(X,t)。根據(jù)量子力學(xué)原理,引入與這些量對應(yīng)的算符拤i(X,t)和挸i(X,t)。對于整數(shù)自旋的粒子,可以按照量子力學(xué)寫出這些算符的正則對易關(guān)系。對半整數(shù)自旋的粒子則按照約旦和維格納的量子化方案，用場的反對易關(guān)系。在給定由拤i和挸i組成的哈密頓算符后,可以按量子力學(xué)寫出場量滿足的海森伯運(yùn)動(dòng)方程式，它們是經(jīng)典場方程的量子對應(yīng)。量子力學(xué)還給出計(jì)算各種物理量的期待值以及各種反應(yīng)過程的幾率的規(guī)則。像通常力學(xué)中的情形一樣，也可以等價(jià)地選取其他的廣義坐標(biāo)，例如取場量嗘i(X,t) 的傅里葉分量作為廣義坐標(biāo)。在用到自由電磁場時(shí)，就得到前面已經(jīng)敘述的結(jié)果。量子場論的這種表述形式稱為正則量子化形式。量子場論還有一些基本上與正則量子化形式等價(jià)的表述形式，其中最常用的是R.P.費(fèi)因曼于1948年建立并在后來得到很大發(fā)展的路徑積分形式。在進(jìn)行場的量子化時(shí)，必須使理論保持一定的對稱性。在涉及高速現(xiàn)象的粒子物理學(xué)中，滿足相對論不變性是對理論的一個(gè)基本要求。除此以外，還必須保證所得的結(jié)果符合量子統(tǒng)計(jì)的要求，即符合正確的自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系。在量子場論中這些要求都達(dá)到了。在量子場論的框架內(nèi)出了自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系的一般證明。量子場論給出的物理圖像是：在全空間充滿著各種不同的場，它們互相滲透并且相互作用著；場的激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的出現(xiàn)，不同激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的數(shù)目和狀態(tài)不同，場的相互作用可以引起場激發(fā)態(tài)的改變，表現(xiàn)為粒子的各種反應(yīng)過程，在考慮相互作用后，各種粒子的數(shù)目一般不守恒，因此量子場論可以描述原子中光的自發(fā)輻射和吸收，以及粒子物理學(xué)中各種粒子的產(chǎn)生和湮沒的過程，這也是量子場論區(qū)別于初等量子力學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)。所有的場處于基態(tài)時(shí)表現(xiàn)為真空。從上述量子場論的物理含義可以知道真空并非沒有物質(zhì)。處于基態(tài)的場具有量子力學(xué)所特有的零點(diǎn)振動(dòng)和量子漲落。在改變外界條件時(shí)，可以在實(shí)驗(yàn)中觀察到真空的物理效應(yīng)。例如在真空中放入金屬板時(shí)，由于真空零點(diǎn)能的改變而引起的兩個(gè)不帶電的金屬板的作用力（卡西米爾效應(yīng)）以及由于在外電場作用下真空中正負(fù)電子分布的改變導(dǎo)致的真空極化現(xiàn)象。量子場論本質(zhì)上是無窮維自由度系統(tǒng)的量子力學(xué)。在量子統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理等物理學(xué)分支中，研究的對象是無窮維自由度的系統(tǒng)。在這些分支中，人們感興趣的自由度往往不是對應(yīng)于基本粒子的運(yùn)動(dòng)而是系統(tǒng)中的集體運(yùn)動(dòng)，例如晶體或量子液體中的波動(dòng)。這種波動(dòng)可以看作波場，而且它們也服從量子力學(xué)的規(guī)律，因此量子場論同樣可以應(yīng)用于這些問題。
在考慮相互作用后,目前一般還不能求得量子場論方程的精確解，必須采用近似計(jì)算方法。較早發(fā)展起來的量子場論的計(jì)算方法是在量子電動(dòng)力學(xué)中首先采用的微擾的方法。在量子電動(dòng)力學(xué)中，考慮到電子場和電磁場相互作用的耦合常數(shù)(即電子的電荷) e是一個(gè)小量，把哈密頓量中代表相互作用的項(xiàng)作為對自由場哈密頓量的微擾來處理。這樣各種反應(yīng)過程的振幅可表成耦合常數(shù) e的冪級(jí)數(shù)，微擾論方法是逐階計(jì)算冪級(jí)數(shù)的系數(shù)?？紤]到耦合常數(shù)很小，只要計(jì)算冪級(jí)數(shù)的前面幾個(gè)低次項(xiàng)，就可以得到足夠精確的近似結(jié)果。在一般的量子場論問題中，如果耦合常數(shù)足夠小，也可以類似地用微擾論的方法處理。1946～1949年朝永振一郎、J.S.施溫格和費(fèi)因曼等人發(fā)展一套新的微擾論計(jì)算方法，這種微擾論方法具有形式簡單、便于計(jì)算并且明顯保持相對論協(xié)變性的優(yōu)點(diǎn)。特別是,費(fèi)因曼引入了圖形表示法和相應(yīng)的物理圖像,提供了寫出微擾論任意階項(xiàng)的系統(tǒng)的方法──而且這種方法有很強(qiáng)的直觀性。
在用量子電動(dòng)力學(xué)計(jì)算任何物理過程時(shí)，盡管用微擾論最低級(jí)近似計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)是近似符合的，但進(jìn)一步計(jì)算高次修正時(shí)卻都得到無窮大的結(jié)果。同樣的問題也存在于其他的相對論性量子場論中，這就是量子場論中著名的發(fā)散困難。它的根源在于：在現(xiàn)在的相對論性量子場論中，微觀粒子實(shí)際上被看作一個(gè)點(diǎn)。即使在經(jīng)典場論中，如果把電子看作一個(gè)點(diǎn)，由電子產(chǎn)生的電磁場對本身的作用而引起的電磁質(zhì)量也是無窮大的。在量子場論中發(fā)散有更多的形式，它們都起源于粒子產(chǎn)生的場對本身的自作用。發(fā)散困難的存在表示現(xiàn)在的量子場論不能應(yīng)用到很小的距離。曾經(jīng)有不少修改量子場論基本假設(shè)的嘗試，但都不成功。除這種嘗試外，還應(yīng)當(dāng)注意到微觀粒子可能并不真正是基本的，它們?nèi)绻哂姓加幸欢w積的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也必須會(huì)改變點(diǎn)粒子場論在小距離處的結(jié)果。在現(xiàn)有量子場論的框架內(nèi)，發(fā)散困難用重正化的方法得到部分的解決?，F(xiàn)有的量子場論可以分為兩類。在第一類場論中所有的發(fā)散因子都可以歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)物理參量的發(fā)散。如果重新調(diào)整這幾個(gè)參量,使它們?nèi)?shí)驗(yàn)要求的數(shù)值,對其他的物理量仍可用現(xiàn)有的理論計(jì)算，如果按重正化的耦合常數(shù)作微擾展開就可以得到有限的結(jié)果。這類理論稱為可重正化的。量子電動(dòng)力學(xué)屬于這一類。在量子電動(dòng)力學(xué)中，只有電子的質(zhì)量和電荷需要重正化。重正化計(jì)算的合理性在于：如果理論需要作的修改只限于充分小的距離范圍之內(nèi)，這些不發(fā)散的物理量受到的影響是很小的。另一類理論中有無窮多個(gè)物理參量發(fā)散，這類理論稱為不可重正化的。至少現(xiàn)在還沒有辦法用不可重正化的理論作包括粒子自作用的計(jì)算。1949年左右，施溫格和費(fèi)因曼等人首先用新式的微擾論作量子電動(dòng)力學(xué)中的重正化計(jì)算。重正化的普遍理論及其嚴(yán)格證明經(jīng)過H.H.博戈留博夫、O.C.帕拉修克、K.赫普和W.齊默爾曼等人的研究在60年代中才完成。量子電動(dòng)力學(xué)的重正化微擾論計(jì)算在很高的精度上與電子和μ子的反常磁矩（見μ子和電子回磁比）及原子能級(jí)的蘭姆移位的實(shí)驗(yàn)符合，迄今量子電動(dòng)力學(xué)通過了所有實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn)，這些實(shí)驗(yàn)表明量子電動(dòng)力學(xué)在大于10-16cm處是正確的。量子電動(dòng)力學(xué)的成功是重正化量子場論的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。
處理量子場論問題的微擾論方法有它的局限性，它要求耦合常數(shù)很小，即屬于弱耦合的情況。耦合強(qiáng)到一定程度后微擾論展開式的頭幾項(xiàng)就不再是好的近似。因此在量子場論發(fā)展過程中已經(jīng)針對不同問題的需要發(fā)展了許多種非微擾方法，如色散關(guān)系理論、公理化場論、流代數(shù)理論、半經(jīng)典近似方法、重正化群方法、格點(diǎn)規(guī)范理論等。這些方法的出發(fā)點(diǎn)各不相同，基本上可以歸為兩類。一類是直接根據(jù)場論的基本原理和普遍的對稱性要求，給出一般的限制和預(yù)言。這類理論的典型例子是色散關(guān)系理論和公理化場論。這種做法雖然比較嚴(yán)格，但正因?yàn)槭瞧毡榈挠懻?，就不可能對許多具體問題作出細(xì)致的回答，所得的結(jié)果有很大的局限性。另一類是找尋另一種近似方案，用另一個(gè)小參量代替耦合常數(shù)來作某種近似處理。因?yàn)樽鹘茣r(shí)不再以耦合常數(shù)的冪次為依據(jù),所以有時(shí)對強(qiáng)耦合也能應(yīng)用。例如,格點(diǎn)規(guī)范理論的強(qiáng)耦合展開式就帶有這樣的特點(diǎn)。這樣的理論雖然可以解除微擾論所受的限制，但卻受這種理論本身所取近似條件的限制?，F(xiàn)在還沒有非常有力的非微擾方法。近年來在格點(diǎn)規(guī)范理論的研究中發(fā)展了用有限的點(diǎn)陣上的量代替無限的連續(xù)的時(shí)空中的場，利用電子計(jì)算機(jī)作蒙特—卡羅模擬的方法。雖然這不再是無窮維自由度的系統(tǒng)，如果所取點(diǎn)陣的尺度與所研究的現(xiàn)象有關(guān)的主要過程作用的范圍相當(dāng)，它不失為一種量子場論的近似方法。
量子場論的發(fā)展及其在物理學(xué)各分支中的應(yīng)用 量子場論作為微觀現(xiàn)象的物理學(xué)基本理論廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)各個(gè)分支。粒子物理學(xué)的發(fā)展不斷提出場論研究的新課題，并取得了進(jìn)展，它包括復(fù)合粒子場論、對稱性自發(fā)破缺的場論、非阿貝耳規(guī)范場論和真空理論的新發(fā)展等幾個(gè)互相聯(lián)系著的方面。在研究這些問題時(shí)廣泛應(yīng)用了量子場論的路徑積分和泛函的表達(dá)形式。自60年代后期以來規(guī)范場的研究成為場論研究的一個(gè)中心，已經(jīng)解決了這類理論所特有的量子化和重正化方面的問題，闡明了規(guī)范場的一些特殊性質(zhì)。1961年至1968年S.L.格拉肖、S.溫伯格和A.薩拉姆建立的描述統(tǒng)一的弱作用和電磁作用的自發(fā)破缺規(guī)范理論，在1978年至1983年已經(jīng)基本上得到實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。量子色動(dòng)力學(xué)作為描述強(qiáng)作用的規(guī)范理論也取得了一定的成就，被認(rèn)為是有希望的強(qiáng)作用基本理論。在量子電動(dòng)力學(xué)取得成功以后,量子場論在粒子物理學(xué)中取得的這些新成就使人們相信；雖然存在著發(fā)散困難這樣的基本問題和在強(qiáng)耦合下缺少有效的近似方法的困難，量子場論仍然是解決粒子物理學(xué)問題的理論基礎(chǔ)和有力工具。現(xiàn)在除規(guī)范場論中的一些問題例如所謂囚禁問題仍然是人們注意的中心外，一些新的課題如引力場量子化、超對稱性量子場論等正吸引著人們?nèi)ミM(jìn)行研究。在統(tǒng)計(jì)物理、凝聚態(tài)理論和核理論中廣泛地采用量子場論的格林函數(shù)和費(fèi)因曼微擾論方法，它們已經(jīng)成為這些物理學(xué)分支的基本理論工具。費(fèi)因曼微擾論方法使得人們可以在微擾論展開式中分出一部分對所研究的現(xiàn)象起主要作用的項(xiàng)來作部分求和，大大提高了人們解決各種問題的能力。量子場論方法對溫度不為零的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)以及超導(dǎo)和量子液體等現(xiàn)象的理論發(fā)展起了非常重要的推動(dòng)作用。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中有些現(xiàn)象本質(zhì)上不一定是量子效應(yīng),但由于是無窮維自由度的問題,它們與量子場論問題在數(shù)學(xué)形式和物理內(nèi)容上都有十分相似之處。量子場論方法對這些問題也有重要的應(yīng)用。例如，重正化群方法的思想和工具對解決統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中長久未能解決的臨界現(xiàn)象問題起了關(guān)鍵性的作用。正因?yàn)榱孔訄稣撘殉蔀榻锢韺W(xué)各分支的共同基礎(chǔ)理論，量子場論的任何一個(gè)重要進(jìn)展都會(huì)對不只是一個(gè)分支的發(fā)展有重要的推動(dòng)作用。
